資源簡介

2025屆九年級第一次學(xué)情調(diào)研
數(shù)學(xué)卷（RJ）
注意事項(xiàng)：
1．你拿到的試卷滿分為150分，考試時(shí)間為120分鐘．
2．本試卷包括“試題卷”和“答題卷”兩部分．“試題卷”共4頁，“答題卷”共4頁．
3．請務(wù)必在“答題卷”上答題，在“試題卷”上答題是無效的．
一、選擇題（本大題共10小題，每小題4分，滿分40分）
1. 下列方程是一元二次方程的是（ ）
A. B.
C. D.
2. 一元二次方程x2﹣x+2=0的根的情況是（　　）
A. 有兩個(gè)相等實(shí)數(shù)根 B. 有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 C. 無實(shí)數(shù)根 D. 只有一個(gè)實(shí)數(shù)根
3. 對于二次函數(shù)的圖象，下列說法正確的是（ ）
A. 圖象與y軸交點(diǎn)的坐標(biāo)是 B. 對稱軸是直線
C. 頂點(diǎn)坐標(biāo)為 D. 當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而增大
4. 關(guān)于方程的一個(gè)根是，則另一個(gè)根是（ ）
A. 1 B. C. 2 D.
5. 把拋物線向左平移1個(gè)單位，再向下平移2個(gè)單位，得到的拋物線的解析式為（ ）
A. B.
C. D.
6. 若方程的兩根為，，則的值為（ ）
A. B. 4 C. D.
7. 如圖所示，在中，，，，點(diǎn)P以的速度從點(diǎn)A開始沿邊向點(diǎn)B移動，點(diǎn)Q以的速度從點(diǎn)B開始沿邊向點(diǎn)C移動，且點(diǎn)P，Q分別從點(diǎn)A，B同時(shí)出發(fā)，若有一點(diǎn)到達(dá)目的地，則另一點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動．要使P，Q兩點(diǎn)之間的距離等于，則需要經(jīng)過（ ）
A. B. 2s C. D. 或2s
8. 若，，為二次函數(shù)的圖象上的三點(diǎn)，則，，的大小關(guān)系是（ ）
A. B. C. D.
9. 二次函數(shù)，當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而減小，則k的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
10. 如圖，在中，對角線，相交于點(diǎn)，，，．若過點(diǎn)且與邊，分別相交于點(diǎn)，，設(shè)，，則關(guān)于的函數(shù)圖象大致為（ ）
A. B. C. D.
二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，滿分20分）
11. 一元二次方程x2＝2x的解為________．
12. 已知關(guān)于x的一元二次方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則a的取值范圍是________．
13. 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A在拋物線y＝x2﹣2x+3上運(yùn)動，過點(diǎn)A作AC⊥x軸于點(diǎn)C，以AC為對角線作矩形ABCD，連結(jié)BD，則對角線BD的最小值為_____．
14. 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線交x軸于點(diǎn)，B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C．
（1）______；
（2）點(diǎn)P是直線上方拋物線上的一動點(diǎn)，過點(diǎn)P作于點(diǎn)D，過點(diǎn)P作y軸的平行線交直線于點(diǎn)E，當(dāng)周長的最大時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為______．
三、（本大題共2小題，每小題8分，滿分16分）
15. 解下列方程：
（1）（配方法）
（2）
16. 拋物線經(jīng)過點(diǎn)、、，求該拋物線的解析式．
四、（本大題共2小題，每小題8分，滿分16分）
17. 定義：如果一元二次方程滿足，那么我們稱這個(gè)方程為“和諧方程”．
（1）判斷一元二次方程是否為“和諧方程”，說明理由；
（2）已知是關(guān)于x的“和諧方程”，若是此“和諧方程”的一個(gè)根，求m，n的值．
18. 如圖所示的是一個(gè)三角點(diǎn)陣，從上向下數(shù)有無數(shù)多行，其中第一行有個(gè)點(diǎn)，第二行有個(gè)點(diǎn)，，第行有個(gè)點(diǎn)．
（1）根據(jù)上面的內(nèi)容，請直接寫出是三角點(diǎn)陣中前行的點(diǎn)數(shù)和；
（2）請直接寫出三角點(diǎn)陣中前行的點(diǎn)數(shù)和_____；
（3）三角點(diǎn)陣中前行的點(diǎn)數(shù)和能是嗎？如果能，請求出的值；如果不能，請說明理由．
五、（本大題共2小題，每小題10分，滿分20分）
19. 已知關(guān)于x的一元二次方程．
（1）求證：不論m取何值，方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；
（2）若方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為，，且，求m的值．
20 某商場銷售某男款上衣，剛上市時(shí)每件可盈利元，銷售一段時(shí)間后開始滯銷，經(jīng)過連續(xù)兩次降價(jià)后，每件盈利64元，此時(shí)平均每天可售出30件．
（1）求平均每次降價(jià)盈利減少的百分率；
（2）為擴(kuò)大銷售量，盡快減少庫存，在國慶期間該商場決定在每件盈利64元的情況下再次采取適當(dāng)?shù)慕祪r(jià)措施，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，一件男款上衣再次降價(jià)時(shí)，每降價(jià)1元，每天可多售出2件，若商場每天要盈利元，每件應(yīng)再降價(jià)多少元？
六、（本題滿分12分）
21. 如圖，拋物線（、常數(shù)）與軸交于、．
（1）求拋物線的解析式；
（2）點(diǎn)在拋物線上，且點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，直線與拋物線的對稱軸交于點(diǎn)，拋物線的頂點(diǎn)為，求的面積；
（3）在（2）的條件下，點(diǎn)是拋物線上一動點(diǎn)，求線段長的最小值．
七、（本題滿分12分）
22. 綜合與實(shí)踐：
項(xiàng)目任務(wù)：校園草坪設(shè)計(jì)
項(xiàng)目背景：學(xué)校舉辦“迎十一，愛祖國，愛勞動”主題實(shí)踐活動，九（1）班參加校園草坪設(shè)計(jì)：
校園內(nèi)有一塊寬為20米，長為30米的矩形草坪，在草坪上設(shè)計(jì)兩條小路．具體要求：
①矩形草坪每條邊上必須有一個(gè)口寬相等的路口；②兩條小路必須設(shè)計(jì)成平行四邊形．
任務(wù)1 九（1）班各個(gè)實(shí)踐小組的設(shè)計(jì)方案匯總后，主要有甲、乙、丙三種不同的方案（如圖）：
（1）直觀猜想：方案中小路的總面積大小關(guān)系：______，______；（請?zhí)睢啊被颉啊保?br/>任務(wù)2 （2）驗(yàn)證猜想：請用含x代數(shù)式表示甲方案中小路總面積______；
任務(wù)3 （3）如果甲種方案除小路后草坪總面積約為551平方米．請求每條小路的寬度是多少？
任務(wù)4 （4）為了深入研究，各個(gè)小組選擇丙方案（如圖2）進(jìn)行研究，若兩條小路與矩形兩組對邊所夾銳角．用含x的代數(shù)式表示四邊形的面積．
八、（本題滿分14分）
23. 已知二次函數(shù)（b、c為常數(shù)）．
（1）當(dāng)，時(shí)，求函數(shù)最小值；
（2）當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最小值為，求b的值；
（3）當(dāng)且時(shí)，函數(shù)有最小值，求二次函數(shù)的解析式．
2025屆九年級第一次學(xué)情調(diào)研
數(shù)學(xué)卷（RJ）
參考答案
一、選擇題（本大題共10小題，每小題4分，滿分40分）
1. 下列方程是一元二次方程的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
解：A、方程中未知數(shù)的次數(shù)是1，不是一元二次方程，故本選項(xiàng)不符合題意；
B、方程是一元二次方程，故本選項(xiàng)符合題意．
C、方程由兩個(gè)未知數(shù)，不是一元二次方程，故本選項(xiàng)不符合題意；
D、方程是分式方程，不是一元二次方程，故本選項(xiàng)不符合題意．
故選：B．
2. 一元二次方程x2﹣x+2=0的根的情況是（　　）
A. 有兩個(gè)相等實(shí)數(shù)根 B. 有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 C. 無實(shí)數(shù)根 D. 只有一個(gè)實(shí)數(shù)根
【答案】C
解：∵△=b2-4ac=1-8=-7＜0，
∴方程無實(shí)數(shù)根．
故選C．
3. 對于二次函數(shù)的圖象，下列說法正確的是（ ）
A. 圖象與y軸交點(diǎn)的坐標(biāo)是 B. 對稱軸是直線
C. 頂點(diǎn)坐標(biāo)為 D. 當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而增大
【答案】D
解：將代入，求出，故圖象與y軸交點(diǎn)的坐標(biāo)是，選項(xiàng)A錯誤；
對稱軸是直線，故選項(xiàng)B錯誤；
頂點(diǎn)坐標(biāo)為，故選項(xiàng)C錯誤，
因?yàn)楹瘮?shù)開口向下，當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而增大，故選項(xiàng)D正確．
故選：D．
4. 關(guān)于方程的一個(gè)根是，則另一個(gè)根是（ ）
A. 1 B. C. 2 D.
【答案】C
解：∵關(guān)于方程的一個(gè)根是，設(shè)另一個(gè)根為，
∴
∴，
故選：C．
5. 把拋物線向左平移1個(gè)單位，再向下平移2個(gè)單位，得到的拋物線的解析式為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
解：拋物線向左平移1個(gè)單位，再向下平移2個(gè)單位，得到拋物線的解析式為，
故選B．
6. 若方程的兩根為，，則的值為（ ）
A. B. 4 C. D.
【答案】A
解：∵方程的兩根為，，
∴，
∴，
故選：A
7. 如圖所示，在中，，，，點(diǎn)P以的速度從點(diǎn)A開始沿邊向點(diǎn)B移動，點(diǎn)Q以的速度從點(diǎn)B開始沿邊向點(diǎn)C移動，且點(diǎn)P，Q分別從點(diǎn)A，B同時(shí)出發(fā)，若有一點(diǎn)到達(dá)目的地，則另一點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動．要使P，Q兩點(diǎn)之間的距離等于，則需要經(jīng)過（ ）
A. B. 2s C. D. 或2s
【答案】A
解：設(shè)后P、Q之間的距離等于，
由題意得，，
∴，
∵，
∴，
解得，，
當(dāng)時(shí)，，應(yīng)舍去
∴，
∴需要經(jīng)過．
故選：A．
8. 若，，為二次函數(shù)的圖象上的三點(diǎn)，則，，的大小關(guān)系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
解：依題意可得函數(shù)對稱軸為，且函數(shù)開口向上，
點(diǎn)關(guān)于的對稱點(diǎn)為，
根據(jù)題意可得，當(dāng)時(shí)，隨著軸的增大而減小，
，
故選B．
9. 二次函數(shù)，當(dāng)時(shí)，y隨x增大而減小，則k的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
解：∵二次函數(shù)，
∴對稱軸為直線，
∵當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而減小，
∴
故選C
10. 如圖，在中，對角線，相交于點(diǎn)，，，．若過點(diǎn)且與邊，分別相交于點(diǎn)，，設(shè)，，則關(guān)于的函數(shù)圖象大致為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
解：如圖過點(diǎn)向作垂線，交于點(diǎn)，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵四邊形是平行四邊形，
∴，
∵，，
∴，
∴，
設(shè)，則，
∵，
∴，
∴，
當(dāng)時(shí)，,
當(dāng)時(shí)，．且圖像是二次函數(shù)的一部分,
故選：B．
二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，滿分20分）
11. 一元二次方程x2＝2x的解為________．
【答案】x1＝0，x2＝2
解：移項(xiàng)得x2－2x=0，即x（x－2）=0，
解得x=0或x=2．
故答案為：
12. 已知關(guān)于x的一元二次方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則a的取值范圍是________．
【答案】且
解：關(guān)于x的一元二次方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，
，且，
解得：且，
故答案為：且．
13. 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A在拋物線y＝x2﹣2x+3上運(yùn)動，過點(diǎn)A作AC⊥x軸于點(diǎn)C，以AC為對角線作矩形ABCD，連結(jié)BD，則對角線BD的最小值為_____．
【答案】2．
解：y=x2-2x+3=（x-1）2+2，
則拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，2），
∴當(dāng)點(diǎn)A在拋物線的頂點(diǎn)時(shí)，AC最小，最小值為2，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴AC=BD，
∴對角線BD的最小值為2，
故答案為2．
14. 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線交x軸于點(diǎn)，B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C．
（1）______；
（2）點(diǎn)P是直線上方拋物線上的一動點(diǎn)，過點(diǎn)P作于點(diǎn)D，過點(diǎn)P作y軸的平行線交直線于點(diǎn)E，當(dāng)周長的最大時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為______．
【答案】 ①. ②.
解：（1）將點(diǎn)代入函數(shù)解析式，
即，
解得，
故答案為：．
（2）由（1）可得，
令，即，解得或，
令，即，
故，
設(shè)解析式為：，
將代入，
解得，
解析式為：，
設(shè)點(diǎn)，則點(diǎn)，
，
，拋物線開口向下，
當(dāng)時(shí)，最大，為，
，
，
，
，則，
當(dāng)最大時(shí)，即時(shí)，最大，
則點(diǎn)，
故答案為：．
三、（本大題共2小題，每小題8分，滿分16分）
15. 解下列方程：
（1）（配方法）
（2）
（1）解：，
移項(xiàng)得：，
配方得：，即，
開平方得：，
∴，．
（2）解：，
移項(xiàng)得：，
分解因式得：，
∴或，
解得，．
16. 拋物線經(jīng)過點(diǎn)、、，求該拋物線的解析式．
解：由題意可設(shè)函數(shù)解析式為，
將代入，
，
解得，
．
四、（本大題共2小題，每小題8分，滿分16分）
17. 定義：如果一元二次方程滿足，那么我們稱這個(gè)方程為“和諧方程”．
（1）判斷一元二次方程是否為“和諧方程”，說明理由；
（2）已知是關(guān)于x的“和諧方程”，若是此“和諧方程”的一個(gè)根，求m，n的值．
（1）解：當(dāng)時(shí)，，
故一元二次方程是 “和諧方程”；
（2）解：是關(guān)于x的“和諧方程”，
當(dāng)時(shí)，，
是此“和諧方程”的一個(gè)根，
，
即，
解得．
故．
18. 如圖所示的是一個(gè)三角點(diǎn)陣，從上向下數(shù)有無數(shù)多行，其中第一行有個(gè)點(diǎn)，第二行有個(gè)點(diǎn)，，第行有個(gè)點(diǎn)．
（1）根據(jù)上面的內(nèi)容，請直接寫出是三角點(diǎn)陣中前行的點(diǎn)數(shù)和；
（2）請直接寫出三角點(diǎn)陣中前行的點(diǎn)數(shù)和_____；
（3）三角點(diǎn)陣中前行的點(diǎn)數(shù)和能是嗎？如果能，請求出的值；如果不能，請說明理由．
（1）解：由于第一行有1個(gè)點(diǎn)，第二行有2個(gè)點(diǎn)第行有個(gè)點(diǎn)，
前行共有個(gè)點(diǎn)，
∴前行共有個(gè)點(diǎn)，
由題意可得：，
整理得，
，，
為正整數(shù)，
．
故答案為：．
（2）解：∵前行共有個(gè)點(diǎn)，
∴當(dāng)時(shí)，，即三角點(diǎn)陣中前行的點(diǎn)數(shù)和為，
故答案為：．
（3）依題意，得，
即，
解得：或，
為正整數(shù)，
．
當(dāng)時(shí)，三角點(diǎn)陣中前行的點(diǎn)數(shù)的和是．
五、（本大題共2小題，每小題10分，滿分20分）
19. 已知關(guān)于x的一元二次方程．
（1）求證：不論m取何值，方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；
（2）若方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為，，且，求m的值．
（1）證明：，
，
，
故不論m取何值，方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；
（2）解：由題意得：，，
，
，
解得．
20. 某商場銷售某男款上衣，剛上市時(shí)每件可盈利元，銷售一段時(shí)間后開始滯銷，經(jīng)過連續(xù)兩次降價(jià)后，每件盈利64元，此時(shí)平均每天可售出30件．
（1）求平均每次降價(jià)盈利減少的百分率；
（2）為擴(kuò)大銷售量，盡快減少庫存，在國慶期間該商場決定在每件盈利64元的情況下再次采取適當(dāng)?shù)慕祪r(jià)措施，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，一件男款上衣再次降價(jià)時(shí)，每降價(jià)1元，每天可多售出2件，若商場每天要盈利元，每件應(yīng)再降價(jià)多少元？
（1）解：設(shè)平均每次降價(jià)的百分率為x，
由題意可得：，
解得（不合題意，舍去），
答：平均每次降價(jià)的百分率是；
（2）解：設(shè)每件應(yīng)再降價(jià)a元，
由題意可得：，
解得，
為擴(kuò)大銷售量，盡快減少庫存，應(yīng)該降價(jià)元，
答：商場每天要盈利元，每件應(yīng)再降價(jià)元．
六、（本題滿分12分）
21. 如圖，拋物線（、為常數(shù)）與軸交于、．
（1）求拋物線的解析式；
（2）點(diǎn)在拋物線上，且點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，直線與拋物線的對稱軸交于點(diǎn)，拋物線的頂點(diǎn)為，求的面積；
（3）在（2）的條件下，點(diǎn)是拋物線上一動點(diǎn)，求線段長的最小值．
（1）解：∵拋物線（、為常數(shù)）與軸交于、，
∴，
解得，
∴；
（2）解：∴，
∴對稱軸為直線，頂點(diǎn)，
當(dāng)時(shí)，，
∴，
設(shè)直線的表達(dá)式為，將代入，
得，
解得：，
∴直線的表達(dá)式為，
令，則，
∴，
∵頂點(diǎn)，
∴，
∴的面積為；
（3）解：設(shè)，
∵，
∴，
∴當(dāng)時(shí)，有最小值，即有最小值，
解方程得或，
∴當(dāng)?shù)臋M坐標(biāo)為或時(shí)，有最小值，最小值為．
七、（本題滿分12分）
22. 綜合與實(shí)踐：
項(xiàng)目任務(wù)：校園草坪設(shè)計(jì)
項(xiàng)目背景：學(xué)校舉辦“迎十一，愛祖國，愛勞動”主題實(shí)踐活動，九（1）班參加校園草坪設(shè)計(jì)：
校園內(nèi)有一塊寬為20米，長為30米的矩形草坪，在草坪上設(shè)計(jì)兩條小路．具體要求：
①矩形草坪每條邊上必須有一個(gè)口寬相等的路口；②兩條小路必須設(shè)計(jì)成平行四邊形．
任務(wù)1 九（1）班各個(gè)實(shí)踐小組的設(shè)計(jì)方案匯總后，主要有甲、乙、丙三種不同的方案（如圖）：
（1）直觀猜想：方案中小路的總面積大小關(guān)系：______，______；（請?zhí)睢啊被颉啊保?br/>任務(wù)2 （2）驗(yàn)證猜想：請用含x的代數(shù)式表示甲方案中小路總面積______；
任務(wù)3 （3）如果甲種方案除小路后草坪總面積約為551平方米．請求每條小路的寬度是多少？
任務(wù)4 （4）為了深入研究，各個(gè)小組選擇丙方案（如圖2）進(jìn)行研究，若兩條小路與矩形兩組對邊所夾銳角．用含x的代數(shù)式表示四邊形的面積．
解：（1）∵小路都是平行四邊形，
∴甲、乙、丙三種方案中，經(jīng)過平移之后種植草坪的面積都相當(dāng)于一個(gè)長為米，寬為的長方形面積，
又∵整塊地的面積相等，
∴甲、乙、丙三種方案中的小路面積相等，
∴，
故答案為：；；
（2）平方米，
故答案為：平方米；
（3）由（1）可得，
整理得：，
解得或（舍去），
∴每條小路的寬度是1米；
（4）如圖3，連接、、、，過點(diǎn)F作，交于M，
則四邊形是平行四邊形，
∴，，
∴，
∵，，
∴四邊形是平行四邊形，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴四邊形是矩形，
在中，，
同理可得，
∴四邊形的面積為平方米．
八、（本題滿分14分）
23. 已知二次函數(shù)（b、c為常數(shù)）．
（1）當(dāng)，時(shí)，求函數(shù)最小值；
（2）當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最小值為，求b的值；
（3）當(dāng)且時(shí)，函數(shù)有最小值，求二次函數(shù)的解析式．
（1）解：當(dāng)，時(shí)，二次函數(shù)解析式為，
∵，
∴當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最小值，最小值為；
（2）解：當(dāng)時(shí)，二次函數(shù)解析式為，
∵，
∴當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最小值，最小值為，
∵當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最小值為，
∴，
解得；
（3）解：∵，
∴，
∴二次函數(shù)解析式為，
∴對稱軸為直線，
∵，
∴函數(shù)開口向上，在對稱軸左側(cè)，y隨x增大而減小，在對稱軸右側(cè)，y隨x增大而增大，
當(dāng)，即時(shí)，則當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最小值，
∴，
解得（舍去）；
當(dāng)，即時(shí)，則當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最小值，
∴，
∴（舍去）；
當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)的最小值為，
∴，
解得或（舍去）；
綜上所述，，
∴函數(shù)解析式為．

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