資源簡介

(共39張PPT)
8.1 向量的數量積
8.1.3 向量數量積的坐標運算
探究點一 向量數量積的坐標運算
探究點二 兩平面向量的夾角、模的坐標表示
探究點三 向量垂直的坐標形式的應用
【學習目標】
1.掌握向量數量積的坐標表達式,能進行平面向量數量積的坐標運算;
2.能運用數量積計算兩個向量的夾角;
3.能運用數量積計算向量的長度,會判斷兩個平面向量的垂直關系.
知識點一 向量數量積的坐標表示
1.在平面直角坐標系中，分別給定與軸、 軸正方向相同的單位向
量,之后，如果對于平面內的向量，有__________,則
就是向量 的坐標，記作__________.
2.已知向量,,則 ____________.
知識點二 向量模的坐標表示
1.設,則________, __________.
2.設,,則 _______________________.
知識點三 兩個向量的夾角公式的坐標表示
設,都是非零向量,,,,
_ ____________.
知識點四 向量垂直的坐標形式
若，，則 ____________
_________.
【診斷分析】
判斷正誤.（請在括號中打“√”或“×”）
（1）的計算公式與， 兩點間的距離公式是一致的．( )
√
（2）已知，，則 ( )
√
（3）已知，，則 ( )
×
（4）若,,且,為鈍角,則 .
( )
×
探究點一 向量數量積的坐標運算
例1（1） 已知菱形的邊長為2, ，動點在 邊上
（包括端點），則 的取值范圍是( )
A. B. C. D.
[解析] 如圖，以C為原點，的方向為 軸正方向，
建立平面直角坐標系，
易知， ，.
設，則 ，所以， ，
故 ，又 ，所以
，即的取值范圍為 .故選C.
√
（2）（多選題）已知向量，且，那么向量 的坐標
可以是( )
A. B. C. D.
[解析] 設,,即 ，
將四個選項代入驗證，只有選項A,B滿足上式.故選 .
√
√
變式（1） [2024·遼寧本溪高一期中]已知向量, ，
則在 上的投影的坐標為( )
A. B. C. D.
[解析] 因為,，
所以在 上的投影的坐標為 ．故選D.
√
（2）在梯形中，，，，，點 ，
在線段上移動（包括端點），且，則 的最小值為
( )
A.1 B. C. D.
√
[解析] 如圖，以B為坐標原點， 所在的直線
為軸建立平面直角坐標系.
因為梯形 中，，，，
所以 .
不妨設， ，
則，
所以當時，取得最小值 .故選D.
［素養小結］
此類題目是有關向量數量積的坐標運算，靈活應用基本公式是前提，
設向量一般有兩種方法：一是直接設坐標，二是利用共線或垂直的
關系設向量.
探究點二 兩平面向量的夾角、模的坐標表示
例2（1） [2024·北京房山區高一期末]已知向量 ，
，且與的夾角為，則 的值為( )
A. B. C. D.
[解析] 因為，, ，
所以，解得或 ，故選B.
√
（2）如圖，在平面直角坐標系中， ，
，，是線段 上一點（不含端點），
若，則 ( )
A. B. C.4 D.
[解析] 由題圖知點A，C在函數 的圖象上.
設，則 ，
，
所以，解得 或
，所以，則，故 .故選B.
√
變式（1） [2024· 廣西南寧二中高一期中]已知向量 ，
，若向量在向量上的投影，則 ( )
A. B. C. D.1
[解析] 由已知可得，在上的投影為 ，
又在上的投影，所以 ，
所以 ．故選D.
√
（2）（多選題）[2023·山東濱州一中高一期中] 已知向量
，， ，則下列說法正確的是
( )
A.與的夾角的余弦值為
B.在上的投影為
C.若與的夾角為鈍角，則
D.若與的夾角為銳角，則
√
√
√
[解析] 由題知，與的夾角的余弦值為 ，
故A正確；
在上的投影為 ，故B正確；
若與的夾角為鈍角，則解得 且，
故C錯誤；
若與 的夾角為銳角，則
解得，故D正確.故選 .
［素養小結］
利用向量的數量積求兩向量夾角或模的一般步驟
（1）利用向量的坐標求出這兩個向量的數量積.
（2）利用 求出兩向量的模.
（3）代入夾角公式求,，并根據, 的范圍確定夾角的大小.
拓展 已知點,,(其中, 為坐標
原點.若,求與 的夾角.
解：由題知 ,
,
即, .
又,, .
又,， ，
，,故與的夾角為 .
探究點三 向量垂直的坐標形式的應用
例3（1） 已知點,,，若與 垂直，
則 ( )
A. B.1 C. D.2
[解析] 由已知得， ，
所以.
因為 與垂直，所以，
解得 .故選D.
√
（2）在中,,,若為直角三角形,則
的值為_ _____________.
或或
[解析] ①當 時,,則,即 ,解得 .
②當 時, ，則,
,解得 .
③當 時,,則, ,
即,解得 .
綜上可知,或或 .
變式 已知平面向量， ，
且與不共線，求證：向量與 垂直．
證明:， ，
，,
，
，
即向量與 垂直．
［素養小結］
利用坐標表示把向量垂直條件代數化,使判定方法更加簡捷，運算更
直接.
1.[2023·合肥高一期中]若向量,，則向量在向量
上的投影為( )
A. B.
C. D.
[解析] 向量在向量上的投影為 .故選B.
√
2.[2024·湖北武漢高一期中]已知，向量, ，
且，則, ( )
A. B. C. D.
[解析] 由,，可得, ，
因為 ，所以
，
又，所以 ，所以,，
所以 , .故選B.
√
3.[2023·重慶育才中學高一期中]在邊長為6的正方形中，點 為
的中點，點在邊上且，則 ( )
A.18 B.24 C.30 D.42
[解析] 以A為原點，，所在直線分別為，
軸，建立平面直角坐標系，如圖所示，
易知 , ,，則, ，
所以 .故選C.
√
4.[2024·北京延慶區高一期末]向量，，若 ，
則 ( )
A. B. C.2 D.
[解析] 由題意得，解得 .故選D.
√
5.如圖所示，在平面直角坐標系中，，，， 是正弦函數
圖象上的四個點，且，兩點為圖象的最高點，， 兩點
為圖象的最低點，則 ______.
[解析] 由正弦函數圖象可得， ,
,, ，
,, ，
，
所以， ，
所以 .
6.[2024·北京東城區高一期末] 設向量， ，且
，則 ____.
[解析] 設,的夾角為 ，則 ，
故，又，所以，即, 的方向相同，
因為，，所以，解得 .
1.關于兩個向量垂直的性質
（1）已知，，若，則 ；
反之，若，則 .
（2）已知，，若，則向量 與
平行．這是由，得 推出的.
（3）對任意的實數，向量與向量 垂直．
2.不等式 的代數形式
若，，則 ，
， .
由得 ，
當且僅當，即 時取等號，
即不等式 成立．
1.解決向量數量積的運算問題的常用方法
進行向量的數量積運算,前提是牢記有關的運算法則和運算性質.解題
時通常有兩條途徑:一是先將各向量用坐標表示,直接進行數量積運算;
二是先利用數量積的運算律將原式展開,再依據已知數據計算.
2.用向量數量積的坐標表示解決垂直問題
利用向量數量積的坐標表示解決垂直問題的實質與利用定義解決垂
直問題一致,利用坐標表示把垂直條件代數化.因此判定方法更加簡捷、
運算更直接,體現了向量問題代數化的思想.
例1 已知,,是坐標平面上的三點,其坐標分別為,, ,
求和的大小,并判斷 的形狀.
解：由題易知,, ,
,
.又， ,
是等腰直角三角形， .
3.利用數量積求兩向量夾角的步驟
（1）求出兩向量的坐標：， .
（2）由公式,直接求出, 的值.
（3）,,由,的值求, .
例2 已知向量，，則與 的夾角為
( )
A. B. C. D.
[解析] 設 為與的夾角，， ，
，, ,
,，
又 ，且, .故選D.
√8.1.3　向量數量積的坐標運算
【課前預習】
知識點一
1.xe1+ye2　a=(x,y)　2.x1x2+y1y2
知識點二
1.x2+y2　　2.
知識點三
知識點四
x1x2+y1y2=0
診斷分析
(1)√　(2)√　(3)×　(4)×
【課中探究】
探究點一
例1　(1)C　(2)AB　[解析] (1)如圖,以C為原點,的方向為x軸正方向,建立平面直角坐標系,易知C(0,0),A(1,),D(-1,).設P(x,0),則x∈[0,2],所以=(-2,0),=(x-1,-),故·=-2(x-1)=2-2x,又-2x∈[-4,0],所以2-2x∈[-2,2],即·的取值范圍為[-2,2].故選C.
(2)設b=(x,y).∵a⊥b,∴a·b=3x-y=0,即y=3x,將四個選項代入驗證,只有選項A,B滿足上式.故選AB.
變式　(1)D　(2)D　[解析] (1)因為a·b=(-1,1)·(2,3)=-2+3=1,|a|2=2,所以b在a上的投影的坐標為·=(-1,1)=.故選D.
(2)如圖,以B為坐標原點,BC所在的直線為x軸建立平面直角坐標系.因為梯形ABCD中,∠B=,AB=2,AD=1,所以D(2,).不妨設P(x,0),Q(x+1,0)(0≤x≤3),則·=(x-2,-)·(x-1,-)=(x-2)(x-1)+3=x2-3x+5=+,所以當x=時,·取得最小值.故選D.
探究點二
例2　(1)B　(2)B　[解析] (1)因為a·b=2m,|a|=2,|b|=,所以2m=2××,解得m=或m=-(舍去),故選B.
(2)由題圖知點A,C在函數y=-x+4的圖象上.設P(x,-x+4)(0變式　(1)D　(2)ABD　[解析] (1)由已知可得,b在a上的投影為·=a=a=(λ,0),又b在a上的投影c=,所以λ=,所以|b|====1.故選D.
(2)由題知,a與c的夾角的余弦值為==,故A正確;a在c上的投影為·=·=c,故B正確;若a與b的夾角為鈍角,則解得m>-2且m≠2,故C錯誤;若a與b的夾角為銳角,則解得m<-2,故D正確.故選ABD.
拓展　解:由題知+=(2+cos α,sin α),
∴(2+cos α)2+sin2α=7,即4+4cos α+cos2α+sin2α=7,∴cos α=.
又α∈(0,π),∴sin α=,∴=.
又=(0,2),∴cos<,>==,
∴<,>=,故與的夾角為.
探究點三
例3　(1)D　(2)-或或　[解析] (1)由已知得=(1,-3),=(-4,2),所以λ+=λ(1,-3)+(-4,2)=(λ-4,-3λ+2).因為λ+與垂直,所以-4(λ-4)+2(-3λ+2)=0,解得λ=2.故選D.
(2)①當A=90°時,⊥,則·=0,即2+3k=0,解得k=-.
②當B=90°時,⊥,則·=0.∵=-=(-1,k-3),∴-2+3(k-3)=0,解得k=.
③當C=90°時,⊥,則·=0,∴1×(-1)+k(k-3)=0,即k2-3k-1=0,解得k=.
綜上可知,k=-或k=或k=.
變式　證明:∵a=(cos α,sin α),b=,∴a+b=,a-b=,∴(a+b)·(a-b)=+=cos2α-+sin2α-=1-1=0,
∴(a+b)⊥(a-b),即向量a+b與a-b垂直.
【課堂評價】
1.B　[解析] 向量a在向量b上的投影為·=·=.故選B.
2.B　[解析] 由a=(x,2),b=(-2,1),可得a2=x2+4,b2=5,因為(a+b)⊥(a-b),所以(a+b)·(a-b)=a2-b2=x2+4-5=0,又x>0,所以x=1,所以a=(1,2),a-b=(3,1),所以cos===.故選B.
3.C　[解析] 以A為原點,AB,AD所在直線分別為x,y軸,建立平面直角坐標系,如圖所示,易知A(0,0),E(3,6),F(6,2),則=(3,6),=(6,2),所以·=3×6+6×2=30.故選C.
4.D　[解析] 由題意得a·b=2+x=0,解得x=-2.故選D.
5.12π2　[解析] 由正弦函數圖象可得,A,B,C,D,所以=,=,=,=,所以+=(2π,0),+=(6π,0),所以(+)·(+)=2π×6π=12π2.
6.-　[解析] 設a,b的夾角為θ,則a·b=|a||b|cos θ=|a||b|,故cos θ=1,又θ∈[0,π],所以θ=0,即a,b的方向相同,因為a=(1,m),b=(3,-4),所以-4=3m,解得m=-.8.1.3　向量數量積的坐標運算
【學習目標】
　　1.掌握向量數量積的坐標表達式,能進行平面向量數量積的坐標運算;
　　2.能運用數量積計算兩個向量的夾角;
　　3.能運用數量積計算向量的長度,會判斷兩個平面向量的垂直關系.
◆ 知識點一　向量數量積的坐標表示
1.在平面直角坐標系中,分別給定與x軸、y軸正方向相同的單位向量e1,e2之后,如果對于平面內的向量a,有a=　　　　,則(x,y)就是向量a的坐標,記作　　　　　　.
2.已知向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),則a·b=　　　　　　　.
◆ 知識點二　向量模的坐標表示
1.設a=(x,y),則|a|2=　　　　　,|a|=　　　　　　.
2.設A(x1,y1),B(x2,y2),則||=　　　　　　　　.
◆ 知識點三　兩個向量的夾角公式的坐標表示
設a,b都是非零向量,a=(x1,y1),b=(x2,y2),cos=　　　　　　　　　.
◆ 知識點四　向量垂直的坐標形式
若a=(x1,y1),b=(x2,y2),則a⊥b a·b=0 　　　　　　　.
【診斷分析】 判斷正誤.(請在括號中打“√”或“×”)
(1)||的計算公式與A,B兩點間的距離公式是一致的. (　 )
(2)已知a=(1,-1),b=(2,3),則a·b=-1.(　 )
(3)已知a=(3,x),|a|=5,則x=4. (　 )
(4)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),且為鈍角,則x1y1+x2y2<0. (　 )
◆ 探究點一　向量數量積的坐標運算
例1 (1)已知菱形ABCD的邊長為2,∠ABC=60°,動點P在BC邊上(包括端點),則·的取值范圍是 (　 )
A.[0,1] B.[-1,2]
C.[-2,2] D.[-1,1]
(2)(多選題)已知向量a=(3,-1),且a⊥b,那么向量b的坐標可以是 (　 )
A.(-1,-3) B.(1,3)
C.(3,1) D.(-3,1)
變式 (1)[2024·遼寧本溪高一期中] 已知向量a=(-1,1),b=(2,3),則b在a上的投影的坐標為 (　 )
A. B.
C. D.
(2)在梯形ABCD中,∠B=,AB=2,BC=4,AD=1,點P,Q在線段BC上移動(包括端點),且PQ=1,則·的最小值為 (　 )
A.1 B.
C. D.
[素養小結]
此類題目是有關向量數量積的坐標運算,靈活應用基本公式是前提,設向量一般有兩種方法:一是直接設坐標,二是利用共線或垂直的關系設向量.
◆ 探究點二　兩平面向量的夾角、模的坐標表示
例2 (1)[2024·北京房山區高一期末] 已知向量a=(2,0),b=(m,1),且a與b的夾角為,則m的值為 (　 )
A.- B. C.- D.
(2)如圖,在平面直角坐標系xOy中,A(0,4),B(-4,0),C(4,0),P是線段AC上一點(不含端點),若·=32,則||= (　 )
A.2 B.2 C.4 D.3
變式 (1)[2024· 廣西南寧二中高一期中] 已知向量a=(2,0),b=,若向量b在向量a上的投影c=,則|b|= (　 )
A. B. C. D.1
(2)(多選題)[2023·山東濱州一中高一期中] 已知向量a=(1,-1),b=(-2,m),c=(4,-2),則下列說法正確的是 (　 )
A.a與c的夾角的余弦值為
B.a在c上的投影為c
C.若a與b的夾角為鈍角,則m>-2
D.若a與b的夾角為銳角,則m<-2
[素養小結]
利用向量的數量積求兩向量夾角或模的一般步驟
(1)利用向量的坐標求出這兩個向量的數量積.
(2)利用|a|=(a=(x,y))求出兩向量的模.
(3)代入夾角公式求cos,并根據的范圍確定夾角的大小.
拓展 已知點A(2,0),B(0,2),C(cos α,sin α)(其中0<α<π),O為坐標原點.若|+|=,求與的夾角.
◆ 探究點三　向量垂直的坐標形式的應用
例3 (1)已知點A(0,2),B(1,-1),C(-3,1),若λ+與垂直,則λ= (　 )
A.-1 B.1 C.-2 D.2
(2)在△ABC中,=(2,3),=(1,k),若△ABC為直角三角形,則k的值為　　　　　　　　.
變式 已知平面向量a=(cos α,sin α)(0≤α<2π),b=,且a與b不共線,求證:向量a+b與a-b垂直.
[素養小結]
利用坐標表示把向量垂直條件代數化,使判定方法更加簡捷,運算更直接.
1.[2023·合肥高一期中] 若向量a=(1,0),b=(2,1),則向量a在向量b上的投影為 (　 )
A. B.
C. D.(4,2)
2.[2024·湖北武漢高一期中] 已知x>0,向量a=(x,2),b=(-2,1),且(a+b)⊥(a-b),則cos= (　 )
A. B.
C. D.
3.[2023·重慶育才中學高一期中] 在邊長為6的正方形ABCD中,點E為DC的中點,點F在邊BC上且=,則·= (　 )
A.18 B.24
C.30 D.42
4.[2024·北京延慶區高一期末] 向量a=(2,1),b=(1,x),若a⊥b,則x= (　 )
A. B.-C.2 D.-2
5.如圖所示,在平面直角坐標系xOy中,A,B,C,D是正弦函數y=sin x圖象上的四個點,且A,C兩點為圖象的最高點,B,D兩點為圖象的最低點,則(+)·(+)=　　　　.
6.[2024·北京東城區高一期末] 設向量a=(1,m),b=(3,-4),且a·b=|a||b|,則m=　　　　. 8.1.3　向量數量積的坐標運算
1.C　[解析] 若a∥b,則x2=4,解得x=±2.若向量a與b的夾角為銳角,則a·b>0且cos≠1,所以4x+x>0且x≠2,解得x∈(0,2)∪(2,+∞).故“x>0”是“向量a與b的夾角為銳角”的必要不充分條件.故選C.
2.A　[解析] 由已知得2a+b=(4,2m-1),因為(2a+b)⊥b,所以(2a+b)·b=0,即8-(2m-1)=0,解得m=.故選A.
3.B　[解析] 由題意可得,|a|==3,|b|=1,設=θ,則a b=|a|2-a·b=|a|2-|a|·|b|cos θ=9-3cos θ,又θ∈[0,π],所以cos θ∈[-1,1],所以a b∈[6,12].故選B.
4.B　[解析] 由a=(-1,2),b=(3,2),得a+b=(2,4),a-b=(-4,0),故a+b在a-b上的投影的數量為===-2.故選B.
5.B　[解析] 因為|a+b|=|a-b|,所以(a+b)2=(a-b)2,即a2+b2+2a·b=a2+b2-2a·b,所以a·b=0,即m+6=0,解得m=-6.故選B.
6.B　[解析] 因為a=(-1,1),b=(-3,4),所以a-b=(2,-3),|a|=,|a-b|=,所以cos===-.故選B.
7.C　[解析] 如圖所示,以B為坐標原點,以直線BC為x軸,過點B且垂直于BC的直線為y軸,建立平面直角坐標系,則B(0,0),C(2,0).由∠PBC=,得P(,1),所以=(,1),=(-2,1),所以·=×(-2)+1×1=4-2.故選C.
8.ABD　[解析] 對于A,因為=(1,2),=(-2,-4),所以-2=,所以∥,故A正確;對于B,=(1,2),=(2,-1),則||=,||=,所以||=||,故B正確;對于C,=(1,2),=(-3,-6),則·=1×(-3)+2×(-6)=-15≠0,故C錯誤;對于D,=(2,-1),=(-3,-6),則·=2×(-3)-1×(-6)=0,所以⊥,故D正確.故選ABD.
9.ACD　[解析] 對于A選項,若a∥b,則mq-np=0,所以a☉b=0,故A選項正確;對于B選項,a☉b=mq-np,b☉a=pn-qm,顯然a☉b=-(b☉a),故B選項錯誤;對于C選項,因為(λa)☉b=(λm,λn)☉(p,q)=λmq-λnp,λ(a☉b)=λ(mq-np)=λmq-λnp,所以(λa)☉b=λ(a☉b),故C選項正確;對于D選項,(a☉b)2+(a·b)2=(mq-np)2+(mp+nq)2=(m2+n2)(p2+q2)=|a|2|b|2,故D選項正確.故選ACD.
10.或　[解析] 易知b=(3,-4)是與a垂直的向量,因為|b|=5,所以與a垂直的單位向量為b=或-b=.
11.(1,)(答案不唯一)　[解析] 因為=,所以c與+共線,即c與a+b共線,故c=k(k≠0),當k=2時,c=(1,).(答案不唯一)
12.-1　-2　[解析] 連接AC,BD,設AC與BD交于點O,以O為原點,建立如圖所示的平面直角坐標系,則A(0,-1),B(,0),C(0,1),D(-,0),=(0,2).因為=(+),所以P為AB的中點,所以P,所以=,所以·=×0+×2=-1.設Q(x,y),則=,=(-x,1-y),=(--x,-y),所以+=(--2x,1-2y),所以·(+)=(--2x)+(1-2y)=2(x2+y2)-2≥-2,當且僅當x=y=0時取等號.
13.解:(1)由a+b=(,1),得|a+b|==2,
則|a+b|2=(a+b)2=a2+b2+2a·b=4,
而|a|=1,|b|=,所以a·b=0,
所以|a-b|===2.
(2)顯然(a+b)·(a-b)=a2-b2=1-3=-2,
則cos θ===-,又θ∈[0,π],所以θ=,所以a+b與a-b的夾角為.
14.解:(1)依題意得A(4,0),設B(x1,y1),C(x2,y2),
則x1=4+||cos(180°-∠OAB)=4+2cos 60°=5,
y1=||sin(180°-∠OAB)=2sin 60°=,x2=x1-||cos(∠OAB+∠ABC-180°)=5-4cos 60°=3,y2=||sin(∠OAB+∠ABC-180°)+y1=4sin 60°+=3,所以B(5,),C(3,3),
所以=(5,),=(3,3).
(2)由(1)可得=(-2,2),=(4,0).
設向量與向量的夾角為θ,
則cos θ===-,
因為0°≤θ≤180°,所以θ=120°,
所以向量與向量的夾角為120°.
(3)由(1)可得=(-2,2),=(4,0),
所以向量在向量上的投影的數量為==-2,
所以在向量上的投影的坐標為×=-2××(4,0)=(-2,0).
15.BCD　[解析] 對于A,因為sA·sB=(4,3)·(-1,2)=-4+6=2≠0,所以sA與sB不垂直,故A錯誤;對于B,由兩點間距離公式可得兩個粒子的距離為=,故B正確;對于C,在該時刻,粒子B相對于A的位移s=sB-sA=(-5,-1),故C正確;對于D,sA在sB上的投影為==,故D正確.故選BCD.
16.解:(1)設=(x,y).
∵點Q在直線OP上,∴∥,
又=(2,1),∴x-2y=0,即=(2y,y).
又=-=(1-2y,7-y),=-=(5-2y,1-y),∴·=5y2-20y+12=5(y-2)2-8,
∴當y=2時,·取得最小值-8,此時的坐標為(4,2).
(2)由(1)可知=(-3,5),=(1,-1),·=-8,故cos∠AQB=cos<,>===-.8.1.3　向量數量積的坐標運算
一、選擇題
1.已知向量a=(x,1),b=(4,x),則“x>0”是“向量a與b的夾角為銳角”的 (　 )
A.充要條件
B.充分不必要條件
C.必要不充分條件
D.既不充分也不必要條件
2.已知向量a=(1,m),b=(2,-1),且(2a+b)⊥b,則實數m= (　 )
A. B.- C.4 D.-4
3.[2024·湖南常德一中高一月考] 定義a b=|a|2-a·b.若向量a=(1,2),向量b為單位向量,則a b的取值范圍是 (　 )
A.[0,6] B.[6,12]
C.[0,6) D.(-1,5)
4.[2024·四川成都高一期中] 已知向量a=(-1,2),b=(3,2),則a+b在a-b上的投影的數量為 (　 )
A.4 B.-2 C.2 D.-4
5.[2024·黑龍江哈爾濱三中高一期末] 若|a+b|=|a-b|,a=(1,2),b=(m,3),則實數m= (　 )
A.6 B.-6 C.3 D.-3
6.已知向量a=(-1,1),b=(-3,4),則cos= (　 )
A. B.-
C. D.-
7.[2023·合肥高一期中] 勒洛三角形是一種典型的定寬圖形,以等邊三角形每個頂點為圓心,以邊長為半徑,在另兩個頂點間作一段圓弧,三段圓弧圍成的曲邊三角形就是勒洛三角形.在如圖所示的勒洛三角形中,已知AB=2,P為弧AC上的一點,且∠PBC=,則·的值為 (　 )
A.4- B.4+
C.4-2 D.4+2
8.(多選題)已知點A(1,-2),B(2,0),C(3,-3),D(-1,-6),則 (　 )
A.∥ B.||=||
C.·=0 D.⊥
9.(多選題)定義平面向量之間的一種運算“☉”如下:對任意的a=(m,n),b=(p,q),都有a☉b=mq-np.下列說法正確的是 (　 )
A.若a與b共線,則a☉b=0
B.a☉b=b☉a
C.對任意的λ∈R,都有(λa)☉b=λ(a☉b)
D.(a☉b)2+(a·b)2=|a|2|b|2
二、填空題
10.已知向量a=(4,3),則與向量a垂直的單位向量的坐標為　　　　　　　.
11.已知向量a=(1,0),b=(-1,).若=,則一個滿足條件的c的坐標為　　　　　.
12.在菱形ABCD中,AB=2,∠ADC=60°,=(+),則·=　　　　;點Q為平面上一點,則·(+)的最小值為　　　　.
三、解答題
13.[2024·江蘇泰州高一期中] 已知|a|=1,|b|=,a+b=(,1),求:
(1)|a-b|的值;
(2)a+b與a-b的夾角θ.
14.如圖,已知O為平面直角坐標系的原點.∠OAB=∠ABC=120°,||=||=2||=4.
(1)求和的坐標;
(2)求向量與向量的夾角;
(3)求向量在向量上的投影的坐標.
15.(多選題)兩個粒子A,B從同一發射源發射出來,在某一時刻,他們的位移分別為sA=(4,3),sB=(-1,2),則 (　 )
A.在該時刻,sA⊥sB
B.在該時刻,兩個粒子的距離為
C.在該時刻,粒子B相對于A的位移為s=(-5,-1)
D.在該時刻,sA在sB上的投影的坐標為
16.已知向量=(1,7),=(5,1),=(2,1),點Q是直線OP上的一個動點.
(1)當·取最小值時,求的坐標;
(2)當點Q滿足(1)時,求cos∠AQB.

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