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單元素養測評卷(二)A
1.B　[解析] 根據題意得a·b=|a||b|cos=cos=.故選B.
2.B　[解析] sin 25°sin 35°-cos 25°cos 35°=-cos(25°+35°)=-cos 60°=-.故選B.
3.D　[解析] 因為a=(1,2),b=(2,-2),所以2a+b=(4,2),又因為c⊥(2a+b),所以c·(2a+b)=0,即4λ-2=0,所以λ=.故選D.
4.A　[解析] cos 75°-sin 75°=cos(45°+30°)-sin(45°+30°)=cos 45°cos 30°-sin 45°sin 30°-(sin 45°cos 30°+cos 45°sin 30°)=-sin 45°sin 30°-cos 45°sin 30°=-.故選A.
5.A　[解析] 因為0<α<,所以<α+<,則sin==,所以sin α=sin=sincos-cossin=×-×=.故選A.
6.D　[解析] 因為|2a-b|=4,所以4a2+b2-4a·b=16,又因為|a|2=2,|b|2=4,所以a·b=-1,所以b在a上的投影為·a=-a.故選D.
7.B　[解析] 因為sin 36°(1+sin 2α)=2sin 18°cos 18°(1+sin 2α),所以2cos218°cos 2α=2sin 18°cos 18°(1+sin 2α),整理得cos 18°cos 2α=sin 18°sin 2α+sin 18°,即cos 18°cos 2α-sin 18°sin 2α=sin 18°,即cos(2α+18°)=sin 18°.因為0°≤α<90°,所以18°≤2α+18°<198°,所以2α+18°=90°-18°,解得α=27°.故選B.
8.C　[解析] 將f(x)=cos2x-sin2x=cos 2x的圖象向左平移φ個單位得到g(x)=cos(2x+2φ)的圖象.因為g(x)為奇函數,所以g(0)=cos 2φ=0,則2φ=+kπ,k∈Z,即φ=+,k∈Z,又0<φ<,所以φ=.故選C.
9.AD　[解析] 對于A,由tan(25°+35°)==,得tan 25°+tan 35°+tan 25°·tan 35°=,故A正確;對于B,cos2 -sin2 =cos=,故B錯誤;對于C,-===4,故C錯誤;對于D,因為=tan(2×22.5°)=1,所以=,故D正確.故選AD.
10.BC　[解析] 由題知a+3b=(10,10),a-2b=(-5,-10),故A錯誤;a·b=-5,b2=25,所以向量a在向量b上的投影是·=-b,故B正確;2a-b=(-1,-8),所以|2a-b|=,故C正確;a2=5,所以向量b在向量a上的投影是·=-a,故D錯誤.故選BC.
11.ABC　[解析] 對于A選項,|a-b|2=|a|2-2a·b+|b|2=1,因為a,b為單位向量,所以a·b=,所以a在b上的投影為·=b,故A正確;對于B選項,設BC的中點為D,則+=,又=λ(λ≥0),所以A,P,D三點共線,故B正確;對于C選項,·=·(-)=·-·=-,因為邊AB,AC的長為定值,所以·為定值,故C正確;對于D選項,由=可得在,上的投影的數量相等,則點O到AB,AC的距離相等,所以點O在角A的平分線上,同理可得點O在角C的平分線上,則點O為內心,故D錯誤.故選ABC.
12.　[解析] 由題意可知-(F1+F2)=F3,且|F1|=1,則=+2F1·F2+=1+2×1×2×cos 120°+4=3,所以|F3|=.
13.　　[解析] 在△ABC中,因為AB=2,AC=3,∠BAC=120°,所以·=||·||cos 120°=-3.由題意得=(+),=+=λ-,所以||2==(+2·+)=×(4-6+9)=,所以||=.由·=可得(+)·(λ-)=+(λ-1)·-=-(λ-1)-2=3λ-=,解得λ=.
14.　　[解析] 因為cos α=,所以cos 2α=2cos2α-1=,又因為α,β均為銳角,所以α,β∈,則2α∈(0,π),所以2α∈,所以2α-β∈,sin 2α==,又sin β=,所以cos β==,則sin(2α-β)=sin 2αcos β-cos 2αsin β=×-×=,所以2α-β=.
15.解:(1)由題圖知,a=(2,0),|a|=2.
因為b在a上的投影為2a,所以b在a上的投影的數量為2|a|=4.
設b=(x,y),則==4,即x=4,又|b|==2,所以y=±2,所以b=(4,±2),
故以B為始點的向量b如圖所示,所以a·b=2×4=8.
(2)由題易知,=(3,-1),=(-2,3).
設=λ(0≤λ≤1),則=(-2λ,3λ),=+=(3-2λ,3λ-1),所以·=-2λ(3-2λ)+3λ(3λ-1)=13λ2-9λ,
則當λ=1時,·取得最大值4.
16.解:(1)由題知|a|=1,|b|=1.
由|a-b|=,可得a2-2a·b+b2=,則a·b=,即cos αcos β+sin αsin β=,即cos(α-β)=.
(2)因為-<β<0<α<π,所以0<α-β<,
又cos(α-β)=,所以0<α-β<,所以sin(α-β)==,
因為-<β<0,sin β=-,所以cos β==,
故sin α=sin[(α-β)+β]=sin(α-β)cos β+cos(α-β)sin β=×+×=.
17.解:(1)證明:∵a=(cos α,sin α),b=(cos β,sin β),
∴|a|==1,同理得|b|=1.∵(a+b)·(a-b)=a2-b2=|a|2-|b|2=1-1=0,∴向量a+b與a-b垂直.
(2)a·b=cos αcos β+sin αsin β=cos(β-α).
∵|ka+b|=|a-kb|,∴|ka+b|2=|a-kb|2,則k2a2+2ka·b+b2=a2-2ka·b+k2b2,即k2+2ka·b+1=1-2ka·b+k2,整理得a·b=cos(β-α)=0.∵0<β<α<π,∴-π<β-α<0,∴β-α=-.
18.解:(1)f(x)=sin22x+sin 2xcos 2x+2cos22x=1+sin 2xcos 2x+cos22x=1+sin 4x+=sin 4x+cos 4x+=sin+.
因為0≤x≤m,所以4x+∈.
若f(x)在[0,m](m>0)上單調,則<4m+≤,
解得0(2)由題可知,關于x的方程k=f(x)在上有兩個根x1,x2,即直線y=k與y=f(x)的圖象在上有兩個交點,且交點的橫坐標為x1,x2.
令g(x)=sin,x∈,即直線y=k-與曲線y=g(x)有兩個交點,且交點的橫坐標為x1,x2.作出y=g(x)的圖象,如圖,不妨取x1>x2,由圖可知,≤k-<1,解得2≤k<.又x1+x2=,所以tan=tan==-2+.
19.解:(1)f(x)=sin ωx+cos ωx+sin ωx-cos ωx-(cos ωx+1)=2-1=2sin-1.
由-1≤sin≤1,得-3≤2sin-1≤1,
故函數f(x)的值域為[-3,1].
(2)令f(x)=2sin-1=0,即sin=,
所以函數f(x)在(0,1]上恰有10個零點,即關于x的方程sin=對x∈(0,1]恰有10個解.
設f(x)的最小正周期為T,則4T+≤1<5T+,解得-第八章
(時間:120分鐘　分值:150分)
一、選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的.
1.若單位向量a,b的夾角為,則a·b= (　　)
A. B. C. D.1
2.sin 25°sin 35°-cos 25°cos 35°= (　　)
A.- B.- C. D.
3.[2024·江蘇揚州紅橋高級中學高一期中] 已知a=(1,2),b=(2,-2),c=(λ,-1),c⊥(2a+b),則λ等于(　　)
A.-2 B.-1 C.- D.
4.cos 75°-sin 75°= (　　)
A.- B. C.- D.
5.已知0<α<,cos=,則sin α= (　　)
A. B.
C. D.
6.[2024·河南周口高一期末] 已知向量a=(cos α,sin α),b=(2sin β,2cos β),|2a-b|=4,則b在a上的投影為 (　　)
A.2b B.2a C.-b D.-a
7.已知0°≤α<90°,且sin 36°(1+sin 2α)=2cos218°cos 2α,則α= (　　)
A.18° B.27° C.54° D.63°
8.[2024·山西臨汾高一期末] 將函數f(x)=cos2x-sin2x的圖象向左平移φ個單位后得到函數g(x)的圖象,若g(x)為奇函數,則φ= (　　)
A. B. C. D.
二、選擇題:本題共3小題,每小題6分,共18分.在每小題給出的選項中,有多項符合題目要求.全部選對的得6分,部分選對的得部分分,有選錯的得0分.
9.下列化簡正確的是 (　　)
A.tan 25°+tan 35°+tan 25°·tan 35°=
B.cos2-sin2=
C.-=2
D.=
10.已知向量a=(1,-2),b=(3,4),則 (　　)
A.(a+3b)∥(a-2b)
B.向量a在向量b上的投影是-b
C.|2a-b|=
D.向量b在向量a上的投影是-a
11.[2024·廣東實驗中學高一月考] 下列說法正確的是 (　　)
A.已知a,b均為單位向量,若|a-b|=1,則a在b上的投影為b
B.P是△ABC所在平面內的一動點,且=λ(λ≥0),則點P的軌跡一定通過△ABC的重心
C.已知O為△ABC的外心,邊AB,AC的長為定值,則·為定值
D.若點O滿足=,=,則點O是△ABC的垂心
三、填空題:本題共3小題,每小題5分,共15分.
12.[2024·廣東江門一中高一月考] 平面上的三個力F1,F2,F3作用于同一點,且處于平衡狀態.已知F1=(1,0),|F2|=2,=120°,則|F3|=　　　　.
13.在△ABC中,AB=2,AC=3,∠BAC=120°,D是BC的中點,E在邊AC上,=λ,·=,則||=　　　　,λ=　　　　.
14.[2024·福建三明高一期末] 已知α,β均為銳角,cos α=,sin β=,則cos 2α=　　　 ,2α-β=　　　　.
四、解答題:本題共5小題,共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
15.(13分)[2024·廣東佛山順德一中高一期中] 如圖,在方格紙(每個小方格邊長為1)上有A,B,C三點,已知向量a以A為始點.
(1)試以B為始點畫出向量b,使b在a上的投影為2a,且|b|=2,并求a·b的值;
(2)設點D是線段AC上的動點,求·的最大值.
16.(15分)已知向量a=(cos α,sin α),b=(cos β,sin β),|a-b|=.
(1)求cos(α-β)的值;
(2)若-<β<0<α<π,sin β=-,求sin α的值.
17.(15分)已知a=(cos α,sin α),b=(cos β,sin β),0<β<α<π.
(1)求證:向量a+b與a-b垂直;
(2)若ka+b與a-kb的模相等,求β-α的值(其中k為非零實數).
18.(17分)[2024·重慶育才中學高一月考] 已知f(x)=sin22x+sin 2xcos 2x+2cos22x.
(1)若f(x)在[0,m](m>0)上單調,求m的最大值;
(2)若函數y=f(x)-k在上有兩個零點x1,x2,求實數k的取值范圍及tan的值.
19.(17分)已知函數f(x)=sin+sin-2cos2(ω>0).
(1)求函數f(x)的值域;
(2)如果函數f(x)在(0,1]上恰有10個零點,求f(x)的最小正周期的取值范圍.

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