資源簡介

輕工中學九年級第一次素養評估數學試卷
注意事項：
1.你拿到的試卷滿分150分，考試時問為120分鐘．
2.本試卷包括“試題卷”和“答題卷”兩部分．
3.請務必在“答題卷”上答題，在“試題卷”上答題是無效的．
4.考試結束后，請將“試題卷”和“答題卷”一并交回．
一、選擇題（本大題共10小題，每小題4分，滿分40分）每小題都給出A、B、C、D四個選項，其中只有一個是正確的．
1. 下列函數關系中，是的二次函數的是（ ）
A. B.
C. D.
2. 如果將拋物線向左平移1個單位，那么所得新拋物線的表達式是（　　）
A. B. C. D.
3. 把二次函數化成的形式是（ ）
A. B.
C. D.
4. 對于二次函數圖象，下列說法正確的是（ ）
A. 函數的最小值為2 B. 函數圖象經過原點
C. 頂點坐標是 D. 與軸有兩個交點
5. 拋物線與拋物線的相同點是（ ）
A. 頂點相同 B. 對稱軸相同 C. 開口方向相同 D. 頂點都在軸上
6. 函數的圖象如圖所示，那么關于的方程的根的情況是（ ）
A. 有兩個不相等的實數根 B. 有兩個異號的實數根
C. 有兩個相等的實數根 D. 無實數根
7. 某集成電路公司主動適應市場需求，引進新設備新技術提升產能后，第一年生產晶圓1.5萬片，計劃第三年生產晶圓萬片，設該公司第二、三年生產晶圓片數的年平均增長率為，那么與的函數關系是（ ）
A. B.
C. D.
8. 已知二次函數，使成立的x的取值范圍是（ ）
A. B. C. D. 或
9. 如圖，二次函數的圖象開口向上，對稱軸為直線，圖象經過，下列結論中正確的一項是（ ）
A. B. C. D.
10. 如圖，在中，，將折疊，使點的對應點落在邊上，折痕為．若的長為，的長為，那么與之間的關系圖象大約是(　　)
A B.
C. D.
二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，滿分20分）
11. 拋物線的開口______．（填“向上”或“向下”）
12. 初三數學課本上，用“描點法”畫二次函數y＝ax2+bx+c的圖象時，列了如下表格：
x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 …
y … ﹣4 ﹣2 …
根據表格上的信息回答問題：該二次函數y＝ax2+bx+c在x＝3時，y＝___．
13. 如圖所示是某拋物線形的隧道示意圖．已知拋物線的函數解析式為，為增加照明度，在該拋物線上距地面高為6米的點E，F處要安裝兩盞燈，則這兩盞燈的水平距離是___________米．（可用含根號的式子表示）
14. 已知二次函數．
（1）當，時，該函數圖象的頂點坐標為______；
（2）當時，y最大值為7；當時，y的最大值為3，則______．
三、（本大題共2小題，每小題8分，滿分16分）
15. 將二次函數化為一般形式，并指出其二次項系數、一次項系數和常數項．
16. 已知二次函數．
（1）填空：拋物線開口方向是______，對稱軸______，頂點坐標______；
（2）列表，在如圖所示的直角坐標系中畫出的圖象．
…
…
…
…
四、（本大題共2小題，每小題8分，滿分16分）
17. 如圖，四邊形是矩形，，兩點在軸正半軸上，，兩點在拋物線，已知，求矩形的周長．
18. 已知關于二次函數（為正數）．
（1）當，求二次函數的圖象的頂點坐標；
（2）寫出一個值，使得二次函數（為正整數）的圖象與軸的交點的橫坐標都為整數，并說明理由．
五、（本大題共2小題，每小題10分，滿分20分）
19. 如圖1是某石拱橋，每個拱形都是相同形狀的拋物線，且拋物線的頂點與水平面距離都相同．在其中一個橋洞中，水面寬度為米，如圖2，拱頂距離水面米，并建立平面直角坐標系．
（1）求該拋物線對應的函數表達式；
（2）若水位上漲米，則每個拱橋內水面的寬度是多少？
20. 某公司在甲、乙兩地同時銷售一種新開發的“智慧星”機器人用于輔導學生學習．這種機器人的生產成本為元/臺．甲、乙兩地銷售的價格、銷售量和廣告、管理等各種費用如表所示：
月銷售量x（臺） 銷售價a（元/臺） 月廣告、管理等各種費用（元/月）
甲地 x
乙地 x
（1）若甲，乙兩地月銷售利潤分別為元和元，分別求出與x和與x之間的函數關系式；
（2）若甲、乙兩地每月共銷售臺，怎樣安排甲、乙兩地的銷售量，可得最大利潤？
六、（本題滿分12分）
21. 如圖，一位運動員在距籃下4米處跳起投籃，球運行的路線是拋物線，籃球運行的水平距離為2.5米時達到最大高度，在如圖所示的直角坐標系中，拋物線的表達式為，沿此 拋物線籃球可準確落入籃圈．
（1）求籃圈中心到地面的距離為多少米．
（2）該運動員身高1.8米，在這次跳投中，球在頭頂上方0.25米處出手，問：球出手時，他跳離地面的高度是多少？
（3）籃球被投出后，對方一名近身防守運動員跳起蓋帽，這名防守運動員最大能摸高3.05m，若他想蓋帽成功，則兩名運動員之間的距離不能超過多少米？（直接寫出答案）
七、（本題滿分12.分）
22. 拋物線交軸于，兩點，交軸子點，直線經過點和點．
（1）①求，的值；
②記拋物線的頂點為，則的面積為______；
（2）過點作垂直于軸的直線與拋物線相交于點，求線段的最大值．
八、（本題滿分14分）
23. 如圖1，拋物線經過，兩點，與軸交于點，為第四象限內拋物線上一點．
（1）求拋物線的函數表達式；
（2）設四邊形的面積為S，求S的最大值；
（3）如圖2，過點作軸于點，連接，，與軸交于點．當時，求直線的函數表達式及點的坐標．
輕工中學九年級第一次素養評估數學試卷
參考答案
一、選擇題（本大題共10小題，每小題4分，滿分40分）每小題都給出A、B、C、D四個選項，其中只有一個是正確的．
1. 下列函數關系中，是二次函數的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
解：A、，不是的二次函數，故本選項不符合題意；
B、，不是的二次函數，故本選項不符合題意；
C、，是的二次函數，故本選項符合題意；
D、，不是的二次函數，故本選項不符合題意；
故選：C．
2. 如果將拋物線向左平移1個單位，那么所得新拋物線的表達式是（　　）
A. B. C. D.
【答案】D
解：∵拋物線，向左平移1個單位，
∴新拋物線的表達式是，
故選：D
3. 把二次函數化成的形式是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
解：．
故選：B．
4. 對于二次函數的圖象，下列說法正確的是（ ）
A. 函數的最小值為2 B. 函數圖象經過原點
C. 頂點坐標是 D. 與軸有兩個交點
【答案】A
解：A、拋物線的開口向上，當時，，
函數的最小值為2，則正確，故符合題意；
B、當時，，
函數圖象不經過原點，則錯誤，故不符合題意；
C、頂點坐標是，則錯誤，故不符合題意；
D、頂點坐標是，且開口向上，則與軸沒有交點，則錯誤，故不符合題意；
故選A．
5. 拋物線與拋物線的相同點是（ ）
A. 頂點相同 B. 對稱軸相同 C. 開口方向相同 D. 頂點都在軸上
【答案】D
解：拋物線的開口向上，對稱軸為y軸，頂點為，有最低點，
拋物線的開口向下，對稱軸為直線，頂點是，有最高點，
∴拋物線與拋物線的相同點是頂點都在x軸上．
故選：D．
6. 函數的圖象如圖所示，那么關于的方程的根的情況是（ ）
A. 有兩個不相等的實數根 B. 有兩個異號的實數根
C. 有兩個相等的實數根 D. 無實數根
【答案】C
解：∵
∴，
∴方程的解為函數的圖象與直線的交點的橫坐標，
由圖可知函數的圖象與直線的交點只有一個，
∴關于的方程有兩個相等的實數根，
故選：C．
7. 某集成電路公司主動適應市場需求，引進新設備新技術提升產能后，第一年生產晶圓1.5萬片，計劃第三年生產晶圓萬片，設該公司第二、三年生產晶圓片數的年平均增長率為，那么與的函數關系是（ ）
A. B.
C. D.
解：設該公司第二、三年生產晶圓片數的年平均增長率為，
根據題意得，．
故選：A．
8. 已知二次函數，使成立的x的取值范圍是（ ）
A. B. C. D. 或
【答案】D
解：當時，，
解得：或，
∵，
∴當時，或，
故選：D．
9. 如圖，二次函數的圖象開口向上，對稱軸為直線，圖象經過，下列結論中正確的一項是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
解：∵二次函數圖象開口向上，與軸交于負半軸，
∴，，
∵對稱軸，
∴，
∴，故A選項錯誤，不符合題意；
∴，故B選項錯誤，不符合題意；
∵函數圖象與x軸有兩個交點，
∴，
即，故C選項正確，符合題意；
∵二次函數圖象經過，對稱軸為，
∴二次函數圖象與軸的另一個交點為，
當時，，故D選項錯誤，不符合題意；
故選：C ．
10. 如圖，在中，，將折疊，使點的對應點落在邊上，折痕為．若的長為，的長為，那么與之間的關系圖象大約是(　　)
A. B.
C. D.
【答案】B
解：∵的長為， 的長為，
∴，
在中，利用勾股定理，
得，
解得：其中；
故選：B．
二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，滿分20分）
11. 拋物線開口______．（填“向上”或“向下”）
【答案】向下
解：拋物線的開口向下．
故答案為：向下．
12. 初三數學課本上，用“描點法”畫二次函數y＝ax2+bx+c的圖象時，列了如下表格：
x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 …
y … ﹣4 ﹣2 …
根據表格上的信息回答問題：該二次函數y＝ax2+bx+c在x＝3時，y＝___．
【答案】-4
解：觀察表格可知，當x=0或2時，y=-2，
根據二次函數圖象的對稱性，
（0，-2），（2，-2）是拋物線上兩對稱點，
對稱軸為x==1，頂點（1，-2），
根據對稱性，x=3與x=-1時，函數值相等，都是-4．
故答案為：-4
13. 如圖所示是某拋物線形的隧道示意圖．已知拋物線的函數解析式為，為增加照明度，在該拋物線上距地面高為6米的點E，F處要安裝兩盞燈，則這兩盞燈的水平距離是___________米．（可用含根號的式子表示）
【答案】
解：當時，則，
解得，
∴米，
故答案為：．
14. 已知二次函數．
（1）當，時，該函數圖象的頂點坐標為______；
（2）當時，y的最大值為7；當時，y的最大值為3，則______．
【答案】 ①. ②.
解：（1）當、時，
，
∴該函數圖象的頂點坐標為；
（2）∵，
∴頂點坐標為，
∵正中，，
∴拋物線開口向下，
∵當時，y的最大值為7；當時，y的最大值為3，
∴該拋物線的頂點坐標在第二象限，即，解得：，
∴當時，；當時，，
∴，解得：，
∴．
故答案為：，．
三、（本大題共2小題，每小題8分，滿分16分）
15. 將二次函數化為一般形式，并指出其二次項系數、一次項系數和常數項．
解：；
其中二次項系數是、一次項系數是、常數項是4．
16. 已知二次函數．
（1）填空：拋物線開口方向是______，對稱軸______，頂點坐標______；
（2）列表，在如圖所示的直角坐標系中畫出的圖象．
…
…
…
…
（1）解：∵二次函數，，
∴拋物線開口方向向下，對稱軸為直線，頂點坐標為；
（2）解：∵二次函數，
∴當時，，
當時，，當時，，
列表如下：
… 0 1 …
… 0 3 4 3 0 …
該函數的圖象如圖所示．
四、（本大題共2小題，每小題8分，滿分16分）
17. 如圖，四邊形是矩形，，兩點在軸的正半軸上，，兩點在拋物線，已知，求矩形的周長．
解：∵
∴點A的橫坐標為1
∴將代入
∴，
∴
∴將代入得，
整理得，
解得或5
∴點C的橫坐標為5
∵四邊形是矩形
∴，
∴矩形的周長．
18. 已知關于的二次函數（為正數）．
（1）當，求二次函數的圖象的頂點坐標；
（2）寫出一個值，使得二次函數（為正整數）的圖象與軸的交點的橫坐標都為整數，并說明理由．
（1）解：當時，二次函數為：
，，
∴頂點坐標為；
（2）解：令，方程為一元二次方程，
，
，
當時，，
∴，，
∴當時，二次函數的圖象與軸的交點的橫坐標一個一定為1，另一個不可能為整數；
當時，，
∴，，
∴當時，二次函數的圖象與軸的交點的橫坐標一個一定為1，當k為3的正整數倍時，另一個根一定為整數；
當時，，二次函數的圖象與軸的交點的橫坐為整數1，
∴或3的正整數倍時，二次函數（k為正整數）與軸的交點的橫坐標都為整數．
五、（本大題共2小題，每小題10分，滿分20分）
19. 如圖1是某石拱橋，每個拱形都是相同形狀的拋物線，且拋物線的頂點與水平面距離都相同．在其中一個橋洞中，水面寬度為米，如圖2，拱頂距離水面米，并建立平面直角坐標系．
（1）求該拋物線對應的函數表達式；
（2）若水位上漲米，則每個拱橋內水面的寬度是多少？
（1）解：根據圖2可得，二次函數圖象經過，此時拱頂距離水面米，
∴二次函數圖象的頂點坐標為，
設二次函數圖象的解析式為，把代入得，，
解得，，
∴二次函數圖象的解析式為；
（2）解：若水位上漲米，則，
∴，
解得，，
∴（米），
∴水位上漲米，則每個拱橋內水面的寬度是米．
20. 某公司在甲、乙兩地同時銷售一種新開發的“智慧星”機器人用于輔導學生學習．這種機器人的生產成本為元/臺．甲、乙兩地銷售的價格、銷售量和廣告、管理等各種費用如表所示：
月銷售量x（臺） 銷售價a（元/臺） 月廣告、管理等各種費用（元/月）
甲地 x
乙地 x
（1）若甲，乙兩地月銷售利潤分別為元和元，分別求出與x和與x之間的函數關系式；
（2）若甲、乙兩地每月共銷售臺，怎樣安排甲、乙兩地的銷售量，可得最大利潤？
（1）解：根據題意得，，
，
∴，；
（2）解：設運往乙地m臺，總利潤為w元，
根據題意得：，
∵，
∴當時，w取得最大值，
（臺），
∴運往甲地臺，運往乙地臺，可得最大利潤．
六、（本題滿分12分）
21. 如圖，一位運動員在距籃下4米處跳起投籃，球運行的路線是拋物線，籃球運行的水平距離為2.5米時達到最大高度，在如圖所示的直角坐標系中，拋物線的表達式為，沿此 拋物線籃球可準確落入籃圈．
（1）求籃圈中心到地面的距離為多少米．
（2）該運動員身高1.8米，在這次跳投中，球在頭頂上方0.25米處出手，問：球出手時，他跳離地面的高度是多少？
（3）籃球被投出后，對方一名近身防守運動員跳起蓋帽，這名防守運動員最大能摸高3.05m，若他想蓋帽成功，則兩名運動員之間的距離不能超過多少米？（直接寫出答案）
（1）解：根據已知可得，籃圈中心的橫坐標為，
在中，令得，
籃圈中心的縱坐標為3.05，
籃圈中心到地面的距離為3.05米；
（2）解：設球出手時，他跳離地面的高度是米，則出手點坐標為，
，
解得，
球出手時，他跳離地面的高度是0.2米；
（3）解：在中，令得：，
解得（舍去）或，
，
兩名運動員之間的距離不能超過1米．
七、（本題滿分12.分）
22. 拋物線交軸于，兩點，交軸子點，直線經過點和點．
（1）①求，的值；
②記拋物線的頂點為，則的面積為______；
（2）過點作垂直于軸的直線與拋物線相交于點，求線段的最大值．
（1）解：①由題意，對于分別令，則
∴，
令，則
∴，
再將A、C再代入得，
，
∴，；
②由①得拋物線為，
∴頂點D為，
∴，
故答案為：．
（2）解：∵，軸，
∴，
∴，，
∴，
∵，且，
∴當時，取得最大值．
八、（本題滿分14分）
23. 如圖1，拋物線經過，兩點，與軸交于點，為第四象限內拋物線上一點．
（1）求拋物線的函數表達式；
（2）設四邊形面積為S，求S的最大值；
（3）如圖2，過點作軸于點，連接，，與軸交于點．當時，求直線的函數表達式及點的坐標．
（1）解：將，代入，得：
，
，
；
（2）解：過點P作軸于點N，如圖所示，
令，則，
∴，
∴，
∵P為第四象限內拋物線上一點，設點，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴
，
∵
∴當時，S有最大值，．
（3）解：設交y軸于點N，如圖，
∵軸，軸，
∴，
，
，
，
，
，
設，則，
，
，
，
設直線的解析式為，把，代入得：
，
，
，
令，
解得：，，
∴點P的橫坐標為，
把代入得：，
∴點P的坐標為．

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