資源簡(jiǎn)介

蘇科版數(shù)學(xué)九年級(jí)上冊(cè)第一章一元二次方程同步提優(yōu)訓(xùn)練（含答案）
1.4用一元二次方程解決問(wèn)題——幾何圖形相關(guān)問(wèn)題
1．如圖，把小圓形場(chǎng)地的半徑增加 5 m 得到大圓形場(chǎng)地，場(chǎng)地面積擴(kuò)大了一倍，則小圓形場(chǎng)地的半徑為（ ）。
（第1題）
A． 5 m B． C． D．
2.新趨勢(shì) 數(shù)學(xué)文化（2024 揚(yáng)州模擬）我國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽創(chuàng)制了一幅＂趙爽弦圖＂，極富創(chuàng)新意識(shí)地給出了勾股定理的證明。如圖所示， ＂趙爽弦圖＂是由四個(gè)全等的直角三角形與中間的小正方形拼成的一個(gè)大正方形，若大正方形的面積是 25 ，小正方形的面積是 1 ，則 （ ）。
（第2題）
3.新趨勢(shì) 數(shù)學(xué)文化（2023．無(wú)錫中考）《九章算術(shù)》中提出了如下問(wèn)題：今有戶不知高、廣，竽不知長(zhǎng)短，橫之不出四尺，從之不出二尺，邪之適出，問(wèn)戶高、廣、邪各幾何？這段話的意思是：今有門不知其高寬，有竿，不知其長(zhǎng)短，橫放，竿比門寬長(zhǎng)出 4 尺，堅(jiān)放，竿比門高長(zhǎng)出 2尺，斜放，竿與門對(duì)角線恰好相等。問(wèn)門高、寬和對(duì)角線的長(zhǎng)各是多少？則該問(wèn)題中的門高是 _____尺。
4．（2024 海安期 中） 中， ，點(diǎn) 從點(diǎn) 開始沿邊 向終點(diǎn) 以 的速度移動(dòng)，與此同時(shí)，點(diǎn) 從點(diǎn) 開始沿邊 向終點(diǎn) 以 的速度移動(dòng)．如果點(diǎn) 分別從點(diǎn) 同時(shí)出發(fā)，當(dāng)點(diǎn) 運(yùn)動(dòng)到點(diǎn) 時(shí)，兩點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為 秒．
（1）填空： _____ ， ．（用含 的代數(shù)式表示）
（2）當(dāng) 為何值時(shí)， 的長(zhǎng)度等于 10 cm ？
（3）是否存在 的值，使得 的面積等于 ？若存在，請(qǐng)求出此時(shí) 的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。
5．如圖，點(diǎn) 在矩形 的 邊上，將 沿 翻折，點(diǎn) 恰好落在 邊上的點(diǎn) 處，若 ， ，則 的長(zhǎng)為（ ）.
A． 9
B． 12
C． 15
D． 16
6．（2024 蘇州模擬）如圖，一塊正方形地磚的圖案是由 4 個(gè)全等的五邊形和 1 個(gè)小正方形組成的，已知小正方形的面積和五邊形的面積相等，并且圖中線段 的長(zhǎng)度為 ，則這塊地磚的面積為（ ）.
A． 50
B． 40
C． 30
D． 20
7．如圖（1），在矩形 中，點(diǎn) 為 的中點(diǎn)，點(diǎn) 沿 從點(diǎn) 運(yùn)動(dòng)到點(diǎn) ，設(shè) 兩點(diǎn)間的距離為 ，點(diǎn) 運(yùn)動(dòng)時(shí) 關(guān)于 的函數(shù)圖像如圖（2）所示，則 的長(zhǎng)是_______ 。
（1）
（2）
8．（2024．連云港期中）如圖，將邊長(zhǎng)為 4 的正方形 沿其對(duì)角線 剪開，再把 沿著 方向平移，得到 ．
（1）當(dāng)兩個(gè)三角形重疊部分的面積為 3 時(shí)，求移動(dòng)的距離 ；
（2）當(dāng)移動(dòng)的距離 是何值時(shí)，重疊部分是菱形？
9．小明和同桌小聰在課后復(fù)習(xí)時(shí)，對(duì)練習(xí)冊(cè)中的一道思考題進(jìn)行了認(rèn)真探索．思考題：如圖，一架 2.5 米長(zhǎng)的梯子 斜靠在堅(jiān)直的墻 上，這時(shí)點(diǎn) 到墻底端 的距離為 0.7 米，如果梯子的頂端沿墻下滑 0.4 米，那么點(diǎn) 將向外移動(dòng)多少米？
（1）請(qǐng)你將小明對(duì)＂思考題＂的解答補(bǔ)充完整。解：設(shè)點(diǎn) 將向外移動(dòng) 米，即 米，則 米，（米），而 米，在 Rt 中，由 ，得方程，解方程得 _____ ， _____ , 點(diǎn) 將向外移動(dòng) 米。
（2）解完＂思考題＂后，小聰提出了如下兩個(gè)問(wèn)題：
問(wèn)題（1）：在＂思考題＂中，將＂下滑 0.4 米＂改為 ＂下滑 0.9 米＂，那么該題的答案會(huì)是 0.9 米嗎？為什么？
問(wèn)題（2）：在＂思考題＂中，梯子的頂端從 處沿墻 下滑的距離與點(diǎn) 向外移動(dòng)的距離，有可能相等嗎？為什么？
請(qǐng)你解答小聰提出的這兩個(gè)問(wèn)題．
10．如圖，某海軍基地位于 處，其正南方向 200 海里處有一個(gè)重要目標(biāo) ，在 的正東方向 200 海里處有一重要目標(biāo) 。小島 位于 的中點(diǎn)，島上有一補(bǔ)給碼頭，小島 位于 上且恰好處于小島 的正南方向，一艘軍艦從 出發(fā)，先后沿 方向經(jīng)過(guò) 向著 勻速巡航，一艘補(bǔ)給船同時(shí)從 出發(fā)，沿南偏西方向勻速直線航行，欲將一批物品送達(dá)軍艦。
（1）小島 和小島 相距多少海里？
（2）已知軍艦的速度是補(bǔ)給船速度的 2 倍，軍艦在由 向著 航行的途中與補(bǔ)給船相遇于 處，那么相遇時(shí)補(bǔ)給船航行了多少海里？（結(jié)果精確到 0.1 海里， ）
11．（揚(yáng)州中考）如圖，在等腰直角三角形 中， ，點(diǎn) 的坐標(biāo)為 ，若直線 把 分成面積相等的兩部分，則 的值為 。
12．如圖，已知 為矩形的四個(gè)頂點(diǎn)， ，動(dòng)點(diǎn) 分別從點(diǎn) 同時(shí)出發(fā)，點(diǎn) 以 的速度向點(diǎn) 移動(dòng)，一直到點(diǎn) 為止，點(diǎn) 以 的速度向點(diǎn) 移動(dòng)，設(shè)移動(dòng)的時(shí)間為 秒．
（1）當(dāng) 為何值時(shí)， 兩點(diǎn)間的距離最小？最小距離是多少？
（2）連接 ．
（1）當(dāng) 為等腰三角形時(shí)，求 的值．
（2）在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，是否存在一個(gè)時(shí)刻，使得 ？若存在，求出 的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
參考答案
1．D 解析：設(shè)小圓形場(chǎng)地的半徑為 ，則大圓形場(chǎng)地的半徑為 。根據(jù)題意，得 ，解得 或 （不合題意，舍去）．故小圓形場(chǎng)地的半徑為 。
2.3 解析： 大正方形的面積是 25 ，小正方形的面積是 ，根據(jù)題意，設(shè) ，則 ．在 Rt 中， ，即 ，解得 （負(fù)值已經(jīng)舍去）， ，即 ．
3． 8 解析：設(shè)門高 尺，依題意，竿長(zhǎng)為 尺，門的對(duì)角線長(zhǎng)為 尺，門寬為 尺， ，解得 或 （舍去），故答案為 8 ．
4．（1）
（2） 是直角三角形，根據(jù)勾股定理得 ，即 ，解得 或 4 時(shí)， 的長(zhǎng)度等于 10 cm ．
（3）存在．由題意得 ，即 ，解得 當(dāng)點(diǎn) 運(yùn)動(dòng)到點(diǎn) 時(shí)，兩點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)，即 ，解得 時(shí)， 的面積等于 ．
5．A 解析：設(shè) 四邊形 是矩形， 將 沿 翻折，點(diǎn) 恰好落在 邊上的點(diǎn) 處， ． 在 Rt 中， ，解得 （舍去）， 。 ．故選 A．
6．B 解析：如圖，根據(jù)題意易知，點(diǎn) 為正方形 的中心， ，即 ． ．設(shè)正方形 的邊長(zhǎng)為 ，則 ，解得 或 ．故選 B．
7． 6 解析：由題圖（2）可知，當(dāng)點(diǎn) 位于點(diǎn) 時(shí)， ，即 1，在題圖（1）中連接 的最大值為 的長(zhǎng)，由題圖（2）可知 的最大值為 點(diǎn) 位于點(diǎn) 時(shí)， 5 ，即 ，則 在矩形 中， 在 Rt 中，由勾股定理得 ，即 點(diǎn) 為 的中點(diǎn)， ．
8．（1）如圖，設(shè) 與 交于點(diǎn) 與 交于點(diǎn) ．
設(shè) ，則 ．
由題意得 ，解得 或 3 。
故移動(dòng)的距離 或 3 ．
（2）當(dāng)四邊形 是菱形時(shí)， ．
設(shè) ，則 。
由題意得 ，即 ，
解得 或 （舍去）．
故當(dāng)移動(dòng)的距離 是 時(shí)，重疊部分是菱形．
9．（1）（舍去） 0.8
（2）（1）不會(huì)是 0.9 米．理由如下：
米，（米）
在 Rt 中，（米）．
則 （米）。
故梯子底部 向外移動(dòng) 1.3 米。
（2）有可能。理由如下：
設(shè)梯子頂端從 處下滑 米，點(diǎn) 向外也移動(dòng) 米，則有 ，
解得 或 （舍去）．
當(dāng)梯子頂端從 處下滑 1.7 米時(shí)，點(diǎn) 向外也移動(dòng) 1.7 米，即梯子頂端從 處沿墻 下滑的距離與點(diǎn) 向外移動(dòng)的距離有可能相等。
10．（1）連接 ，則 ，
海里，
海里，
海里， ．
在 Rt 中，設(shè) 海里，
根據(jù)勾股定理得 ，解得 ，
海里，
小島 和小島 相距 100 海里．
（2）設(shè)相遇時(shí)補(bǔ)給船航行了 海里，
則 海里， 海里， 海里，
在 Rt 中，根據(jù)勾股定理，可得 ，
整理得 ，解得 ，
．
不合題意，舍去，
相遇時(shí)補(bǔ)給船大約航行了 118.3 海里．
11． 解析： 一次函數(shù) 的圖像
一定過(guò)點(diǎn) Rt 是等腰直角三角形， ，且點(diǎn) 的坐標(biāo)為 易得點(diǎn) 的坐標(biāo)為 ．如圖（1），當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn) 時(shí)，顯然 ，不符合題意。要使直線 把 分成面積相等的兩部分，必然如圖（2）所示，其中 ，且 ，即 ．當(dāng) 時(shí)， 點(diǎn) 的坐標(biāo)為 ．易得直線 的函數(shù)表達(dá)式為 ．將其與直線 聯(lián)立，即 解得 直線 與直線 的交點(diǎn) 的坐標(biāo)為 ．又 的高即為點(diǎn) 的橫坐標(biāo)，
，解得 或 （舍去），故答案為 ．
（1）
（2）
舊納總結(jié)
（1）直線恒過(guò)定點(diǎn)：含參數(shù) 的直線方程，不論 取何值時(shí)，直線恒過(guò)某個(gè)定點(diǎn)。把直線方程中含有參數(shù) 的項(xiàng)分離出來(lái)，合并為一項(xiàng)，令 的系數(shù)為 0 ，從而求得該定點(diǎn)。
（2）點(diǎn)恒在定直線上：若點(diǎn) 的橫、縱坐標(biāo)均用 的一次多項(xiàng)式表示，可分別用含 的代數(shù)式表示 之后消去 ，從而得到一個(gè)直線方程，則點(diǎn) 恒在該直線上．
12．（1）根據(jù)題意，可得 ， ．當(dāng) 時(shí)， 最小，此時(shí)四邊形 是矩形， ，解得 當(dāng) 時(shí)， 最小， 的最小距離為 6 cm ．
（2）（1）如圖，過(guò)點(diǎn) 作 于點(diǎn) ，得矩形 ，矩形 ．
當(dāng)點(diǎn) 在點(diǎn) 左側(cè)時(shí)， ，當(dāng)點(diǎn) 與點(diǎn) 重合時(shí)，由（1）得 ，此時(shí) 不是等腰三角形，當(dāng)點(diǎn) 在點(diǎn) 右側(cè)時(shí)， 16）cm． 點(diǎn) 不與點(diǎn) 重合時(shí) ．在 Rt 中，根據(jù)勾股定理，可得 ，當(dāng) 時(shí)，可得 ，整理可得 ，解得 ；
當(dāng) 時(shí)，可得 ，整理可得 0 ，解得 或 （不符合題意，舍去）；當(dāng) 時(shí)， 為 的中點(diǎn)， ，解得 ．綜上可得當(dāng) 為等腰三角形時(shí)， 的值為 或 或 ．
（2）不存在一個(gè)時(shí)刻，使得 ，理由如下：
當(dāng) 時(shí)，可得 ，即 ，整理可得 此方程無(wú)實(shí)數(shù)解， 不存在一個(gè)時(shí)刻，使得

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