資源簡介

(共41張PPT)
8.2 三角恒等變換
8.2.2 兩角和與差的正弦、正切
探究點一 利用兩角和與差的正弦、正切
公式化簡與求值
探究點二 給值（式）求值
探究點三 輔助角公式的應用
【學習目標】
1.理解兩角和與差的正弦、正切公式的推導過程；
2.能夠運用兩角和與差的正弦、正切公式解決求值、化簡等問題.
知識點一 兩角和與差的正弦
1.兩角和與差的正弦公式
（1）兩角和的正弦公式： _____________________.
（2）兩角差的正弦公式： _____________________.
2.輔助角公式
_________， 不同時為0)，其中
_______， _______.
【診斷分析】
判斷正誤.（請在括號中打“√”或“×”）
（1）存在 ，，使得 成立．( )
√
（2） .( )
√
（3）函數的最大值為 .( )
√
（4） .( )
√
知識點二 兩角和與差的正切
1.兩角和的正切公式：.
2.兩角差的正切公式：.
【診斷分析】
判斷正誤.（請在括號中打“√”或“×”）
（1）存在 ，，使 成立．( )
√
（2）對任意 ，， 都成立．( )
×
（3）當 ， 的取值使各項都有意義時， ,
,
, .( )
√
（4）已知，則 .( )
√
探究點一 利用兩角和與差的正弦、正切公式化簡與求值
［探索］ _______， _______.
例1（1） [2024·江蘇鹽城五校高一期中]
( )
A. B. C. D.
[解析] .
故選C.
√
（2） _______.
[解析]
.
變式（1） 已知，則 ( )
A. B. C.2 D.3
[解析] ， ，
，
.故選C.
√
（2）（多選題）[2024·山東德州二中高一期末] 下列等式正確的是
( )
A.
B.
C.
D.
√
√
√
[解析] 對于A， ，故A正確；
對于B，
，故B正確；
對于C， ，故C錯誤；
對于D，因為 ，所以
，
則，故D正確.
故選 .
［素養小結］
（1）對于非特殊角的三角函數式，要想利用兩角和與差的正弦
（正切）公式求出具體數值，一般有以下三種途徑：
①化為特殊角的三角函數值；
②化為正負相消的項，消去求值；
③化為分子、分母形式，先約分再求值．
（2）在求值過程的變換中，一定要本著先整體后局部的基本原則，
先整體分析三角函數式的特點，若整體符合三角公式，則整體變形，
否則進行各局部的變換．
（3）公式， 是變形較多的兩個公式，公式中有
， (或，
(或 ,三者中知道其中兩個就可表示或求出第三個．
探究點二 給值（式）求值
例2（1） [2024·四川安寧河聯盟高一期中]已知
， 是第四象限角，則 的值為( )
A. B. C. D.
√
[解析] 因為 ，
所以，則.
因為 是第四象限角，所以 ，
則．
故選D.
（2）[2024·江蘇南通如皋高一期末]已知, ，
則 ( )
A.3 B. C. D.2
[解析] 因為，所以 ，
所以，又，所以 ，
所以，所以 ，
故 .故選A.
√
變式 已知,，且 ， 均為銳角.
（1）求 的值；
解：, ,
.
（2）求 的值.
解：, ，
.
, 均為銳角， ,又 ,
， , .
［素養小結］
（1）當“已知角”有兩個或多個時，“所求角”一般可以表示為其中兩
個“已知角”的和或差的形式．
（2）當“已知角”有一個時，此時應著眼于“所求角”與“已知角”的和
或差的關系，然后應用誘導公式把“所求角”變成“已知角”．
（3）角的拆分方式不唯一，可根據題目合理選擇拆分方式．
提醒：解題時要重視角的范圍對三角函數值的制約，從而恰當、準
確地求出三角函數值．
探究點三 輔助角公式的應用
［探索］ _____________，
_____________， ____________.
例3 設函數 .
（1）求的最小值，并求使取得最小值的 的取值集合；
解：由題知 .
當時，，此時 ，
即，所以使取得最小值的 的取值集合為
．
（2）不畫圖，說明函數的圖象可由函數 的圖象經
過怎樣的變化得到．
解：將 的圖象上所有點的橫坐標不變，縱坐標變為原來的
倍，得到 的圖象.
將的圖象上所有的點向左平移 個單位，得到
的圖象.
變式（1） [2023·廣東深圳中學高一期中]函數
的最小正周期和振幅分別是( )
A. ,1 B. ,2 C. ,1 D. ,2
[解析] ，
所以函數 的最小正周期 ，振幅為1.故選A.
√
（2）[2023·上海浦東新區高一期中] 已知函數 在
上的最大值為2，求實數 的值.
解：當時，的最大值不為2，故 ，故
，其中 ，因為,所以 ，
又函數在上的最大值為2，所以 ，解得 .
當時，， ，此時有最大值2；
當時，， ，此時最大值不為2.
綜上， .
［素養小結］
輔助角公式及其應用
（1）公式形式: 或
.
（2）形式選擇：化為正弦還是余弦，要看具體條件而定，一般要求
變形后角 的系數為正，這樣更有利于研究函數的性質．
1. 的值為( )
A. B. C. D.
[解析] .故選B.
√
2.[2024·浙江寧波高一期末]若 為銳角，，則
( )
A. B. C. D.
[解析] 因為 為銳角，,所以 ，
所以 ，故選A.
√
3.[2024·北京二十二中高一期中]已知, ，則
( )
A.2 B. C. D.
[解析] .故選B.
√
4.若 , 均為銳角,,,則 等于( )
A. B. C.或 D.
[解析] ， 均為銳角,且,
為鈍角.
由,得,
由 ,得,
.
√
5.已知，，則 ( )
A.1 B. C. D.
[解析] ，
則 .故選A.
√
1.公式與 的聯系
四個公式， 雖然形式不同、結構不同，但它們的本質是相
同的，其內在聯系為
，這樣我們只要牢固掌握“中心”公式 的由來及表達方式，也就掌握了其他三個公式．
（2）對于公式， ，可記為“異名相乘，符號同”．
3.兩角和與差的正弦公式中 ， 的特征
， 可以是單個角，也可以是兩個角的和或差，在運用公式時常
將兩角的和或差視為一個整體．
4.應用兩角和與差的正弦公式求值的一般思路
（1）把非特殊角轉化為特殊角的和或差，正用公式直接求值．
（2）在轉化過程中，充分利用誘導公式，構造兩角和或差的正弦公
式的結構形式，然后逆用公式求值．
2.注意公式的結構特征和符號規律
（1）對于公式， ，可記為“同名相乘，符號反”．
5.形如 的三角函數式
公式 (或
將形如
， 不同時為零)的三角函數式收縮為一個角的一種三角函數式．
1.三角函數求值問題
利用兩角和與差的三角函數公式求值時,不能機械地從表面去套公式,
而要變通地從本質上使用公式,即把所求的角分解成某兩個角的和或
差,并且這兩個角的正、余弦函數值或正切值是已知的或可求的,再代
入公式即可求解.
例1 已知，若，則 ( )
A. B. C.或 D.或
[解析] 因為，所以 ，
又，所以 ，
所以，
所以
故選A．
√
2.三角函數式的化簡
化簡的常用方法:①切化弦;②異角化同角,異次化同次,異名化同名;③
活用公式:正用、逆用、變形用;④巧用1的代換等.
例2 [2024·江蘇海門中學高一期中]化簡： ( )
D
A. B. C. D.
[解析] ，
故選D.8.2.2　兩角和與差的正弦、正切
【課前預習】
知識點一
1.(1)sin αcos β+cos αsin β　(2)sin αcos β-cos αsin β
2.　　
診斷分析
(1)√　(2)√　(3)√　(4)√
知識點二
診斷分析
(1)√　(2)×　(3)√　(4)√
【課中探究】
探究點一
探索 　
例1　(1)C　(2)2-　[解析] (1)sin 27°cos 18°+cos 27°sin 18°=sin(27°+18°)=sin 45°=.故選C.
(2)tan 15°=tan(45°-30°)====2-.
變式　(1)C　(2)ABD　[解析] (1)∵α+β=,∴tan(α+β)=1,∴tan α+tan β=1-tan α·tan β,∴(1+tan α)·(1+tan β)=1+tan α+tan β+tan α·tan β=1+1-tan α·tan β+tan α·tan β=2.故選C.
(2)對于A,cos 52°sin 82°-sin 52°sin 8°=cos 52°cos 8°-sin 52°sin 8°=cos(52°+8°)=cos 60°=,故A正確;對于B,cos 15°-sin 15°=2=2(cos 30°cos 15°-sin 30°sin 15°)=2cos 45°=,故B正確;對于C,==tan 30°=,故C錯誤;對于D,因為=tan 60°=,所以tan 32°+tan 28°=-tan 32°tan 28°,則tan 32°+tan 28°+tan 32°tan 28°=,故D正確.故選ABD.
探究點二
例2　(1)D　(2)A　[解析] (1)因為sin(α-β)cos α-cos(α-β)sin α=,所以sin(α-β-α)=-sin β=,則sin β=-.因為β是第四象限角,所以cos β=,則sin=-sin β+cos β=×=.故選D.
(2)因為sin x+cos x=,所以sin=,所以sin=,又x∈,所以x+∈,所以cos==,所以tan=3,故tan=tan=tan=3.故選A.
變式　解:(1)∵tan α=,tan(α+β)=,∴tan β=tan[(α+β)-α]===.
(2)∵tan α=,tan(α+β)=,∴tan(2α+β)=tan[(α+β)+α]===1.
∵α,β均為銳角,∴0<α+β<π,又tan(α+β)=,∴0<α+β<,∴0<2α+β<π,∴2α+β=.
探究點三
探索 sin　2sin　2sin
例3　解:(1)由題知f(x)=sin x+sin xcos+cos xsin=sin x+sin x+cos x=sin x+cos x==sin.當sin=-1時,f(x)min=-,此時x+=+2kπ(k∈Z),即x=+2kπ(k∈Z),所以使f(x)取得最小值的x的取值集合為.
(2)將y=sin x的圖象上所有點的橫坐標不變,縱坐標變為原來的倍,得到y=sin x的圖象.
將y=sin x的圖象上所有的點向左平移個單位,得到f(x)=sin的圖象.
變式　(1)A　[解析] f(x)=sin 2x+cos 2x=sin,所以函數f(x)的最小正周期 T==π,振幅為1.故選A.
(2)解:當a=0時,y=cos x 的最大值不為2,故a≠0,故y=asin x+cos x=sin(x+φ),其中tan φ=,因為x∈,所以x+φ∈,
又函數y=asin x+cos x在上的最大值為2,所以=2,解得a=±.
當a=時,y=2sin,x+∈,此時有最大值2;當a=-時,y=2sin,x+∈,此時最大值不為2.綜上,a=.
【課堂評價】
1.B　[解析] sin 7°cos 37°-sin 83°sin 37°=sin 7°cos 37°-cos 7°sin 37°=sin(7°-37°)=sin(-30°)=-sin 30°=-.故選B.
2.A　[解析] 因為α為銳角,sin α=,所以cos α=,所以sin=sin α+cos α=×+×=,故選A.
3.B　[解析] tan(α-β)=tan===.故選B.
4.B　[解析] ∵α,β均為銳角,且sin α=>sin(α+β)=,∴α+β為鈍角.由sin(α+β)=,得cos(α+β)=-,由sin α=,得cos α=,∴sin β=sin[(α+β)-α]=sin(α+β)cos α-cos(α+β)sin α=×+×=.
5.A　[解析] tan α=tan(α-β+β)===,則tan(2α-β)=tan(α-β+α)===1.故選A.8.2.2　兩角和與差的正弦、正切
【學習目標】
　　1.理解兩角和與差的正弦、正切公式的推導過程;
　　2.能夠運用兩角和與差的正弦、正切公式解決求值、化簡等問題.
◆ 知識點一　兩角和與差的正弦
1.兩角和與差的正弦公式
(1)兩角和的正弦公式:sin(α+β)=　　　　　　　　　.(Sα+β)
(2)兩角差的正弦公式:sin(α-β)=　　　　　　　　　.(Sα-β)
2.輔助角公式
y=asin x+bcos x=　　　　　sin(x+φ)(a,b不同時為0),其中cos φ=　　　　,sin φ=　　　　.
【診斷分析】 判斷正誤.(請在括號中打“√”或“×”)
(1)存在α,β∈R,使得sin(α-β)=sin α-sin β成立. (　 )
(2)sin 54°cos 24°-sin 36°sin 24°=sin 30°. (　 )
(3)函數f(x)=2sin x-cos x的最大值為. (　 )
(4)3sin x-cos x=2sin. (　 )
◆ 知識點二　兩角和與差的正切
1.兩角和的正切公式:tan(α+β)=.(Tα+β)
2.兩角差的正切公式:tan(α-β)=.(Tα-β)
【診斷分析】 判斷正誤.(請在括號中打“√”或“×”)
(1)存在α,β∈R,使tan(α+β)=tan α+tan β成立. (　 )
(2)對任意α,β∈R,tan(α+β)=都成立. (　 )
(3)當α,β的取值使各項都有意義時,=tan(α+β),1-tan αtan β=,tan α+tan β=tan(α+β)(1-tan αtan β),tan αtan βtan(α+β)=tan(α+β)-tan α-tan β. (　 )
(4)已知tan α=2,則tan=-3. (　 )
◆ 探究點一　利用兩角和與差的正弦、正切公
式化簡與求值
[探索] tan=　　　　,tan=　　　　.
例1 (1)[2024·江蘇鹽城五校高一期中] sin 27°cos 18°+cos 27°sin 18°= (　 )
A. B.-
C. D.-
(2)tan 15°=　　　　.
變式 (1)已知 α+β=,則 (1+tan α)·(1+tan β)= (　 )
A. -1 B. -2
C.2 D.3
(2)(多選題)[2024·山東德州二中高一期末] 下列等式正確的是 (　 )
A.cos 52°sin 82°-sin 52°sin 8°=
B.cos 15°-sin 15°=
C.=
D.tan 32°+tan 28°+tan 32°tan 28°=
[素養小結]
(1)對于非特殊角的三角函數式,要想利用兩角和與差的正弦(正切)公式求出具體數值,一般有以下三種途徑:
①化為特殊角的三角函數值;
②化為正負相消的項,消去求值;
③化為分子、分母形式,先約分再求值.
(2)在求值過程的變換中,一定要本著先整體后局部的基本原則,先整體分析三角函數式的特點,若整體符合三角公式,則整體變形,否則進行各局部的變換.
(3)公式Tα+β,Tα-β是變形較多的兩個公式,公式中有tan αtan β,tan α+tan β(或tan α-tan β),tan(α+β)(或tan(α-β)),三者中知道其中兩個就可表示或求出第三個.
◆ 探究點二　給值(式)求值
例2 (1)[2024·四川安寧河聯盟高一期中] 已知sin(α-β)cos α-cos(α-β)sin α=,β是第四象限角,則sin的值為 (　 )
A.- B.- C. D.
(2)[2024·江蘇南通如皋高一期末] 已知x∈,sin x+cos x=,則tan= (　 )
A.3 B.-3 C.- D.2
變式 已知tan α=,tan(α+β)=,且α,β均為銳角.
(1)求tan β的值;
(2)求2α+β的值.
[素養小結]
(1)當“已知角”有兩個或多個時,“所求角”一般可以表示為其中兩個“已知角”的和或差的形式.
(2)當“已知角”有一個時,此時應著眼于“所求角”與“已知角”的和或差的關系,然后應用誘導公式把“所求角”變成“已知角”.
(3)角的拆分方式不唯一,可根據題目合理選擇拆分方式.
提醒:解題時要重視角的范圍對三角函數值的制約,從而恰當、準確地求出三角函數值.
◆ 探究點三　輔助角公式的應用
[探索] sin α±cos α=　　　　　　　,sin α±cos α=　　　　　　　,cos α±sin α=　　　　　　.
例3 設函數f(x)=sin x+sin.
(1)求f(x)的最小值,并求使f(x)取得最小值的x的取值集合;
(2)不畫圖,說明函數y=f(x)的圖象可由函數y=sin x的圖象經過怎樣的變化得到.
變式 (1)[2023·廣東深圳中學高一期中] 函數f(x)=sin 2x+cos 2x 的最小正周期和振幅分別是 (　 )
A. π,1 B. π,2
C. 2π,1 D. 2π,2
(2)[2023·上海浦東新區高一期中] 已知函數y=asin x+cos x在 上的最大值為2,求實數a 的值.
[素養小結]
輔助角公式及其應用
(1)公式形式:asin α+bcos α= sin(α+φ)或asin α+bcos α= cos(α-φ).
(2)形式選擇:化為正弦還是余弦,要看具體條件而定,一般要求變形后角α的系數為正,這樣更有利于研究函數的性質.
1.sin 7°cos 37°-sin 83°sin 37°的值為 (　 )
A.- B.- C. D.
2.[2024·浙江寧波高一期末] 若α為銳角,sin α=,則sin= (　 )
A. B.
C. D.
3.[2024·北京二十二中高一期中] 已知tan α=3,β=,則tan(α-β)= (　 )
A.2 B.
C.- D.-2
4.若α,β均為銳角,sin α=,sin(α+β)=,則sin β等于 (　 )
A. B.
C.或 D.-
5.已知tan(α-β)=,tan β=-,則tan(2α-β)= (　 )
A.1 B.-1
C. D.-8.2.2　兩角和與差的正弦、正切
1.B　[解析] sin 24°cos 36°+sin 66°cos 54°=sin 24°cos 36°+cos 24°sin 36°=sin(24°+36°)=sin 60°=.故選B.
2.A　[解析] 依題意得,tan 60°=tan(23°+37°)==,則tan 23°+tan 37°=(1-tan 23°tan 37°),所以tan 23°+tan 37°+tan 23°tan 37°=(1-tan 23°tan 37°)+tan 23°tan 37°=.故選A.
3.D　[解析] 因為α∈,所以α+∈,又因為sin=,所以cos=-,所以sin α=sin=sincos-cossin=×-×=.故選D.
4.A　[解析] 因為sin A+cos B=,cos A+sin B=1,所以(sin A+cos B)2=,(cos A+sin B)2=1,即sin2A+2sin Acos B+cos2B=,cos2A+2cos Asin B+sin2B=1,兩式相加可得2+2(sin Acos B+sin Bcos A)=+1,所以sin(A+B)=-.故選A.
5.B　[解析] 因為tan α,tan β是方程3x2+5x-7=0的兩個實根,所以則=====.故選B.
6.D　[解析] 因為α+β=,所以tan(α+β)==-1,可得tan αtan β-(tan α+tan β)=1,所以(1-tan α)(1-tan β)=tan αtan β-(tan α+tan β)+1=2.故選D.
7.B　[解析] 因為0<β<α<,所以0<α-β<.因為sin(α-β)=,所以cos(α-β)==,因為2=tan α-tan β=-==,所以cos αcos β=.因為cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β=+sin αsin β=,所以sin αsin β=.故選B.
8.ABC　[解析] f(x)=cos ωx-sin=cos ωx-sin ωxcos-cos ωxsin=cos ωx-sin ωx=cos.若x∈[0,π],則ωx+∈,因為f(x)在[0,π]上的取值范圍為,所以π≤ωπ+≤,所以≤ω≤,所以ω的取值范圍為.故選ABC.
9.ACD　[解析] f(x)=sin x+cos x+=sin+.令2kπ-≤x+≤2kπ+,k∈Z,可得2kπ-≤x≤2kπ+,k∈Z.當k=0時,函數f(x)在上單調遞增.又 , ,所以C,D滿足題意.當k=1時,函數f(x)在上單調遞增,所以A滿足題意.顯然B不滿足題意.故選ACD.
10.4　[解析] 因為(4tan A+1)(1-4tan B)=17,所以tan A-tan B=4(1+tan A·tan B),所以tan(A-B)==4.
11.-8-5　[解析] 由sin=2sin,得sin=2sin=2cos,所以tan=2,則tan θ=tan==-8-5.
12.　[解析] ∵α,β為三角形的兩個內角,且cos α=<,∴>α>,則sin α==.∵sin(α+β)=<,α+β>α>,∴π>α+β>,則cos(α+β)=-=-,∴sin β=sin[(α+β)-α]=sin(α+β)cos α-cos(α+β)sin α=×+×=,∵α>,α+β<π,∴β=.
[點撥] 當已知某角的三角函數值時,要結合題意大致判斷角的范圍.
13.解:(1)因為0因為0,所以所以cos(A+B)=-=-,cos(A-B)==,
所以sin 2A=sin[(A+B)+(A-B)]=sin(A+B)cos(A-B)+cos(A+B)sin(A-B)=×-×=.
(2)由得所以==2.
14.解:(1)原式===tan 75°=
tan(45°+30°)===2+.
(2)原式=sin(α+β)cos α-[sin(α+α+β)-sin(α+β-α)]=sin(α+β)cos α-×2sin αcos(α+β)=sin(α+β)cos α-cos(α+β)sin α=sin(α+β-α)=sin β.
15.B　[解析] M=sin 100°-cos 100°==sin(100°-45°)=sin 55°>sin 45°=1,N=(cos 44°cos 78°+cos 46°cos 12°)=(cos 44°sin 12°+sin 44°cos 12°)=sin(44°+12°)=sin 56°>sin 55°=M,P===tan(45°-10°)=tan 35°M>P.故選B.
16.解:(1)由題意知A,P的坐標分別為(1,0),(cos θ,sin θ).
∵=+=(1,0)+(cos θ,sin θ)=(1+cos θ,sin θ),∴·=(1,0)·(1+cos θ,sin θ)=1+cos θ.
由題意可知S=sin θ,∴·+S=sin θ+cos θ+1=sin+1(0<θ<π),
則θ+∈,故當θ+=,
即θ=時,sin=1,
故·+S的最大值為+1,θ0=.
(2)∵B,∠AOB=α,∴tan α=-,
∴tan(α+θ0)=tan===-.8.2.2　兩角和與差的正弦、正切
一、選擇題
1.[2024·江蘇海門中學高一月考] sin 24°cos 36°+sin 66°cos 54°=(　 )
A.- B.
C.- D.
2.[2024·江蘇鹽城五校高一期中] tan 23°+tan 37°+tan 23°tan 37°= (　 )
A. B.-
C. D.-
3.[2024·江蘇連云港高級中學高一期中] 已知α∈,sin=,則sin α的值為 (　 )
A. B.
C. D.
4.[2024·浙江杭州學軍中學高一月考] 已知sin A+cos B=,cos A+sin B=1,則sin(A+B)= (　 )
A.- B.
C.- D.
5.若tan α,tan β是方程3x2+5x-7=0的兩個根,則= (　 )
A. B.
C.- D.-
6.已知α+β=,則(1-tan α)(1-tan β)= (　 )
A.-1 B.1
C.-2 D.2
7.[2024·江蘇南通如皋中學高一月考] 已知0<β<α<,sin(α-β)=,tan α-tan β=2,則sin αsin β= (　 )
A. B.
C. D.
8.(多選題)[2023·湖北襄陽四中月考] 已知函數f(x)=cos ωx-sin(ω>0),若f(x)在[0,π]上的取值范圍為,則ω的值可能為 (　 )
A. B.
C.1 D.2
9.(多選題)已知函數f(x)=sin x+cos x+,則f(x)在下列區間上單調遞增的是 (　 )
A. B.
C. D.
二、填空題
10.[2023·上海交大附中高一期末] 已知(4tan A+1)(1-4tan B)=17,則tan(A-B)=　　　　.
11.若sin=2sin,則tan θ=　　　　.
★12.已知α,β為三角形的兩個內角,cos α=,sin(α+β)=,則β=　　　　.
三、解答題
13.在銳角三角形ABC中,sin(A+B)=,sin(A-B)=.
(1)計算sin 2A的值;
(2)求的值.
14.化簡下列各式:
(1);
(2)sin(α+β)cos α-[sin(2α+β)-sin β].
15.已知M=sin 100°-cos 100°,N=(cos 44°cos 78°+cos 46°cos 12°),P=,則M,N,P的大小關系是 (　 )
A.MC.N16.[2024·上海格致中學高一期中] 如圖,點A是單位圓與x軸正半軸的交點,點P在單位圓上,∠AOP=θ(0<θ<π),=+,四邊形OAQP的面積為S.
(1)當θ=θ0時,·+S取得最大值,求·+S的最大值及θ0;
(2)設點B的坐標為,∠AOB=α,求tan(α+θ0)的值.

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