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宿城第一初級中學2024-2025學年度第一學期九年級數學第一次綜合素質評價
考生注意：本卷共八大題，計23小題，滿分150分
一、選擇題（本大題共10小題，每小題4分，滿分40分）
1．下列方程中是一元二次方程的是（　　）
A． B．
C． D．
2．下面結論中，正確的是（ ）
A．對角線相等的四邊形是矩形 B．對角線互相平分的四邊形是平行四邊形
C．對角線互相垂直的四邊形是菱形 D．對角線互相垂直且相等的四邊形是正方形
3.關于的一元二次方程的一個根為2，則的值為（ ）
A． B． C． D．
4．如圖，菱形對角線AC與BD交于點，AC=16，BD=12，則菱形的面積為（ ）
A．48 B．96 C．24 D．6
5．關于的一元二次方程的根的情況是（ ）
A．有兩個不相等的實數根 B．有兩個相等的實數根
C．沒有實數根 D．只有一個實數根
6． 如圖，在矩形中，，對角線與相交于點，于點E，當E為中點時，則的長為（ ）
A． B．4 C． D．8
7．如圖，正方形的頂點O與正方形的對角線交點O重合，正方形和正方形的邊長都是2，則圖中重疊部分的面積是（ ）
A．1 B．2 C． D．
8．近年來，由于新能源汽車的崛起，燃油汽車的銷量出現了不同程度的下滑，經銷商紛紛開展降價促銷活動．某款燃油汽車今年2月份售價為23萬元，4月份售價為18.63萬元，設該款汽車這兩月售價的月平均降價率是x，則所列方程正確的是（　　）
A． B．
C． D．
9．用配方法解一元二次方程 ，下列配方正確的是（　　）
A． B． C． D．
10．如圖，正方形和正方形中，點D在上，，H是的中點，那么的長是（ ）
A． B． C． D．2
二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，滿分20分）
11．一元二次方程的解為 ．
12．如圖，在矩形中，點P是線段上一動點，且，E，F為垂足，，則的值為 ．

13.已知，是一元二次方程的兩個實數根，則的值為 ．
14．如圖（1），點F從菱形ABCD的頂點A出發，沿A→D→B以1cm/s的速度勻速運動到點B，點F運動時，△FBC的面積y（cm2）隨時間x（s）的變化關系圖象如圖（2）.
則：（1）BD cm； （2） a的值是 ．
三、（本大題共2小題，每小題8分，滿分16分）
15．解方程：
16．如圖，已知E，F是正方形的對角線上的兩點，且．求證：四邊形為菱形．
四、（本大題共2小題，每小題8分，滿分16分）
17．一個長為的梯子斜靠在墻上，梯子的頂端距地面的垂直距離為．那么梯子的頂端下滑幾米時，梯子的底端滑動的距離和它相等？

18．如圖，點O是菱形ABCD的對角線的交點，DE//AC，CE//BD，連接OE．求證：OE=BC．
五、（本大題共2小題，每小題10分，滿分20分）
19．某商場銷售一批襯衫，平均每天可售出件，每件盈利元．為了擴大銷售，增加盈利，商場采取了降價措施．假設在一定范圍內，襯衫的單價每降元，商場平均每天可多售出件．如果降價后商場銷售這批襯衫每天盈利元，求襯衫的單價降了多少元？
20．如圖，在四邊形ABCD中，AB=DC，E、F分別是AD、BC的中點，G、H分別是對角線BD、AC的中點．
（1）求證：四邊形EGFH是菱形；
（2）若AB=1，則當∠ABC+∠DCB=90°時，求四邊形EGFH的面積．
六、（本題滿分12分）
21．學校利用一塊矩形空地建了一個小型停車場，其布局如圖所示，已知，，陰影部分設計為停車位，其余部分均為寬度為x米的道路．已知陰影部分的面積為．求道路的寬是多少米？
七、（本題滿分12分）
22．如圖，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠C=30°，BC=.點D從點C出發沿CA方向以每秒2個單位長的速度向點A勻速運動，同時點E從點A出發沿AB方向以每秒1個單位長的速度向點B勻速運動，當其中一個點到達終點時，另一個點也隨之停止運動．設點D、E運動的時間是t秒（t＞0）．過點D作DF⊥BC于點F，連接DE、EF.
（1）求證：AE=DF；
（2）四邊形AEFD能夠成為菱形嗎？如果能，求出相應的t值；如果不能，說明理由.
（3）當t為何值時，△DEF為直角三角形？請說明理由.
八、（本題滿分14分）
23．【問題情境】
（1）已知正方形，點E在的延長線上，以為一邊構造正方形，如圖1所示，則和的數量關系為 ，位置關系為 ．
【繼續探究】
（2）若正方形的邊長為4，點E是邊上的一個動點，以為一邊在的右側作正方形，如圖2所示．
①請判斷線段與有怎樣的數量關系和位置關系，并說明理由；
②連接，若，求線段長．
宿城第一初級中學2024-2025學年度第一學期九年級數學第一次綜合素質評價
參考答案
一、選擇題（本大題共10小題，每小題4分，滿分40分）
1．下列方程中是一元二次方程的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
解：A. ax2+bx+c＝0，當a=0時，方程不是一元二次方程，故A選項錯誤；
B.符合一元二次方程的定義，故B選項正確
C.不是整式方程，故C選項錯誤
D.化簡后不含二次項，故D選項錯誤
故選：B.
2．下面結論中，正確的是（ ）
A．對角線相等的四邊形是矩形 B．對角線互相平分的四邊形是平行四邊形
C．對角線互相垂直的四邊形是菱形 D．對角線互相垂直且相等的四邊形是正方形
【答案】B
解：A、應該是對角線相等的平行四邊形是矩形，故錯誤，故選項不符合題意；
B、對角線互相平分的四邊形是平行四邊形，故正確，故選項符合題意；
C、應該是對角線互相垂直的平行四邊形是菱形，故錯誤，故選項不符合題意；
D、應該是對角線互相垂直且相等的平行四邊形是正方形，故錯誤，故選項不符合題意；
故選：B．
3.關于的一元二次方程的一個根為2，則的值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
解：∵關于的一元二次方程的一個根為2
∴將代入方程，得:
解得
故選：C
4．如圖，菱形對角線AC與BD交于點，AC=16，BD=12，則菱形的面積為（ ）
A．48 B．96 C．24 D．6
【答案】B
解：∵在菱形ABCD中，AC=16 BD=12
∴菱形ABCD的面積×AC×BD×16×12=96
故選：B
5．關于的一元二次方程的根的情況是（ ）
A．有兩個不相等的實數根 B．有兩個相等的實數根
C．沒有實數根 D．只有一個實數根
【答案】A
解：∵△
∴方程有兩個不相等的實數根
故選：A
6． 如圖，在矩形中，，對角線與相交于點，于點E，當E為中點時，則的長為（ ）
A． B．4 C． D．8
【答案】D
解：四邊形是矩形
，
∵于點E，當E為中點，
∴垂直平分，
，
．
故選：D．
7．如圖，正方形的頂點O與正方形的對角線交點O重合，正方形和正方形的邊長都是2，則圖中重疊部分的面積是（ ）
A．1 B．2 C． D．
【答案】A
解：如圖，
正方形和正方形的邊長都是2，
，，，
∴，
在和中，，，
；
則圖中重疊部分的面積是1，
故選：A
8．近年來，由于新能源汽車的崛起，燃油汽車的銷量出現了不同程度的下滑，經銷商紛紛開展降價促銷活動．某款燃油汽車今年2月份售價為23萬元，4月份售價為18.63萬元，設該款汽車這兩月售價的月平均降價率是x，則所列方程正確的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
解：利用該款燃油汽車今年4月份的售價＝該款燃油汽車今年2月份的售價該款汽車這兩月售價的月平均降價率，即可列出關于x的一元二次方程．
根據題意得：．
故選：A．
9．用配方法解一元二次方程 ，下列配方正確的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
解：，即，
方程兩邊同時加4，可得，即，
故選：B．
10．如圖，正方形和正方形中，點D在上，，H是的中點，那么的長是（ ）
A． B． C． D．2
【答案】B
解：如圖，連接，
由正方形的性質可得，，
∴，
∵ H是的中點，
∴，
∵，，
∴，
∴，
故選：B．
二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，滿分20分）
11．一元二次方程的解為 ．
【答案】或
解：∵，
∴.
∴
∴
故答案為:或
12．如圖，在矩形中，點P是線段上一動點，且，E，F為垂足，，則的值為 ．

【答案】
解：連接，

∵四邊形是矩形，
∴，，，，
∴，，
∵，，
∴，，
∴，，
∵
∴．
故答案為：．
13.已知，是一元二次方程的兩個實數根，則的值為 ．
【答案】2.
解：∵，是一元二次方程的兩個實數根，
∴,,
∴
故答案為:2
14．如圖（1），點F從菱形ABCD的頂點A出發，沿A→D→B以1cm/s的速度勻速運動到點B，點F運動時，△FBC的面積y（cm2）隨時間x（s）的變化關系圖象如圖（2）.
則：（1）BD cm； （2） a的值是 ．
【答案】（1）BD （2） =
（1）解：過點D作DE⊥BC交BC的延長線于點E，
∵菱形ABCD中，ADBC，
∴當點F在邊AD上運動時，y的值不變，
∴AD＝a，即菱形的邊長是a，
∴a·DE＝a，
∴DE＝3，
當點F在DB上運動時，y逐漸減小，
∴DB＝5，
（2）中，BE＝，
在Rt△DCE中，DC＝a，CE＝4 a，DE＝3，
∴，
解得：，
故答案為：．
三、（本大題共2小題，每小題8分，滿分16分）
15．解方程：
解：十字相乘的方法分解可得(，
即或，
解得，。
16．如圖，已知E，F是正方形的對角線上的兩點，且．求證：四邊形為菱形．
（1）證明：連接，交于點，
四邊形是正方形，
，，，
∵
∴，即，
四邊形是平行四邊形，
，
四邊形是菱形；
四、（本大題共2小題，每小題8分，滿分16分）
17．一個長為的梯子斜靠在墻上，梯子的頂端距地面的垂直距離為．那么梯子的頂端下滑幾米時，梯子的底端滑動的距離和它相等？

解：未滑動前梯子底端距墻的水平距離為，
設梯子頂端向下滑動，則梯子底端也滑動，
此時梯子的頂端距地面的垂直距離為，梯子的底端距墻面的垂直距離為，
可得方程：，
解得，（舍去），
當梯子的頂端下滑2米時，梯子底端滑動的距離和它相等．
18．如圖，點O是菱形ABCD的對角線的交點，DE//AC，CE//BD，連接OE．求證：OE=BC．
證明：∵DE//AC，CE//BD
∴四邊形OCED是平行四邊形
∵菱形ABCD，
∴AC⊥BD，即∠COD=90°
∴四邊形OCED是矩形；
∴OE=CD
又∵菱形ABCD
∴BC=CD
∴OE=BC．
五、（本大題共2小題，每小題10分，滿分20分）
19．某商場銷售一批襯衫，平均每天可售出件，每件盈利元．為了擴大銷售，增加盈利，商場采取了降價措施．假設在一定范圍內，襯衫的單價每降元，商場平均每天可多售出件．如果降價后商場銷售這批襯衫每天盈利元，求襯衫的單價降了多少元？
解：設襯衫的單價降了x元．根據題意，得（20+2x）（40﹣x）=1250，
解得：x1=x2=15，
答：襯衫的單價降了15元．
20．如圖，在四邊形ABCD中，AB=DC，E、F分別是AD、BC的中點，G、H分別是對角線BD、AC的中點．
（1）求證：四邊形EGFH是菱形；
（2）若AB=1，則當∠ABC+∠DCB=90°時，求四邊形EGFH的面積．
（1）證明：∵四邊形ABCD中，E、F、G、H分別是AD、BC、BD、AC的中點，
∴FG=CD，HE=CD，FH=AB，GE=AB．
∵AB=CD，
∴FG=FH=HE=EG．
∴四邊形EGFH是菱形．
（2）解：∵四邊形ABCD中，G、F、H分別是BD、BC、AC的中點，
∴GF∥DC，HF∥AB．
∴∠GFB=∠DCB，∠HFC=∠ABC．
∴∠HFC+∠GFB=∠ABC+∠DCB=90°．
∴∠GFH=90°．
∴菱形EGFH是正方形．
∵AB=1，
∴EG=AB=．
∴正方形EGFH的面積=（）2=．
六、（本題滿分12分）
21．學校利用一塊矩形空地建了一個小型停車場，其布局如圖所示，已知，，陰影部分設計為停車位，其余部分均為寬度為x米的道路．已知陰影部分的面積為．求道路的寬是多少米？
解：設道路的寬為x米， 根據題意結合平移的性質可得：
，
解得：（舍去）或，
通道的寬為6米；
七、（本題滿分12分）
22．如圖，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠C=30°，BC=.點D從點C出發沿CA方向以每秒2個單位長的速度向點A勻速運動，同時點E從點A出發沿AB方向以每秒1個單位長的速度向點B勻速運動，當其中一個點到達終點時，另一個點也隨之停止運動．設點D、E運動的時間是t秒（t＞0）．過點D作DF⊥BC于點F，連接DE、EF.
（1）求證：AE=DF；
（2）四邊形AEFD能夠成為菱形嗎？如果能，求出相應的t值；如果不能，說明理由.
（3）當t為何值時，△DEF為直角三角形？請說明理由.
解：在中，，，，
．
又，
．
能，
，，
．
又，
四邊形AEFD為平行四邊形．
∵，根據30°角直角三角形的性質，
∴BC=, 又BC=
∴AB=6,AC=12．
∴AD=ACDC=．
若使 AEFD為菱形，則需，
即，．
即當時，四邊形AEFD為菱形．
時，四邊形EBFD為矩形．
在中，，
．
即，．
時，由四邊形AEFD為平行四邊形知，
．
，
∴AD=．
即，．
時，此種情況不存在．
綜上所述，當秒或秒時，為直角三角形．
八、（本題滿分14分）
23．【問題情境】
（1）已知正方形，點E在的延長線上，以為一邊構造正方形，如圖1所示，則和的數量關系為 ，位置關系為 ．
【繼續探究】
（2）若正方形的邊長為4，點E是邊上的一個動點，以為一邊在的右側作正方形，如圖2所示．
①請判斷線段與有怎樣的數量關系和位置關系，并說明理由；
②連接，若，求線段長．
解：（1）如圖1中，延長交于J．
∵四邊形是正方形，四邊形是正方形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
故答案為：；．
（2）①結論：；．理由：
如圖，延長，交的延長線于點H，
∵四邊形是正方形，四邊形是正方形，
∴，，
∴，
∴
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
②如圖3，過點G作，
∵，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴；

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