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滾動習題(五)
1.C　[解析] 當a,b,c兩兩的夾角均為0°時,顯然|a+b+c|=5;當a,b,c兩兩的夾角均為120°時,|a+b+c|==2.故選C.
2.D 　[解析] 因為a=(1,1),所以|a|=,所以a·b=|a||b|cos 45°=2,所以|3a+b|==
=,故選D.
3.C　[解析] ∵=(4,-3),=(2,-4),∴=-=(-2,-1),∴·=(2,1)·(-2,4)=0,∴C=90°,又||=,||=2,∴△ABC是直角三角形.故選C.
4.A　[解析] 因為|a|=|b|=2,且a與b的夾角為120°,所以a·(a+b)=a2+a·b=22+2×2×=2,|a+b|=====2,所以a在a+b上的投影的數量為==1,故選A.
5.D　[解析] 取線段AC的中點O,連接OB,則OB⊥AC.以點O為原點,OA,OB所在的直線分別為x,y軸建立如圖所示的平面直角坐標系,則A(2,0),D(1,).設點E(x,0),-2≤x≤2,則=(2-x,0),=(1-x,),所以·=(2-x)(1-x)=x2-3x+2=-.因為函數f(x)=-(-2≤x≤2)在上單調遞減,在上單調遞增,所以f(x)min=f=-,又因為f(-2)=12,f(2)=0,所以f(x)max=12,故·的取值范圍是.故選D.
6.D　[解析] 因為點A(0,1),B(-1,),所以=(0,1),=(-1,),所以||==1,||==2,則cos<,>===,因為<,>∈[0,π],所以<,>=,所以|×|=||·||sin<,>=1×2×sin=1.故選D.
7.BC　[解析] 對于A,若a∥b,則3(3-t)-(t-1)=0,解得t=,故A錯誤;對于B,若a⊥b,則a·b=(t-1,3-t)·(3,1)=3(t-1)+3-t=2t=0,解得t=0,故B正確;對于C,由B選項知與b垂直的一個向量為m=(-1,3),|m|=,所以與b垂直的單位向量的坐標為±=±,故C正確;對于D,因為向量a與向量b的夾角為銳角,所以a·b>0且a,b不共線,由a·b=2t>0,得t>0,由A選項可知當a∥b時t=,所以t的取值范圍為∪,故D錯誤.故選BC.
8.BD　[解析] 對于B,延長AB,DC交于點M,如圖①所示,因為正八邊形的內角為,所以∠CBM=∠BCM=,則∠CMB=,因此BM=CM=,所以·=·(+)=·+·=4+2,故B正確;對于A,由圖①可知=+,AM⊥MD,因此在上的投影即為=,故A錯誤;對于C,==+=8+4,·=-2,所以函數f(x)=|+x|=
=,當x=時,f(x)取得最小值,f==2+,故C錯誤;對于D,過點P作直線AB的垂線,垂足為N,如圖②所示,則·=·(+)=·,易知當點N在DC的延長線上時,·取得最大值4+2,當點N在GH的延長線上時,·取得最小值-2,所以·∈[-2,4+2],故D正確.故選BD.
9.既不充分也不必要　[解析] 由|a+b|=|a-b|,可得|a+b|2=|a-b|2,則a2+2a·b+b2=a2-2a·b+b2,即a·b=0.當a,b同向,且|a|=|b|≠0時,a·b=|a||b|=|a|2>0;當a⊥b時,a·b=|a||b|cos=0,a,b的模不一定相等.所以“|a|=|b|”是“|a+b|=|a-b|”的既不充分也不必要條件.
10.　[解析] 因為對任意t∈R,|a-tb|≥|a-b|恒成立,所以|a-tb|2≥|a-b|2,即a2-2ta·b+t2b2≥a2-2a·b+b2,所以b2t2-2a·bt+2a·b-b2≥0,所以Δ=4(a·b)2-4b2·(2a·b-b2)≤0.設a,b的夾角為θ,因為|a|=3|b|,所以Δ=4(3b2cos θ)2-4b2·(6b2cos θ-b2)≤0,即9cos2θ-6cos θ+1=(3cos θ-1)2≤0,所以cos θ=.
11.[-8,24]　[解析] 如圖,作CD⊥AB,EF⊥AB,垂足分別為D,F,且CD與左半圓相切,切點為C,EF與右半圓相切,切點為E.·=||·||cos<,>,其中||cos<,>為在上的投影的數量.因為AB=4,所以AD=BF=2,當P與E重合時,||cos<,>取得最大值,最大值為4+2=6,此時·取得最大值,最大值為4×6=24;當P與C重合時,||cos<,>取得最小值,最小值為-2,此時·取得最小值,最小值為4×(-2)=-8.故·的取值范圍是[-8,24].
12.解:(1)x=2,則b=(1,2),因為λb=(λ,2λ),μc=(4μ,μ),所以λb+μc=(λ+4μ,2λ+μ).
因為a=λb+μc,所以解得所以λ+μ=.
(2)因為a⊥(c-b),所以a·c-a·b=0,
即2×4+3×1-(2×1+3x)=0,解得x=3,所以b=(1,3),
故cos===.
13.解:(1)以A為坐標原點,AB,AC所在直線分別為x,y軸建立如圖所示的平面直角坐標系,則A(0,0),B(2,0),C(0,3),M(1,0),N(0,2),所以=(1,-3),=(λ,-3λ),=(0,-1),=(2,-3).因為N,O,B三點共線,所以=μ+(1-μ)=(2-2μ,2μ-3),則解得故λ的值為.
(2)由(1)知,B(2,0),N(0,2),=(-2,2),||==2,=(1,-3),||==,
所以·=1×(-2)+(-3)×2=-8,
故cos∠BOC=cos<,>==-.
14.解:(1)因為=2e1+3e2,
所以=(2e1+3e2)2=4+9+12e1·e2=13+12×=19,故||=.
(2)因為∥,所以存在唯一的實數λ,使=λ,
則2e1+3e2=λ(e1+me2),故所以m=.
(3)不正確.理由如下:
證明:因為⊥,所以·=0,即(x1e1+y1e2)·(x2e1+y2e2)=0,
則x1x2+y1y2+x1y2e1·e2+x2y1e1·e2=x1x2+y1y2+x1y2+x2y1=0,
所以“⊥”的充要條件是“x1x2+y1y2+x1y2+x2y1=0”,
所以“⊥”的充要條件是“x1x2+y1y2=0”是不正確的.(時間:45分鐘　分值:100分)
一、單項選擇題:本題共6小題,每小題5分,共30分.
1.若平面向量a,b,c兩兩的夾角相等,且|a|=|b|=1,|c|=3,則|a+b+c|= (　 )
A.2 B.5
C.2或5 D.或
2.已知平面向量a與b的夾角為45°,a=(1,1),|b|=2,則|3a+b|等于 (　 )
A.13+6 B.2
C. D.
3.已知向量=(4,-3),=(2,-4),則△ABC的形狀為 (　 )
A.等腰三角形 B.等邊三角形
C.直角三角形 D.等腰直角三角形
4.已知|a|=|b|=2,且a與b的夾角為120°,則a在a+b上的投影的數量為 (　 )
A.1 B.-1
C. D.-
5.[2024·河南濮陽高一期末] 已知等邊三角形ABC的邊長為4,D為邊AB的中點,E是邊AC上的動點,則·的取值范圍為 (　 )
A.[-1,6] B.[-1,12]
C.[0,6] D.
6.[2024·福建福州外國語學校高一月考] 已知向量a,b的數量積a·b=|a|·|b|cos,其中表示向量a,b的夾角.定義向量a,b的向量積:|a×b|=|a|·|b|sin,其中表示向量a,b的夾角.已知點A(0,1),B(-1,),O為坐標原點,則|×|= (　 )
A.0.5 B.-1
C.0 D.1
二、多項選擇題:本題共2小題,每小題6分,共12分.
7.已知a=(t-1,3-t),b=(3,1),則 (　 )
A.若a∥b,則t=-2
B.若a⊥b,則t=0
C.與b垂直的單位向量的坐標為或
D.若向量a與向量b的夾角為銳角,則t的取值范圍為(0,+∞)
8.[2024·江蘇揚州邗江中學高一期中] 已知正八邊形ABCDEFGH的邊長為2,P是正八邊形邊上任意一點,則下列說法正確的是 (　 )
A.在上的投影為2
B.·=4+2
C.若函數f(x)=|+x|,則函數f(x)的最大值為2+
D.·∈[-2,4+2]
三、填空題:本題共3小題,每小題5分,共15分.
9.已知a,b是平面向量,則“|a|=|b|”是“|a+b|=|a-b|”的　　　　　　　　　　條件.(填“充要”“充分不必要”“必要不充分”“既不充分也不必要”中的一個)
10.[2023·哈爾濱四中高一月考] 兩個不共線的向量a,b滿足|a|=3|b|,且對任意t∈R,|a-tb|≥|a-b|恒成立,則向量a,b夾角的余弦值為　　　　.
11.美術課對于陶冶人的情操、發展學生的藝術興趣和愛好、培養學生的藝術特長、提高學生的審美素養具有積極作用.如圖,這是某學生關于“杯子”的聯想創意圖,它是由一個正方形和三個半圓組成的,其中A,B是正方形的兩個頂點,P是三段圓弧上的動點,若AB=4,則·的取值范圍是　　　　.
四、解答題:本題共3小題,共43分.
12.(13分)[2024·河北滄州高一期末] 已知向量a=(2,3),b=(1,x),c=(4,1).
(1)若x=2,a=λb+μc,求λ+μ的值;
(2)若a⊥(c-b),求a與b的夾角的余弦值.
13.(15分)如圖,已知在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=2,AC=3,點M,N分別在邊AB,AC上,且AM=CN=1,點O為BN與CM的交點.
(1)若=λ,求λ的值;
(2)求cos∠BOC的值.
14.(15分)[2024·四川閬中中學高一期中] 如圖,設Ox,Oy是平面內相交成60°角的兩條數軸,e1,e2分別是與x軸、y軸正方向同向的單位向量.若向量=xe1+ye2,則把有序數對(x,y)叫作向量在坐標系Oxy中的坐標.已知=2e1+3e2.
(1)求的模.
(2)設=e1+me2,若∥,求實數m的值.
(3)若=x1e1+y1e2,=x2e1+y2e2,有同學認為“⊥”的充要條件是“x1x2+y1y2=0”,你認為是否正確 若正確,請給出證明,若不正確,請說明理由.

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