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蘇科版數學九年級上冊第一章一元二次方程同步提優訓練（含答案）
1.3一元二次方程的根與系數的關系
1．（2023宿遷中考）若 是方程 0 的兩個根，則（ ）。
A．
B．
C．
D．
2．（2025－連云港期中）已知一元二次方程的兩根分別是 3 和 -5 ，則這個一元二次方程可以是（ ）。
A． B．
C． D．
3．已知方程 的一個根為 -2 ，則方程的另一個根為 _____。
4．（1）已知一元二次方程 的兩個實數根為 ，若 ，則實數 _____ ．
（2）（2024揚州中考改編）已知實數 是關于 的方程 的兩個根，若 ，則 的值為 ．
5．方程 與方程 所有實數根的和等于_____ ．
6．設 是方程 的兩個實數根，不解方程求下列各式的值：
（1） ； （2） ．
7．已知關于 的一元二次方程 ．
（1）求證：無論 為何實數，方程總有兩個不相等的實數根；
（2）若方程的兩個實數根 滿足 3 ，求 的值。
8．如圖，四邊形 是邊長為 5 的菱形，對角線 的長度分別是一元二次方程 的兩個實數根， 是 邊上的高，則 的值為（ ）。
A． 1.2 B． 2.4 C． 3.6 D． 4.8
9．如圖，一元二次方程 的兩個根對應的點分別落在數軸上 兩個區域內，則 和 的值可能為（ ）。
A．
B．
C．
D．
10．（2024蘇州模擬）已知 是關于 的一元二次方程 的兩個實數根，則 的最小值是（ ）。
A． 7
B． 11
C． 12
D． 16
11．若關于 的一元二次方程 的兩個實數根互為相反數，則 _____
12．已知關于 的一元二次方程 的實數根 滿足 ，則 的取值范圍是_____ 。
13．（1）（2024常州中考）已知 和 是方程 的兩個解，則 的值為 。
（2）已知 是方程 的兩個實數根，則代數式 的值是_____ 。
14．（2024灌南期末）關于 的一元二次方程 有兩個實數根．
（1）求 的取值范圍；
（2）若 Rt 的兩條直角邊 的長恰好是此方程的兩個實數根，斜邊 ，求 Rt 的周長．
15．若關于 的一元二次方程 有兩個實數根，且其中一個根為另一個根的 2 倍，則稱這樣的方程為＂倍根方程＂。
（1）若關于 的一元二次方程 是 ＂倍根方程＂，求 的值；
（2）若關于 的一元二次方程 是＂倍根方程＂，求該方程的根．
16．新趨勢 項目式學習 小華在學完《一元二次方程的根與系數的關系》一節內容后，對一元三次方程根與系數的關系產生了濃厚興趣。下面是他收集的素材，請根據素材幫助他完成相應問題：
【素材 1】一元三次方程的定義：我們把兩邊都是整式，只含有一個未知數，并且未知數的最高次數是 3 次的方程叫做一元三次方程，一般形式為 為常數，且 ）。
【素材 2】一元三次方程的解法：若一元三次方程 的左邊在實數范圍內可因式分解為 為實數），即原方程化為 ，則得方程的根為 ， .
【素材 3】一元二次方程根與系數的關系的探究過程：設一元二次方程 有兩個根 ，則方程可化為 ，即 ，與原方程比較，可得根與系數的等量關系為 ．
（1）若關于 的三次方程 為常數，且 的左邊可分解為 ，則方程 的三個根分別為 ， ， 。
（2）若關于 的三次方程 為常數，且 的三個根為 、 ，探究根與系數 之間的等量關系為 ， ．
（3）利用（2）中的結論解決：若方程 的三個根為 ，則 的值為
參考答案
1．A 2．B 3． 4 4．（1）－5（2）－1
5． 6 解析：方程 中， ，沒有實數根．
6．根據題意，得 ．
（1） ．
（2） ．
7．（1）,
無論 為何實數，方程總有兩個不相等的實數根．
（2）由根與系數的關系得出 ．
，
，
,
化簡得 ，
解得 或 ．
8．B 解析 ： 對角線 的長度分別是一元二次方程 0 的兩個實數根， ． ．故選 B．
9．A 解析： 一元二次方程 的兩個根對應的點分別落在數軸上 兩個區域內， 設 區域內的根為 區域內的根為 ，即 的值可能為 ， 的值可能為 ．故選 A．
10．D 解析： 是關于 的一元二次方程 的兩個實數根， ． 方程有兩個實數根， ．故選 D．
11． 0 解析：設方程的兩根為 ，根據題意，得 ， ，解得 或 ．當 時，方程化為 ，無解，故 舍去， 的值為 0 ．
12． 解析：依題意，得 ，則 ，解得 ．
13．（1） 2028 解析： 和 是方程 的兩個解， ．
（2） 2001 解析： 是方程 的兩個實數根， ．
14．（1） 關于 的一元二次方程 有兩個實數根， ，解得 ．
（2）設 ，則 是關于 的一元二次方程 1） 的兩個實數根， ． ，根據勾股定理，得 ，解得 -7 （舍去）， 的周長為 .
15．（1）設這個方程的兩個根分別為 和 ，則 ，解得 ，即這個方程的一個根為 2 ，將 代人方程 得 ，解得 ．
（2）設這個方程的兩個根分別為 和 ，由 題 意 得 整理得 , 將 代人（1）得 ，解得 該方程的根為 或 ．
16．（1）1－2 3 解析：由題意可知，原方程可化為 2） 或 或 ， ．
（2） 解析：由題意可知，原方程可化為 ，展開整理得 ，與原方程 比較可得 ．
（3） 解析：利用上題結論可知， ， .

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