資源簡介

(共41張PPT)
8.2 三角恒等變換
8.2.3 倍角公式
探究點一 利用倍角公式求值
探究點二 利用倍角公式化簡與證明
探究點三 應用二倍角公式求解三角函數
性質問題
【學習目標】
1.能利用兩角和的正弦、余弦、正切公式推導證明倍角公式；
2.掌握倍角公式及其變形,能利用公式解決簡單三角函數式的求
值、化簡和運算問題.
知識點一 二倍角公式
____________.
__________________________ ___________.
________.
【診斷分析】
1.判斷正誤.（請在括號中打“√”或“×”）
（1），中的角 是任意的，但要使 有意義，需要
.( )
√
（2）存在角 ，使得 成立．( )
√
（3）對于任意的角 ， 都不成立．( )
×
（4） .
( )
√
2.倍角公式中的“倍角”僅是指 與 嗎？
解：不是.倍角公式不僅可運用于 作為 的二倍的情況，
還可運用于 作為 的二倍， 作為的二倍， 作為 的二倍，
作為 的二倍等情況．
知識點二 二倍角公式的變形
1.公式的逆用
_______, ________,
_______, _______.
2.二倍角公式的重要變形
升冪公式:
________, ________,
________, ________.
降冪公式:
_____________, _____________.
探究點一 利用倍角公式求值
［探索］ 不查表求值： ___.
[解析] 原式 .
例1（1） [2024·山西長治上黨區一中高一期中]已知 ，則
( )
A. B.4 C. D.2
[解析] 因為，所以 ，
所以 ．故選D.
√
（2）已知，且，則 ( )
A. B. C. D.
√
[解析] 由 可得，
即 ，又，所以，，
則 ，故，
因為 ，所以.又，
所以， ，則，
故 .故選C.
變式（1） [2024·福建福州五校高一期中]已知
，則 ( )
A. B. C. D.
[解析] 因為，
所以 ，故 ，故選A.
√
（2）[2024·湖南長沙雅禮中學高一期中]已知 ，
，則 的值為( )
A. B. C.1 D.
[解析] 因為，所以.
由 ，得，
所以 ,則 ，
所以 ，故選A.
√
［素養小結］
對于給角求值問題，一般有兩種解題思路：
（1）直接正用、逆用倍角公式，結合誘導公式和同角三角函數的基
本關系式對已知式子進行轉化，一般可以化為特殊角的三角函數式．
（2）若形式為幾個非特殊角的三角函數式相乘，則一般逆用倍角的
正弦公式，在求解過程中，需利用互余關系配湊出應用倍角公式的
條件，使問題出現可以連用倍角的正弦公式的形式．
探究點二 利用倍角公式化簡與證明
［探索］ 化簡: .
解：原式
.
例2 求證：
（1） ；
證明：左邊
右邊， 原等式成立．
（2） .
解： ，
， 原等式成立．
變式（1） 化簡： .
解：原式
.
（2）求證： .
證明： .
［素養小結］
證明與化簡的原則及一般步驟：
（1）化繁為簡，觀察式子兩端的結構形式，一般是從復雜到簡單，如
果兩端都比較復雜，那么就將兩端都化簡，即采用“兩頭湊”的思想．
（2）變異為同，證明的一般步驟是：先觀察，找出角、函數名稱、
式子結構等方面的差異，然后本著“復角化單角”“異名化同名”“變量
集中”等原則，設法消除差異，達到證明的目的．
拓展 已知 ,,且 ,
,求證: .
證明:由得 .
由得 .
,,,, .
由①②得,即 ,
即,又, .
探究點三 應用二倍角公式求解三角函數性質問題
例3 [2023·云南玉溪一中高一月考] 設函數
.
（1）求 的最小正周期和最小值；
解： ，
所以 的最小正周期為 ，
當 時，有最小值 .
（2）若，求 的單調遞增區間.
解：方法一：
.
由 ， ，
解得 ， ，
所以的單調遞增區間為 ， .
方法二：由 ， ，
解得 ， ，
所以的單調遞減區間為 ， .
由 ， ，
可得 ， ，
所以的單調遞增區間為 ， .
變式 [2024·山東德州高一期中] 已知 ，
， .
（1）若,求 的值；
解：因為，， ，
所以，即 ，
所以 .
（2）求 的單調遞增區間；
解：因為， ，
所以 .
令 , ，
解得 , ，
所以的單調遞增區間為， .
（3）當時，求 的取值范圍.
解：當時，，易知在 上單調遞增，
在 上單調遞減.
當時， ；當時， ；
當時， .
所以當時， ，
所以 ，
故當時，的取值范圍為 .
［素養小結］
利用公式研究三角函數性質的思路
要研究三角函數的性質，需將所給函數式利用和（差）角公式和二
倍角公式化為 (或
的形式，進而依據(或
的性質對所求函數進行性質研究．
1.[2024·江蘇鹽城響水中學高一期中]下列各式中值為 的是( )
A. B.
C. D.
[解析] ，故A錯誤；
，故B正確；
，故C錯誤；
，故D錯誤.故選B.
√
2.[2024·四川安寧河聯盟高一期中]已知,則
( )
A. B. C. D.
[解析] 因為,所以 .故選D.
√
3.[2023·北京四中高一期中]設 ，
， ，則( )
A. B. C. D.
[解析] ，
，
又 ，所以 .故選D.
√
4.[2023·河南安陽高一期中] 已知 ，則 ____．
[解析] 因為 ，所以 ，
則，所以 ，
因為 ， ，
所以 .
5.[2024·云南昆明高一期末] 已知，，則
_______．
[解析] 由，，得 ，
則，故 .
倍角公式中的“倍角”的相對性：對于兩個角的比值等于2的情況都成
立，如 是 的2倍， 是 的2倍，這就是說，“倍”是相對而
言的，是描述兩個數量之間的關系的．
前提：所含各三角函數有意義．
.與二倍角有關的求值問題
正確處理角的倍角關系是求三角函數值的關鍵,在解決這種題型時,要
正確處理角的倍半關系，如 是 的二倍角, 是 的二倍角,
是的二倍角, 是 的二倍角.同時要把已知角與所求角
對比起來,適當實施角的變換、冪的變換及結構的變換,既要結合已知
條件,又要增強目標意識,靈活運用所學的各種公式.
例1 [2024·重慶四川外國語大學附屬外國語學校高一期中] 已知
，則 ( )
A. B. C. D.
[解析] ，
故，則，
故 .故選D.
√
2.用倍角公式化簡與證明
切化弦， 的變形)，降冪與升冪是三角變形中的
常用技巧.通分、配方、因式分解是三角變形中常用的代數變形技巧.
例2 化簡： .
解： 原式
.
，，, ,
原式 .
3.求解三角函數性質問題
在解決此類問題時，通常借助二倍角公式，將原函數化為一次并只
包含某個角的正弦或余弦的形式.
例3 [2024·河北滄州高一期末]已知函數
在區間上有且僅有3個零點，則實數 的取值范圍是( )
A. B. C. D.
√
[解析] 由可得 .
令，即 ，
則 ,,所以,或, ，
故函數的正零點從小到大排列為,,,,, ，
要使在區間上有且僅有3個零點，需要滿足且 ，
解得 ，故選C.8.2.3　倍角公式
【課前預習】
知識點一
2sin αcos α　cos2α-sin2α　2cos2α-1　1-2sin2α
診斷分析
1.(1)√　(2)√　(3)×　(4)√
2.解:不是.倍角公式不僅可運用于2α作為α的二倍的情況,還可運用于4α作為2α的二倍,α作為的二倍,3α作為的二倍,α+β作為的二倍等情況.
知識點二
1.sin 2α　sin 2α　cos 2α　tan 2α
2.2cos2α　2sin2α　2cos2　2sin2　(1+cos 2α)
(1-cos 2α)
【課中探究】
探究點一
探索 　[解析] 原式====×=.
例1　(1)D　(2)C　[解析] (1)因為tan=,所以tan α===2,所以==tan α=2.故選D.
(2)由sin α+cos α=可得(sin α+cos α)2=1+2sin αcos α=,即sin αcos α=-,又α∈(0,π),所以sin α>0,cos α<0,則α∈,故(sin α-cos α)2=1-2sin αcos α=,因為α∈,所以sin α-cos α=.又sin α+cos α=,所以sin α=,cos α=-,則tan α=-,故tan 2α===.故選C.
變式　(1)A　(2)A　[解析] (1)因為tansin=××(cos α-sin α)=×(cos α-sin α)=(cos α-sin α)=(cos α+sin α)=1,所以3(cos α+sin α)2=3(1+sin 2α)=1,故sin 2α=-,故選A.
(2)因為α∈,所以cos α>0.由2sin 2α=cos 2α+1,得4sin αcos α=2cos2α-1+1,所以cos α=2sin α,則tan α=,所以tan 2α==,故選A.
探究點二
探索 解:原式====tan θ.
例2　證明:(1)左邊=sin θ(1+2cos2θ-1)=2sin θcos θcos θ=sin 2θcos θ=右邊,∴原等式成立.
(2)=tan(α+β-α)=tan β,
===tan β,∴原等式成立.
變式　解:(1)原式======1.
(2)證明:·=·=·==tan 2α.
拓展　證明:由3sin2α+2sin2β=1得3sin2α=1-2sin2β=cos 2β ①.由sin 2α-sin 2β=0得3sin αcos α=sin 2β②.
∵α,β∈,∴cos α≠0,sin α≠0,sin 2β≠0.
由①②得=,即cos αcos 2β-sin αsin 2β=0,
即cos(α+2β)=0,又0<α+2β<,∴α+2β=.
探究點三
例3　解:(1)f(x)=2cos2x+(sin x-cos x)2-1=2cos2x-2sin xcos x=cos 2x+-sin 2x=2cos+,所以 f(x) 的最小正周期為 =π,
當 cos=-1 時,f(x)有最小值 -2.
(2)方法一: g(x)=f=2cos+ =2cos+ =2cos+=-2sin+.
由+2kπ≤x-≤+2kπ,k∈Z,解得+2kπ≤x≤+2kπ,k∈Z,
所以g(x)的單調遞增區間為 ,k∈Z.
方法二:由2kπ≤2x+≤π+2kπ,k∈Z,解得-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z,
所以 f(x) 的單調遞減區間為 ,k∈Z .
由-+kπ≤π-x≤+kπ,k∈Z,可得 -2kπ≤x≤-2kπ,k∈Z,
所以 g(x) 的單調遞增區間為 ,k∈Z .
變式　解:(1)因為a=(cos x,1),b=(sin x,-1),a∥b,
所以cos x×(-1)=sin x,即tan x=-,所以cos 2x===-.
(2)因為a=(cos x,1),b=(sin x,-1),所以f(x)=(cos x+sin x,0)·(cos x,1)-=(cos x+sin x)×cos x-=3cos2x+sin xcos x-=3×+sin 2x-=sin 2x+cos 2x+1=sin+1.令-+2kπ≤2x+≤+2kπ,k∈Z,解得-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z,
所以f(x)的單調遞增區間為,k∈Z.
(3)當x∈時,2x+∈,易知y=sin x在上單調遞增,在上單調遞減.
當2x+=時,sin=-;
當2x+=時,sin=1;
當2x+=時,sin=.
所以當x∈時,sin∈,
所以sin+1∈,
故當x∈時,f(x)的取值范圍為.
【課堂評價】
1.B　[解析] 2sin 15°cos 15°=sin 30°=,故A錯誤;cos215°-sin215°=cos 30°=,故B正確;2sin215°-1=-cos 30°=-,故C錯誤;sin215°+cos215°=1,故D錯誤.故選B.
2.D　[解析] 因為cos α=-,所以cos 2α=2cos2α-1=-.故選D.
3.D　[解析] b=sin 59°-cos 59°=sin(59°-30°)=sin 29°,c=2cos231°-1=cos 62°=sin 28°,又 sin 28°4.- 　[解析] 因為 sin=,所以 =,則sin α+cos α=,所以sin2α+cos2α+2sin αcos α=,因為 sin2α+cos2α=1,2sin αcos α=sin 2α,所以 sin 2α=-1=-.
5.-2　[解析] 由cos α=,α∈,得sin α==,則tan α==,故tan 2α===-2.8.2.3　倍角公式
【學習目標】
　　1.能利用兩角和的正弦、余弦、正切公式推導證明倍角公式;
　　2.掌握倍角公式及其變形,能利用公式解決簡單三角函數式的求值、化簡和運算問題.
◆ 知識點一　二倍角公式
S2α:sin 2α=　　　　　　.
C2α:cos 2α=　　　　　　=　　　　　　=　　　　　.
T2α:tan 2α=　　　　　　.
【診斷分析】 1.判斷正誤.(請在括號中打“√”或“×”)
(1)S2α,C2α中的角α是任意的,但要使T2α有意義,需要α≠+(k∈Z). (　 )
(2)存在角α,使得sin 2α=2sin α成立. (　 )
(3)對于任意的角α,cos 2α=2cos α都不成立.(　 )
(4)cos 4α=cos22α-sin22α=2cos22α-1=1-2sin22α. (　 )
2.倍角公式中的“倍角”僅是指α與2α嗎
◆ 知識點二　二倍角公式的變形
1.公式的逆用
2sin αcos α=　　　　,sin αcos α= 　　　　,
cos2α-sin2α=　　　　,=　　　　.
2.二倍角公式的重要變形
升冪公式:
1+cos 2α=　　　　,1-cos 2α=　　　　,
1+cos α=　　　　,1-cos α=　　　　.
降冪公式:
cos2α=　　　　　　,sin2α=　　　　　　.
◆ 探究點一　利用倍角公式求值
[探索] 不查表求值:=　　　　.
例1 (1)[2024·山西長治上黨區一中高一期中] 已知tan=,則= (　 )
A.2 B.4
C. D.2
(2)已知α∈(0,π),且sin α+cos α=,則tan 2α= (　 )
A. B.-
C. D.-
變式 (1)[2024·福建福州五校高一期中] 已知tansin=1,則sin 2α= (　 )
A.- B.-
C. D.
(2)[2024·湖南長沙雅禮中學高一期中] 已知α∈,2sin 2α=cos 2α+1,則tan 2α的值為 (　 )
A. B. C.1 D.
[素養小結]
對于給角求值問題,一般有兩種解題思路:
(1)直接正用、逆用倍角公式,結合誘導公式和同角三角函數的基本關系式對已知式子進行轉化,一般可以化為特殊角的三角函數式.
(2)若形式為幾個非特殊角的三角函數式相乘,則一般逆用倍角的正弦公式,在求解過程中,需利用互余關系配湊出應用倍角公式的條件,使問題出現可以連用倍角的正弦公式的形式.
◆ 探究點二　利用倍角公式化簡與證明
[探索] 化簡:.
例2 求證:
(1)sin θ(1+cos 2θ)=sin 2θcos θ;
(2)=.
變式 (1)化簡:.
(2)求證:·=tan 2α.
[素養小結]
證明與化簡的原則及一般步驟:
(1)化繁為簡,觀察式子兩端的結構形式,一般是從復雜到簡單,如果兩端都比較復雜,那么就將兩端都化簡,即采用“兩頭湊”的思想.
(2)變異為同,證明的一般步驟是:先觀察,找出角、函數名稱、式子結構等方面的差異,然后本著“復角化單角”“異名化同名”“變量集中”等原則,設法消除差異,達到證明的目的.
拓展 已知α,β∈,且3sin2α+2sin2β=1,sin 2α-sin 2β=0,求證:α+2β=.
◆ 探究點三　應用二倍角公式求解三角函數
性質問題
例3 [2023·云南玉溪一中高一月考] 設函數f(x)=2cos2x+(sin x-cos x)2-1.
(1)求 f(x) 的最小正周期和最小值;
(2)若 g(x)=f,求 g(x) 的單調遞增區間.
變式 [2024·山東德州高一期中] 已知a=(cos x,1),b=(sin x,-1),f(x)=(a+b)·a-.
(1)若a∥b,求cos 2x的值;
(2)求f(x)的單調遞增區間;
(3)當x∈時,求f(x)的取值范圍.
[素養小結]
利用公式研究三角函數性質的思路
要研究三角函數的性質,需將所給函數式利用和(差)角公式和二倍角公式化為f(x)=Asin(ωx+φ)+B(或f(x)=Acos(ωx+φ)+B)的形式,進而依據y=sin x(或y=cos x)的性質對所求函數進行性質研究.
1.[2024·江蘇鹽城響水中學高一期中] 下列各式中值為的是 (　 )
A.2sin 15°cos 15° B.cos215°-sin215°
C.2sin215°-1 D.sin215°+cos215°
2.[2024·四川安寧河聯盟高一期中] 已知cos α=-,則cos 2α= (　 )
A. B. C. D.-
3.[2023·北京四中高一期中] 設 a=sin 30°,b=sin 59°-cos 59°,c=2cos231°-1,則(　 )
A. cC. a4.[2023·河南安陽高一期中] 已知 sin=,則sin 2α=　　　　.
5.[2024·云南昆明高一期末] 已知cos α=,α∈,則tan 2α=　　　　. 8.2.3　倍角公式
1.B　[解析] sin 105°cos 105°=sin 210°=sin(180°+30°)=-sin 30°=-.
2.C　[解析] 因為f(x)=2cos x+cos 2x=2cos x+2cos2x-1=2-,所以當cos x=-時,f(x)取得最小值-.故選C.
3.A　[解析] 由已知可得,tan x-===,所以=,所以tan 2x==-2×=-.故選A.
4.A　[解析] cos 15°cos 60°cos 75°=cos 15°cos 75°=cos 15°sin 15°=sin 30°=.故選A.
5.B　[解析] 因為==2tan α,且tan α=2,所以=4.故選B.
6.D　[解析] 由sin α+2cos α=0得tan α=-2,則cos 2α-sin 2α=cos2α-sin2α-2sin αcos α==
==.故選D.
7.A　[解析] 因為2sin-sin=2cos α-=cos α-sin α=cos=,所以sin=sin=cos=cos 2=2cos2-1=2×-1=-.故選A.
8.BD　[解析] 由題意得,sin α=-,cos α=,故A錯誤;對于B,cos 2α=1-2sin2α=1-2×=-,故B正確;對于C,因為cos α=,sin α=-,所以tan α=-,所以tan 2α===,故C錯誤;對于D,sin 2α=2sin αcos α=2××=-,故D正確.故選BD.
9.ACD　[解析] 由題得函數f(x)=sin2-cos2=-cos,將f(x)的圖象向左平移個單位長度得到g(x)=-cos的圖象,因為g=-1,所以g=-cos=-1,即cos=1,所以-=2kπ,k∈Z,得ω=2+16k,k∈Z,又因為0<ω<18,所以ω=2,所以f(x)=-cos,g(x)=cos.對于A,f(x)+g(x)=-cos+cos=0,故A正確;對于B,f=-cos=-sin 4x,顯然y=f為奇函數,故B不正確;對于C,由g=cos=-sin,得g(x)+g=cos-sin=-=0,故C正確;對于D,因為x∈,所以4x-∈,因為函數y=cos x在上單調遞增,所以g(x)在上單調遞增,故D正確.故選ACD.
10.-　[解析] sin=-cos=-cos=-cos 2=2sin2-1=2×-1=-.
11.　[解析] ∵tan==2,∴tan α=,則sin 2α=2sin αcos α=
===.
12.π　1-　[解析] f(x)=2sin x(sin x+cos x)=2sin2x+2sin xcos x=sin 2x-cos 2x+1=sin+1,所以函數f(x)的最小正周期為=π.當2x-=-+2kπ,k∈Z,即x=-+kπ,k∈Z時,函數f(x)取得最小值,最小值為1-.
13.解:(1)因為tan β=,所以tan 2β====,
所以tan====-.
(2)因為α,β∈,所以α+β∈(0,π),
因為cos(α+β)=>0,所以α+β∈,所以2α+β∈(0,π),
所以sin(α+β)=,tan(α+β)==,
tan 2(α+β)===,則tan(2α+β)=tan[2(α+β)-β]===1,
因為2α+β∈(0,π),所以2α+β=.
[技巧] 給值求角的實質是轉化為“給值求值”,先求角的某一函數值,再求角的范圍,最后確定角.一般地,已知正切函數值,選正切函數;已知正、余弦函數值,選正弦或余弦函數.若角的范圍是,選正、余弦皆可;若角的范圍是(0,π),選余弦較好;若角的范圍是,選正弦較好.
14.解:(1)f(x)=cos+cos2x-sin2x=cos 2x-sin 2x+cos 2x=cos 2x-sin 2x=cos,所以f(x)的最小正周期T==π.
令2x+=kπ,k∈Z,則x=-,k∈Z,
所以f(x)的圖象的對稱軸方程為x=-,k∈Z.
(2)由f(x0)=,得f(x0)=cos=,
即cos=.因為x0∈,所以2x0+∈,
則sin==,
所以cos 2x0=cos=coscos+sinsin=×+×=.
15.　[解析] 以直角邊AC,AB為直徑的半圓的面積分別為×π×=,×π×=,所以==,即=.在Rt△ABC中,tan α=tan∠ABC==,則cos 2α====.
16.解:(1)f(x)=cos2x+sin xcos x-=cos 2x+sin 2x=sin.
(2)由(1)知f(x)=sin.
因為x∈,所以2x+∈,
則f(x)∈.
因為mf(x)<[f(x)]2-1恒成立,所以m因為函數y=t-在(0,+∞)上單調遞增,所以=-=-,所以m<-,
故m的取值范圍為.8.2.3　倍角公式
一、選擇題
1.sin 105°cos 105°的值為 (　 )
A. B.-
C. D.-
2.已知函數f(x)=2cos x+cos 2x,則f(x)的最小值為 (　 )
A.-1 B.-
C.- D.-
3.[2024·江蘇淮陰中學高一月考] 已知tan x-=,則tan 2x= (　 )
A.- B.
C.- D.
4.cos 15°cos 60°cos 75°的值為 (　 )
A. B. -
C. D.-
5.[2024·云南昆明一中高一期中] 已知tan α=2,則= (　 )
A.2 B.4
C.5 D.6
6.已知sin α+2cos α=0,則cos 2α-sin 2α等于 (　 )
A. B.
C. D.
7.[2023·遼寧盤錦遼東灣高中高一月考] 已知2sin-sin=,則sin= (　 )
A.- B.-
C. D.
8.(多選題)[2024·江蘇海門中學高一月考] 已知角α的終邊經過點P(3,-4),則 (　 )
A.sin α=
B.cos 2α=-
C.tan 2α=-
D.sin 2α=-
9.(多選題)[2024·山西大同二中高一月考] 已知函數f(x)=sin2-cos2(0<ω<18),將f(x)的圖象向左平移個單位長度得到函數g(x)的圖象,且g=-1,則 (　 )
A.f(x)+g(x)=0
B.y=f為偶函數
C.g(x)+g=0
D.g(x)在上單調遞增
二、填空題
10.若sin=,則sin=　　　　.
11.已知tan=2,則sin 2α=　　　　.
12.函數f(x)=2sin x(sin x+cos x)(x∈R)的最小正周期為　　　　;該函數的最小值為　　　　.
三、解答題
★13.[2024·江蘇蘇州昆山柏廬高級中學高一月考] 已知cos(α+β)=,tan β=,且α,β∈.
(1)求tan的值;
(2)求2α+β的值.
14.[2024·河北張家口成龍高級中學高一月考] 設函數f(x)=cos+cos2x-sin2x.
(1)求f(x)的最小正周期及其圖象的對稱軸;
(2)若x0∈且f(x0)=,求cos 2x0的值.
15.[2024·上海華東師大第一附中高一期中] 如圖是來自古希臘數學家希波克拉底所研究的幾何圖形,此圖由三個半圓構成,三個半圓的直徑分別為直角三角形ABC的斜邊BC、直角邊AB,AC,已知以直角邊AC,AB為直徑的半圓的面積之比為,記∠ABC=α,則cos 2α=　　　　.
16.已知函數f(x)=cos2x+sin xcos x-.
(1)將f(x)化成f(x)=Asin(ωx+φ)+B的形式;
(2)若對于任意的x∈,mf(x)<[f(x)]2-1恒成立,求m的取值范圍.

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