資源簡介

九年級數學
注意事項：
1．你拿到的試卷滿分為150分，考試時間為120分鐘．
2．本試卷包括“試題卷”和“答題卷”兩部分，“試題卷”共4頁，“答題卷”共6頁．
3．請務必在“答題卷”上答題，在“試題卷”上答題是無效的．
4．考試結束后，請將“試題卷”和“答題卷”一并交回．
一、選擇題（本大題共10小題，每小題4分，滿分40分）每小題都給出A、B、C、D四個選項，其中只有一個是符合題目要求的．
1. 下列函數是二次函數的是（ ）
A. B. C. D.
2. 拋物線的頂點坐標是（ ）
A. B. C. D.
3. 把拋物線先向右平移個單位，再向下平移個單位，則平移后拋物線的表達式為（ ）
A. B.
C. D.
4. 二次函數的圖象的對稱軸是（ ）
A. 直線 B. 直線 C. 直線 D. 直線
5. 下列二次函數解析式中，其圖象與y軸的交點在x軸下方的是（　　）
A B. C. D.
6. 在函數的圖象上，當隨的增大而減小時，的取值范圍為（ ）
A. B. C. D.
7. 二次函數（為常數，且）中的與的部分對應值如下表：
x 0 1 3
y 3 5 3
則代數式的值為（ ）
A. B. C. D.
8. 如圖1是拋物線形石拱橋，當水面離拱頂時，水面寬．建立如圖2所示的平面直角坐標系，則拋物線的表達式為（ ）
A. B. C. D.
9. 如圖是拋物線圖象的一部分，拋物線的頂點的坐標是，與軸的一個交點的坐標為，直線經過兩點．下列結論錯誤的是（ ）
A. B. 方程有兩個相等的實數根
C. 當時， D. 拋物線與軸的另一個交點是
10. 如圖，函數和（是常數，且）在同一平面直角坐標系中圖象可能是（ ）
A. B.
C. D.
二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，滿分20分）
11. 若二次函數的圖象經過原點，則的值為______．
12. 把二次函數由一般式化成頂點式為，則的值為______．
13. 若拋物線圖像與一次函數的圖像有兩個交點，分別為，，則關于的方程的解為______．
14. 如圖，在平面直角坐標系中，點，點，點為上一點，過點作，且，連接．
（1）當點為的中點時，的長為______．
（2）當點在上移動時，的最小值為______．
三、（本大題共2小題，每小題8分，滿分16分）
15. 已知二次函數的圖象經過點，求該二次函數的表達式．
16. 已知拋物線與直線的圖象交于兩點（點在點的左側），試分別求兩點的橫坐標．
四、（本大題共2小題，每小題8分，滿分16分）
17. 已知拋物線．
（1）求該拋物線的開口方向、對稱軸及頂點坐標；
（2）當為何值時，隨的增大而減小，當為何值時，隨的增大而增大？
18. 如圖是學校校園內一堵圍墻邊上的一塊空地，現準備用木欄圍成一個矩形菜園作為學生的實踐基地．已知矩形菜園的一邊靠墻（墻足夠長），另三邊一共用了木欄．請設計一個修建方案，使得矩形菜園的面積最大．
五、（本大題共2小題，每小題10分，滿分20分）
19. 已知二次函數的圖像的頂點為．
（1）求，的值；
（2）當時，求的取值范圍．
20. 已知二次函數（是常數）．
（1）若該函數的圖象與軸有兩個不同的交點，求的取值范圍．
（2）若該二次函數的圖象與軸的其中一個交點坐標為，求一元二次方程的解．
六、（本題滿分12分）
21. 如圖，點在軸的正半軸上，且，點在軸的正半軸上，且，直線與拋物線在第一象限內相交于點，連接，已知．
（1）求的值；
（2）若將拋物線先向右平移個單位，再向下平移個單位，恰好經過點，試確定值．
七、（本題滿分12分）
22. 又到了板栗飄香季節，為提高大家購買的積極性，銷售板栗的順發果業每天拿出元現金，作為紅包發給購買者．已知板栗每日銷售量與銷售單價（元）滿足關系：．當每日銷售量低于時，成本價格為元；當每日銷售量不低于時，成本價格為元；在銷售中銷售單價不低于成本價格且不高于元．設銷售板栗的日獲利為（元）．
（1）當日銷售量不低于時，的取值范圍是______；
（2）請求出日獲利與銷售單價之間的函數關系式；
（3）當銷售單價定為多少時，銷售這種板栗日獲利最大？最大利潤為多少元？
八、（本題滿分14分）
23. 如圖，拋物線與軸交于，兩點，交軸于點．
（1）求拋物線的表達式；
（2）點是第一象限內拋物線上的一點，過點作直線軸于點，交直線于點．
①當時，求點的坐標；
②當取得最大值時，求點的坐標．
九年級數學參考答案
一、選擇題（本大題共10小題，每小題4分，滿分40分）每小題都給出A、B、C、D四個選項，其中只有一個是符合題目要求的．
1. 下列函數是二次函數的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
解：A、，不是二次函數，不符合題意；
B、，是二次函數，符合題意；
C、，是一次函數，不符合題意；
D、，不是二次函數，不符合題意；
故選：B ．
2. 拋物線的頂點坐標是（ ）
A B. C. D.
【答案】C
解：拋物線解析式為，
拋物線頂點坐標為，
故選：C．
3. 把拋物線先向右平移個單位，再向下平移個單位，則平移后拋物線的表達式為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
解：拋物線先向右平移個單位，再向下平移個單位，平移后拋物線的表達式是，
故選：A．
4. 二次函數的圖象的對稱軸是（ ）
A. 直線 B. 直線 C. 直線 D. 直線
【答案】D
解：已知二次函數，
∴頂點坐標為，
∴對稱軸為，
故選：D ．
5. 下列二次函數解析式中，其圖象與y軸的交點在x軸下方的是（　　）
A. B. C. D.
【答案】B
解：A：令，，交點在x軸上方，不符合題意；
B：令，，交點在x軸下方，符合題意；
C：令，，交點在x軸上方，不符合題意；
D：令，，交點在坐標原點，不符合題意；
故選：B
6. 在函數的圖象上，當隨的增大而減小時，的取值范圍為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
解：已知，
∴二次函數圖象的開口向下，頂點坐標為，
∴當時，隨的增大而增大，當時，隨的增大而減小，
∴當 隨 的增大而減小時， 的取值范圍為，
故選：A ．
7. 二次函數（為常數，且）中的與的部分對應值如下表：
x 0 1 3
y 3 5 3
則代數式的值為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
解：當時，；當時，；
∴二次函數圖象的對稱軸為，
∴，
當時，，
∴，
故選：B ．
8. 如圖1是拋物線形石拱橋，當水面離拱頂時，水面寬．建立如圖2所示的平面直角坐標系，則拋物線的表達式為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
解：根據題意，二次函數圖象經過，頂點坐標為，設二次函數解析式為，
∴，
解得，，
∴二次函數解析式為，
故選：A ．
9. 如圖是拋物線圖象的一部分，拋物線的頂點的坐標是，與軸的一個交點的坐標為，直線經過兩點．下列結論錯誤的是（ ）
A. B. 方程有兩個相等的實數根
C. 當時， D. 拋物線與軸的另一個交點是
【答案】A
解：根據二次函數圖象開口向下，與軸的交于正半軸，
∴，
∵頂點坐標為，
∴對稱軸，
∴，
∴，故A選項錯誤，符合題意；
∵二次函數的頂點坐標為，即當時，，
∴有兩個相等的實數根，，故B選項正確，不符合題意；
根據圖示可得，當時，，故C選項正確，不符合題意；
∵二次函數的對稱軸為，與軸的一個交點坐標為，
∴另一個交點的橫坐標為，
∴拋物線與軸的另一個交點是，故D選項正確，不符合題意；
故選：A ．
10. 如圖，函數和（是常數，且）在同一平面直角坐標系中的圖象可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
解：當時，則，
∴一次函數的圖象經過第一、二、四象限；
二次函數的圖象開口向上，對稱軸為，即對稱軸在軸的左邊，當時，，即與軸交于點；
∴A選項的圖，一次函數圖象正確，二次函數圖象不正確，不符合題意；
B選項的圖，一次函數圖象不正確，二次函數圖象正確，不符合題意；
C、D選項均不符合該種情況；
當時，，
∴一次函數圖象經過第一、三、四象限；
二次函數圖象開口向下，對稱軸，即對稱軸在軸右邊，與軸交于點；
如圖所示，
∴D選項的圖符合題意，
故選：D ．
二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，滿分20分）
11. 若二次函數的圖象經過原點，則的值為______．
【答案】1
解：∵二次函數的圖象經過原點，
∴，且
解得，，，
∴的值為，
故答案為： ．
12. 把二次函數由一般式化成頂點式為，則的值為______．
【答案】
解：，
二次函數由一般式化成頂點式為，
，
解得：，
，
故答案為：．
13. 若拋物線的圖像與一次函數的圖像有兩個交點，分別為，，則關于的方程的解為______．
【答案】，
解：拋物線的圖像與一次函數的圖像有兩個交點，分別為，，
聯立二次函數及一次函數解析式可得，即，
關于的方程的解為，；
故答案為：，．
14. 如圖，在平面直角坐標系中，點，點，點為上一點，過點作，且，連接．
（1）當點為的中點時，的長為______．
（2）當點在上移動時，的最小值為______．
【答案】 ①. ②.
解：∵，
∴，
∵，
∴，且，
（1）當是的中點，如圖所示，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，則，
∵，
∴，
∴，且，
在中，
，
∴，
∴；
（2）∵，
∴，
∴，
如圖所示，作點關于軸的對稱點，連接，
∴，
∵，
∴，即是等腰三角形，
∴點在上運動時，始終是等腰三角形，
∴點在直線上運動，
當時，的值最小，
如圖所示，過點作軸于點，
∴在中，
，
∴，
∴，
設，則，
∴點，且，
設直線的解析式為，
∴，
解得，，
∴直線的解析式為，
設直線與軸交于點，當時，，
∴，則，
∴，
∵，
∴，且，
∴是等腰直角三角形，
∴，
在中，，
∴，
∴的最小值為；
故答案為：（1）；（2） ．
三、（本大題共2小題，每小題8分，滿分16分）
15. 已知二次函數的圖象經過點，求該二次函數的表達式．
【答案】
解：∵二次函數的圖象經過點，
∴，
解得，，
∴二次函數解析式為．
16. 已知拋物線與直線的圖象交于兩點（點在點的左側），試分別求兩點的橫坐標．
【答案】點的橫坐標為，點的橫坐標為
解：根據題意，聯立方程組得，
，整理，得，
解得，或，
∴交點坐標為，
∵點在點 的左側，
∴點的橫坐標為，點的橫坐標為．
四、（本大題共2小題，每小題8分，滿分16分）
17. 已知拋物線．
（1）求該拋物線的開口方向、對稱軸及頂點坐標；
（2）當為何值時，隨的增大而減小，當為何值時，隨的增大而增大？
（1）解：∵，，
∴該拋物線開口向下，對稱軸為直線，頂點坐標為．
（2）∵拋物線的開口向下，
∴當時，隨的增大而減小，當時， 隨的增大而增大．
18. 如圖是學校校園內一堵圍墻邊上的一塊空地，現準備用木欄圍成一個矩形菜園作為學生的實踐基地．已知矩形菜園的一邊靠墻（墻足夠長），另三邊一共用了木欄．請設計一個修建方案，使得矩形菜園的面積最大．
解：設，則，設矩形菜園的面積為，
，
當時，最大，最大值為，
，
當長為，寬為時，矩形菜園的面積最大，最大值為．
五、（本大題共2小題，每小題10分，滿分20分）
19. 已知二次函數的圖像的頂點為．
（1）求，的值；
（2）當時，求的取值范圍．
（1）解：二次函數的圖像的頂點為，
設該二次函數的頂點式為，化簡得，
，；
（2）當時，
，
，
，
，
，，
由圖可知，當時，或．
20. 已知二次函數（是常數）．
（1）若該函數的圖象與軸有兩個不同的交點，求的取值范圍．
（2）若該二次函數的圖象與軸的其中一個交點坐標為，求一元二次方程的解．
解：（1）∵二次函數的圖象與軸有兩個不同的交點，
∴一元二次方程=0有兩個不相等的實數根，
∴b2-4ac＞0，即0，解得；
（2）∵二次函數的圖象與軸的其中一個交點坐標為(-1，0)，
∴，解得，
∴一元二次方程=0為0，解得，．
六、（本題滿分12分）
21. 如圖，點在軸的正半軸上，且，點在軸的正半軸上，且，直線與拋物線在第一象限內相交于點，連接，已知．
（1）求的值；
（2）若將拋物線先向右平移個單位，再向下平移個單位，恰好經過點，試確定的值．
（1）解：∵，
∴，
設直線的解析式為，
∴，
解得，，
∴直線的解析式為，
∵二次函數與直線在第一象限交于點，
∴設，則點到軸的距離為，
∵，即，
∴，即，
解得，，
∴，
∴，
解得，；
（2）解：由（1）可得二次函數的解析式為，
∴經過平移后的解析式為，
∵平移后的圖象經過點，
∴，
解得，．
七、（本題滿分12分）
22. 又到了板栗飄香的季節，為提高大家購買的積極性，銷售板栗的順發果業每天拿出元現金，作為紅包發給購買者．已知板栗每日銷售量與銷售單價（元）滿足關系：．當每日銷售量低于時，成本價格為元；當每日銷售量不低于時，成本價格為元；在銷售中銷售單價不低于成本價格且不高于元．設銷售板栗的日獲利為（元）．
（1）當日銷售量不低于時，的取值范圍是______；
（2）請求出日獲利與銷售單價之間的函數關系式；
（3）當銷售單價定為多少時，銷售這種板栗日獲利最大？最大利潤為多少元？
（1）解：由題意得：，
解得：，
當每日銷售量不低于時，成本價格為元；在銷售中銷售單價不低于成本價格且不高于元．
，
故答案為：；
（2）當時，即日銷售量不低于時，；
∵，
∴，
當時，即每日銷售量低于時，；
綜上所述，日獲利與銷售單價之間的函數關系式為；
（3）當時，，
，
當時，隨的增大而增大，
當時，最大，最大值為（元）；
當時，，
當時，最大，最大值為元，
，
當銷售單價定為元時，銷售這種板栗日獲利最大，最大利潤為元．
八、（本題滿分14分）
23. 如圖，拋物線與軸交于，兩點，交軸于點．
（1）求拋物線的表達式；
（2）點是第一象限內拋物線上的一點，過點作直線軸于點，交直線于點．
①當時，求點的坐標；
②當取得最大值時，求點的坐標．
（1）解：根據題意，把代入拋物線中得，
，
解得，，
∴二次函數解析式為：；
（2）解：由（1）可得二次函數解析式為，
∴令時，，則，
設直線的解析式為，
∴，
解得，，
∴直線的解析式為，
①∵點是第一象限內拋物線上點，
∴設，
∵軸交直線與點，
∴，
∴，，
當時，，整理得，，
∴，
解得，，（不符合題意，舍去），
當時，，則；
∴當時，點的坐標為；
②已知，
∵，
∴當時，有最大值，且最大值為，
此時，
∴點的坐標為．

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