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蘇科版數學九年級上冊第一章一元二次方程同步提優訓練（含答案）
1.2一元二次方程的解法——因式分解法
1．（2024灌云期中）方程 的解為（ ）。
A．
B．
C． 或
D． 或
2．一元二次方程 5 的解是（ ）。
A．
B．
C．
D．
3．若 的兩根分別是 -3 與 5 ，則多項式 可以分解為（ ）。
A．
B．
C．
D．
4．方程 的根是 _____。
5．用因式分解法解方程 ．
（1）移項得 ；
（2）方程左邊化為兩個平方差，右邊為零，得_____ ；
（3）將方程左邊分解成兩個一次因式之積，得_____ ；
（4）解方程得 _____ ， _____ .
6．（蘇州中考）已知 是關于 的一元二次方程 的一個根，則 的值為 _____ ．
7． 用因式分解法解方程。
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） ；
（5） ；
（6） ．
8．若某三角形兩邊的長分別等于方程 的兩個實數根，則這個三角形的第三邊的長可能是（ ）。
A． 5
B． 10
C． 13
D． 14
9．（2024常州月考）定義：如果兩個一元二次方程有且只有一個相同的實數根，我們稱這兩個方程為＂友好方程＂。如果關于 的一元二次方程 與 為＂友好方程＂，則 可取的值有（ ）。
A． 1 個
B． 2 個
C． 3 個
D． 4 個
10．新趨勢 開放性試題（2024－南京鼓樓區期中）寫出一個一元二次方程，使它的兩根分別為 -2 和 3 ：_____ ．
定義新運算＂＂如下：當 時， ；當 時， ．若（ 1） ，則 _____.
12．（2024．徐州中考）如圖所示，是用圖形＂○＂和＂＂按一定規律擺成的＂小屋子＂。按照此規律繼續擺下去，第_____ 個＂小屋子＂中圖形＂＂的個數是圖形＂ ＂個數的 3 倍。
13．新趨勢 過程性學習（2025南通期中）利用 ＂轉化＂的數學思想，我們還可以解一些新方程。
例如：形如 這種根號內含有未知數的方程，我們稱之為無理方程。
解法如下：
移項，得 ．
兩邊同時平方，得 ，即 ，解這個一元二次方程，得 。【任務】
（1）小虎認為材料中這個一元二次方程的兩個根就是原無理方程的解；小豫認為這個一元二次方程的根并不都滿足原無理方程，還應考慮 的雙重非負性。請寫出你所認為的材料中無理方程正確的解；
（2）解下列方程：（1） ；（2） ．
利用多項式的乘法法則，可以得到 ，反過來，則有 。小麗受到啟發，運用該方法解出了方程 的解，小麗的解法如下：
，且 ， 或 ， 或 ，
原方程的解為 ．
應用上面小麗的方法解決下列問題：
（1）解關于 的方程： 是常數，且都不為零）；
（2）若關于 的方程 的兩個解分別為 （其中 ），請求 的值；
（3）已知 為常數，求 的值．
參考答案
1．D 2．C 3．C 4．
5．
（3）
（4）
6．-3
7．（1）
（2） ．
（3） ．
（4） ．
（5）原方程可變形為 或 ．
（6）原方程可變形為 ，即 ， .
8．B 解析：方程 可化簡為 ，即 ，解得 這個三角形第三邊的長 的取值范圍是 ，這個三角形的第三邊的長可能是 10 ，故選 B．
9．C 解析：化簡方程 得 ，解得 或 ，化簡方程 得 ，解得 或 這兩個方程為＂友好方程＂，（1）當 時， ，此時 ，滿足題意；（2）當 時， ，此時 ，滿足題意； （3）當 時， 無解；（4）當 時， ，此時 ，滿足題意。綜上所述， 可取的值有 ，共 3 個，故選 C．
10．（答案不唯一）解析：若一元二次方程的兩根分別為 -2和 3 ，則方程可以為 ，整理得 ．
11． 解析：（1）當 ，即 時，此時
,解得 ．由于 ，所以兩個根都舍去．
（2）當 ，即 時，此時 ，解得 ．由于 ，所以符合題意．故答案為
12． 12 解析：由所給圖形可知，第 1 個＂小屋子＂中圖形＂＂的個數為 1 ，＂圖＂的個數為 ；第 2 個＂小屋子＂中圖形＂ O ＂的個數為 ，＂＂的個數為 ；第 3 個＂小屋子＂中圖形＂＂的個數為 , ＂＂的個數為 第 個＂小屋子＂中圖形＂＂的個數為 ，＂（）＂的個數為 ．由題知 ，解得 ，又 為正整數，則 ，即第 12 個＂小屋子＂中圖形＂ O ＂的個數是圖形 ＂（－）＂個數的 3 倍．
13．（1）對于 而言，有 且 ，即 ．又 ，只有 符合條件， 不符合條件，故這個方程的解為 ．
（2）（1） 或 或 ．
（2） ，移項，得 ，兩邊平方，得 ，整理后，得 ，解這個一元二次方程，得 ，將 代人 ，可得左邊 0 ，左邊＝右邊，方程成立，符合題意；將 代人 ，可得左邊 ，右邊 ，左邊 右邊，不符合題意，舍去．綜上， 。
14．（1） ，方程兩邊同乘 ，得 b） ， 或 或 ，檢驗： 是常數，且都不為零， 當 或 時， 原方程的解為 ．
（2） ，方程兩邊同乘 ，得 ． 或 或 ，檢驗：當 或 時， 原方程的解為 ．
（3） ，則 ，得 或 .

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