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(共41張PPT)
8.2 三角恒等變換
8.2.4 三角恒等變換的應用
第1課時 三角函數(shù)式的化簡與求值
探究點一 利用半角公式化簡與求值
探究點二 和差化積與積化和差公式的應用
探究點三 利用和差化積與積化和差公式證明三角恒等式
【學習目標】
1.了解半角公式及其推導過程；
2.能根據(jù)公式和 進行恒等變換,推導出積化和差與和差
化積公式；
3.靈活運用和、差、倍角公式,積化和差與和差化積公式進行相
關計算及化簡、證明.
知識點一 半角公式
__________, _ _________,
_ ________________ _______.
【診斷分析】
半角公式中“ ”號如何選取
解：符號由角 的終邊所在象限決定.
知識點二 和差化積與積化和差公式（不要求記憶）
1.積化和差公式
_________________________;
__________________________;
_________________________;
____________________________.
2.和差化積公式
________________;
________________;
________________;
_________________.
【診斷分析】
不用查表，直接計算求值.
（1） _ __；
[解析]
.
（2） _ ____.
[解析] .
探究點一 利用半角公式化簡與求值
例1（1） [2024·湖南邵陽高一期末]已知 為銳角，若 ，則
( )
A. B. C. D.
[解析] 因為 為銳角，且，所以 ，
所以 .故選A.
√
（2）已知，，則 ( )
A.3 B. C. D.
[解析] 因為，，所以， ，
所以 .故選D.
√
變式（1） [2024·廣州執(zhí)信中學高二月考]已知, 均為鈍角，
，且，則 ( )
A. B. C. D.
√
[解析] ，即
，得.
又因為 ，且A,B均為鈍角，
所以， ，
則，
又A，B均為鈍角，所以 ，所以 .故選C.
（2）[2024·廣東佛山順德區(qū)高一期中] 已知， ，
則 _ ____．
[解析] 由 可知 ，
故 ．
［素養(yǎng)小結］
利用半角公式求值的思路
（1）看角：若已知三角函數(shù)式中的角是待求三角函數(shù)式中角的兩倍，
則求解時常常借助半角公式求解．
（2）明范圍：由于半角公式求值常涉及符號問題，因此求解時務必
依據(jù)角的范圍，求出相應半角的范圍．
（3）選公式：涉及半角公式的正切值時，常選用
，其優(yōu)點是計算時可避免因開方帶來的求角
的范圍問題；涉及半角公式的正、余弦值時，常選用
， .
探究點二 和差化積與積化和差公式的應用
例2（1） 下列四個等式中恒成立的是( )
A.
B.
C.
D.
√
[解析] ，故A正確；
，故B不正確；
，故C不正確；
，故D不正確.故選A.
（2）若，則 ( )
A. B. C. D.
[解析]
.故選B.
√
變式（1） 若 ，則
( )
A. B. C. D.
√
[解析] 方法一：
.故選D.
方法二：因為 ，
所以 ，
即，即 ，
即，即 .
（2）已知,，那么 的值
為____.
[解析] 由，得 .
由，得,
所以 ，所以 .
［素養(yǎng)小結］
積化和差、和差化積公式應用時的注意事項
（1）關鍵是正確選用公式，以便把非特殊角的三角函數(shù)相約或相消，
從而化為特殊角的三角函數(shù)．
（2）根據(jù)實際問題選用公式時，應從以下幾個方面考慮：
①運用公式之后，能否出現(xiàn)特殊角；
②運用公式之后，能否提取公因式，能否約分，能否合并或消項．
拓展 計算 的值.
解：
.
探究點三 利用和差化積與積化和差公式證明三角恒等式
例3 證明下列恒等式：
（1） ；
證明:左邊
右邊，所以原等式成立．
（2） .
解：
.
變式 證明： .
證明：
.
［素養(yǎng)小結］
利用積化和差或和差化積公式證明三角恒等式問題時，首先要觀察
等式兩側的角或函數(shù)名的差異和聯(lián)系，其次要合理應用公式進行化
簡，注意與其他恒等變換公式的綜合應用.
1.已知角 的終邊經(jīng)過點，則 ( )
A. B. C. D.
[解析] 由三角函數(shù)的定義得， ，
所以 .故選A.
√
2.已知,,則 等于( )
A. B. C. D.
[解析] ,, .
√
3. 的值是( )
A. B. C. D.
[解析] 原式
.故選A.
√
4.已知，且，則 ( )
A. B. C. D.
[解析] ，，
，，， ，
.故選D.
√
5.已知，，則_____， ______，
____.
[解析] 因為， ，所以.
因為，所以 ，所以，，，
所以 ，
， .
確定半角的正弦、余弦、正切無理表示式前符號的原則
（1）若沒有給出決定符號的條件，則在根號前保留正負兩個符號．
（2）若給出角 的具體范圍（即某一區(qū)間），則先求 所在范圍，
再根據(jù) 所在范圍選用符號．
第一象限 第一、三象限
第二象限 第一、三象限
第三象限 第二、四象限 -
第四象限 第二、四象限 -
（4）由于及 不含被開方數(shù)，且不涉及
符號問題，所以求解關于 的題目時，使用這兩個公式相對方便，
但需要注意這兩個公式成立的條件.
（3）若給出的角 是某一象限角，則根據(jù)下表決定符號：
1.（1）半角公式實質(zhì)上是倍角公式的逆用變形,它們是用無理式表示
的,根號前面的符號由 對應的原函數(shù)值的符號確定.
（2）半角正切公式除了用無理式表示的形式外,還有兩個不帶根號的
式子,它的好處是回避了“ ”的討論,一般情況下優(yōu)先選用這兩個式子.
例1 已知，，則 等于( )
A. B. C. D.
[解析] 方法一：， ，
.
方法二：，， 的終邊落在第一象限，
的終邊落在第一或第三象限， ，
.故選C.
√
2.萬能公式及其推導
（1）萬能公式
， ，
.
萬能公式的好處在于把角 的三角函數(shù)式轉化為用 表示的式子.
若設，則三角函數(shù)式可轉化為關于 的有理代數(shù)式.
（2）萬能公式的推導
；
；
或
.
例2 [2024·江蘇南京金陵中學高二期中]已知 ，且
，則 ( )
A. B. C. D.
[解析] 方法一：由 ，
得 ，則 ，
由，得，所以 ．
√
方法二：因為，所以 ，
則，所以 ．
方法三：因為，且 ，
所以， ，
所以，
由 ，得，所以 ．故選A.8.2.4　三角恒等變換的應用
第1課時　三角函數(shù)式的化簡與求值
【課前預習】
知識點一
±　±　±　
診斷分析
解:符號由角的終邊所在象限決定.
知識點二
1.[sin(α+β)+sin(α-β)] 　[sin(α+β) - sin(α-β)]
[cos(α+β)+cos(α-β)]
-[cos(α+β) - cos(α-β)]
2.2sincos　2cossin　2coscos
-2sinsin
診斷分析
(1)　(2)　[解析] (1)sin 105°+sin 15°=2sincos=2sin 60°cos 45°=.
(2)sin 37.5°cos 7.5°=[sin(37.5°+7.5°)+sin(37.5°-7.5°)]=(sin 45°+sin 30°)=×=.
【課中探究】
探究點一
例1　(1)A　(2)D　[解析] (1)因為α為銳角,且sin α=,所以cos α==,所以cos2===.故選A.
(2)因為α∈,sin α=-,所以∈,cos α=,所以tan ==-.故選D.
變式　(1)C　(2)　[解析] (1)sin2+cos=+,即=,得sin A=.又因為sin B=,且A,B均為鈍角,所以cos A=-=-,cos B=-=-,則cos(A+B)=cos Acos B-sin Asin B=×-×=,又A,B均為鈍角,所以π(2)由<α<π可知<<,故sin===.
探究點二
例2　(1)A　(2)B　[解析] (1)sin 5θ+sin 3θ=2sin 4θcos θ,故A正確;cos 3θ-cos 5θ=-2sin 4θsin(-θ)=2sin 4θsin θ,故B不正確;sin 3θ-sin 5θ=2cos 4θsin(-θ)=-2cos 4θsin θ,故C不正確;cos 5θ+cos 3θ=2cos 4θcos θ,故D不正確.故選A.
(2)sin(α-β)sin(α+β)=-(cos 2α-cos 2β)=-(2cos2α-1-2cos2β+1)=cos2β-cos2α=-.故選B.
變式　(1)D　(2)　[解析] (1)方法一:cos 2α-cos 2β=-2sin(α+β)·sin(α-β)=-2×=-.故選D.
方法二:因為sin(α+β)sin(α-β)=,所以sin2αcos2β-cos2αsin2β=,即(1-cos2α)cos2β-cos2α(1-cos2β)=,即cos2β-cos2α=,即-=,即cos 2α-cos 2β=-.
(2)由sin α+sin β=,得2sincos=.由cos α+cos β=,得2coscos=,所以tan=,所以tan(α+β)===.
拓展　解:(sin 20°-sin 40°)2+3sin 20°cos 50°=[sin(30°-10°)-sin(30°+10°)]2+3sin 20°cos 50°=3sin210°+sin 70°-=(1-cos 20°)+sin 70°-=-cos 20°+cos 20°-=.
探究點三
例3　證明:(1)左邊=-==
×2coscos=
cos 2Acos 2B=右邊,所以原等式成立.
(2)=====tan.
變式　證明:==
=.
【課堂評價】
1.A　[解析] 由三角函數(shù)的定義得sin α=-,cos α=,所以2cos2+sin α=1+cos α+sin α=1+-=.故選A.
2.A　[解析] ∵α∈,∴∈,∴sin ==.
3.A　[解析] 原式=[sin 90°+sin(-50°)]-[cos 60°-cos(-40°)]=-sin 50°-+cos 40°=.故選A.
4.D　[解析] ∵cos α+cos β=,∴2coscos=,∵α-β=,∴=,∴cos=,∴cos=,∴cos(α+β)=2cos2-1=-.故選D.
5.　-　-4　[解析] 因為sin α=-,π<α<,所以cos α=-=-.因為π<α<,所以<<,所以sin >0,cos <0,tan <0,所以sin ==,cos =-=-,tan =-=-4.8.2.4　三角恒等變換的應用
第1課時　三角函數(shù)式的化簡與求值
【學習目標】
　　1.了解半角公式及其推導過程;
　　2.能根據(jù)公式Sα±β和Cα±β進行恒等變換,推導出積化和差與和差化積公式;
　　3.靈活運用和、差、倍角公式,積化和差與和差化積公式進行相關計算及化簡、證明.
◆ 知識點一　半角公式
sin=　　　　　　,cos=　　　　　　,
tan=　　　　　=　　　　　=　　　　　.
【診斷分析】 半角公式中“±”號如何選取
◆ 知識點二　和差化積與積化和差公式(不要
求記憶)
1.積化和差公式
sin αcos β =　　　　　　　　　　;
cos αsin β =　　　　　　　　　　;
cos αcos β =　　　　　　　　　　;
sin αsin β =　　　　　　　　　　.
2.和差化積公式
sin θ+sin φ=　　　　　　　　　　;
sin θ-sin φ=　　　　　　　　　　;
cos θ+cos φ=　　　　　　　　　　;
cos θ-cos φ=　　　　　　　　　　.
【診斷分析】 不用查表,直接計算求值.
(1)sin 105°+sin 15°=　　　　;
(2)sin 37.5°cos 7.5°=　　　　.
◆ 探究點一　利用半角公式化簡與求值
例1 (1)[2024·湖南邵陽高一期末] 已知α為銳角,若sin α=,則cos2= (　 )
A. B.
C. D.
(2)已知α∈,sin α=-,則tan = (　 )
A.3 B.-3
C. D.-
變式 (1)[2024·廣州執(zhí)信中學高二月考] 已知A,B均為鈍角,sin B=,且sin2+cos=,則A+B= (　 )
A. B.
C. D.
(2)[2024·廣東佛山順德區(qū)高一期中] 已知cos α=-,<α<π,則sin=　　　　.
[素養(yǎng)小結]
利用半角公式求值的思路
(1)看角:若已知三角函數(shù)式中的角是待求三角函數(shù)式中角的兩倍,則求解時常常借助半角公式求解.
(2)明范圍:由于半角公式求值常涉及符號問題,因此求解時務必依據(jù)角的范圍,求出相應半角的范圍.
(3)選公式:涉及半角公式的正切值時,常選用tan==,其優(yōu)點是計算時可避免因開方帶來的求角的范圍問題;涉及半角公式的正、余弦值時,常選用sin2=,cos2=.
◆ 探究點二　和差化積與積化和差公式的應用
例2 (1)下列四個等式中恒成立的是 (　 )
A.sin 5θ+sin 3θ=2sin 4θcos θ
B.cos 3θ-cos 5θ=-2sin 4θsin θ
C.sin 3θ-sin 5θ=-cos 4θcos θ
D.cos 5θ+cos 3θ=2sin 4θcos θ
(2)若cos2α-cos2β=,則sin(α-β)sin(α+β)= (　 )
A. B.- C. D.-
變式 (1)若 sin(α+β)sin(α-β)=,則cos 2α-cos 2β= (　 )
A. B.- C. D.-
(2)已知sin α+sin β=,cos α+cos β=,那么tan(α+β)的值為　　　　.
[素養(yǎng)小結]
積化和差、和差化積公式應用時的注意事項
(1)關鍵是正確選用公式,以便把非特殊角的三角函數(shù)相約或相消,從而化為特殊角的三角函數(shù).
(2)根據(jù)實際問題選用公式時,應從以下幾個方面考慮:
①運用公式之后,能否出現(xiàn)特殊角;
②運用公式之后,能否提取公因式,能否約分,能否合并或消項.
拓展 計算 (sin 20° -sin 40° )2+3sin 20°cos 50° 的值.
◆ 探究點三　利用和差化積與積化和差公式證
明三角恒等式
例3 證明下列恒等式:
(1)cos2(A+B)-sin2(A-B)=cos 2Acos 2B;
(2)=tan.
變式 證明:=.
[素養(yǎng)小結]
利用積化和差或和差化積公式證明三角恒等式問題時,首先要觀察等式兩側的角或函數(shù)名的差異和聯(lián)系,其次要合理應用公式進行化簡,注意與其他恒等變換公式的綜合應用.
1.已知角α的終邊經(jīng)過點P,則2cos2+sin α= (　 )
A. B.
C. D.
2.已知cos α=,α∈,則sin等于 (　 )
A. B.-
C. D.
3.sin 20°cos 70°+sin 10°sin 50°的值是 (　 )
A. B.
C. D.
4.已知α-β=,且cos α+cos β=,則cos(α+β)= (　 )
A. B.-
C. D.-
5.已知sin α=-,π<α<,則sin =　　　　,cos =　　　　,tan =　　　　. 8.2.4　三角恒等變換的應用
第1課時　三角函數(shù)式的化簡與求值
1.D　[解析] 2cossin=sin-sin=sin 4x-sin=sin 4x-.故選D.
2.D　[解析] 由|cos α|=sin,得3cos2α=sin2=,即6cos2α+cos α-1=0,即(3cos α-1)(2cos α+1)=0,解得cos α=或cos α=-.因為α∈,所以cos α=,則sin α===,所以tan α===2.故選D.
3.C　[解析] 由cos(α-β)=得cos αcos β+sin αsin β=,因為sin αsin β=-,所以cos αcos β=,所以cos2α-sin2β=-===cos(α+β)cos(α-β)
=(cos αcos β-sin αsin β)(cos αcos β+sin αsin β)=×=×=.故選C.
4.D　[解析] 原式=4sin 40°-===
===.故選D.
5.A　[解析] ====
==-.故選A.
6.B　[解析] 因為cos2α-cos2β=-=(cos 2α-cos 2β)=-sin(α+β)sin(α-β)=-,所以sin(α+β)sin(α-β)=,又sin(α-β)=,所以sin(α+β)=,所以cos(2α+2β)=1-2sin2(α+β)=1-=,故選B.
7.B　[解析] 由半角公式得tan===,tan====,tan x==,所以tan===.故選B.
8.BC　[解析] 因為sin α+sin β=(cos β-cos α),所以2sincos=,因為α,β∈(0,π),所以∈(0,π),∈,所以sin≠0,則tan=,所以=,故α-β=.故選BC.
9.AC　[解析] 因為cos(α+β)=-,cos 2α=-,α,β為銳角,所以sin(α+β)==,sin 2α==,故A正確;因為sin(α+β)=,所以cos(α-β)=cos[2α-(α+β)]=cos 2αcos(α+β)+sin 2αsin(α+β)=×+×=,故B錯誤;cos αcos β=[cos(α+β)+cos(α-β)]=×=,故C正確;sin αsin β=[cos(α-β)-cos(α+β)]=×=,所以tan αtan β=,故D錯誤.故選AC.
10.-　-　[解析] ∵π<α<π,∴π<2α<3π,∴cos 2α<0,∴cos 2α=-=-.∵π<α<π,∴cos α<0,∴cos α=-=-.
11.-　[解析] ∵α是第三象限角,∴kπ+<12.　[解析] ∵cos θ=-,π<θ<,∴sin θ=-,∴sin2+sincos=+sin θ=+×=.
13.解:(1)sin 15°+sin 105°=2sin cos =2sin 60°cos(-45°)=2××=.
(2)sin 20°+sin 40°-sin 80°=2sin 30°cos 10°-cos 10°=cos 10°-cos 10°=0.
14.解:(1)因為sin=-cos α=,所以cos α=-,
因為α∈,所以sin α=-=-=-,
則sin 2α=2sin αcos α=2××=,cos 2α=2cos2α-1=2×-1=-,
所以sin=sin 2α+cos 2α=×+×=.
(2)方法一:因為α∈,所以∈,則sin>0,cos<0,
所以sin==,cos=-=-,
則tan===-2.
方法二:tan=====-2.
方法三:tan α====,解得tan=或tan=-2,
因為α∈,所以∈,
則tan<0,故tan=-2.
15.B　[解析] 因為∠COB=θ,所以∠CAH=,又tan∠CAH=tan=,sin θ=,cos θ=,AH=AO+OH=CO+OH,所以tan====.故選B.
16.證明:∵A+B+C=180°,∴C=180°-(A+B),則=90°-,
故sin A+sin B+sin C=2sincos+sin(A+B)=2sincos+2sincos=
2sin=2sin×
2coscos=2sin×2coscos=4coscoscos.8.2.4　三角恒等變換的應用
第1課時　三角函數(shù)式的化簡與求值
一、選擇題
1.2cossin= (　 )
A.+cos 4x B.-sin 4x
C.+cos 4x D.-+sin 4x
2.[2024·四川攀枝花高一期末] 若α∈,|cos α|=sin,則tan α= (　 )
A.- B.
C.-2 D.2
3.[2024·浙江金華十校高一期末] 已知cos(α-β)=,sin αsin β=-,則cos2α-sin2β= (　 )
A. B.
C. D.
4.4sin 40°-tan 40°= (　 )
A. B.
C. D.
5.已知tan α=2,則= (　 )
A.- B.
C.- D.
6.已知cos2α-cos2β=-,sin(α-β)=,則cos(2α+2β)= (　 )
A.- B.
C.- D.
7.[2023·山東煙臺高一期中] 設sin 2x=a,cos 2x=b,0A.- B.
C. D.
8.(多選題)[2023·石家莊二十一中高一期中] 若sin α+sin β=(cos β-cos α),且α,β∈(0,π),則下列結論中正確的是 (　 )
A.α-β=- B.α-β=
C.tan= D.tan=-
9.(多選題) 已知cos(α+β)=-,cos 2α=-,其中α,β為銳角,則以下判斷中正確的是 (　 )
A.sin 2α= B.cos(α-β)=
C.cos αcos β= D.tan αtan β=
二、填空題
10.已知sin 2α=,α∈,則cos 2α=　　　　,cos α=　　　　　.
11.若cos α=-,α是第三象限角,則=　　　　.
12.[2024·廣東茂名信宜中學高一期中] 已知cos θ=-,π<θ<,則sin2+sincos=　　　　.
三、解答題
13.利用和差化積公式,求下列各式的值:
(1)sin 15°+sin 105°;
(2)sin 20°+sin 40°-sin 80°.
14.[2024·河北保定高一期中] 已知sin=,α∈.
(1)求sin的值;
(2)求tan的值.
15.[2023·江西南昌十九中高一月考] 數(shù)學里有一種證明方法被稱為無字證明,是指僅用圖象而無需文字解釋就能不證自明的數(shù)學命題,由于這種證明方法的特殊性,無字證明被認為比嚴格的數(shù)學證明更為優(yōu)雅與有條理.如圖,點C為半圓O上一點,CH⊥AB,垂足為H,記∠COB=θ,則由tan∠CAH=可以直接證明的三角函數(shù)公式是 (　 )
A.tan= B.tan=
C.tan= D.tan=
16.已知A+B+C=180°,求證:sin A+sin B+sin C=4coscoscos.

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