資源簡介

蘇科版數(shù)學(xué)九年級上冊第一章一元二次方程同步提優(yōu)訓(xùn)練（含答案）
1.4用一元二次方程解決問題——面積問題與平均增長率問題
1．（2025．淮安期中）下表是某公司某年1月份至5月份的收入統(tǒng)計表。其中，2月份和5月份被墨水污染。若2月份與3月份的增長率相同，設(shè)它們的增長率為 ，根據(jù)表中的信息，可列方程為（ ）。
月份 1 2 3 4 5
收人萬元 10 12 14
A．
B．
C．
D．
2．我國南宋數(shù)學(xué)家楊輝在《田畝比類乘除算法》中記錄了這樣一個問題：＂直田積八百六十四步，只云闊與長共六十步，問闊及長各幾步？＂其大意是：矩形面積是 864 平方步，其中寬與長的和為 60 步，問寬和長各幾步？若設(shè)長為 步，可得方程為 _____.
3．（2025－南京月考）某產(chǎn)品原來成本是 25 元，按照固定的百分率降低成本，連續(xù)兩次降低后比一次降低后所剩的成本少 4 元，設(shè)這個百分率為 ，可得方程為_____.
4．如圖，將一塊正方形空地劃出部分區(qū)域進(jìn)行綠化，原空地一邊減少了 2 m ，另一邊減少了 3 m ，剩余一塊面積為 的矩形空地，則原正方形空地的邊長是 _____ m．
5．（2023鎮(zhèn)江中考）隨旅游旺季的到來，某景區(qū)游客人數(shù)逐月增加， 2 月份游客人數(shù)為 1.6 萬人， 4 月份游客人數(shù)為 2.5 萬人。
（1）求這兩個月中該景區(qū)游客人數(shù)的月平均增長率．
（2）預(yù)計 5 月份該景區(qū)游客人數(shù)會繼續(xù)增長，但增長率不會超過前兩個月的月平均增長率．已知該景區(qū)5月1日至5月21日已接待游客 2.125 萬人，則 5 月份后 10 天日均接待游客人數(shù)最多是多少萬人？
6．（2023．常州中考）如圖，在打印圖片之前，為確定打印區(qū)域，需設(shè)置紙張大小和頁邊距（紙張的邊線到打印區(qū)域的距離），上、下、左、右頁邊距分別為 。若紙張大小為 ，考慮到整體的美觀性，要求各頁邊距相等并使打印區(qū)域的面積占紙張的 ，則需如何設(shè)置頁邊距？
7．近幾年，我國的環(huán)境問題主要表現(xiàn)在污染物排放比較大。某工廠在今年的 8、9月份連續(xù)兩次降低重金屬污染物排放量，共降至原來的 ，且第二次降低的百分率是第一次的 2 倍，則第二次降低的百分率為( ).
A．
B．
C．
D．
8．現(xiàn)要在一個長為 40 m ，寬為 26 m 的矩形花園中修建等寬的小道，剩余的地方種植花草。如圖所示，要使種植花草的面積為 ，那么小道的寬度應(yīng)是( ).
A． 1 m
B． 1.5 m
C． 2 m
D． 2.5 m
9．如圖，張大叔從市場上買了一塊矩形鐵皮，他將此矩形鐵皮的四個角各剪去一個邊長為 1 米的正方形后，剩下的部分剛好能圍成一個容積為 15 立方米的無蓋長方體箱子，且此長方體箱子的底面長比寬多 2 米，現(xiàn)已知購買這種鐵皮每平方米需 20 元錢，則張大叔購買這張矩形鐵皮共花費( ).
A． 600 元 B． 700 元 C． 800 元 D． 900 元
10．有一人患了流感，經(jīng)過兩輪傳染后，共有 121 人患了流感，每輪傳染中平均每人傳染了_____ 個人。
11．一個兩位數(shù)，它的個位數(shù)字與十位數(shù)字之和為 5 ，把這個兩位數(shù)的個位數(shù)字與十位數(shù)字互換得到一個新的兩位數(shù)，它與原兩位數(shù)的積為 736 ，則原兩位數(shù)是_____ .
12．新題型 新定義（2025南通校級月考）給定一個矩形，如果存在另一個矩形，它的周長和面積分別是已知矩形的周長和面積的 2 倍，則我們稱這個矩形是給定矩形的＂加倍矩形＂，當(dāng)已知矩形的長和寬分別為 2 和 1 時，其＂加倍矩形＂的對角線長為_____ 。
13．建設(shè)美麗城市，改造老舊小區(qū)。某市2021年投入資金 1000 萬元，2022 年與2023年共投人資金 2640 萬元，現(xiàn)假定每年投入資金的增長率相同。
（1）求該市改造老舊小區(qū)投入資金的年平均增長率；
（2）2023年老舊小區(qū)改造的平均費用為每個 80 萬元。2024年為提高老舊小區(qū)品質(zhì)，每個小區(qū)改造費用增加 。如果投入資金年增長率保持不變，求該市在2024年最多可以改造多少個老舊小區(qū)。
14．某農(nóng)場要建一個飼養(yǎng)場 （矩形 ），兩面靠墻（ 位置的墻最大可用長度為 25 米， 位置的墻最大可用長度為 15 米），另兩邊用木欄圍成，中間也用木欄隔開，分成兩個場地及一處通道，如圖所示，兩個場地各留一個 1 米寬的門（不用木欄），通道的寬 也為 1 米（不用木欄）。建成后木欄總長 45 米．設(shè)木欄 的長為 米，解答下列問題：
（1） _____米。（用含 的代數(shù)式表示）
（2）若飼養(yǎng)場（矩形 ）的面積為 189 平方米，求邊 的長．
（3）飼養(yǎng)場（矩形 ）的面積能達(dá)到 240 平方米嗎？若能達(dá)到，求出邊 的長；若不能達(dá)到，請說明理由。
15．一個矩形紙片內(nèi)放人兩個邊長分別為 3 cm和 4 cm 的小正方形紙片。按照圖（1）放置時，矩形紙片沒有被兩個正方形紙片覆蓋的部分 （陰影部分）的面積為 ；按照圖（2）放置時，矩形紙片沒有被兩個正方形紙片覆蓋的部分的面積為 ；按照圖（3）放置時，矩形紙片沒有被兩個正方形紙片覆蓋的部分的面積為（ ）。
（2） （3）
A．
B．
C．
D．
16．某造紙廠為節(jié)約木材，實現(xiàn)企業(yè)綠色低碳發(fā)展，通過技術(shù)改造升級，使再生紙項目的生產(chǎn)規(guī)模不斷擴(kuò)大。該廠3、4月份共生產(chǎn)再生紙 800 噸，其中 4 月份再生紙產(chǎn)量比 3 月份的 2 倍少 100 噸。
（1）求 4 月份再生紙的產(chǎn)量；
（2）若4月份每噸再生紙的利潤為1000元， 5 月份再生紙產(chǎn)量比上月增加 月份每噸再生紙的利潤比上月增加 ，則 5 月份再生紙項目月利潤達(dá)到 66 萬元，求 的值； （3）若4月份每噸再生紙的利潤為1200元， 4至6月每噸再生紙利潤的月平均增長率與 6月份再生紙產(chǎn)量比上月增長的百分?jǐn)?shù)相同，6月份再生紙項目月利潤比上月增加了 。求 6 月份每噸再生紙的利潤是多少元。
參考答案
（1）設(shè)這兩個月中該景區(qū)游客人數(shù)的月平均增長率為 ，由題意得 ，解得 （負(fù)值已舍去）。
答：這兩個月中該景區(qū)游客人數(shù)的月平均增長率為 ．
（2）設(shè) 5 月份后 10 天日均接待游客人數(shù)是 萬人，由題意，得 ，解得 月份后 10 天日均接待游客人數(shù)最多是 0.1 萬人。
6．設(shè)頁邊距為 ，則可列方程為 ，解得 （舍去），故頁邊距為 1 cm 。
7．B 解析：設(shè)第二次降低的百分率為 ，則第一次降低的百分率為 ，由題意得 ，解得 （舍去）。故選 B。
8．A 解析：設(shè)小道的寬度為 ，依題意得 。整理，得 ，解得 ．又 ， ．故小道的寬度應(yīng)為 1 m ．故選 A．
9．B 解析：設(shè)長方體箱子寬為 米，則長為 米．依題意，有 ．
整理得 ，解得 （舍去）， 這種長方體箱子底部長為 5 米，寬為 3 米。由長方體展開圖可知，所購買矩形鐵皮面積為 （平方米）， 購買這張矩形鐵皮共花費 （元）。故選 B。
10． 10 解析：設(shè)每輪傳染中平均每人傳染了 個人。依題意，得 ，即 ，解得 （舍去），即每輪傳染中平均每人傳染了 10 個人。
（1）傳播感染問題：開始只有一個傳播源，第一輪傳給 個，第二輪中最開始的傳播源還會繼續(xù)傳播，所以第二輪傳染給 個：兩輪總共是 個。如果開始有 個傳播源，每個傳播源每輪傳染 個，那么經(jīng)過兩輪傳播后共有 個。 （2）樹枝分叉問題：開始只有一主干，第一輪主干長出 個支干，第二輪主干不再參與，就只有 個支干，每個支干再長出 個分支，所以第二輪有 個支干，兩輪總共是 個支干。
11． 23 或 32 解析：設(shè)原兩位數(shù)的十位數(shù)字為 ，則個位數(shù)字為 ，根據(jù)題意，得 ，整理，得 ，解得 或 原兩位數(shù)是 23 或 32 。
12． 解析：設(shè)＂加倍矩形＂的長為 ，則寬為 ，由題意得 ，整理得 ，解得 ， ，當(dāng) 時，寬為 ，符合題意；當(dāng) 時，寬為 ，不符合題意；所以＂加倍矩形＂的長為 ，寬為 。 ，所以＂加倍矩形＂的對角線長為 ．
13．（1）設(shè)該市改造老舊小區(qū)投人資金的年平均增長率為 ，根據(jù)題意得 ，化簡得 ，解得 ，經(jīng)檢驗， 符合本題要求。故該市改造老舊小區(qū)投入資金的年平均增長率為 ．
（2）由（1）可得，該市 2022 年投入資金
1200 （萬元），則2023年投人資金 （萬元）．設(shè)該市在 2024 年可以改造 個老舊小區(qū)，由題意得 ，解得 為正整數(shù)， 最多可以改造 18 個老舊小區(qū)。故該市在 2024 年最多可以改造 18 個老舊小區(qū)。
14．（1）（48－3x）解析：設(shè)木欄 的長為 米，根據(jù)題意，得堅直方向圍墻需要木欄長度為 （米）， 建成后木欄總長 45 米，（米），（米）．
（2）設(shè)木欄 的長為 米，則 的長為 米，依題意，得 ，即 ，解得 ，當(dāng) 時， 米 米，舍去，當(dāng) 時， 米 米，符合題意。
答：飼養(yǎng)場面積是 189 平方米，此時邊 的長為 21 米．
（3）飼養(yǎng)場（矩形 ）的面積不能達(dá)到 240 平方米。理由如下：設(shè)木欄 的長為 米，則 的長為 米，依題意，得 （48－ ，即 沒有實數(shù)根， 飼養(yǎng)場（矩形 ）的面積不能達(dá)到 240 平方米．
15．C 解析：設(shè)矩形的長為 ，寬為 ，根據(jù)題意可得
將（2）－（1）） 可得出 ，即 （3），將（3）代人（2）中可得 ，整理得 ，解得 或 （舍去），則 ，則矩形的寬為 5 cm ，長為 6 cm ，按照圖（3）放置的時候，未覆蓋的面積為 ，故選 C．
16．（1）設(shè) 3 月份再生紙產(chǎn)量為 噸，則 4 月份的再生紙產(chǎn)量為（ 100）噸，
由題意得 ，解得 ．故 4 月份再生紙的產(chǎn)量為500噸。
（2）由題意得 ，
解得 （負(fù)值已舍去）， 的值為 20 ．
（3）設(shè) 4 至 6 月每噸再生紙利潤的月平均增長率為 月份再生紙的產(chǎn)量為 噸，
，故 6 月份每噸再生紙的利潤是 1500 元．

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