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模塊素養測評卷(二)
1.D　[解析] 因為a⊥b,所以a·b=-1×3+2(m+1)=0,解得m=.故選D.
2.C　[解析] 方法一:設a,b都是以坐標原點O為起點,終點在單位圓上的向量.設a,b的終點分別為M,N,則a-b=.若a,b的夾角為,則||=,即|a-b|=,充分性成立;若|a-b|=,即||=,則∠NOM=,此時a,b的夾角為,必要性成立.故“a,b的夾角為”是“|a-b|=”的充要條件,故選C.
方法二:因為a,b均為單位向量,a,b的夾角為,所以|a-b|2=a2+b2-2a·b=2-2×1×1×=3,則|a-b|=,即充分性成立;若|a-b|=,則|a-b|2=3,即a2+b2-2a·b=2-2×1×1×cos=3,則cos=-,又∈[0,π],所以=,即必要性成立.故“a,b的夾角為”是“|a-b|=”的充要條件,故選C.
3.B　[解析] 易知點(1,-2),(-1,2)在直線y=-2x上,由三角函數的定義知,cos α==或cos α==-.故選B.
4.B　[解析] 因為sin C=2sin(B+C)cos B,即sin(A+B)=2sin Acos B,所以sin Acos B+cos Asin B=2sin Acos B,所以sin Acos B-cos Asin B=0,即sin(A-B)=0,所以A-B=0或A-B=π(舍去),則A=B,所以△ABC一定是等腰三角形.故選B.
5.D　[解析] 由題易知,前輪共轉動了圈,所以A,B兩點之間的距離約為×2π×0.3=6.2π≈6.2×3.14≈19.47(m).故選D.
6.C　[解析] 由題意知f(x)=2sin.因為存在x1,x2∈,使得f(x1)·f(x2)=-4,所以f(x)的圖象在上至少有兩個相鄰的對稱軸.令k∈N,則k∈N.當k=0時,不等式組無解;當k=1時,不等式組的解集為.因此ω的最小值為,故選C.
7.D　[解析] 由已知得=λ,故·=λ=λ(-||+||)=0,所以AP⊥BC,所以動點P的軌跡一定經過△ABC的垂心.故選D.
8.A　[解析] ∵f(x)=2sin2=1-cos 2=1-cos=1+sin 2x,∴g(x)-f(x)=-(1+sin 2x)=-sin 2x+cos 2x+=-2sin+.∵-1≤sin≤1,∴-≤-2sin+≤,∴||=∈,∴||的最大值為.故選A.
9.AD　[解析] 由題可得(1,)=,則=,又|b|=2,a與b的夾角為,所以=,故|a|=2.對于A,cos==,因為∈[0,π],所以=,故A正確;對于B,cos==,因為∈[0,π],所以=,故B錯誤;對于C,cos==1,因為∈[0,π],所以=0,故C錯誤;對于D,cos==,因為∈[0,π],所以=,故D正確.故選AD.
10.BCD　[解析] 因為b2+c2=a2,所以A=90°,以A為坐標原點,AC,AB所在直線分別為x軸、y軸建立平面直角坐標系,如圖所示,則A(0,0),B(0,8),C(6,0).當P在邊AB上時,設P(0,y),y∈[0,8],則=(0,-y),=(0,8-y),=(6,-y),所以+=(6,8-2y),則·(+)=2y2-8y,易知當y=2時,·(+)取得最小值-8,當y=8時,·(+)取得最大值64,所以·(+)∈[-8,64].當P在邊AC上時,設P(x,0),x∈[0,6],則=(-x,0),=(-x,8),=(6-x,0),所以+=(6-2x,8),則·(+)=2x2-6x,易知當x=時,·(+)取得最小值-,當x=6時,·(+)取得最大值36,所以·(+)∈.綜上可得,·(+)∈[-8,64].故選BCD.
11.BD　[解析] f(x)=-=-cos,ω>0.對于A,由題可得=,則T=π=,所以ω=1,故A錯誤;對于B,當ω=1時,f(x)=-cos,則f=-cos=-cos π=1,所以直線x=為f(x)的圖象的一條對稱軸,故B正確;對于C,當ω=1時,f(x)=-cos,將f(x)的圖象向左平移個單位長度后可得y=-cos=cos的圖象,函數y=cos為非奇非偶函數,其圖象不關于原點對稱,故C錯誤;對于D,由x∈[0,2π],可得≤2ωx+≤4ωπ+,因為f(x)在[0,2π]上恰有9個零,所以≤4ωπ+<,解得≤ω<,故D正確.故選BD.
12.-14　[解析] 延長CO,交圓O于點N,連接AN,BN,則CN=2CO,BN⊥BC,AN⊥AC,則·=·(-)=·-·=·-·=||·||cos∠BCN-||·||cos∠ACN=||2-||2=18-32=-14.
13.2　[解析] 方法一:設扇形的半徑為r(r>0),則扇形的弧長l=a-2r,扇形的面積S=lr=(a-2r)r=-r2+r,所以當r=-=時,扇形的面積取得最大值,此時扇形的弧長l=a-2r=a-2×==2r,扇形圓心角的弧度數α==2.
方法二:設扇形的半徑為r,弧長為l,r>0,l>0,則扇形的周長a=l+2r,所以扇形的面積S=lr=l·2r≤·=,當且僅當l=2r=時取等號,此時扇形圓心角的弧度數α==2.
14.3　[解析] 作出示意圖如圖所示,由2|AB|=|BC|=,得|AB|=,則|AC|=π,故f(x)的最小正周期T==π,可得ω=2,則f(x)=2sin(2x+φ).易知(2x1+φ)+(2x2+φ)=π,且x2-x1=,則2x1+φ=,則2sin=m,解得m=1,則ω+m=3.
15.解:(1)∵|a|=,|b|=1,a與b的夾角為45°,∴|a+2b|====.
(2)∵2a-λb與λa-3b的夾角是銳角,∴(2a-λb)·(λa-3b)>0,且2a-λb與λa-3b不同向共線.由(2a-λb)·(λa-3b)>0,得2λ|a|2-(λ2+6)a·b+3λ|b|2>0,即λ2-7λ+6<0,解得1<λ<6.
若2a-λb與λa-3b同向共線,則存在實數k>0,使得2a-λb=k(λa-3b),∴可得
∵2a-λb與λa-3b不同向共線,∴λ≠.
綜上,實數λ的取值范圍是(1,)∪(,6).
16.解:(1)根據三角函數的定義知r=OP==,
∴sin α==,cos α=-=-,
∴sin 2α=2sin αcos α=2××=-,cos 2α=1-2sin2α=1-2×=-,∴sin=sin 2αcos -cos 2αsin =××-××=-.
(2)由題意得sin(α-β)===,
∴sin β=sin[α-(α-β)]=sin αcos(α-β)-cos αsin(α-β)=×-×=.
17.解:(1)設h=Asin(ωt+φ)+b(ω>0,t≥0,|φ|<π).
由題可知,hmax=50×2+8=108,hmin=8,
所以A==50,b==58,
因為=30,所以ω=,則h=50sin+58.
因為當t=0時h=8,所以50sin φ+58=8,
解得φ=-+2kπ,k∈Z.又|φ|<π,所以φ=-,
故h=50sin+58=-50cost+58(t≥0).
(2)令-50cost+58≥33,即cost≤,即+2kπ≤t≤+2kπ,k∈N,解得5+30k≤t≤25+30k,k∈N,
所以一個周期內可觀看無人機表演的時間有25-5=20(min),
因為摩天輪30 min轉動一圈,無人機表演共持續180 min,
180÷30=6,即摩天輪在此期間恰好轉6圈,所以6×20=120(min),
即乘坐摩天輪可觀看無人機表演的總時長的最大值為120 min.
18.解:(1)由題意可知A=2,φ=,
設h(x)=f(x+π)=2sin.
∵h(x)的圖象關于y軸對稱,∴h(0)=2sin=±2,
∴πω+=+kπ,k∈Z,解得ω=+k,k∈Z,又1<ω<2,∴ω=,
∴f(x)=2sin,函數f(x)的最小正周期T==.
令-+2kπ≤x+≤+2kπ,k∈Z,解得-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z,
∴函數f(x)的單調遞增區間為,k∈Z.
(2)g(x)=-2+mf=-8sin2+2msin,x∈,令t=sin,∵x∈,∴t∈,∴g(x)≤1恒成立等價于k(t)=-8t2+2mt≤1對t∈恒成立.
由-8t2+2mt≤1,得2m≤=+8t,
∵函數m(t)=+8t在上單調遞增,∴+8t≥,
∴2m≤,∴m≤,故實數m的取值范圍為.
19.解:(1)在△MAB中,MA⊥MB,AB=100,∠MAB=θ=,
則MA=50,MB=50,所以點M到AB的距離為=25,所以MC=(100-25)米.
(2)(i)在△MAB中,MA=100cos θ,MB=100sin θ.
設點M到AB的距離為h,則100h=100×100×sin θcos θ,
即h=100sin θcos θ,則MC=100-100sin θcos θ,
所以MA+MB+MC=100(sin θ+cos θ)+100-100sin θcos θ.
設sin θ+cos θ=t,則sin θcos θ=,又t=sin θ+cos θ=sin,θ∈,θ+∈,
所以t∈(1,],所以MA+MB+MC=100t-50(t2-1)+100=-50(t-1)2+200,
當t=,即θ=時,MA+MB+MC取得最小值100+50,即橋面長的最小值為100+50米.
(ii)當點M在AB的中垂線上,且∠AMB=時,橋面長更小.
證明:設AB的中點為C',連接MC',記∠AMC'=α∈,則MA=MB=,MC=100-. 記g(α)=MA+MB+MC=+100-=100+50×,
因為==·+tan≥,tan∈(0,1),當且僅當tan=,即α=時,等號成立,所以g(α)的最小值為100+50,又100+50<100+50,所以當M在AB的中垂線上,且∠AMB=時,橋面長更小.模塊素養測評卷(二)
全部章節
(時間:120分鐘　分值:150分)
一、選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的.
1.已知向量a=(-1,2),b=(3,m+1),若a⊥b,則m等于 (　　)
A.-7 B.5 C.- D.
2.[2024·重慶育才中學高一月考] 已知a,b均為單位向量,則“a,b的夾角為”是“|a-b|=”的(　　)
A.充分不必要條件
B.必要不充分條件
C.充要條件
D.既不充分也不必要條件
3.已知角α的終邊在直線y=-2x上,則cos α= (　　)
A.或- B.或-
C.或- D.
4.[2024·天津南開區四十三中高一期中] 在△ABC中,已知sin C=2sin(B+C)cos B,那么△ABC一定是 (　　)
A.等腰直角三角形 B.等腰三角形
C.直角三角形 D.等邊三角形
5.為解決皮尺長度不夠的問題,某實驗小組利用自行車來測量A,B兩點之間的直線距離.如圖,先將自行車前輪置于點A,前輪上與點A接觸的地方標記為點C,然后推著自行車沿直線AB前進(車身始終保持與地面垂直),直到前輪與點B接觸.經觀測,在前進過程中,前輪上的標記點C與地面接觸了10次,當前輪與點B接觸時,標記點C在前輪的左上方(如圖為觀察視角),且到地面的垂直高度為0.45 m.已知前輪的半徑為0.3 m,則A,B兩點之間的距離約為 (　　)
(參考數值:π≈3.14)
A.20.10 m B.19.94 m C.19.63 m D.19.47 m
6.已知函數f(x)=sin ωx+cos ωx(ω>0),若存在x1,x2∈,使得f(x1)·f(x2)=-4,則ω的最小值為(　　)
A.1 B.2 C. D.
7.已知O是平面上一定點,A,B,C是平面上不共線的三個點,動點P滿足=+λ,λ∈R,則動點P的軌跡一定經過△ABC的 (　　)
A.重心 B.外心 C.內心 D.垂心
8.設動直線x=a與函數f(x)=2sin2和g(x)=cos 2x+的圖象分別交于M,N兩點,則||的最大值為(　　)
A. B. C. D.
二、選擇題:本題共3小題,每小題6分,共18分.在每小題給出的選項中,有多項符合題目要求.全部選對的得6分,部分選對的得部分分,有選錯的得0分.
9.[2024·江蘇南通高一期末] 已知向量a在向量b上的投影的坐標為,向量b=(1,),且a與b的夾角為,則向量a可以為 (　　)
A.(0,2) B.(2,0) C.(1,) D.(,1)
10.在△ABC中,內角A,B,C所對的邊分別為a,b,c.已知b=6,c=8,a=10,P在△ABC的邊AB,AC上運動,則·(+)的值可能為 (　　)
A.-12 B.-8 C.0 D.64
11.[2024·湖南長沙雅禮中學高一期末] 已知f(x)=sin2-cos2(ω>0),則下列說法正確的是 (　　)
A.若f(x1)=f(x2)=0,且=,則ω=2
B.當ω=1時,直線x=為f(x)的圖象的一條對稱軸
C.當ω=1時,將f(x)的圖象向左平移個單位長度后得到的圖象關于原點對稱
D.若f(x)在[0,2π]上恰有9個零點,則ω的取值范圍為
三、填空題:本題共3小題,每小題5分,共15分.
12.已知O為△ABC的外心,AC=8,BC=6,則·=　　　　.
13.[2024·遼寧沈陽高一期中] 設扇形的周長為a,則當扇形的面積最大時,其圓心角的弧度數為　　　　.
14.已知函數f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0),點A,B,C分別是射線y=m(x≥0,m>0)與函數f(x)的圖象從左至右的三個相鄰交點,若2|AB|=|BC|=,則ω+m=　　　　.
四、解答題:本題共5小題,共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
15.(13分)已知|a|=,|b|=1,a與b的夾角為45°.
(1)求|a+2b|的值;
(2)若向量2a-λb與λa-3b的夾角是銳角,求實數λ的取值范圍.
16.(15分)已知角α的頂點與原點O重合,始邊與x軸的正半軸重合,終邊經過點P(-1,2).
(1)求sin的值;
(2)若cos(α-β)=,且α-β為第一象限角,求sin β的值.
17.(15分)如圖是一個摩天輪的示意圖,該摩天輪的半徑為50 m,最低點與地面的距離為8 m,且摩天輪30 min轉動一圈,圖中OM與地面垂直,游客從M處進入座艙,逆時針轉動t min后到達N處,設N點到地面的距離為h.
(1)試將h表示成關于t的函數;
(2)由于建筑物的阻擋,當座艙離地面的高度不低于33 m時,乘客方可觀看遠處的無人機表演,已知無人機表演共持續180 min,求乘坐摩天輪可觀看無人機表演的總時長的最大值(座艙回到最低點后可由游客自行選擇是否繼續乘坐).
18.(17分)已知函數f(x)=Asin(ωx+φ)(1<ω<2)的振幅為2,初相為,函數y=f(x+π)的圖象關于y軸對稱.
(1)求函數f(x)的最小正周期和單調遞增區間;
(2)函數g(x)=-2+mf,x∈,若g(x)≤1恒成立,求實數m的取值范圍.
19.(17分)某公園為了美化環境和方便顧客,計劃建造一座“三線橋”連接三塊陸地A,B,C,如圖所示,點A,B是固定的,點C在右邊河岸上.把右邊河岸近似地看成直線l,經測量直線AB與直線l平行,A,B兩點的距離及點A,B到直線l的距離均為100米.為了節省成本和兼顧美觀,某同學給出了以下設計方案:MA,MB,MC三條線在點M處相交,MA⊥MB,MC⊥l,設∠MAB=θ.
(1)若θ=,求MC的長.
(2)(i)當θ變化時,求橋面長(MA+MB+MC的值)的最小值.
(ii)你能給出更優的方案,使橋面長更小嗎 如果能,給出你的設計方案,并說明理由.

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