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單元素養測評卷(二)B
1.A　[解析] 因為cos A=-且A∈(0,π),所以A=,所以tan A=-1,所以tan(A-B)===-2.故選A.
2.C　[解析] 由已知得a2=b2+c2+2b·c,即1=1+1+2b·c,則b·c=-,即1×1cos=-,所以cos=-,又∈[0,π],所以b,c的夾角為π.故選C.
3.D　[解析] 因為向量b=(6,-8),所以|b|==10,所以向量a在向量b上的投影為·=.故選D.
4.C　[解析] cos 20°cos 40°-cos 40°cos 80°+cos 80°cos 20°=[cos(40°+20°)+cos(40°-20°)]-[cos(80°+40°)+cos(80°-40°)] +[cos(80°+20°)+cos(80°-20°)]=-+=+(cos 20°-cos 40°+cos 100°)=+[cos(30°-10°)-cos(30°+10°)-sin 10°]=+(2sin 30°sin 10°-sin 10°)=,故選C.
5.B　[解析] a=(sin 56°-cos 56°)=sin(56°-45°)=sin 11°,b=cos 50°cos 128°+cos 40°cos 38°=-sin 40°sin 38°+cos 40°cos 38°=cos(40°+38°)=cos 78°=sin 12°,c=2cos240°-1=cos 80°=sin 10°,因為sin 12°>sin 11°>sin 10°,所以b>a>c.故選B.
6.D　[解析] 由tan α+tan β=+=3,得sin(α+β)=3cos αcos β,則1=sin2(α+β)+cos2(α+β)=9cos2αcos2β+,可得cos αcos β=,又cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β=-,所以sin αsin β=,所以cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β=1.故選D.
7.D　[解析] 因為f(x)=sin ωxcos ωx+cos2ωx=sin 2ωx+=sin+在上單調遞減,所以≥π-,即≥,又ω>0,所以0<ω≤2.令t=2ωx+,因為8.C　[解析] 因為·=0,所以∠BAC的平分線與直線BC垂直,所以AB=AC,所以△ABC是等腰三角形,又·=cos∠ABC=,且∠ABC為三角形的內角,所以∠ABC=45°,所以△ABC為等腰直角三角形.故選C.
9.AC　[解析] 由a=(3,1),b=(1,3),可知|a|=|b|=,a·b=3×1+1×3=6.對于A,(a+b)·(a-b)=a2-b2=|a|2-|b|2=10-10=0,則(a+b)⊥(a-b),故A正確;對于B,cos==,故B錯誤;對于C,a在b上的投影的數量為|a|cos=,故C正確;對于D,b在a上的投影的數量為|b|cos=,故D錯誤.故選AC.
10.ABD　[解析] 由0<α<β<π,得0<β-α<π.由sin(β-α)=1,得β-α=,即β=+α.顯然0<α<<β<π,又cos α=,所以sin α==.對于A,sin 2α=2sin αcos α=2××=,故A正確;對于B,sin β=sin=cos α=,故B正確;對于C,cos β=cos=-sin α=-,故C錯誤;對于D,cos(α+β)=cos=-sin 2α=-,故D正確.故選ABD.
11.BC　[解析] 對于A,若a·c=b·c,則(a-b)·c=0,所以a=b或(a-b)⊥c,故A錯誤;對于B,若|a+b|=|a|+|b|,則a與b同向,所以a∥b,故B正確;對于C,若|a+b|=|a-b|,則|a|2+|b|2+2a·b=|a|2+|b|2-2a·b,所以2a·b=0,所以a⊥b,故C正確;對于D,若(a+b)·(a-b)=0,則|a|2-|b|2=0,所以|a|=|b|,不能得出向量a,b共線,故D錯誤.故選BC.
12.　[解析] 因為α∈,所以<α+<,因為sin=<,所以<α+<,所以cos=-=-,則cos α=cos=coscos+sinsin=-×+×=.
13.76　[解析] 由已知得∠BAC=90°.以A為坐標原點,建立如圖所示的平面直角坐標系,則C(0,t)(t>0),B.∵=,=(0,t),∴=t+(0,t)=(1,9),即P(1,9),∴=,=(-1,t-9),∴·=1--9t+81=82-.∵t>0,∴9t+≥2=6,∴·≤82-6=76.
14.　0　[解析] 由圓的對稱性可得O為MN的中點,所以=+=b+=b+(-)=b+(a-b)=a+b=λ1a+λ2b,則λ1=λ2=.a·b=(+)·(+),因為=-,所以a·b=(+)·(-)=-=4-,所以當||取得最大值2時,a·b取得最小值0.
15.解:(1)因為cos α=-,α∈,所以sin α==,所以tan α==-,所以tan===-7.
(2)因為α,β∈,所以-≤α-β≤,
又sin(α-β)=,所以cos(α-β)=,所以sin β=sin[α-(α-β)]=sin αcos(α-β)-cos αsin(α-β)=×+×=1.
16.解:(1)因為a⊥,所以a·=0,即-a2+a·b=0,又|a|=,|b|=,所以-×10+×cos θ=0,故cos θ=,又θ∈[0,π],所以θ=,即向量a與b的夾角θ=.
(2)由(1)可知a·b=5,m-n=(1-λ)a+(λ+2)b,
則|m-n|===
=.當λ=1時,y=5λ2-10λ+50取得最小值,即|m-n|取得最小值,此時m+n=2a-b,則|m+n|====5.
17.解:(1)由題知f(x)=sin ωxcos ωx-cos2ωx=sin 2ωx-=sin 2ωx-cos 2ωx-=sin-.
∵x1,x2是函數y=f(x)-=sin-1的兩個零點,∴x1,x2是關于x的方程sin=1的兩個實根,且|x1-x2|min=π,
∴f(x)的最小正周期T=π,∴2ω==2,∴ω=1,∴f(x)=sin-.令-+2kπ≤2x-≤+2kπ,k∈Z,得-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z,∴f(x)的單調遞增區間為,k∈Z.
(2)∵f=sin-=,∴sin=.
∵0<α<,∴-<α-<,∴cos=.
∵sin α=sin=sincos +cossin =,cos α=cos=coscos -sinsin =,
∴sin 2α=2sin αcos α=2××=.
18.解:由已知可知=(1,cos x),=(1+cos x,cos x),=(cos x,0),
則=+=(1,cos x)+(1+cos x,cos x)=,所以·=1+cos x+cos2x,
又x∈,所以cos x∈,所以||==cos x,
所以f(x)=·-||=1+cos x+cos2x-cos x=cos2x-2acos x+1.令t=cos x,則t∈.
令g(t)=t2-2at+1,t∈.當a≤時,g(t)的最大值為g(1)=1-2a+1=3,解得a=-;當a>時,g(t)的最大值為g=-a+1=3,解得a=-(舍去).綜上可知,實數a的值為-.
19.解:(1)xC=4cos=4sin α=4×=2,yC=4sin=-4cos α=-4×=-2,則點C的坐標為(2,-2).
(2)由題知α=+2kπ(k∈Z),所以xN=rcos(α+θ)=rcos,yN=rsin(α+θ)=rsin,則點N的坐標為.
(3)由(2)得D,則M,因為點M在單位圓上,所以+=1,整理得cos β=-.單元素養測評卷(二)B
第八章
(時間:120分鐘　分值:150分)
一、選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的.
1.在△ABC中,cos A=-,tan B=,則tan(A-B)= (　　)
A.-2 B.- C. D.2
2.已知三個單位向量a,b,c滿足a=b+c,則向量b,c的夾角為 (　　)
A. B.
C. D.
3.[2023·山東淄博高一期末] 已知向量a,b滿足a·b=10,且b=(6,-8),則向量a在向量b上的投影為(　　)
A.(-6,8) B.(6,-8)
C. D.
4.[2024·四川成都高一期末] 計算:cos 20°cos 40°-cos 40°cos 80°+cos 80°cos 20°= (　　)
A. B. C. D.
5. [2023·南昌蓮塘一中高一月考] 已知a=(sin 56°-cos 56°),b=cos 50°cos 128°+cos 40°cos 38°,c=2cos240°-1,則a,b,c的大小關系是 (　　)
A.a>b>c B.b>a>c
C.c>a>b D.a>c>b
6.已知α,β∈,cos(α+β)=-,tan α+tan β=3,則cos(α-β)= (　　)
A. B. C. D.1
7.[2024·陜西漢中高一期中] 已知ω>0,函數f(x)=sin ωxcos ωx+cos2ωx在上單調遞減,則ω的取值范圍為 (　　)
A. B.
C. D.
8.[2023·石家莊高一期末] 在△ABC中,已知向量與滿足·=0且·=,則△ABC為 (　　)
A.三邊均不相等的三角形
B.直角三角形
C.等腰直角三角形
D.等邊三角形
二、選擇題:本題共3小題,每小題6分,共18分.在每小題給出的選項中,有多項符合題目要求.全部選對的得6分,部分選對的得部分分,有選錯的得0分.
9.已知向量a=(3,1),b=(1,3),則下列說法正確的是 (　　)
A.(a+b)⊥(a-b)
B.a,b的夾角為60°
C.a在b上的投影的數量為
D.b在a上的投影的數量為
10.[2024·廣東佛山順德一中高一期中] 已知0<α<β<π,且cos α=,sin(β-α)=1,則 (　　)
A.sin 2α= B.sin β=
C.cos β=- D.cos(α+β)=-
11.已知非零向量a,b,c,下列結論中正確的是 (　　)
A.若a·c=b·c,則a=b
B.若|a+b|=|a|+|b|,則a∥b
C.若|a+b|=|a-b|,則a⊥b
D.若(a+b)·(a-b)=0,則a=b或a=-b
三、填空題:本題共3小題,每小題5分,共15分.
12.已知sin=,α∈,則cos α=　　　　.
13.已知⊥,||=,||=t,若點P是△ABC所在平面內的一點,且=+,則·的最大值為　　　　.
14.[2024·天津紅橋區高一期末] 如圖所示的圖形是由半徑為2的大圓O和兩個關于點O對稱的半圓弧組成的,線段MN過點O且兩端點M,N分別在兩個半圓弧上,點P是大圓上一動點.令=a,=b,若=λ1a+λ2b,則λ1=　　　　,a·b的最小值為　　　　.
四、解答題:本題共5小題,共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
15.(13分)已知α,β∈,且cos α=-.
(1)求tan的值;
(2)若sin(α-β)=,求sin β的值.
16.(15分)[2024·重慶育才中學高一月考] 已知向量|a|=,|b|=,a⊥.
(1)求向量a與b的夾角θ的大小;
(2)若向量m=a+λb,n=λa-2b(λ∈R),當|m-n|取得最小值時,求|m+n|.
17.(15分)已知ω>0,a=(sin ωx,-cos ωx),b=(cos ωx,cos ωx),f(x)=a·b,x1,x2是函數y=f(x)-的兩個零點,且|x1-x2|min=π.
(1)求f(x)的單調遞增區間;
(2)若α∈,f=,求sin 2α的值.
18.(17分)[2024·山東棗莊三中高一期中] 如圖,在△AOB中,點C滿足3=+2,在平面直角坐標系中,O為坐標原點,A(1,cos x),B(1+cos x,cos x),x∈,若函數f(x)=·-||的最大值為3,求實數a的值.
19.(17分)閱讀問題:如圖,已知單位圓上一點A,將OA繞坐標原點O逆時針旋轉至OB(B在單位圓上),求點B的坐標.
解決問題:點A在角α的終邊上,且|OA|=1,則cos α=,sin α=,點B在角α+的終邊上,且|OB|=1,于是點B的坐標滿足xB=cos=-sin α=-,yB=sin=cos α=,即B.
根據上述解題過程求解下列問題.
(1)將OA繞坐標原點順時針旋轉并延長至點C,使|OC|=4|OA|,求點C的坐標;
(2)若將OA繞坐標原點逆時針旋轉θ并延長至ON,使|ON|=r·|OA|(r>0),求點N的坐標(用含有r,θ的數學式子表示);
(3)定義P(x1,y1),Q(x2,y2)的中點的坐標為,將OA逆時針旋轉β,并延長至OD,使|OD|=2|OA|,若DA的中點M也在單位圓上,求cos β的值.

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