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蘇科版數(shù)學(xué)九年級(jí)上冊(cè)第一章一元二次方程同步提優(yōu)訓(xùn)練（含答案）
1.2一元二次方程的根的判別式
1．以下一元二次方程有兩個(gè)相等實(shí)數(shù)根的是（ ）。
A．
B．
C．
D．
2．已知 為常數(shù)，點(diǎn) 在第四象限，則關(guān)于 的一元二次方程 的根的情況為（ ）。
A．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根
B．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根
C．沒(méi)有實(shí)數(shù)根
D．無(wú)法判定
3．(2024無(wú)錫期末）（1）關(guān)于 的一元二次方程 有實(shí)數(shù)根，則 的取值范圍是 _____。
（2）若關(guān)于 的一元二次方程 無(wú)實(shí)數(shù)根，則 的取值范圍是 _____。
（3）若關(guān)于 的一元二次方程 有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則 的取值范圍是 _____。
4．已知實(shí)數(shù) 在數(shù)軸上的位置 如圖所示，則關(guān)于 的方程 的實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)為 _____。
5．不解方程，判別方程根的情況。
（1） ；
（2） ．
6．已知關(guān)于 的一元二次方程 ．
（1）求證：該方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；
（2）若該方程只有一個(gè)實(shí)數(shù)根為負(fù)數(shù)，求 的取值范圍．
7．已知 分別是三角形的三邊長(zhǎng)，則方程 的根的情況是（ ）。
A．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根
B．只有一個(gè)實(shí)數(shù)根
C．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根
D．沒(méi)有實(shí)數(shù)根
8．(2025連云港月考）已知直線 與雙曲線 只有一個(gè)交點(diǎn)，將直線向上平移1個(gè)單位長(zhǎng)度后與雙曲線相交于 兩點(diǎn)， ，則點(diǎn) 的坐標(biāo)為（ ）。
A．
B．
C．
D．
9．已知命題＂關(guān)于 的一元二次方程 0 ，當(dāng) 時(shí)必有實(shí)數(shù)解＂，能說(shuō)明這個(gè)命題是假命題的一個(gè)反例可以是 。
10．在 中， ，且關(guān)于 的方程 有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則 邊上的中線長(zhǎng)為_(kāi)____ 。
11．在等腰三角形 中， 的對(duì)邊分別是 ，已知 和 是關(guān)于 的方程 的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則 的周長(zhǎng)為_(kāi)____ ．
12．已知 是關(guān)于 的方程 的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．
（1）求 的取值范圍．
（2）若 ，且 都是整數(shù)，求 的值．
13．（2024南通模擬）已知關(guān)于 的一元二次方程 ，其中 分別為 的對(duì)角線 的長(zhǎng)， 為邊 的長(zhǎng)．
（1）如果方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，試判斷四邊形 的形狀，并說(shuō)明理由；
（2）如果四邊形 為正方形，試求這個(gè)一元二次方程的根．
14．在面積等于 3的所有矩形卡片中，周長(zhǎng)不可能是（ ）。
A． 12
B． 10
C． 8
D． 6
15．（1）若方程 有 3 個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則 。
（2）已知關(guān)于 的方程 有且僅有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則 的取值范圍是_____
16．任意給定一個(gè)矩形 ，是否存在另一個(gè)矩形 ，它的周長(zhǎng)和面積分別是已知矩形周長(zhǎng)和面積的一半？
（1）當(dāng)已知矩形 的鄰邊長(zhǎng)分別為 6 和 1時(shí)，小亮同學(xué)是這樣研究的：
設(shè)所求矩形 的鄰邊長(zhǎng)分別是 和 ，由題意，得
消去 ，化簡(jiǎn)得 ．
， _____， _____，
滿足要求的矩形 存在．
（2）如果已知矩形 的鄰邊長(zhǎng)分別為 2 和 1 ，請(qǐng)你依照小亮的方法研究是否存在滿足要求的矩形 。
（3）探究：任意給定一個(gè)矩形，是否存在另一個(gè)矩形，使它的周長(zhǎng)和面積分別是已知矩形周長(zhǎng)和面積的 3 倍？請(qǐng)說(shuō)明理由。
參考答案
1．D 2．B 3．（1）（2）（3） 且
4． 2
5．（1）原方程化成一般式為 ， 原方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根．
（2）原方程化成一般式為 原方程無(wú)實(shí)數(shù)根．
6．（1）由題意可得 該方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根．
（2） 方程 的兩個(gè)根為 該方程只有一個(gè)實(shí)數(shù)根為負(fù)數(shù)， ，解得 ．
7．D 解析： 分別是三角形的三邊， ，即 根的判別式為 方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根．故選 D．
8．A 解析 ：令 ，整理得 直線 與雙曲線 只有一個(gè)交點(diǎn)， ，解得 雙曲線 ，將直線 向上平移 1 個(gè)單位長(zhǎng)度后得 ，聯(lián)立 解得 或 ．故選 A．
9．（答案不唯一）
10． 2 解析： 關(guān)于 的方程 有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根， 16－ ， 是直角三角形， 是斜邊， 邊上的中線長(zhǎng)為 ．
11． 7 或 解析： 是等腰三角形 的三邊， 或 或 ．（1）當(dāng) 或 時(shí)， 3 是方程 的一個(gè)根， ，即 ，此時(shí) 的周長(zhǎng)為 ．（2）當(dāng) 時(shí)， ．當(dāng) 時(shí)，原方程可化為 0 ，解得 ，不符合實(shí)際情況，舍去．當(dāng) 時(shí)，原方程可化為 ，解得 ，此時(shí) 的周長(zhǎng)為 ．綜上， 的周長(zhǎng)為 7 或 ．
12．（1） 是關(guān)于 的方程 的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根， ，解得 ．
（2） ，由（1）得 整數(shù) 的值有 2,3 ， 4 ．當(dāng) 時(shí)，方程為 ，解得 （都是整數(shù)，此情況符合題意）；
當(dāng) 時(shí)，方程為 ，解得 （不是整數(shù)，此情況不符合題意）；
當(dāng) 時(shí)，方程為 ，解得 （不是整數(shù)，此情況不符合題意）。
綜上所述， 的值為 2 ．
13．（1）四邊形 是菱形．理由如下：
一元二次方程 有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，
，化簡(jiǎn)，得 ．
分別為 的對(duì)角線 的長(zhǎng)， 為邊 的長(zhǎng)，
的對(duì)角線 互相垂直，
四邊形 是菱形．
（2） 四邊形 為正方形， 分別為 的對(duì)角線 的長(zhǎng)， 為邊 的長(zhǎng)，
．
已知一元二次方程 ，
，
．
即這個(gè)一元二次方程的根是 ．
14．D 解析：設(shè)矩形的長(zhǎng)為 ，周長(zhǎng)為 ，則寬為 ，則 ，整理，得 周長(zhǎng)不可能是 6 ，故選 D．
15．（1） 解析：原方程可化為 （1）或 （2），由題意，方程（1）中根的判別式為 方程（1）有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根。又原方程有三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根， 方程（2）中根的判別式為 ，解得 。
（2） 解析：當(dāng) 時(shí)，原方程無(wú)實(shí)數(shù)根，不符合題意；當(dāng) 時(shí)，則 ，解得 ，方程只有 1 個(gè)實(shí)數(shù)根，不符合題意；
當(dāng) 時(shí)，原方程化為 ，整理得 （1）或 （2）（2）中根的判別式為 ，且當(dāng) 時(shí)，方程（2）不成立， 方程（2）必有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根。
原方程只有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，當(dāng) 時(shí)，方程（1）不成立， 方程（1）無(wú)實(shí)數(shù)根， 根的判別式為 ，即 ，解得 ．
16．（1） 解析： 滿足要求的矩形 存在。
（2）設(shè)所求矩形 的鄰邊長(zhǎng)分別是 和 ，
由題意，得
消去 ，化簡(jiǎn)得 不存在滿足要求的矩形 。
（3）存在．理由：設(shè)已知矩形的鄰邊長(zhǎng)分別為 和 ，所求矩形的鄰邊長(zhǎng)分別是 和 ，由題意可得 消去 ，得 n） 滿足要求的矩形一定存在．

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