資源簡介

安徽省池州市貴池區(qū)2024-2025學(xué)年上學(xué)期九年級九月
學(xué)情診斷·數(shù)學(xué)（滬科版）
考試時間：120分鐘滿分∶150分
一、選擇題(本大題共10小題，每小題4分，滿分40分)
1. 下列函數(shù)解析式中，一定為二次函數(shù)的是（ ）
A. B. C. D.
2. 拋物線y=x2，y=﹣3x2，y=﹣x2，y=2x2的圖象開口最大的是（　　）
A. y=x2 B. y=﹣3x2 C. y=﹣x2 D. y=2x2
3. 已知點是反比例函數(shù)圖象上的點，若，則一定成立的是( )
A B. C. D.
4. 共享單車為市民出行帶來了方便，某單車公司第一個月投放a輛單車，計劃第三個月投放單車y輛，設(shè)該公司第二、三兩個月投放單車數(shù)量的月平均增長率為x，那么y與x的函數(shù)關(guān)系是（ ）
A. B.
C. D.
5. 函數(shù)y＝mx2+（m+2）x+m+1的圖象與x軸只有一個交點，則m的值為（　　）
A. 0 B. 0或2 C. 0或2或﹣2 D. 2或﹣2
6. 已知二次函數(shù)，關(guān)于該函數(shù)在﹣1≤x≤3的取值范圍內(nèi)，下列說法正確的是（ ）
A. 有最大值﹣1，有最小值﹣2 B. 有最大值0，有最小值﹣1
C. 有最大值7，有最小值﹣1 D. 有最大值7，有最小值﹣2
7. 在同一平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù) 與二次函數(shù)y 的圖象可能為（ ）
A. B. C. D.
8. 如圖，已知△ABC為等邊三角形，AB=2，點D為邊AB上一點，過點D作DE∥AC，交BC于E點；過E點作EF⊥DE，交AB的延長線于F點．設(shè)AD=x，△DEF的面積為y，則能大致反映y與x函數(shù)關(guān)系的圖象是（　　）
A. B. C. D.
9. 在平面直角坐標(biāo)系中，已知，設(shè)函數(shù)的圖像與x軸有M個交點，函數(shù)的圖像與x軸有N個交點，則（ ）
A. 或 B. 或 C. 或 D. 或
10. 將二次函數(shù)． 的圖象在x軸上方的部分沿x 軸翻折后，所得新函數(shù)的圖象如圖所示，當(dāng)直線與新函數(shù)的圖象恰有3個公共點時，b的值為（ ）
A. 或 B. 或 C. 或 D. 或
二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，滿分20分)
11. 已知拋物線y＝x2，當(dāng)－1≤x≤3時，y的取值范圍是________．
12. 如圖，P是拋物線y＝x2﹣2x﹣3在第四象限的一點，過點P分別向x軸和y軸作垂線，垂足分別為A、B，則四邊形OAPB周長的最大值為______．
13. 如圖，點D為矩形OABC的AB邊的中點，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點D，交BC邊于點E.若△BDE的面積為1，則k =________
14. 某汽車在剎車后行駛的距離s（米）與時間t（秒）之間的部分?jǐn)?shù)據(jù)如下表：
時間t/秒 0 1 ．．
行駛距離s/米 0 10
假設(shè)這種變化規(guī)律一直延續(xù)到汽車停止，如果選擇用二次函數(shù)表示s（米）與t（秒）之間關(guān)系．
（1）其函數(shù)表達(dá)式為______；
（2）剎車后汽車行駛了______米才停止．
三、(本大題共2小題，每小題8分，滿分16分)
15. 已知函數(shù) ．
（1）當(dāng)m為何值時，此函數(shù)是一次函數(shù)；
（2）當(dāng)m為何值時，此函數(shù)是二次函數(shù)．
16. 將拋物線 左右平移，使得它與x軸交于點A，與y軸交于點B，若 的面積為27，求平移后的拋物線的函數(shù)表達(dá)式．
四、(本大題共2小題，每小題8分，滿分16分)
17. 如圖，一次函數(shù)y=x+4的圖象與反比例函數(shù)y=（k為常數(shù)且k≠0）的圖象交于A（﹣1，a），B兩點，與x軸交于點C
（1）求此反比例函數(shù)的表達(dá)式；
（2）若點P在x軸上，且S△ACP=S△BOC，求點P的坐標(biāo)．
18. 如圖，一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于點，與軸交于點，過點作軸，垂足為，若．
（1）求點的坐標(biāo)及的值；
（2）若，求一次函數(shù)的表達(dá)式．
五、(本大題共2小題，每小題10分，滿分20分)
19. 如圖所示，為了改造小區(qū)環(huán)境，某小區(qū)決定要在一塊一邊靠墻（墻的最大可使用長度12m）的空地上建造一個矩形綠化帶．除靠墻一邊（AD）外，用長為32m的柵欄圍成矩形ABCD．設(shè)綠化帶寬AB為xm，面積為Sm2，
（1）求S與x的函數(shù)關(guān)系式，并直接寫出x的取值范圍；
（2）綠化帶的面積能達(dá)到128m2嗎？若能，請求出AB的長度；若不能，請說明理由；
（3）當(dāng)x為何值時，滿足條件的綠化帶面積最大．
20. 如圖，A（4，3）是反比例函數(shù)y=在第一象限圖象上一點，連接OA，過A作AB∥x軸，截取AB=OA（B在A右側(cè)），連接OB，交反比例函數(shù)y=的圖象于點P．
（1）求反比例函數(shù)y=表達(dá)式；
（2）求點B的坐標(biāo)；
（3）求△OAP的面積．
六、(本題滿分12分)
21. 今年以來，我市接待的游客人數(shù)逐月增加，據(jù)統(tǒng)計，游玩某景區(qū)的游客人數(shù)三月份為4萬人，五月份為5.76萬人．
（1）求四月和五月這兩個月中，該景區(qū)游客人數(shù)平均每月增長百分之幾；
（2）若該景區(qū)僅有兩個景點，售票處出示的三種購票方式如表所示：
購票方式 甲 乙 丙
可游玩景點 和
門票價格 100元/人 80元/人 160元/人
據(jù)預(yù)測，六月份選擇甲、乙、丙三種購票方式的人數(shù)分別有2萬、3萬和2萬．并且當(dāng)甲、乙兩種門票價格不變時，丙種門票價格每下降1元，將有600人原計劃購買甲種門票的游客和400人原計劃購買乙種門票的游客改為購買丙種門票．
①若丙種門票價格下降10元，求景區(qū)六月份的門票總收入；
②問：將丙種門票價格下降多少元時，景區(qū)六月份的門票總收入有最大值？最大值是多少萬元？
七、(本題滿分12分)
22. 若二次函數(shù)圖象的頂點在一次函數(shù)的圖象上，則稱為的伴隨函數(shù)，如：是的伴隨函數(shù)．
（1）若是伴隨函數(shù)，求直線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積；
（2）若函數(shù)的伴隨函數(shù)與軸兩個交點間的距離為4，求，的值．
八、(本題滿分14分)
23. 如圖，頂點為M的拋物線y=a（x+1）2-4分別與x軸相交于點A，B（點A在點B的右側(cè)），與y軸相交于點C（0，﹣3）．
（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
（2）判斷△BCM是否為直角三角形，并說明理由．
（3）拋物線上是否存在點N（點N與點M不重合），使得以點A，B，C，N為頂點的四邊形的面積與四邊形ABMC的面積相等？若存在，求出點N的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
安徽省池州市貴池區(qū)2024-2025學(xué)年上學(xué)期九年級九月
學(xué)情診斷·數(shù)學(xué)（滬科版）
參考答案
一、選擇題(本大題共10小題，每小題4分，滿分40分)
1. 下列函數(shù)解析式中，一定為二次函數(shù)的是（ ）
A. B. C. D.
解：A、是一次函數(shù)，不是二次函數(shù)，故此選項不符合題意；
B、當(dāng)時，不是二次函數(shù)，故此選項不符合題意；
C、是二次函數(shù)，故此選項符合題意；
D、分母含有自變量，不是二次函數(shù)，故此選項不符合題意．
故選：C．
2. 拋物線y=x2，y=﹣3x2，y=﹣x2，y=2x2的圖象開口最大的是（　　）
A. y=x2 B. y=﹣3x2 C. y=﹣x2 D. y=2x2
解：∵二次函數(shù)中|a|的值越小，則函數(shù)圖象的開口也越大，
又∵，
∴拋物線y=x2，y=﹣3x2，y=﹣x2，y=2x2的圖象開口最大的是y=x2，
故選A．
3. 已知點是反比例函數(shù)圖象上的點，若，則一定成立的是( )
A. B. C. D.
解：∵k=2＞0，
∴在每一象限內(nèi)，y隨x增大而減小．
又∵x1＞0＞x2，
∴A，B兩點不在同一象限內(nèi)，
∴y2＜0＜y1．
故選B．
4. 共享單車為市民出行帶來了方便，某單車公司第一個月投放a輛單車，計劃第三個月投放單車y輛，設(shè)該公司第二、三兩個月投放單車數(shù)量的月平均增長率為x，那么y與x的函數(shù)關(guān)系是（ ）
A. B.
C. D.
解：∵該公司第二、三兩個月投放共享單車數(shù)量的月平均增長率為x，
∴第二個月投放共享單車輛，第三個月投放共享單車輛，
∴y與x之間的函數(shù)表達(dá)式是．
故選：B．
5. 函數(shù)y＝mx2+（m+2）x+m+1的圖象與x軸只有一個交點，則m的值為（　　）
A. 0 B. 0或2 C. 0或2或﹣2 D. 2或﹣2
解：∵函數(shù)y＝mx2+（m+2）x+m+1的圖象與x軸只有一個交點，
∴當(dāng)m＝0時，y＝2x+1，此時y＝0時，x＝﹣0.5，該函數(shù)與x軸有一個交點，
當(dāng)m≠0時，函數(shù)y＝mx2+（m+2）x+m+1的圖象與x軸只有一個交點，
則△＝（m+2）2﹣4m（m+1）＝0，解得，m1＝2，m2＝﹣2，
由上可得，m的值為0或2或﹣2，
故選：C．
6. 已知二次函數(shù)，關(guān)于該函數(shù)在﹣1≤x≤3的取值范圍內(nèi)，下列說法正確的是（ ）
A. 有最大值﹣1，有最小值﹣2 B. 有最大值0，有最小值﹣1
C. 有最大值7，有最小值﹣1 D. 有最大值7，有最小值﹣2
解：∵y＝x2 4x＋2＝（x 2）2 2，
∴在 1≤x≤3的取值范圍內(nèi)，當(dāng)x＝2時，有最小值 2，
當(dāng)x＝ 1時，有最大值為y＝9 2＝7．
故選D．
7. 在同一平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù) 與二次函數(shù)y 的圖象可能為（ ）
A. B. C. D.
解：A、由拋物線可知，，，由直線可知，，，不符合題意；
B、由拋物線可知，，，由直線可知，，，符合題意；
C、由拋物線可知，，，由直線可知，，，不符合題意；
D、由拋物線可知，，，由直線可知，，，不符合題意．
故選：B．
8. 如圖，已知△ABC為等邊三角形，AB=2，點D為邊AB上一點，過點D作DE∥AC，交BC于E點；過E點作EF⊥DE，交AB的延長線于F點．設(shè)AD=x，△DEF的面積為y，則能大致反映y與x函數(shù)關(guān)系的圖象是（　　）
A. B. C. D.
解：∵△ABC為等邊三角形，
∴∠A=∠C=∠ABC=,
∵DEAC，
∴∠DEB=∠C=，∠EDB=∠A=,
∴∠DEB=∠EDB=∠DBE=，
∴△DEB是等邊三角形，
∴DE=BD=2-x，
∵EF⊥DE，
∴∠DEF=，
∴∠DFE=，
∴DF=2DE=4-2x,
∴EF=(2-x)，
∴△DEF的面積為y=（0∵此函數(shù)為二次函數(shù)，開口向上，對稱軸為直線x=2，且0故選：A．
9. 在平面直角坐標(biāo)系中，已知，設(shè)函數(shù)的圖像與x軸有M個交點，函數(shù)的圖像與x軸有N個交點，則（ ）
A. 或 B. 或 C. 或 D. 或
解：對于函數(shù)，當(dāng)時，函數(shù)與x軸兩交點為（－a，0）、（－b，0），
∵，所以有2個交點，故
對于函數(shù)
①，交點為，此時
②，交點為，此時
③，交點為，此時
綜上所述，或
故選C．
10. 將二次函數(shù)． 的圖象在x軸上方的部分沿x 軸翻折后，所得新函數(shù)的圖象如圖所示，當(dāng)直線與新函數(shù)的圖象恰有3個公共點時，b的值為（ ）
A. 或 B. 或 C. 或 D. 或
解：二次函數(shù)表達(dá)式為，
∴拋物線的頂點坐標(biāo)為，
∴當(dāng)時，，解得：，
∴拋物線與x軸的交點為，
∴翻折部分的拋物線表達(dá)式為，頂點坐標(biāo)，
如圖所示：
，
①當(dāng)直線過點B時，直線與該新圖象恰好有三個公共點，
∴，解得，
②當(dāng)直線與拋物線相切時，
直線與該新圖象恰好有三個公共點，即有相等的實數(shù)解，
即：，，
解得：，
∴的值為或，
故選：C．
二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，滿分20分)
11. 已知拋物線y＝x2，當(dāng)－1≤x≤3時，y的取值范圍是________．
解：∵拋物線y＝x2中，1＞0，對稱軸為直線x=0
∴當(dāng)x=0時，y最小=0；當(dāng)x=3時，y最大=9
當(dāng)自變量x取－1≤x≤3時， y的取值范圍為0≤y≤9．
故答案為：0≤y≤9
12. 如圖，P是拋物線y＝x2﹣2x﹣3在第四象限的一點，過點P分別向x軸和y軸作垂線，垂足分別為A、B，則四邊形OAPB周長的最大值為______．
解：∵y＝x2﹣2x﹣3，
∴當(dāng)y＝0時，x2﹣2x﹣3=0即（x+1）（x-3）＝0，
解得 x＝-1或x＝3
故設(shè)P（x，y），
設(shè)P（x，x2﹣2x-3）（0∵過點P分別向x軸和y軸作垂線，垂足分別為A、B，
∴四邊形OAPB為矩形，
∴四邊形OAPB周長C＝2PA+2OA
＝﹣2（x2﹣2x﹣3）+2x
＝﹣2x2+6x+6
＝﹣2（x2﹣3x）+6，
＝﹣2+．
∴當(dāng)x＝時，四邊形OAPB周長有最大值，最大值為．
故答案為：．
13. 如圖，點D為矩形OABC的AB邊的中點，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點D，交BC邊于點E.若△BDE的面積為1，則k =________
解：設(shè)D（a，），
∵點D為矩形OABC的AB邊的中點，
∴B（2a，），
∴E（2a，），
∵△BDE的面積為1，
∴ a （-）=1，解得k=4．
故答案為4．
14. 某汽車在剎車后行駛的距離s（米）與時間t（秒）之間的部分?jǐn)?shù)據(jù)如下表：
時間t/秒 0 1 ．．
行駛的距離s/米 0 10
假設(shè)這種變化規(guī)律一直延續(xù)到汽車停止，如果選擇用二次函數(shù)表示s（米）與t（秒）之間的關(guān)系．
（1）其函數(shù)表達(dá)式為______；
（2）剎車后汽車行駛了______米才停止．
解：（1）設(shè)二次函數(shù)的解析式為：，
∵拋物線經(jīng)過點，
，
又由點可得：，
解得：；
∴二次函數(shù)的解析式為：；
經(jīng)檢驗，其余各點均在上．
（2）解：汽車剎車后到停止時的距離即汽車滑行的最大距離，
當(dāng)時，滑行距離最大，，
即剎車后汽車行駛了米才停止．
故答案為：；．
三、(本大題共2小題，每小題8分，滿分16分)
15. 已知函數(shù) ．
（1）當(dāng)m為何值時，此函數(shù)是一次函數(shù)；
（2）當(dāng)m為何值時，此函數(shù)是二次函數(shù)．
（1）解：∵函數(shù)是一次函數(shù)，
∴．
解得：．
（2）解：∵函數(shù)是二次函數(shù)，
∴，
解得：且．
16. 將拋物線 左右平移，使得它與x軸交于點A，與y軸交于點B，若 的面積為27，求平移后的拋物線的函數(shù)表達(dá)式．
解：設(shè)，平移后拋物線的函數(shù)表達(dá)式為，
當(dāng)時，，
∴，
∴，
解得．
∴或．
四、(本大題共2小題，每小題8分，滿分16分)
17. 如圖，一次函數(shù)y=x+4的圖象與反比例函數(shù)y=（k為常數(shù)且k≠0）的圖象交于A（﹣1，a），B兩點，與x軸交于點C
（1）求此反比例函數(shù)的表達(dá)式；
（2）若點P在x軸上，且S△ACP=S△BOC，求點P的坐標(biāo)．
解：（1）把點A（﹣1，a）代入y=x+4，得a=3，
∴A（﹣1，3），
把A（﹣1，3）代入反比例函數(shù)，
∴k=﹣3，
∴反比例函數(shù)的表達(dá)式為
（2）聯(lián)立兩個函數(shù)的表達(dá)式得：，
解得：或，
∴點B的坐標(biāo)為B（﹣3，1），
當(dāng)y=x+4=0時，得x=﹣4，
∴點C（﹣4，0），
設(shè)點P的坐標(biāo)為（x，0），
∵，
∴，
解得x1=﹣6，x2=﹣2
∴點P（﹣6，0）或（﹣2，0）
18. 如圖，一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于點，與軸交于點，過點作軸，垂足為，若．
（1）求點的坐標(biāo)及的值；
（2）若，求一次函數(shù)的表達(dá)式．
解：（1）在中，令y＝0可得，解得x＝2，
∴A點坐標(biāo)為（2，0）；
連接CO，
∵CB ⊥y軸，
∴CB∥x軸，
∴=3，
∵點C在反比例函數(shù)的圖象上，
∴，
∵反比例函數(shù)的圖象在二、四象限，
∴，即：m=-5；
（2）∵點A(2，0)，
∴OA=2，
又∵AB=，
∴在中，OB=，
∵CB ⊥y軸，
∴設(shè)C(b，2)，
∴，即b=-3，即C(-3，2)，
把C(-3，2)代入，得：，解得：k=，
∴一次函數(shù)的解析式為：．
五、(本大題共2小題，每小題10分，滿分20分)
19. 如圖所示，為了改造小區(qū)環(huán)境，某小區(qū)決定要在一塊一邊靠墻（墻的最大可使用長度12m）的空地上建造一個矩形綠化帶．除靠墻一邊（AD）外，用長為32m的柵欄圍成矩形ABCD．設(shè)綠化帶寬AB為xm，面積為Sm2，
（1）求S與x的函數(shù)關(guān)系式，并直接寫出x的取值范圍；
（2）綠化帶的面積能達(dá)到128m2嗎？若能，請求出AB的長度；若不能，請說明理由；
（3）當(dāng)x為何值時，滿足條件的綠化帶面積最大．
解：（1）由題意得，BC=32-2x，
∴S＝x（32﹣2x）＝﹣2x2+32x，
又0＜32-2x≤12，解得10≤x＜16，
故S與x的函數(shù)關(guān)系式為S=﹣2x2+32x(10≤x＜16)；
（2）根據(jù)題意得，當(dāng)S=128時，有﹣2x2+32x＝128，
解得：x＝8，
又由（1）知10≤x＜16，
∴x=8不符合題意，
故綠化帶的面積不能達(dá)到128m2；
（3）∵S＝﹣2x2+32x＝﹣2（x﹣8）2+128，
當(dāng)10≤x＜16，y隨x的增大而減小，
∴當(dāng)x＝10時，綠化帶面積最大．
20. 如圖，A（4，3）是反比例函數(shù)y=在第一象限圖象上一點，連接OA，過A作AB∥x軸，截取AB=OA（B在A右側(cè)），連接OB，交反比例函數(shù)y=圖象于點P．
（1）求反比例函數(shù)y=的表達(dá)式；
（2）求點B的坐標(biāo)；
（3）求△OAP的面積．
解：（1）將點A（4，3）代入y=，得：k=12，
則反比例函數(shù)解析式為y=；
（2）如圖，過點A作AC⊥x軸于點C，
則OC=4、AC=3，
∴OA==5，
∵AB∥x軸，且AB=OA=5，
∴點B的坐標(biāo)為（9，3）；
（3）∵點B坐標(biāo)為（9，3），
∴OB所在直線解析式為y=x，
由可得點P坐標(biāo)為（6，2），（負(fù)值舍去），
過點P作PD⊥x軸，延長DP交AB于點E，
則點E坐標(biāo)（6，3），
∴AE=2、PE=1、PD=2，
則△OAP的面積=×（2+6）×3﹣×6×2﹣×2×1=5．
六、(本題滿分12分)
21. 今年以來，我市接待的游客人數(shù)逐月增加，據(jù)統(tǒng)計，游玩某景區(qū)的游客人數(shù)三月份為4萬人，五月份為5.76萬人．
（1）求四月和五月這兩個月中，該景區(qū)游客人數(shù)平均每月增長百分之幾；
（2）若該景區(qū)僅有兩個景點，售票處出示的三種購票方式如表所示：
購票方式 甲 乙 丙
可游玩景點 和
門票價格 100元/人 80元/人 160元/人
據(jù)預(yù)測，六月份選擇甲、乙、丙三種購票方式的人數(shù)分別有2萬、3萬和2萬．并且當(dāng)甲、乙兩種門票價格不變時，丙種門票價格每下降1元，將有600人原計劃購買甲種門票的游客和400人原計劃購買乙種門票的游客改為購買丙種門票．
①若丙種門票價格下降10元，求景區(qū)六月份的門票總收入；
②問：將丙種門票價格下降多少元時，景區(qū)六月份的門票總收入有最大值？最大值是多少萬元？
解：（1）設(shè)四月和五月這兩個月中，該景區(qū)游客人數(shù)的月平均增長率為，
由題意，得
解這個方程，得（舍去）
答：四月和五月這兩個月中，該景區(qū)游客人數(shù)平均每月增長20%．
（2）①由題意，丙種門票價格下降10元，得：
購買丙種門票的人數(shù)增加：（萬人），
購買甲種門票的人數(shù)為：（萬人），
購買乙種門票的人數(shù)為：（萬人），
所以：門票收入問；
（萬元）
答：景區(qū)六月份的門票總收入為798萬元．
②設(shè)丙種門票價格降低元，景區(qū)六月份的門票總收入為萬元，
由題意，得
化簡，得，
，
∴當(dāng)時，取最大值，為817.6萬元．
答：當(dāng)丙種門票價格降低24元時，景區(qū)六月份的門票總收入有最大值，為817.6萬元．
七、(本題滿分12分)
22. 若二次函數(shù)圖象的頂點在一次函數(shù)的圖象上，則稱為的伴隨函數(shù)，如：是的伴隨函數(shù)．
（1）若是的伴隨函數(shù)，求直線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積；
（2）若函數(shù)的伴隨函數(shù)與軸兩個交點間的距離為4，求，的值．
解：（1），
其頂點坐標(biāo)為，
是的伴隨函數(shù)，
在一次函數(shù)的圖象上，
．
，
一次函數(shù)為：，
一次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點分別為，，
直線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的兩直角邊長度都為，
直線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為：．
（2）設(shè)函數(shù)與軸兩個交點的橫坐標(biāo)分別為，，則，，
，
∵函數(shù)與軸兩個交點間的距離為4，
，
解得，，
函數(shù)為：，
其頂點坐標(biāo)為，
是的伴隨函數(shù)，
，
．
八、(本題滿分14分)
23. 如圖，頂點為M的拋物線y=a（x+1）2-4分別與x軸相交于點A，B（點A在點B的右側(cè)），與y軸相交于點C（0，﹣3）．
（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
（2）判斷△BCM否為直角三角形，并說明理由．
（3）拋物線上是否存在點N（點N與點M不重合），使得以點A，B，C，N為頂點的四邊形的面積與四邊形ABMC的面積相等？若存在，求出點N的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
解：（1）∵拋物線與y軸相交于點C（0，﹣3），
∴﹣3=a﹣4，
∴a=1，
∴拋物線解析式為，即；
（2）△BCM是直角三角形．
理由：
由（1）有，拋物線解析式為，
∵頂點為M的拋物線，
∴M（﹣1，﹣4），
由（1）拋物線解析式為，
令y=0，∴，
∴=﹣3，=1，
∴A（1，0），B（﹣3，0），
∴=9+9=18，=1+1=2，=4+16=20，
∴，
∴△BCM是直角三角形；
（3）存在．
∵以點A，B，C，N為頂點的四邊形的面積與四邊形ABMC的面積相等，且點M是拋物線的頂點，分兩種情況討論：
①點N在x軸上方拋物線上，如圖，由（2）有△BCM是直角三角形，=18，=2，
∴BC=，CM=，
∴S△BCM=BC×CM==3，
設(shè)N（m，n），
∵以點A，B，C，N為頂點的四邊形的面積與四邊形ABMC的面積相等，∴S△ABN+S△ABC=S△BCM+S△ABC，∴S△ABN=S△BCM=3，
∵A（1，0），B（﹣3，0），
∴AB=4，
∴S△ABN=×AB×n=×4×n=2n=3，
∴n=，
∵N在拋物線解析式為的圖象上，
∴，
∴m1=，m2=，
∴N（，）或N（，）；
②如圖2，點N在x軸下方的拋物線上，∵點C在對稱軸的右側(cè)，
∴點N在對稱軸右側(cè)不存在，只有在對稱軸的左側(cè)，過點M作MN∥BC，交拋物線于點N，
∵B（﹣3，0），C（0，﹣3），
∴直線BC解析式為y=﹣x﹣3，
設(shè)MN的解析式為y=﹣x+b，
∵拋物線解析式為①，
∴M（﹣1，﹣4），
∴直線MN解析式為y=﹣x﹣5②，
聯(lián)立①②得：，
解得：（舍），，
∴N（﹣2，﹣3）．
綜上所述：N（，）或N（，）或N（﹣2，﹣3）．

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