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蘇科版數(shù)學(xué)九年級(jí)上冊(cè)第二章圓同步提優(yōu)訓(xùn)練
2.1圓——圓的概念及點(diǎn)與圓的位置關(guān)系
1．到圓心的距離不大于半徑的點(diǎn)的集合是（ ）。
A．圓的外部
B．圓的內(nèi)部
C．圓
D．圓的內(nèi)部和圓
2．（2024連云港月考）在平面直角坐標(biāo)系中，是坐標(biāo)原點(diǎn)， 的半徑為 5 ，若點(diǎn) 的坐標(biāo)為 ，則點(diǎn) 與 的位置關(guān)系是（ ）。
A．點(diǎn) 在圓內(nèi)
B．點(diǎn) 在圓上
C．點(diǎn) 在圓外
D．不能確定
3．（2023無錫中考）已知 的面積為 ，點(diǎn) 是 所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且在 的內(nèi)部，則 的取值范圍為_____ 。
4．（2024南京模擬）已知 的半徑 ，點(diǎn) 和圓心 之間的距離為 ，且方程 沒有實(shí)數(shù)根，則點(diǎn) 與 的位置關(guān)系是點(diǎn) 在 ．（填＂內(nèi)＂＂上＂或＂外＂）
5．如圖， 和 都是直角三角形，且 ．判斷 四點(diǎn)是否在同一個(gè)圓上，為什么？
6．下列各組圖形中，四個(gè)頂點(diǎn)一定在同一圓上的是（ ）。
A．矩形、菱形
B．矩形、正方形
C．菱形、正方形
D．平行四邊形、菱形
7．在平面直角坐標(biāo)系中，我們把橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)稱為格點(diǎn)，則到坐標(biāo)原點(diǎn) 的距離為 5 的格點(diǎn)共有（ ）。
A． 6 個(gè)
B． 8 個(gè)
C． 10 個(gè)
D． 12 個(gè)
8．（1） 的半徑為 5 cm ，平面上有一點(diǎn) ， ，則點(diǎn) 到 上各點(diǎn)的最小距離為 _____ cm ．
（2）（2025南京期中）已知點(diǎn) 與 上各點(diǎn)的最大距離為 6 cm ，最小距離為 2 cm ，那么 的半徑為 _____ cm．
9．（1）如圖（1），在網(wǎng)格中（每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為 1 個(gè)單位）選取 9 個(gè)格點(diǎn)（網(wǎng)格線的交點(diǎn)稱為格點(diǎn)）。如果以 為圓心， 為半徑畫圓，選取的格點(diǎn)中除點(diǎn) 外恰好有 3 個(gè)在圓內(nèi)，則 的取值范圍是_____ ．
（2）如圖（2），矩形 中， ，點(diǎn) 在對(duì)角線 上，圓 經(jīng)過點(diǎn) 。如果矩形 有兩個(gè)頂點(diǎn)在圓 內(nèi)，那么圓 的半徑長(zhǎng) 的取值范圍是_____ 。
10．（2024揚(yáng)州月考）如圖，一艘輪船以 的速度由西向東航行，在圖中點(diǎn) 處接到臺(tái)風(fēng)警報(bào)，臺(tái)風(fēng)中心點(diǎn) 正以 的速度由南向北移動(dòng)。已知距臺(tái)風(fēng)中心 200 km 的區(qū)域（包括邊界）都屬于受臺(tái)風(fēng)影響區(qū)。當(dāng)輪船接到臺(tái)風(fēng)警報(bào)時(shí)，測(cè)得 300 km ．如果這艘輪船不改變航向，船會(huì)不會(huì)進(jìn)入臺(tái)風(fēng)影響區(qū)？若不會(huì)，說明理由；若會(huì)，求出受影響的時(shí)間．
11．（1）如圖（1），在矩形 中，是 的中點(diǎn)， 是 的中點(diǎn)，連
接 是 的中點(diǎn)，連接 ．在 中， ，若將 繞點(diǎn) 逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，則在旋轉(zhuǎn)的過程中，線段 長(zhǎng)的最大值_____.
（2）（2023 泰州中考）如圖（2），在平面直角坐標(biāo)系中，Rt 的一條直角邊 在 軸上，點(diǎn) 的坐標(biāo)為 ，Rt 中， ，連接 ，點(diǎn) 是 的中點(diǎn)，連接 ，將 Rt 以點(diǎn) 為旋轉(zhuǎn)中心按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)過程中，線段 的最小值是____ 。
12．新題型 新定義（2024南通模擬）在平面直角坐標(biāo)系 中，對(duì)于線段 ，直線 和圖形 給出如下定義：線段 關(guān)于直線 的對(duì)稱線段為 （ 分別是 的對(duì)應(yīng)點(diǎn)）。若 與 均與圖形 （包括內(nèi)部和邊界）有公共點(diǎn)，則稱線段 為圖形 關(guān)于直線 的＂對(duì)稱連接線段＂
（1）如圖（1），已知 的半徑是 、 的橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù)。在線段 中，是 關(guān)于直線 的＂對(duì)稱連接線段＂的是 ，
（2）如圖（2），已知點(diǎn) ，以 為中心的正方形 的邊長(zhǎng)為 4 ，各邊與坐標(biāo)軸平行，若線段 是正方形 關(guān)于直線 的＂對(duì)稱連接線段＂，則 的取值范圍為)____ 。
（3）已知 的半徑為 ，點(diǎn) ，線段 的長(zhǎng)度為 1 ．若對(duì)于任意過點(diǎn) 的直線 ，都存在線段 是 關(guān)于 的＂對(duì)稱連接線段＂，則 的取值范圍為 ____。
參考答案
1． D 2．A 3．
4．外
5． 四點(diǎn)在同一個(gè)圓上．理由如下：取線段 的中點(diǎn) ，連接 ．
和 都為直角三角形，且 ，
分別為 Rt 和 Rt 斜邊上的中線，
，
． 四點(diǎn)在同一個(gè)圓上．
6．B 解析：中心到四個(gè)頂點(diǎn)距離相等的四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)一定在同一圓上，矩形、正方形符合條件。故選 B。
7．D 解析：設(shè)格點(diǎn) 到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離為 5 ，根據(jù)題意得 橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)都是整數(shù)，即 都是整數(shù)， 當(dāng) 時(shí)， ；當(dāng) 時(shí)， ；當(dāng) 時(shí)， ；當(dāng) 時(shí)， 滿足條件的格點(diǎn)共 12 個(gè)．故選 D．
8．（1） 2 （2） 2 或 4
9．（1） 解析：如圖（1）所示， ， 當(dāng) 時(shí)，以 為圓心， 為半徑畫圓，選取的格點(diǎn)中除點(diǎn)
外恰好有 3 個(gè)在圓內(nèi)．
（1）
（2） 解析： 四邊形 是矩形，
，
．
由勾股定理得 ，如圖（2），連接 ，交 于點(diǎn) ，作 于點(diǎn) ， .
點(diǎn) 從點(diǎn) 開始向點(diǎn) 移動(dòng)，移到點(diǎn) 時(shí)， 的長(zhǎng)度從 1 減到 ，再移到點(diǎn) ，此時(shí) ，在這一范圍內(nèi)， 當(dāng) 時(shí)，點(diǎn) 都在圓外，不滿足條件；
當(dāng)點(diǎn) 從點(diǎn) 移到點(diǎn) 時(shí)，在這一范圍內(nèi)， ，此時(shí)， 當(dāng) 時(shí)，滿足兩點(diǎn)在圓內(nèi)的條件；
當(dāng) ，即 ，點(diǎn) 在點(diǎn) 的位置， ，此時(shí)四點(diǎn)都在圓上，不滿足條件；當(dāng) ，即 ，點(diǎn) 在點(diǎn) 的位置，此時(shí) ，點(diǎn) 和點(diǎn) 在圓內(nèi)，點(diǎn) 在圓外，滿足條件，故 的取值范圍是 ．
（2）
10．會(huì)進(jìn)入臺(tái)風(fēng)影響區(qū)．由勾股定理得 ，設(shè)輪船航行時(shí)間為 ，由題意得輪船與臺(tái)風(fēng)中心之間的距離的平方為［（400－ ，解方程 ，可得 ，故輪船會(huì)受到臺(tái)風(fēng)影響，受到臺(tái)風(fēng)影響的時(shí)間為 .
11．（1） 10 解析：如圖（1），連接 ，在 中， ， 是 的中點(diǎn)， ，
在 上，且半徑為 2 ，
當(dāng)點(diǎn) 在 的延長(zhǎng)線上時(shí)， 最大．
，點(diǎn) 是 的中點(diǎn)，點(diǎn) 是 的中點(diǎn)， ，
由勾股定理可得 長(zhǎng)的最大值為 ．
（2） 3 解析：如圖（2），延長(zhǎng) 到點(diǎn) ，使得 ，連接 ．
Rt 的一條直角邊 在 軸上，點(diǎn) 的坐標(biāo)為 ，
（1）
（2）
點(diǎn) 為 的中點(diǎn)，點(diǎn) 為 的中點(diǎn)， 是 的中位線， ．在 Rt 中， 將 Rt 以點(diǎn) 為旋轉(zhuǎn)中心按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)， 點(diǎn) 在以 為圓心，半徑為 4 的圓上運(yùn)動(dòng)， 當(dāng)點(diǎn) 在線段 上時(shí)， 有最小值，即此時(shí) 有最小值． 的最小值為 的最小值為 3 ．
12．（1）
（2） 或 解析：如圖（1），設(shè)直線 交 軸于 ，根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)，點(diǎn) 和它的對(duì)稱點(diǎn)到 的距離相等，所以點(diǎn) 的對(duì)稱點(diǎn)在以 為圓心， 1 為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn) 的對(duì)稱點(diǎn)在圓和正方形重合的部分時(shí)，滿足條件，當(dāng)點(diǎn) 的對(duì)稱點(diǎn)是 和 時(shí)是臨界，此時(shí)直線如圖中 ，可得 的值分別是 1 和 或 ．
（3） 解析：如圖（2），連接 ，則 點(diǎn) 關(guān)于過 的直線的對(duì)稱點(diǎn) 在以 為圓心， 為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn) 關(guān)于過 的直線的對(duì)稱點(diǎn) 在以 為圓心，半徑是 和 的兩個(gè)圓中間的圓環(huán)中運(yùn)動(dòng)（含兩個(gè)圓）， 對(duì)于任意過點(diǎn) 的直線 ，都存在線段 是 關(guān)于 的＂對(duì)稱連接線段＂， 對(duì)于任意位置的 ，都存在 和 ，使得 和 有公共點(diǎn)。則當(dāng)點(diǎn) 在點(diǎn) 的正上方 時(shí)為最遠(yuǎn)情況，此時(shí) 可取最近的點(diǎn)，即 . 當(dāng) 時(shí)，就存在 和 ，使得 和 有公共點(diǎn)， ．

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