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模塊素養測評卷(一)
1.D　[解析] 與225°終邊相同的角的集合為{α|α=225°+k·360°,k∈Z},取k=1,得α=585°,∴585°與225°終邊相同.故選D.
2.C　[解析] 由a=(-1,1)得|a|=.設a與b的夾角為θ,則θ∈[0,π],所以|a-b|2=|a|2+|b|2-2a·b=2+10-4cos θ=16,解得cos θ=-,所以b在a上的投影為|b|·cos θ·=(1,-1),故選C.
3.B　[解析] 因為sin=cos=cos=,所以cos=cos 2=2cos2-1=2×-1=-.故選B.
4.B　[解析] 因為α∈,所以<α+<,又cos=-,所以sin=
==,則sin α=sin=sincos-cossin=×-×=.故選B.
5.A　[解析] f(x)在(0,π)上的圖象如圖所示,令x-=2kπ+,k∈Z,則x=2kπ+,k∈Z,令2kπ+∈(0,π),k∈Z,則k=0,所以x=.由圖可得x1+x2=2×=,故sin(x1+x2)=sin=-.故選A.
6.A　[解析] 設CD=a,以D為坐標原點,,的方向分別為x軸、y軸正方向,建立平面直角坐標系,如圖,則A(4,0),B(2,a),P(0,y),0≤y≤a,則+2=(4,-y)+2(2,a-y)=(8,2a-3y),則|+2|=,當2a=3y,即y=a時,|+2|取得最小值8.故選A.
7.D　[解析] 當x∈[0,2π]時,f(x)=2sin x+2|cos x|=
作出f(x)在[0,2π]上的圖象,如圖所示.由圖可知,若f(x)=λ在[0,2π]上有且僅有4個不相等的實數根,則2<λ<4且λ≠2,即λ的取值范圍為(2,2)∪(2,4).故選D.
8.D　[解析] 在△ABC中,由·=0,得·=·,即·=·.同理由·=0,得·=·,顯然≠0,即P與A不重合,否則cos∠ABC=1,同理≠0,則||cos∠PAC=||cos∠PAB,即cos∠PAC=cos∠PAB,則∠PAC=∠PAB,所以AP平分∠BAC,同理BP平分∠ABC,所以點P是△ABC的內心.故選D.
9.ACD　[解析] 當角A為直角時,·=2+3k=0,解得k=-,故A正確;當角B為直角時,=-=(2,3)-(1,k)=(1,3-k),則·=(2,3)·(1,3-k)=2+9-3k=0,解得k=,故C正確;當角C為直角時,·=(1,k)·(1,3-k)=1+3k-k2=0,解得k=,故D正確.故選ACD.
10.ABD　[解析] 由題圖可知A=2,=-=×,解得T=π,ω=2.又f=2,所以2sin=2,即+φ=+2kπ,k∈Z,又|φ|<,所以φ=,所以f(x)=2sin.對于A,因為f=2sin=0,所以f(x)的圖象關于點中心對稱,故A正確;對于B,令-+2kπ≤2x+≤+2kπ,k∈Z,得-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z,所以f(x)在上單調遞增,又 ,所以f(x)在上單調遞增,故B正確;對于C,函數f(x)的圖象向右平移個單位長度可以得到函數y=2sin=2sin的圖象,故C錯誤;對于D,將函數f(x)的圖象上所有點的橫坐標縮小為原來的,縱坐標不變,得到函數h(x)=2sin的圖象,故D正確.故選ABD.
11.ABD　[解析] A選項中,||==1,||==1,則||=||,故A正確;B選項中,點P1為角α的終邊與單位圓的交點,點P2為角β的終邊與單位圓的交點,點P3為∠P1OP2的平分線與單位圓的交點,所以P3為弧P1P2的中點,故||=||,故B正確;C選項中,·=(1,0)·=cos,·=(cos α,sin α)·(cos β,sin β)=cos αcos β+sin αsin β=cos(α-β),因為cos,cos(α-β)不一定相等,所以·與·不一定相等,故C錯誤;D選項中,(+)·=(cos α+cos β,sin α+sin β)·=(cos α+cos β)cos+(sin α+sin β)sin=2cos2cos+2sin2cos=cos=2cos≤2,當且僅當α=β+4kπ,k∈Z時,等號成立,故D正確.故選ABD.
12.　[解析] 由sin x-2cos x=0得tan x=2,所以sin2x-sin xcos x-3cos2x+2==
==.
13.-　[解析] 以A為坐標原點,AC所在直線為x軸,建立平面直角坐標系,如圖所示.因為AB=2,AC=3,∠BAC=135°,所以A(0,0),B(-,),C(3,0).設M(x,y),則=(-x,-y),=(--x,-y),=(3-x,-y),所以w=·+·+·=x(+x)+y(y-)+(+x)(x-3)+y(y-)+x(x-3)+y2=3x2-4x+3y2-2y-6=3+3-,當x=,y=時,w取得最小值-.
14.　　[解析] 以O為原點,以OA所在直線為y軸,建立如圖所示的平面直角坐標系,則角速度ω=2π rad/s.設點A,因為圓上兩點A,B始終保持∠AOB=,所以B,要使A,B兩點的豎直距離為0,則sin=sin,A,B兩點的豎直距離第一次為0時,4πt-=π,解得t=.f(t)====.
15.解:(1)∵α,β∈,∴α-β∈.∵cos α=,sin(α-β)=,∴sin α==,cos(α-β)==,∴cos(2α-β)=cos[(α-β)+α]=cos(α-β)cos α-sin(α-β)sin α=×-×=.
(2)cos β=cos[α-(α-β)]=cos αcos(α-β)+sin αsin(α-β)=×+×=,∵β∈,∴β=.
16.解:(1)若選②③④,則A=2,因為f(0)=2sin φ=-2,所以sin φ=-1,
則φ=+2kπ,k∈Z,又0<φ<,所以φ無解,故不符合題意.
若選①③④,則T==π,得ω=2,因為f=Asin=0,0<φ<,所以φ=,
又f(0)=Asin=-2,所以A=-,與A>0矛盾,故不符合題意.
若選①②④,則A=2,T==π,得ω=2,因為f(0)=2sin φ=-2,
所以sin φ=-1,則φ=+2kπ,k∈Z,又0<φ<,所以φ無解,故不符合題意.所以只能選①②③.
由條件①②③,得A=2,T==π,得ω=2,則f(x)=2sin(2x+φ).
由f=2sin=0,且0<φ<,得φ=,
所以f(x)=2sin.
(2)令2kπ-≤2x+≤2kπ+,k∈Z,解得kπ-≤x≤kπ+,k∈Z,所以f(x)的單調遞增區間是,k∈Z.
(3)證明:當x∈時,2x+∈,
則sin∈.當2x+=-,即x=-時,f(x)取得最小值,即f(x)min=f=-;
當2x+=,即x=時,f(x)取得最大值,即f(x)max=f=2.
所以f(x)∈[-,2],所以f(x)≥-.
17.解:(1)以B為原點,BC所在直線為x軸,過B作BC的垂線為y軸,建立如圖所示的平面直角坐標系.
∵AB=2,∠ABC=,∴A(1,),C(5,0),N,M,
∴=,=,∴||=,||=.
由題意知∠MPN為,的夾角,
則cos∠MPN===.
(2)設C(t,0),t>0,∵AB=2,∠ABC=,∴A(1,).
設M(x,y),則=(x-1,y-),=(t-1,-).
∵=,∴x-1=(t-1),y-=×(-),則x=,y=,∴M,∴=.
∵·=,∴-2=,得t=3(t=-4舍去),
∴M.∵O為BM的中點,∴O.
設N(n,0),0≤n≤3,∴=,=,
∴·=-=n-,∵0≤n≤3,∴(·)min=-.
18.解:方案一:如圖①所示,易知0°<θ<60°,OD=cos θ,CF=ED=sin θ,則CD=OD-OC=cos θ-=cos θ-sin θ,
所以S矩形CDEF=ED·CD=sin θ(cos θ-sin θ)=3sin θcos θ-sin2θ=sin 2θ-(1-cos 2θ)=sin(2θ+30°)-(0°<θ<60°),
易知當2θ+30°=90°,即θ=30°時,矩形CDEF的面積最大,最大值為.
方案二:如圖②所示,設ED與OM交于點N,FC與OM交于點P,易知0°<φ<30°,EN=FP=sin φ,所以ED=2EN=2sin φ,
又CD=PN=ON-OP=cos φ-=cos φ-3sin φ,
所以S矩形CDEF=ED·CD=2sin φ(cos φ-3sin φ)=3sin 2φ-3(1-cos 2φ)=6sin(2φ+60°)-3(0°<φ<30°),易知當2φ+60°=90°,即φ=15°時,矩形CDEF的面積最大,最大值為6-3.
因為>6-3,所以方案一中矩形CDEF的面積最大.
19.解:(1)∵f(x1)≤f(x)≤f(x2),|x1-x2|min=,∴f(x)的最小正周期為π,∴=π,解得ω=±1.
當ω=1時,f(x)=2sin+1,令2x+=kπ(k∈Z),得x=-+(k∈Z),∴f(x)的圖象的對稱中心為(k∈Z);
當ω=-1時,f(x)=2sin+1,令-2x+=kπ(k∈Z),得x=-(k∈Z),∴f(x)的圖象的對稱中心為(k∈Z).
綜上所述,f(x)的圖象的對稱中心為(k∈Z) 或(k∈Z).
(2)∵函數f(x)的圖象向右平移個單位后得到函數g(x)的圖象,
∴g(x)=2sin+1,又x=是g(x)的一個零點,
∴g=2sin+1=0,即sin=-,
∴ω+=+2kπ(k∈Z)或ω+=+2kπ,k∈Z,
解得ω=3+6k(k∈Z)或ω=5+6k(k∈Z).
由0<ω<5,可得ω=3,∴g(x)=2sin+1.
(3)由(2)知g(x)=2sin+1,
∵對任意x3∈,存在x4∈,使得h(x3)=g(x4)成立,
∴ .
∵x4∈,∴6x4-∈,∴sin∈[-1,1],
∴g(x4)∈[-1,3].∵x3∈,∴2x3-∈,
∴cos∈,∴h(x3)∈.
由 ,可得故實數a的取值范圍為.模塊素養測評卷(一)
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(時間:120分鐘　分值:150分)
一、選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的.
1.下列各角中與225°終邊相同的是 (　　)
A.45° B.135° C.315° D.585°
2.[2024·山東濟寧育才中學高一期中] 已知a=(-1,1),|b|=,|a-b|=4,則b在a上的投影為(　　)
A.(-1,1) B.(-,)
C.(1,-1) D.(,-)
3.已知sin=,則cos= (　　)
A. B.- C. D.-
4.[2024·江蘇鎮江中學高一期末] 若cos=-,α∈,則sin α= (　　)
A.- B. C. D.-
5.已知函數f(x)=sin,若方程f(x)=的解為x1,x2(0A.- B. C. D.-
6.在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠ADC=90°,AD=4,BC=2,P是邊DC上的動點,則|+2|的最小值為 (　　)
A.8 B.7 C.6 D.4
7.已知函數f(x)=2sin x+2|cos x|,若f(x)=λ在[0,2π]上有且僅有四個不相等的實數根,則λ的取值范圍為 (　　)
A.(2,4) B.(2,2)
C.(2,4) D.(2,2)∪(2,4)
8.[2024·四川南充高二期末] 已知點P在△ABC所在平面內,若·=·=0,則點P是△ABC的 (　　)
A.外心 B.垂心 C.重心 D.內心
二、選擇題:本題共3小題,每小題6分,共18分.在每小題給出的選項中,有多項符合題目要求.全部選對的得6分,部分選對的得部分分,有選錯的得0分.
9.在直角三角形ABC中,=(2,3),=(1,k),則實數k的值可以為 (　　)
A.- B. C. D.
10.已知函數f(x)=Asin(ωx+φ)的部分圖象如圖所示,則 (　　)
A.f(x)的圖象關于點中心對稱
B.f(x)在區間上單調遞增
C.函數f(x)的圖象向右平移個單位長度可以得到函數g(x)=2sin 2x的圖象
D.將函數f(x)的圖象上所有點的橫坐標縮小為原來的,縱坐標不變,得到函數h(x)=2sin的圖象
11.[2023·重慶北碚區高一期中] 已知O為坐標原點,點P1(cos α,sin α),P2(cos β,sin β),P3,A(1,0),則 (　　)
A.||=||
B.||=||
C.·=·
D.(+)·≤2
三、填空題:本題共3小題,每小題5分,共15分.
12.已知sin x-2cos x=0,則sin2x-sin xcos x-3cos2x+2=　　　　.
13.在△ABC中,AB=2,AC=3,∠BAC=135°,M是△ABC所在平面內的動點,則w=·+·+·的最小值為　　　　.
14.[2024·廣東佛山高二期末] 近年,我國農機裝備取得突破,科技和裝備支撐穩步增強,現代農業建設扎實推進.農用機械中常見有控制設備周期性開閉的裝置.如圖所示,單位圓O繞圓心做逆時針勻速圓周運動,角速度大小為2π rad/s,圓上兩點A,B始終滿足∠AOB=,隨著圓O的旋轉,A,B兩點的位置關系呈現周期性變化.現定義:A,B兩點的豎直距離為A,B兩點相對于水平面的高度差的絕對值.假設運動開始時刻,即t=0時,點A位于圓心正下方,則t=　　　　秒時,A,B兩點的豎直距離第一次為0;A,B兩點的豎直距離關于時間t的函數解析式為f(t)=　　　　.
四、解答題:本題共5小題,共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
15.(13分)已知cos α=,sin(α-β)=,且α,β∈.
(1)求cos(2α-β)的值;
(2)求β的值.
16.(15分)[2024·北京一六一中高一期中] 已知函數f(x)=Asin(ωx+φ),給出下列四個條件:
①最小正周期為π;②最大值為2;③f=0;④f(0)=-2.
(1)寫出能確定f(x)的三個條件,說明理由,并求f(x)的解析式;
(2)求f(x)的單調遞增區間;
(3)當x∈時,求證:f(x)≥-.
17.(15分)[2024·福建福州十五中高一期中] 如圖,在△ABC中,∠ABC=,AB=2.
(1)若BC=5,M,N分別為AC,BC的中點,設AN,BM交于點P,求∠MPN的余弦值;
(2)若點M滿足=,·=,O為BM的中點,點N在線段BC上移動(包括端點),求·的最小值.
18.(17分)扇形AOB的圓心角為60°,所在圓的半徑為,它按如圖①②兩種方式有內接矩形CDEF.
方案一:矩形CDEF的頂點C,D在扇形的半徑OB上,頂點E在上,頂點F在半徑OA上,設∠EOB=θ;
方案二:點M是的中點,矩形CDEF的頂點D,E在上,且關于直線OM對稱,頂點C,F分別在半徑OB,OA上,設∠EOM=φ.
試研究方案一、二兩種方式下矩形面積的最大值,并說明兩種方式下哪一種矩形CDEF的面積最大
19.(17分)已知函數f(x)=2sin+1.
(1)若f(x1)≤f(x)≤f(x2),|x1-x2|min=,求f(x)的圖象的對稱中心;
(2)已知0<ω<5,函數f(x)的圖象向右平移個單位后得到函數g(x)的圖象,x=是g(x)的一個零點,求g(x)的解析式;
(3)已知函數h(x)=acos-2a+3(a>0),在第(2)問條件下,若對任意x3∈,存在x4∈,使得h(x3)=g(x4)成立,求實數a的取值范圍.

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