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滾動習題(七)
1.B　[解析] 因為(a+λb)⊥(2a-λb),所以(a+λb)·(2a-λb)=2a2+λa·b-λ2b2=0,又a,b相互垂直,|a|=,|b|=1,所以2×2-λ2=0,解得λ=±2,故選B.
2.D　[解析] 由tan===-,解得tan θ=7,則tan 2θ===-.故選D.
3.B　[解析] cos 24°cos 36°-sin 24°cos 54°=cos 24°cos 36°-sin 24°sin 36°=cos(24°+36°)=cos 60°=.故選B.
4.B　[解析] 由tan α=3,得sin α=3cos α,又sin2α+cos2α=1,所以cos2α=,所以cos 2α=2cos2α-1=-,充分性成立;由cos 2α=-,得sin 2α=±,所以tan α==±3,必要性不成立.故選B.
5.C　[解析] ∵|a-b|2=a2-2a·b+b2=|a|2-2|a|·|b|cos+|b|2=2-2cos=3,∴cos=-,又b與2b同向,∴cos=-,∵∈[0,π],∴=.故選C.
6.A　[解析] 由題得sin αsin β=-[cos(α+β)-cos(α-β)]=-=-.∵α,β均為銳角,且α-β=,∴0<+β<,即0<β<,∴<2β+<,∴-7.ABD　[解析] 對于A,f(x-2π)=sin(3x-6π)-sin(2x-4π)=sin 3x-sin 2x=f(x),所以f(x)的一個周期為-2π,故A正確;對于B,f(2π-x)=sin(6π-3x)-sin(4π-2x)=-sin 3x+sin 2x=-f(x),故f(x)的圖象關于點(π,0)中心對稱,故B正確;對于C,若f(x)的最大值為2,則sin 3x=1,sin 2x=-1,若sin 3x=1,則3x=2kπ+,k∈Z,得x=+,k∈Z,但此時sin 2x≠-1,故C不正確;對于D,f(x)=sin 3x-sin 2x=sin-sin=2cosxsinx,令f(x)=0得cosxsinx=0,所以sinx=0或cosx=0,又x∈(0,2π),所以x=或x=或x=或x=或x=,解得x=或x=或x=π或x=或x=,即f(x)在(0,2π)上所有零點之和為5π,故D正確.故選ABD.
8.AD　[解析] 對于A,=(cos α,sin α),=(cos β,-sin β),所以||==1=||,故A正確;對于B,=(cos α-1,sin α),=(cos β-1,-sin β),所以||==
=,||==,則||與||不一定相等,故B錯誤;對于C,由題意得·=cos α,·=cos β×cos(α+β)+(-sin β)×sin(α+β)=cos[β+(α+β)]=cos(α+2β),cos α=cos(α+2β)不一定恒成立,故C錯誤;對于D,由題意得·=1×cos(α+β)+0×sin(α+β)=cos(α+β),·=cos α·cos β+sin α·(-sin β)=cos(α+β),所以·=·,故D正確.故選AD.
9.[0,2]　[解析] ·=||·||·cos∠AOP,||=2,結合圖形可知0≤||·cos∠AOP≤1,所以·的取值范圍為[0,2].
10.　[解析] f(x)=sin ωxcos ωx+cos2ωx-=sin 2ωx+cos 2ωx=sin,當x∈[0,π]時,2ωx+∈,因為函數f(x)的圖象在[0,π]上有且僅有三條對稱軸,所以2ωπ+∈,解得ω∈.
11.-　[解析] 因為<α<,所以-<-α<0,又cos=,所以sin=-.因為0<β<π,所以-<-β <,又sin=,0<<,所以0<-β<,所以cos=,所以cos(α+β)=-cos=sinsin-coscos=-.
12.解:(1)依題意得,a·b=coscos-sinsin=cos=cos 2x,
由a⊥b知a·b=cos 2x=0,又x∈,所以x=.
(2)由題得|a+b|=====2|cos x|.
當x∈時,cos x的取值范圍是[-1,0],
所以|a+b|的取值范圍是[0,2].
13.解:(1)∵tan+=,∴+=,
∴=,∴=,∴sin β=.
∵cos(α-β)-cos(α+β)=,∴cos αcos β+sin αsin β-cos αcos β+sin αsin β=,∴sin αsin β=,
又sin β=,∴sin α=,∴cos 2α=1-2sin2α=1-=-.
(2)由(1)得sin α=,sin β=.∵α∈,β∈,∴cos α===,cos β===,
∴tan α==,tan β==,∴tan(α-β)===.
14.解:(1)由題得f(x)=2cos2x-cos-1=cos 2x+sin 2x=sin,
則函數f(x)的最小正周期為=π.
(2)當x∈時,2x+∈,sin∈,則f(x)在上的取值范圍為(-1,].
(3)函數h(x)=f(x)-m在上零點的個數,
即為方程sin=m在上的解的個數.
當x∈時,2x+∈,sin∈.
作出y=sin在上的圖象,如圖,由圖可知,當-當當m≤-或m>1時,方程sin=m無解.
綜上可得,當-當當m≤-或m>1時,h(x)沒有零點.(時間:45分鐘　分值:100分)
一、單項選擇題:本題共6小題,每小題5分,共30分.
1.[2024·四川綿陽南山中學高一月考] 已知a,b相互垂直,|a|=,|b|=1,且(a+λb)⊥(2a-λb),則實數λ的值為 (　 )
A.2 B.±2
C. D.±
2.已知tan=-,則tan 2θ= (　 )
A. B.
C.- D.-
3.[2023·江蘇鹽城南陽中學高一月考] cos 24°cos 36°-sin 24°cos 54°= (　 )
A.0 B.
C. D.-
4.[2023·哈爾濱三中高一期中] 已知p:tan α=3,q:cos 2α=-,則p是q的 (　 )
A.充要條件
B.充分不必要條件
C.必要不充分條件
D.既不充分也不必要條件
5.已知a,b為單位向量,且|a-b|=,則a與2b的夾角為 (　 )
A. B.
C. D.
6.[2023·遼寧盤錦遼東灣高中高一期中] 已知α,β均為銳角,且α-β=,則sin αsin β的取值范圍是 (　 )
A. B.
C. D.[-,]
二、多項選擇題:本題共2小題,每小題6分,共12分.
7.[2024·福建莆田四中高一期末] 已知函數f(x)=sin 3x-sin 2x,則 (　 )
A.f(x)的一個周期為-2π
B.f(x)的圖象關于點(π,0)中心對稱
C.f(x)的最大值為2
D.f(x)在(0,2π)上的所有零點之和為5π
8.[2024·廣東廣州培英中學高一月考] 已知O為坐標原點,點P1(cos α,sin α),P2(cos β,-sin β),P3(cos(α+β),sin(α+β)),A(1,0),則 (　 )
A.||=||
B.||=||
C.·=·
D.·=·
三、填空題:本題共3小題,每小題5分,共15分.
9.[2024·河南濮陽外國語學校高一月考] 如圖,已知網格小正方形的邊長為1,點P是陰影區域內的一個動點(包括邊界),O,A在格點上,則·的取值范圍是　　　　.
10.已知函數f(x)=sin ωxcos ωx+cos2ωx-(x∈R,ω>0)的圖象在[0,π]上有且僅有三條對稱軸,則ω的取值范圍是　　　　.
11.已知<α<,0<β<π,且cos=,sin=,則cos(α+β)的值為　　　　.
四、解答題:本題共3小題,共43分.
12.(13分)[2024·江蘇鎮江中學高一期中] 已知向量a=,b=,且x∈.
(1)若a⊥b,求x的值;
(2)求|a+b|的取值范圍.
13.(15分)已知α∈,β∈,且cos(α-β)-cos(α+β)=,tan+=.
(1)求cos 2α的值;
(2)求tan(α-β)的值.
14.(15分)[2023·重慶永川區萱花中學高一月考] 已知函數f(x)=2cos2x-cos-1.
(1)求函數f(x)的最小正周期;
(2)求f(x)在上的取值范圍;
(3)求函數h(x)=f(x)-m在上零點的個數.

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