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(共47張PPT)
8.2 三角恒等變換
8.2.4 三角恒等變換的應用
第2課時 三角恒等變換公式的應用
探究點一 三角函數性質問題中的恒等變換公式的應用
探究點二 向量問題中的恒等變換公式的應用
探究點三 化簡求值問題中的恒等變換公式的應用
探究點四 證明問題中的恒等變換公式的應用
探究點五 判斷三角形形狀問題中的恒等變換公式的應用
知識點 三角恒等變換
和差角公式 倍角公式
三角 恒等 變換 公式 正弦
余弦
和差角公式 倍角公式
三角 恒等 變換 公式 正切
半角 公式
續表
和差角公式 倍角公式
三角 恒等 變換 公式 引入 輔助 角
續表
和差角公式 倍角公式
三角 恒等 變換 公式 積化 和差
續表
和差角公式 倍角公式
三角 恒等 變換 公式 和差 化積
續表
探究點一 三角函數性質問題中的恒等變換公式的應用
例1 [2024·上海建平中學高二期中] 已知
，其中 為實常數．
（1）求函數 的最小正周期；
解：由已知得 ，
故函數的最小正周期為 ．
（2）若函數的圖象經過點，求該函數在區間 上的最
大值，并求取得最大值時 的值．
解：因為，所以 ，
則 ．
令，因為，所以 ，
所以當，即時， ．
故函數在區間上的最大值為1，此時 .
變式 已知函數 ，
，且 的最大值為1.
（1）求的值，并求 的單調遞增區間；
解： ,
則，所以 .
由 ， ，
得 ， ，
所以的單調遞增區間為， .
（2）在中，內角，，的對邊分別為，， ，若
，且，試判斷 的形狀.
解：由得， ，
則，因為 ，所以 ，
所以，所以 ，
又，所以 ，
化簡得，則 .
因為，所以，所以，所以 ，
所以，故 為直角三角形.
［素養小結］
應用恒等變換解決三角函數性質的一般思路是：（1）把非特殊角轉
化為特殊角的和或差；（2）轉化過程中，充分利用誘導公式，構造
兩角和或差的正弦公式（或余弦公式）的結構形式.
探究點二 向量問題中的恒等變換公式的應用
例2 已知向量，，， ，
，則 的最大值為( )
A.2 B. C. D.1
[解析] 由題意得 ，
，
因為 ，所以當，即時,取得最大值，且最大值為 ，故選B.
√
變式 （多選題）已知向量 ，
,則下列結論正確的有( )
A.若，則
B.存在 ,使得
C.若在上的投影的數量為，則與的夾角為
D.的最大值為
√
√
√
[解析] 對于A，由，解得 ,
由，可得，又 ，所以
，故A正確；
對于B，假設存在 ,使得，則與方向相反，
令， ，可得則，
由正切函數的圖象及, 可知，在內
有解，故B正確；
對于C，由在 上的投影的數量為，
可得 ，
設與的夾角為 ，則 ，
又 ，所以或 ，故C錯誤；
對于D，,其中 ，
又 ，所以的最大值為，故D正確.故選 .
［素養小結］
恒等變換公式在向量問題中的應用主要就是依據向量數量積的坐標
運算得到三角函數式，應用恒等變換公式將三角函數式轉化為
(或 的形式，進而求解.
探究點三 化簡求值問題中的恒等變換公式的應用
例3 已知， .求：
（1） 的值；
解： .
（2） 的值；
解：，，，且 ，
由可得 ，
， .
（3） 的值.
解：原式 .
變式 [2024·上海格致中學高一月考] 已知其中 ,
為常數，且 ．
（1）求 ；
解：由得
兩式相加得 ，
則，即 .
（2）若，，求 ；
解：由（1）知，當，時， .
，
，
， ，
，
.
（3）分別求， ．
解：由（2）知
當時，由可得， ，
則， ；
當時，由可得， ，
則， ；
當且時， ，
，
.
驗證可知，當或時， 與
都成立.
綜上所述，， .
［素養小結］
恒等變換公式在化簡求值問題中的應用主要是利用兩角和與差公式、
半角公式、倍角公式、積化和差公式、和差化積公式將表達式進行
化簡，解題時要結合角與角之間的關系選擇合適的公式化簡計算.
探究點四 證明問題中的恒等變換公式的應用
例4 求證： .
證明:
，得證.
變式 求證：
（1） ；
證明：左邊
右邊，得證.
（2） .
解： ，得證.
［素養小結］
恒等變換公式在證明問題中的應用實質是消除等式兩邊的差異，有
目的地化繁為簡、左右歸一或變更論證．對恒等式的證明，應遵循
化繁為簡的原則，從左邊推到右邊或從右邊推到左邊，也可以用左
右歸一、變更論證等方法．常用定義法、化弦法、化切法、拆項拆
角法、“1”的代換法、公式的變形法等，體現了邏輯推理和數學運算
的核心素養．
探究點五 判斷三角形形狀問題中的恒等變換公式的應用
例5 [2023·浙江金華一中高一月考]已知的內角,, 所對的邊
分別為,,，且，則 是( )
A.直角三角形 B.等邊三角形 C.鈍角三角形 D.銳角三角形
[解析] 依題意得，.
在 中，，即，因此 ，
又，所以，即，
所以 是直角三角形.故選A.
√
變式 在中，若 ，則 是( )
A.等邊三角形 B.等腰三角形 C.無法判斷 D.直角三角形
[解析] 由已知得
， ，
，又 ，， ，
是等腰三角形.故選B.
√
［素養小結］
應用恒等變換公式判斷三角形的形狀主要是應用誘導公式，兩角和
與差的正弦、余弦、正切公式等，將題中的條件都轉化為角的關系，
進而判斷三角形的形狀.
1.已知，則 ( )
A. B. C. D.
[解析] 因為 ，
所以 .故選B.
√
2.[2024·貴州貴陽一中高一月考]已知 ,
，則 的值為( )
A. B. C. D.
[解析] 由, 得
，
，
兩式相除可得 ，
所以 .故選A.
√
3.[2023·四川攀枝花七中月考]已知頂角為 的等腰三角形為“最美
三角形”，“最美三角形”的頂角的余弦值為 ，則“最美三角形”
底角的余弦值為( )
A. B. C. D.
[解析] 由題意得 ，易知“最美三角形”的底角為 ，
則 ．故選B.
√
4.[2024·湖北武漢高一期中]函數 的最
大值為( )
A. B.2 C. D.
[解析] 設，則 .
由 ，
得，故，
當 時，取得最大值 .故選A.
√
5.在中,若,則 ____.
[解析] 在中, ,
.
在具體實施三角恒等變換時,除了要注意運用一般的數學思想方法
（如換元思想、方程思想、化歸思想等）來分析解決問題外,還要注
意下列基本的三角恒等變換思想方法的靈活運用.
1.常值代換
用某些三角函數值或三角函數式來代替三角函數式中的某些常數,代
換后能運用相關公式使化簡得以順利進行.我們把這種代換稱為常值
代換.如前面所講到的“1”的代換就是一種特殊的常值代換.
2.切化弦
當待化簡式中既含有正弦、余弦,又含有正切時,利用同角三角函數的
基本關系式 將正切化為正弦和余弦,這就是“切化弦”的思
想方法,切化弦的好處是減少了三角函數名稱的種類.
3.降冪與升冪
將變形后得到公式:, ,
運用它就是降冪.
反過來,直接運用倍角公式或變形公式就是升冪,如
, .
4.公式的逆用和變形用
靈活逆用和變形用公式可以豐富三角恒等變換的方法.例如: 可變
形為 ;
，其中
實為(或 的逆用.
1.三角函數式的化簡
解決三角函數問題時,要注意“三看”.
（1）看角,把角盡量向特殊角或可計算三角函數值的角轉化.
（2）看名稱,把等式盡量化成同一名稱或相近的名稱,例如把所有的
切都轉化為相應的弦,或把所有的弦轉化為相應的切.
（3）看式子,看式子是否滿足三角函數的公式，如果滿足,那么直接
使用;如果不滿足,那么轉化一下角或轉換一下名稱再使用.
例1 化簡:
.
解：原式
.
2.三角函數綜合題
此類題目的最終目的是求函數的最大（小）值、單調區間、周期等,
所以要利用公式把函數形式變得有利于求這些性質.在進行三角變換
的過程中,往往會用到和、差角的特殊形式,因此對于一些常見輔助角
的變換要熟悉,如 .
例2 [2024·湖北宜昌高一期中] 已知函數
的最大值為 .
（1）求常數的值，并求函數取最大值時相應 的集合；
解： .
當時，函數取到最大值 ，
所以，得 .
令，，解得， ，
所以當函數取最大值時的集合為 .
（2）求函數 的單調遞增區間和其圖象的對稱中心.
解：由（1）得 .
令， ，
得， ，
所以函數的單調遞增區間為， .
令 ，，得， ，
所以函數的圖象的對稱中心為， .第2課時　三角恒等變換公式的應用
【課前預習】
知識點
sin αcos β±cos αsin β　2sin αcos α　cos αcos β sin αsin β
cos2α-sin2α　2cos2α-1　1-2sin2α　
　±　±　±
　　　sin(α+φ)　
[cos(x+y)+cos(x-y)]
-[cos(x+y)-cos(x-y)]
[sin(x+y)+sin(x-y)]　[sin(x+y)-sin(x-y)]
2coscos　-2sinsin
2sincos　2cossin
【課中探究】
探究點一
例1　解:(1)由已知得f(x)=-cos 2x+sin 2x+λ=2sin+λ,故函數f(x)的最小正周期為π.
(2)因為f=1+λ=0,所以λ=-1,則f(x)=2sin-1.
令2x-=t,因為x∈,所以t∈,
所以當2x-=,即x=時,f(x)max=1.
故函數f(x)在區間上的最大值為1,此時x=.
變式　解:(1)f(x)=sin 2xcos+cos 2xsin+sin 2xcos-cos 2xsin+cos 2x-m=sin 2x+cos 2x-m=2sin-m,則f(x)max=2-m=1,所以m=1.
由-+2kπ≤2x+≤+2kπ,k∈Z,得-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z,
所以f(x)的單調遞增區間為,k∈Z.
(2)由f(B)=-1得,2sin-1=-1,
則sin=,因為0又sin A=sin B+sin C,所以sin A=+sin,
化簡得sin A-cos A=,則sin=.
因為0探究點二
例2　B　[解析] 由題意得0<α<,a·b=sin α+sin β=sin α+sin=sin α+cos α+sin α=sin α+cos α=sin,因為<α+<,所以當α+=,即α=時,a·b取得最大值,且最大值為,故選B.
變式　ABD　[解析] 對于A,由a·b=cos β+sin β=0,解得tan β=-,由=1+tan2β=,可得cos2β=,又0≤β≤2π,所以cos β=±,故A正確;對于B,假設存在β,使得|a+b|=|a|-|b|,則a與b方向相反,令a=tb,t<0,可得則tan β=,由正切函數的圖象及cos β<0,sin β<0可知,tan β=在內有解,故B正確;對于C,由b在a上的投影的數量為==,可得|cos β+sin β|=,設a與b的夾角為θ,則cos θ===±,又0≤θ≤π,所以θ=或θ=,故C錯誤;對于D,a·b=cos β+sin β=sin(β+φ),其中tan φ=,又0≤β≤2π,所以a·b的最大值為,故D正確.故選ABD.
探究點三
例3　解:(1)tan===7.
(2)∵α∈,∴cos α<0,sin α>0,且∈,
∴cos>0.由可得cos α=-,
∴cos2===,∴cos=.
(3)原式==tan α-=--=-.
變式　解:(1)由得
兩式相加得2+2cos αcos β+2sin αsin β=a2+b2,
則cos αcos β+sin αsin β=-1,即cos(α-β)=-1.
(2)由(1)知,當b=1,a=0時,cos(α-β)=-1=-.
∵sin α+sin β=sin+sin=sincos+cossin+sincos-cossin=2sincos,
cos α+cos β=cos+cos=coscos-sinsin+coscos+sinsin=2coscos,
∴∴cos≠0,cos=0,
∴cos(α+β)=2cos2-1=-1,
∴cos(α+β)cos(α-β)=(-1)×=.
(3)由(2)知
當a=0時,由a2+b2≠0可得b≠0,∴cos=0,則cos(α+β)=-1,∴sin(α+β)=0;
當b=0時,由a2+b2≠0可得a≠0,∴sin=0,則cos(α+β)=1-2sin2=1,∴sin(α+β)=0;
當a≠0且b≠0時,tan=,
∴cos(α+β)====,
sin(α+β)====.
驗證可知,當a=0或b=0時,cos(α+β)=與sin(α+β)=都成立.
綜上所述,cos(α+β)=,sin(α+β)=.
探究點四
例4　證明:====
,得證.
變式　證明:(1)左邊==
===右邊,得證.
(2)-2sin α+cos2αsin α=(sin α-2sin αcos2α+cos4αsin α)=(1-2cos2α+cos4α)===,得證.
探究點五
例5　A　[解析] 依題意得,2sincos=2coscos.在△ABC中,-<<,即cos>0,因此tan=1,又0<<,所以=,即A+B=,所以△ABC是直角三角形.故選A.
變式　B　[解析] 由已知得[cos(A-B)-cos(A+B)]=sin Asin B=cos2=(1+cos C).∵A+B=π-C,∴cos(A-B)-cos(π-C)=1+cos C,∴cos(A-B)=1,又-π【課堂評價】
1.B　[解析] 因為sin=,所以sin 2α=cos=cos 2=1-2sin2=1-2×=.故選B.
2.A　[解析] 由α=+,β=-得cos α-cos β=-2sinsin=,sin α-sin β=2cossin=-,兩式相除可得tan=,所以tan(α+β)=tan==-4.故選A.
3.B　[解析] 由題意得 cos 36°= ,易知“最美三角形”的底角為 72°,則 cos 72°=2cos236°-1=2×-1= .故選B.
4.A　[解析] 設t=sin x-cos x,則t=sin∈[-,].由t2=sin2x+cos2x-2sin xcos x=1-2sin xcos x,得2sin xcos x=1-t2,故y=t+1-t2=-+,當t=時,y取得最大值.故選A.
5.-　[解析] 在△ABC中,=-,∴sin2+cos 2A=sin2+cos 2A=cos2+cos 2A=+2cos2A-1=+2×-1=+-1=-.第2課時　三角恒等變換公式的應用
◆ 知識點　三角恒等變換
三 角 恒 等 變 換 公 式 和差角公式 倍角公式
正弦 sin(α±β)= 　　　　　　 sin 2α= 　　　　　　
余弦 cos(α±β)= 　　　　　 cos 2α=　　　　　= 　　 　　=　　　 　
正切 tan(α±β)= 　　　　　　 tan 2α= 　　　　　　
半角 公式 sin=　　　　　;cos=　　　　;tan=　　　　　=　　　　　=　　　　　
引入 輔助 角 asin α+bcos α=　 　 =　　　　　 . 特別地:sin A+cos A=sin;sin x+cos x=2sin;sin x+cos x=2sin
積化 和差 cos xcos y=　　　　　　　　; sin xsin y=　　　　　　　　; sin xcos y=　　　　　　　　; cos xsin y=　　　　　　　
和差 化積 cos x+cos y=　　　　　　　　; cos x-cos y=　　　　　　　　; sin x+sin y=　　　　　　　　; sin x-sin y=　　　　　　　
◆ 探究點一　三角函數性質問題中的恒等變換公式的應用
例1 [2024·上海建平中學高二期中] 已知f(x)=sin2x-cos2x+2sin xcos x+λ(x∈R),其中λ為實常數.
(1)求函數f(x)的最小正周期;
(2)若函數f(x)的圖象經過點,求該函數在區間上的最大值,并求取得最大值時x的值.
變式 已知函數f(x)=sin+sin+cos 2x-m,x∈R,且f(x)的最大值為1.
(1)求m的值,并求f(x)的單調遞增區間;
(2)在△ABC中,內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若f(B)=-1,且sin A=sin B+sin C,試判斷△ABC的形狀.
[素養小結]
應用恒等變換解決三角函數性質的一般思路是:(1)把非特殊角轉化為特殊角的和或差;(2)轉化過程中,充分利用誘導公式,構造兩角和或差的正弦公式(或余弦公式)的結構形式.
◆ 探究點二　向量問題中的恒等變換公式的應用
例2 已知向量a=(sin α,1),b=(1,sin β),α>0,β>0,α+β=,則a·b的最大值為 (　 )
A.2 B.
C. D.1
變式 (多選題)已知向量a=(1,),b=(cos β,sin β)(0≤β≤2π),則下列結論正確的有 (　 )
A.若a⊥b,則cos β=±
B.存在β,使得|a+b|=|a|-|b|
C.若b在a上的投影的數量為,則a與b的夾角為
D.a·b的最大值為
[素養小結]
恒等變換公式在向量問題中的應用主要就是依據向量數量積的坐標運算得到三角函數式,應用恒等變換公式將三角函數式轉化為y=Asin(ωx+φ)+B(或y=Acos(ωx+φ)+B)的形式,進而求解.
◆ 探究點三　化簡求值問題中的恒等變換公式的應用
例3 已知tan α=-,α∈.求:
(1)tan的值;
(2)cos的值;
(3)的值.
變式 [2024·上海格致中學高一月考] 已知其中a,b為常數,且a2+b2≠0.
(1)求cos(α-β);
(2)若b=1,a=0,求cos(α+β)cos(α-β);
(3)分別求sin(α+β),cos(α+β).
[素養小結]
恒等變換公式在化簡求值問題中的應用主要是利用兩角和與差公式、半角公式、倍角公式、積化和差公式、和差化積公式將表達式進行化簡,解題時要結合角與角之間的關系選擇合適的公式化簡計算.
◆ 探究點四　證明問題中的恒等變換公式的應用
例4 求證:=.
變式 求證:(1)=;
(2)-2sin α+cos2αsin α=.
[素養小結]
恒等變換公式在證明問題中的應用實質是消除等式兩邊的差異,有目的地化繁為簡、左右歸一或變更論證.對恒等式的證明,應遵循化繁為簡的原則,從左邊推到右邊或從右邊推到左邊,也可以用左右歸一、變更論證等方法.常用定義法、化弦法、化切法、拆項拆角法、“1”的代換法、公式的變形法等,體現了邏輯推理和數學運算的核心素養.
◆ 探究點五　判斷三角形形狀問題中的恒等變換公式的應用
例5 [2023·浙江金華一中高一月考] 已知 △ABC的內角 A,B,C 所對的邊分別為 a,b,c,且sin A+sin B=cos A+cos B,則△ABC是 (　 )
A.直角三角形 B.等邊三角形
C.鈍角三角形 D.銳角三角形
變式 在 △ABC 中,若 sin Asin B=cos2,則 △ABC 是 (　 )
A.等邊三角形 B.等腰三角形
C.無法判斷 D.直角三角形
[素養小結]
應用恒等變換公式判斷三角形的形狀主要是應用誘導公式,兩角和與差的正弦、余弦、正切公式等,將題中的條件都轉化為角的關系,進而判斷三角形的形狀.
1.已知sin=,則sin 2α= (　 )
A. B. C. D.
2.[2024·貴州貴陽一中高一月考] 已知cos α-cos β=,sin α-sin β=-,則tan(α+β)的值為 (　 )
A.-4 B.4
C.-2 D.2
3.[2023·四川攀枝花七中月考] 已知頂角為 36° 的等腰三角形為“最美三角形”,“最美三角形”的頂角的余弦值為 ,則“最美三角形”底角的余弦值為 (　 )
A. B.
C. D.
4.[2024·湖北武漢高一期中] 函數y=sin x-cos x+2sin xcos x的最大值為 (　 )
A. B.2
C. D.1+
5.在△ABC中,若cos A=,則sin2+cos 2A=　　　　. 第2課時　三角恒等變換公式的應用
1.A　[解析] cos 14°cos 16°-cos 76°sin 16°=cos 14°cos 16°-cos(90°-14°)sin 16°=cos 14°cos 16°-sin 14°sin 16°=cos 30°=.故選A.
2.B　[解析] 由題意可得sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β=,所以cos(2α+2β)=1-2sin2(α+β)=1-2×=.故選B.
3.D　[解析] tan α+=+====6.故選D.
4.D　[解析] f(x)=cos(2ωx-ωx)-2sin 2ωxsin ωx=cos(2ωx+ωx)=cos 3ωx,當x∈(0,2π)時,3ωx∈(0,6ωπ),若f(x)在(0,2π)上有最小值沒有最大值,則π<6ωπ≤2π,所以<ω≤.故選D.
5.A　[解析] 因為sin B=sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C,所以sin Acos C+cos Asin C=2cos Asin C,即sin Acos C-cos Asin C=sin(A-C)=0,又A-C∈(-π,π),所以A-C=0,即A=C.故選A.
6.D　[解析] 方法一:因為sin(α+β)sin(α-β)=,所以sin2αcos2β-cos2αsin2β=,即(1-cos2α)cos2β-cos2α(1-cos2β)=,即cos2β-cos2α=,即-=,即cos 2α-cos 2β=-.
方法二:cos 2α-cos 2β=-2sin(α+β)·sin(α-β)=-2×=-.故選D.
7.B　[解析] 因為sin A=cos B>0,所以B為銳角,又sin2A=cos2B,所以1-cos2A=1-sin2B,即cos2A=sin2B,所以=,即tan2A=,所以tan Atan B=±1.當tan Atan B=1時,cos Acos B-sin Asin B=0,即cos(A+B)=0,所以A+B=,不符合題意;當tan Atan B=-1時,tan(A+B)=,所以tan C=tan(π-A-B)=-tan(A+B)=-,所以3tan B+tan C=3tan B-=tan B-tan A=tan B+≥2=,當且僅當tan B=,即tan B=時,等號成立.故選B.
8.BD　[解析] 由題意知f(x)=sin 2x-cos 2x-sin=sin 2x-cos 2x-cos 2x=sin 2x-cos 2x=sin.對于A,函數f(x)的最小正周期T==π,故A不正確.對于B,函數f(x)的最大值為,故B正確.對于C,當x∈時,2x-∈.當2x-∈,即x∈時,函數f(x)單調遞減,當2x-∈,即x∈時,函數f(x)單調遞增,故C不正確.對于D,將函數f(x)=sin的圖象向左平移個單位,得到g(x)=sin=sin=cos 2x的圖象,故D正確.故選BD.
9.AD　[解析] 對于A,cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β,cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β,因為α∈,β∈,所以cos(α-β)-cos(α+β)=2sin αsin β>0,所以cos(α+β)10.　[解析] f(x)=-sin x=-sin xcos x+sin2x=-sin 2x+×=-sin 2x-cos 2x+=-+=-sin+.當x∈時,2x+∈,sin∈,故f(x)∈.
11.-1　[解析] tan 70°·cos 10°(tan 20°-1)=·cos 10°·=·cos 10°·=·cos 10°·2=·cos 10°·2(sin 20°×cos 30°-cos 20°×sin 30°)=·cos 10°·2sin(20°-30°)=-·2cos 10°·sin 10°=-·sin 20°=-1.
12.　[解析] 由已知得f(x)=1+cos 2ωx,由=π,可得2ω=2,則f(x)=1+cos 2x.將函數y=f(x)的圖象上的所有點向右平移個單位長度,得到y=1+cos 2=1+cos的圖象,再將所得的圖象上各點的橫坐標縮短為原來的,得到g(x)=1+cos的圖象.因為x∈,所以4x-∈,所以cos∈,所以y=g(x)在上的取值范圍為.
13.解:(1)f(x)=2asin xcos x+2cos2x+1=asin 2x+cos 2x+2,因為f=asin+cos+2=a-+2=0,所以a=-.
(2)由(1)可得f(x)=-sin 2x+cos 2x+2=2cos+2.
令2kπ≤2x+≤2kπ+π,k∈Z,得kπ-≤x≤kπ+,k∈Z,所以f(x)的單調遞減區間為,k∈Z.
(3)由x∈,可得≤2x+≤,則cos∈,即 2cos+2∈[0,3],
故當x∈時,函數f(x)的取值范圍為[0,3].
14.解:(1)[2sin 50°+sin 10°(1+tan 10°)]=
=
×cos 10°=
2(sin 50°cos 10°+cos 50°sin 10°)=2sin 60°=.
(2)證明:左邊==
===右邊,故原式成立.
(3)因為sinsin=,
所以2sincos=,
即sin=,所以cos 4α=.
2sin2α+tan α--1=-cos 2α+=-,
因為α∈,所以2α∈,所以cos 2α=-=-,tan 2α=-=-,所以-=-= ,故2sin2α+tan α--1=.
15.C　[解析] 由sin αsin=sin αsin=sin αcos=3cos αsin,得tan α=3tan,則tan α=3×=,所以tan2α+2tan α+3=0,則tan α=-,所以cos 2α===-.
[點撥] 二倍角的正弦、余弦、正切均可以用單角的正切進行表示.
16.解:(1)f(x)=2cos x+cos(x+θ)=2cos x+cos xcos θ-sin xsin θ=-sin θsin x+(2+cos θ)cos x,所以函數f(x)的“和諧向量”為ω=(-sin θ,2+cos θ),
則|ω|==.
因為cos θ∈[-1,1],所以4cos θ+5∈[1,9],所以|ω|的取值范圍為[1,3].
(2)設a=(2cos α,2sin α),b=(2cos β,2sin β),
則=λa+μb=(2(λcos α+μcos β),2(λsin α+μsin β)),
所以φ(x)=2(λcos α+μcos β)sin x+2(λsin α+μsin β)cos x=2λ(cos αsin x+sin αcos x)+2μ(cos βsin x+sin βcos x)=2λsin(x+α)+2μsin(x+β)≤2λ+2μ,
當且僅當k1,k2∈Z時取等號,
所以φ(x)的最大值S=2λ+2μ,所以=.第2課時　三角恒等變換公式的應用
一、選擇題
1.[2024·北京一七一中高一期中] cos 14°cos 16°-cos 76°sin 16°的值是(　 )
A. B.
C.- D.-
2.[2024·廣東河源高一期中] 已知cos αsin β=,sin αcos β=,則cos(2α+2β)= (　 )
A. B.
C.- D.
3.已知sin 2α=,則tan α+的值為 (　 )
A.- B.
C. -6 D.6
4.[2024·廣西桂林高一期末] 已知函數f(x)=cos ωx-2sin 2ωxsin ωx(ω>0)在(0,2π)上有最小值沒有最大值,則ω的取值范圍是 (　 )
A. B.
C. D.
5.在△ABC中,若sin B=2cos Asin C,則此三角形為 (　 )
A.等腰三角形
B.直角三角形
C.等腰直角三角形
D.等腰或直角三角形
6.若 sin(α+β)sin(α-β)=,則cos 2α-cos 2β= (　 )
A. B.- C. D.-
7.[2024·江蘇南京高一期末] 在鈍角三角形ABC中,若sin A=cos B,則3tan B+tan C的最小值為 (　 )
A. B.
C. D.4
8.(多選題)已知函數f(x)=sin-2sincos(x∈R),現給出下列四個說法,其中正確的說法是 (　 )
A.函數f(x)的最小正周期為2π
B.函數f(x)的最大值為
C.函數f(x)在上單調遞增
D.將函數f(x)的圖象向左平移個單位,得到的圖象對應的函數解析式為g(x)=cos 2x
9.(多選題)設α∈,β∈,則下列說法正確的是 (　 )
A.cos(α+β)B.若sincos=-,則tan α=2
C.若tan α+tan β=,則2β-α=
D.若+=0,則α+β=
二、填空題
10.[2023·陜西銅川高一期中] 已知函數f(x)=coscos,x∈,則函數f(x)的值域為　　　　.
11.[2023·石家莊二十一中高一期中] tan 70°·cos 10°(tan 20°-1)的值為　　　　.
12.[2024·安徽六安高一期末] 已知函數f(x)=2cos2ωx(ω>0)的最小正周期為π,將函數y=f(x)的圖象上的所有點向右平移個單位長度,再將所得的圖象上各點的橫坐標縮短為原來的,縱坐標不變,得到y=g(x)的圖象,則y=g(x)在上的取值范圍為　　　　.
三、解答題
13.[2024·湖南株洲高一期末] 已知是函數f(x)=2asin xcos x+2cos2x+1的一個零點.
(1)求實數a的值;
(2)求f(x)的單調遞減區間;
(3)當x∈時,求函數f(x)的取值范圍.
14.(1)求值:[2sin 50°+sin 10°(1+tan 10°)];
(2)求證:=;
(3)已知sinsin=,α∈,求2sin2α+tan α--1的值.
★15.已知sin αsin=3cos αsin,則cos 2α= (　 )
A.- B.
C.- D.
16.[2024·山東棗莊三中高一期中] 已知在平面直角坐標系中,O為坐標原點,定義函數f(x)=psin x+qcos x的“和諧向量”為非零向量ω=(p,q),非零向量ω=(p,q)的“和諧函數”為f(x)=psin x+qcos x.記平面內所有向量的“和諧函數”構成的集合為T.
(1)已知θ∈R,f(x)=2cos x+cos(x+θ),若函數f(x)為集合T中的元素,求其“和諧向量”模的取值范圍;
(2)已知|a|=|b|=2,設=λa+μb(λ>0,μ>0),且的“和諧函數”為φ(x),設φ(x)的最大值為S,求的值;

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