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安徽省合肥市廬陽中學2024--2025學年九年級上學期第一次月考數學試卷
說明：共8大題，計23小題，滿分150分，作答時間120分鐘．
一、選擇題(本大題共10小題，每小題4分，滿分40分)每小題都給出A，B，C，D，四個選項，其中只有一個是符合題目要求的．
1. 下列函數中，是二次函數的是（ ）
A. B.
C. D.
2. 二次函數圖象的頂點所在的象限是（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3. 拋物線與軸交點的坐標是（ ）
A B. C. D.
4. 如果將拋物線向上平移2個單位長度，那么所得到的拋物線的解析式是（ ）
A. B.
C. D.
5. 對于二次函數，當函數值隨的增大而減小時，則的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
6. 若關于的函數的圖象與軸只有一個交點，則的值是（ ）
A. 3 B. C. D. 或
7. 如表是一組二次函數y＝x2﹣x﹣3的自變量和函數值的關系，那么方程x2﹣x﹣3＝0的一個近似根是（ ）
x 1 2 3 4
y ﹣3 ﹣1 3 9
A 1.2 B. 2.3 C. 3.4 D. 4.5
8. 某同學在體育訓練中擲出的實心球的運動路線呈如圖所示的拋物線形，若實心球運動的拋物線的解析式為，其中是實心球飛行的高度，是實心球飛行的水平距離，則該同學此次擲球的成績(即的長度)是（ ）
A. B. C. D.
9. 如圖，已知二次函數的圖象與一次函數的圖象存在兩個交點，其中一個交點在軸上，另一個交點在軸上，則函數的圖象大致是（ ）
A. B.
C. D.
10. 如圖，這是二次函數圖象的一部分，對稱軸為直線，下列結論：①；②；③；④點在二次函數圖象上，若，則．其中正確結論的個數是（ ）
A. 1個 B. 2個 C. 3個 D. 4個
二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，滿分20分)
11. 二次函數的頂點坐標是______．
12. 如圖，拋物線與直線相交于兩點，橫坐標分別為，則不等式的解集為______．
13. 相框邊的寬窄影響可放入相片的大小．如圖，相框長30厘米，寬20厘米．相框邊（陰影部分）的寬為厘米，相框內的空白部分面積是平方厘米，則與之間的函數關系式為_______．
14. 如圖，二次函數的圖象與軸相交于點，與軸相交于點，O是坐標系的原點，P是該二次函數圖象對稱軸上一動點．
（1）_______．
（2）周長的最小值為_______．
三、(本大題共2小題，每小題8分，滿分16分)
15. 已知拋物線的頂點是，且過原點，求該拋物線的解析式．
16. 已知拋物線的解析式為，求該拋物線與軸的兩個交點的坐標．
四、(本大題共2小題，每小題8分，滿分16分)
17. 如圖，拋物線與軸相交于、兩點，與軸相交于點，且，，求拋物線的頂點的坐標．
18. 如圖，在邊長為1個單位長度的小正方形組成的網格中，建立平面直角坐標系．
（1）在坐標系中畫出拋物線與直線．
（2）根據（1）中所作圖象，直接寫出方程根．
五、(本大題共2小題，每小題10分，滿分20分)
19. 已知某商品的進價為100元/件，銷售數量(單位：件)與銷售單價(單位：元)之間滿足一次函數關系，設該商品的利潤為元．
（1）求利潤關于銷售單價的函數解析式．
（2）問當銷售單價為多少時，利潤最大？最大為多少？
20. 已知二次函數的圖象過點．
（1）求二次函數的表達式．
（2）若和都是該二次函數圖象上的點，且，求的最小值．
六、(本題滿分12分)
21. 如圖，拋物線與x軸交于A、B兩點，若直線與拋物線交于A、C兩點，已知C點的橫坐標為2．
（1）求拋物線與x軸的交點坐標；
（2）根據圖象判斷，當x滿足什么條件時，？
（3）拋物線上有兩點，，且，求m的取值范圍．
七、(本題滿分12分)
22. 植物園有一塊足夠大的空地，其中有一堵長為的墻，現準備用的籬笆圍成矩形花圃，小俊設計了甲、乙兩種方案(如圖所示)：方案甲中的長不超過墻長；方案乙中的長大于墻長．
（1）按圖甲的方案，設的長為，矩形的面積為．
①求與之間的函數關系式；
②求矩形的面積的最大值．
（2）甲、乙哪種方案能使圍成矩形花圃的面積最大？最大是多少？請說明理由．
八、(本題滿分14分)
23. 如圖，在平面直角坐標系中，是坐標原點，拋物線與軸的一個交點為，對稱軸為直線，
（1）求，的值．
（2）若點，都在拋物線上，且，，比較，的大小，并說明理由．
（3）若拋物線與軸另一個交點為，與軸交于點，頂點為，軸于點，是第一象限內拋物線上的一點，連接，，，求面積的最大值及此時點的坐標．
安徽省合肥市廬陽中學2024--2025學年九年級上學期第一次月考數學試卷參考答案
說明：共8大題，計23小題，滿分150分，作答時間120分鐘．
一、選擇題(本大題共10小題，每小題4分，滿分40分)每小題都給出A，B，C，D，四個選項，其中只有一個是符合題目要求的．
1. 下列函數中，是二次函數的是（ ）
A. B.
C. D.
解：A、最高次為1次，不是二次函數，不符合題意；
B、中為分式，不是二次函數，不符合題意；
C、是二次函數，符合題意；
D、中為分式，不是二次函數，不符合題意；
故選：C．
2. 二次函數圖象的頂點所在的象限是（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
解：∵二次函數解析式為，
∴二次函數的頂點坐標為，
∴二次函數圖象的頂點所在的象限是第二象限，
故選：B．
3. 拋物線與軸交點的坐標是（ ）
A. B. C. D.
解：在中，當時，，
∴拋物線與軸交點的坐標是，
故選：B．
4. 如果將拋物線向上平移2個單位長度，那么所得到的拋物線的解析式是（ ）
A. B.
C. D.
解：將拋物線向上平移2個單位長度，那么所得到的拋物線的解析式是，
故選：A．
5. 對于二次函數，當函數值隨的增大而減小時，則的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
解：∵二次函數解析式為，，
∴二次函數開口向下，對稱軸為直線，
∴當時，函數值隨的增大而減小，
故選：D．
6. 若關于的函數的圖象與軸只有一個交點，則的值是（ ）
A. 3 B. C. D. 或
解：當，即時，函數為與x軸有一個交點，符合題意；
當時，函數為二次函數，
令，則，
∵此時方程有兩個相等的實數根，
∴，
解得：；
綜上分析可知：關于的函數的圖象與軸只有一個交點時，的值為或．
故選：D．
7. 如表是一組二次函數y＝x2﹣x﹣3的自變量和函數值的關系，那么方程x2﹣x﹣3＝0的一個近似根是（ ）
x 1 2 3 4
y ﹣3 ﹣1 3 9
A. 1.2 B. 2.3 C. 3.4 D. 4.5
解：觀察表格得：方程x2﹣x﹣3＝0的一個近似根在2和3之間，
故選：B．
8. 某同學在體育訓練中擲出的實心球的運動路線呈如圖所示的拋物線形，若實心球運動的拋物線的解析式為，其中是實心球飛行的高度，是實心球飛行的水平距離，則該同學此次擲球的成績(即的長度)是（ ）
A. B. C. D.
解：在中，令，則，
解得：，（不符合題，舍去），
∴，
∴，
故選：D．
9. 如圖，已知二次函數的圖象與一次函數的圖象存在兩個交點，其中一個交點在軸上，另一個交點在軸上，則函數的圖象大致是（ ）
A. B.
C. D.
解：由圖知，二次函數開口向下，
，
二次函數對稱軸軸左側，
，
二次函數的圖象與一次函數的圖象存在兩個交點，
，即有兩個根，
，
開口向上，即函數開口向上，
由圖知，與軸交與點，
可看作向上平移2個單位，
函數與軸交點在右側，
，
函數對稱軸在軸左側，
故選：B．
10. 如圖，這是二次函數圖象的一部分，對稱軸為直線，下列結論：①；②；③；④點在二次函數圖象上，若，則．其中正確結論的個數是（ ）
A. 1個 B. 2個 C. 3個 D. 4個
解：由圖象開口向上，可得，
又對稱軸是直線，
∴，，故②錯誤；
當時，，
∴，故①正確；
當時，，
又∵，
∴ ，
∴，
∴，
∴，故③正確；
由題意，對稱軸是直線，
當時，隨的增大而減??；當時，隨的增大而增大，
若，由于兩點與對稱軸的位置關系不確定，
不一定成立，故④錯誤．
故選：B．
二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，滿分20分)
11. 二次函數頂點坐標是______．
解：二次函數，
該函數的頂點坐標為，
故答案為：．
12. 如圖，拋物線與直線相交于兩點，橫坐標分別為，則不等式的解集為______．
解：由函數圖象可知，當時，，
∴不等式的解集為，
故答案為：．
13. 相框邊的寬窄影響可放入相片的大小．如圖，相框長30厘米，寬20厘米．相框邊（陰影部分）的寬為厘米，相框內的空白部分面積是平方厘米，則與之間的函數關系式為_______．
解：由題意得：相框內的空白部分的長為，寬為，
則，
∴與之間的函數關系式為，
故答案為：．
14. 如圖，二次函數的圖象與軸相交于點，與軸相交于點，O是坐標系的原點，P是該二次函數圖象對稱軸上一動點．
（1）_______．
（2）周長的最小值為_______．
解：（1）將代入得：，
解得：，
故答案為：；
（2）由（1）可得，二次函數解析式為，
∴二次函數的對稱軸為直線，
當時，，
∴，
∴，
如圖，作點關于對稱軸的對稱點，連接交對稱軸于，連接，
，
則，
由軸對稱的性質可得：，
∴的周長，由兩點之間線段最短可得此時的周長最小，
∵，
∴的周長的最小值，
故答案為：．
三、(本大題共2小題，每小題8分，滿分16分)
15. 已知拋物線的頂點是，且過原點，求該拋物線的解析式．
解：設拋物線的解析式為，
將原點代入，得，
解得，
故拋物線的解析式為．
16. 已知拋物線的解析式為，求該拋物線與軸的兩個交點的坐標．
解：當時，，
整理得：，
解得：，
拋物線與軸的兩個交點的坐標分別為和．
四、(本大題共2小題，每小題8分，滿分16分)
17. 如圖，拋物線與軸相交于、兩點，與軸相交于點，且，，求拋物線的頂點的坐標．
解：，
代入，得，解得，
，
頂點．
18. 如圖，在邊長為1個單位長度的小正方形組成的網格中，建立平面直角坐標系．
（1）在坐標系中畫出拋物線與直線．
（2）根據（1）中所作圖象，直接寫出方程的根．
（1）解：，
∴二次函數的對稱軸為：，頂點為，
當時，，，
∴二次函數過點，，，
一次函數過點，，
∴二次函數和一次函數的圖象如下圖所示，
（2）解：的解為兩個圖像的交點，即，，
∴．
五、(本大題共2小題，每小題10分，滿分20分)
19. 已知某商品的進價為100元/件，銷售數量(單位：件)與銷售單價(單位：元)之間滿足一次函數關系，設該商品的利潤為元．
（1）求利潤關于銷售單價的函數解析式．
（2）問當銷售單價為多少時，利潤最大？最大為多少？
（1）解：由題意可得；
（2）解：，
當銷售單價為150元時，利潤最大，最大為2500元．
20. 已知二次函數的圖象過點．
（1）求二次函數的表達式．
（2）若和都是該二次函數圖象上的點，且，求的最小值．
（1）解：二次函數的圖象過點，
，
，
二次函數的表達式為；
（2）解：和都是二次函數圖象上的點，
，
.
，
，
，
的最小值是．
六、(本題滿分12分)
21. 如圖，拋物線與x軸交于A、B兩點，若直線與拋物線交于A、C兩點，已知C點的橫坐標為2．
（1）求拋物線與x軸的交點坐標；
（2）根據圖象判斷，當x滿足什么條件時，？
（3）拋物線上有兩點，，且，求m的取值范圍．
（1）解：將代入直線得，
將代入拋物線，得，
解得：c=3，
即，
令，得，
解得或3，
則求拋物線與x軸的交點坐標為和；
（2）由圖象可得：當或時，；
（3）由題意得，，
∵，
∴，
．
七、(本題滿分12分)
22. 植物園有一塊足夠大的空地，其中有一堵長為的墻，現準備用的籬笆圍成矩形花圃，小俊設計了甲、乙兩種方案(如圖所示)：方案甲中的長不超過墻長；方案乙中的長大于墻長．
（1）按圖甲的方案，設的長為，矩形的面積為．
①求與之間的函數關系式；
②求矩形的面積的最大值．
（2）甲、乙哪種方案能使圍成的矩形花圃的面積最大？最大是多少？請說明理由．
（1）解：①∵的長為，
的長為，
；
②∵甲中的長不超過墻長，
，
由可知：
，
時，隨的增大而增大，
當時，矩形的面積最大，最大為；
（2）解：乙方案能使圍成的矩形花圃的面積最大，理由如下：
乙方案中，設的長為，矩形的面積為，
則，
方案乙中的長大于墻長，
，
，
，
，
當時，矩形的面積最大，最大為，
，
乙方案能使圍成的矩形花圃的面積最大，最大是．
八、(本題滿分14分)
23. 如圖，在平面直角坐標系中，是坐標原點，拋物線與軸的一個交點為，對稱軸為直線，
（1）求，的值．
（2）若點，都在拋物線上，且，，比較，的大小，并說明理由．
（3）若拋物線與軸的另一個交點為，與軸交于點，頂點為，軸于點，是第一象限內拋物線上的一點，連接，，，求面積的最大值及此時點的坐標．
（1）解：對稱軸為直線，
，
∴，
將代入得，
解得：；
（2）解：由(1)知，
當時，，當時，，
∴；
當時，，當時，，
∴，
；
（3）解：當時，，
解得，，
∴，
當時，，
∴，
當時，，
∴，
∵軸于點，
∴，
如圖，過點作軸于點，
設，則，
，，，，，
∴，
，
∵，
∴當時，最大，最大值為，此時點．

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