資源簡介

河北省張家口市橋東區2024-2025學年下學期八年級期末數學試卷
一、選擇題（本大題共12個小題，每小題3分；共36分，在每個小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）
1．（3分）下列屬于一元二次方程的是（　?。?br/>A．x2+3x B．2x+1＝7 C．x2＝3 D．x2+2y＝2
2．（3分）等腰三角形的一個內角為110°，則這個等腰三角形的底角的度數是（　?。?br/>A．35° B．55° C．35°或55° D．110°
3．（3分）下列分式變形正確的是（　　）
A． B．
C． D．
4．（3分）根據所標數據，不能判斷下列四邊形是平行四邊形的是（　?。?br/>A． B．
C． D．
5．（3分）如圖，點A，B在數軸上，且點A在點B的左側，點A，B表示的數分別為1﹣a和，則a的值可能為（　?。?br/>A．﹣4 B．0 C．﹣2 D．﹣1
6．（3分）若的結果為整數，則整數n的值不可能是（　?。?br/>A．44 B．55 C．66 D．77
7．（3分）如圖，將直角三角形ABC沿邊AC的方向平移到三角形DEF的位置，若CD＝6，AF＝14，則點B與點E的距離為（　?。?br/>A．8 B．4 C．6 D．3
8．（3分）亮亮在解一元二次方程x2﹣6x+□＝0時，不小心把常數項丟掉了，已知這個一元二次方程有實數根，則丟掉的常數項的最大值是（　?。?br/>A．7 B．8 C．9 D．10
9．（3分）如圖，在△ABC中，點D、E分別是AB、AC的中點，點F是DE上一點．已知AC＝6，DF＝1，連接AF、CF，若∠AFC＝90°，則BC的長度為（　?。?br/>A．6 B．7 C．8 D．9
10．（3分）某種藥品說明書上，貼有如圖所示的標簽，若一次服用這種藥品的劑量范圍是x～ymg，則x，y的值分別為（　　）
用法用量：口服，每天30～60mg，分2～3次服用．
規格：□□□□□□
A．x＝15，y＝30 B．x＝10，y＝20 C．x＝15，y＝20 D．x＝10，y＝30
11．（3分）對于，，嘉嘉和淇淇給出如下結論：
嘉嘉：當x＞0時，M﹣N＞0．
淇淇：當x＝2時，M＝N．則下列說法正確的是（　　）
A．嘉嘉對，淇淇錯 B．嘉嘉錯，淇淇對
C．嘉嘉、淇淇都對 D．嘉嘉、淇淇都不對
12．（3分）如圖，在一張矩形紙片ABCD中，AB＝3，BC＝9，點E、F分別在AD、BC邊上，將紙片ABCD沿直線EF折疊，點C落在AD上的一點H處，點D落在點G處．有以下三個結論：
①△EFH是等腰三角形 ②連接CE，則四邊形CFHE是菱形 ③當點H與點A重合時，EF＝（　　）
A．只有①正確 B．只有②不正確
C．只有③不正確 D．①②③都正確
二、填空題（本大題共4個小題，每小題3分；共12分）
13．（3分）一個多邊形的內角和是外角和的2倍，它是 　六　 邊形．
14．（3分）設[a]表示小于a的最大整數，則[2.5]+[﹣3.6]的值為 　﹣2　 ．
15．（3分）已知關于x的一元二次方程5x2+kx﹣6＝0的一個根是2，則它的另一個根是　﹣　 ．
16．（3分）鄰邊長分別為3，a（a＞3）的平行四邊形紙片，如圖那樣折一下，剪下一個邊長等于3的菱形（稱為第一次操作）；再把剩下的平行四邊形如圖那樣折一下，剪下一個邊長等于此時平行四邊形一邊長的菱形（稱為第二次操作）；再把剩下的平行四邊形如此反復操作下去，若在第三次操作后，剩下的平行四邊形為菱形，則a的值 　5或4　 ．
三、解答題（共8個小題，共52分，解答題應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）
17．（5分）計算
習題課上老師給了一道方程：x2+2x＝3x+6．
嘉嘉的解法 原方程可化為：x2﹣x﹣6＝0……第一步 ∴（x﹣2）（x+3）＝0………………第二步 ∴x1＝2，x2＝﹣3………………第三步 琪琪的解法 原方程可化為：x（x+2）＝3（x+2）……第一步 兩邊都除以（x+2）………………第二步 ∴x＝3………………………………第三步
（1）她們的解法都是錯誤的，嘉嘉從第 　二　 步開始錯誤，琪琪從第 　二　 步開始錯誤；
（2）寫出方程正確的解答過程．
18．（6分）下面是嘉嘉作業本上的一道習題及解答過程，部分被污染了．
x（x+2）﹣3（◆） ＝x2+2x﹣6x+3 ＝■
（1）被污染的整式◆＝　2x﹣1　 ；■＝　x2﹣4x+3　 ；
（2）已知x≠1，判斷整式◆與■的和與1的大小關系，并說明理由．
19．（6分）如圖，已知l1∥l2，點A，B分別在l1，l2上．
（1）用無刻度的直尺和圓規分別在l1，l2上作點D，C，使得四邊形ABCD是菱形（保留作圖痕跡，不寫作法）；
（2）若菱形的周長為20cm，AC＝6cm，求菱形的高．
20．（6分）如圖，某校進行校園改造，準備將一塊正方形空地劃出部分區域栽種鮮花，原空地一邊減少了1m，另一邊減少了2m，如圖所示．
（1）若設正方形的邊長為x m，則栽種鮮花區域（陰影部分）的面積為 ?。?x﹣2）　 m2（用含x的代數式表示，要求結果最簡）；
（2）如果剩余空地面積為12m2，求正方形的邊長x的值．
21．（7分）情境：圖1是由一個邊長為4的等邊三角形紙片沿一條中位線去掉一個等邊三角形后得到的“完美梯形”紙片ABCD．將該紙片通過裁剪，可拼接為新的等邊三角形（說明：紙片不折疊，拼接不重疊無縫隙無剩余）
操作：嘉嘉將圖1所示的紙片ABCD通過裁剪拼成了圖2的等邊三角形EFG．嘉嘉沿虛線EK、EH、EJ裁剪三刀，將紙片剪成①﹣④四塊，再將①、③、④移動到新的位置進行拼接．根據嘉嘉的拼接過程解答下列問題：
（1）∠CEK的度數為 　30°　 ，EK＝ 　　 ；
（2）直接寫出圖2中三條裁剪線EH、EJ、EK的數量關系，并計算等邊三角形EFG的邊長；
探究：
（3）淇淇說：“將圖1所示紙片ABCD沿過四邊形頂點的直線裁剪，只剪兩刀，分成三塊，就可以拼成新的等邊三角形”，請你按照淇淇的說法設計一種方案，在圖3所示的紙片中畫出兩條裁剪線的位置（可以借助刻度尺、三角尺或圓規），并直接寫出較長的裁剪線的長（若兩條裁剪線長度相等，寫出其長度即可）．
22．（7分）根據以下素材，探索完成任務：
主題：照明燈進貨方案制定問題
裝修公司根據顧客需求，與房地產公司合作，特購進照明燈兩款，擬推出促銷套餐
素材1 兩款品牌照明燈價格表
進價（元/盞） 售價（元/盞）
A型 a 60
B型 a+20 100
素材2 已知用1600元購進A型照明燈的數量與用2400元購進B型照明燈的數量相同
問題解決
任務1 請運用列方程的方法求出A、B兩種照明燈的進價．
任務2 裝修公司計劃購進A、B兩種照明燈共100盞，規定B照明燈的進貨數量不超過A型照明燈數量的3倍，應怎樣進貨才能使銷售完這批照明燈后獲利最多？此時利潤為多少元？（利潤＝售價﹣進價）
23．（7分）如圖，在平面直角坐標系中，x軸上有一點A（﹣3，0），C（﹣2，0），過點C作CD∥y軸，設點D的縱坐標為a，將點A先向右平移3個單位長度再向上平移2個單位長度得到點B．
（1）在圖中畫出直線AB，并求直線AB的解析式；
（2）若直線AB與線段CD有交點，求a的取值范圍；
（3）若直線y＝kx﹣k+2與x軸，直線AB圍成的封閉圖形（不包括邊界）有4個整點（橫、縱坐標均為整數的點），直接寫出k的取值范圍．
24．（8分）如圖1，在Rt△ABC中，AC＝2，∠B＝30°，點P為邊AB上的一個動點，連接CP，將CP繞點P逆時針旋轉90°得到線段PQ，設AP＝x．
（1）PC的最小值為 　　 ，此時x＝ 　1　 ；
（2）當∠BPQ＝15°時，∠BPC＝ 　75°或105°　 ；
（3）當點Q落在BC上時，求x的值；
（4）連接BQ，直接寫出BQ的最小值．
河北省張家口市橋東區2024-2025學年下學期八年級期末數學試卷
參考答案
一、選擇題（本大題共12個小題，每小題3分；共36分，在每個小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）
1．（3分）下列屬于一元二次方程的是（　　）
A．x2+3x B．2x+1＝7 C．x2＝3 D．x2+2y＝2
解：x2+3x不是等式，則A不符合題意，
2x+1＝7中未知數的次數是1，則B不符合題意，
x2＝3符合一元二次方程的定義，則C符合題意，
x2+2y＝2中含有2個未知數，則D不符合題意，
故選：C．
2．（3分）等腰三角形的一個內角為110°，則這個等腰三角形的底角的度數是（　?。?br/>A．35° B．55° C．35°或55° D．110°
解：∵等腰三角形的一個內角是110°，
∴等腰三角形的頂角為110°，
∴等腰三角形的底角為35°，
故選：A．
3．（3分）下列分式變形正確的是（　?。?br/>A． B．
C． D．
解：A．a+＝，所以A選項不符合題意；
B． ＝﹣＝﹣1，所以B選項符合題意；
C． 為最簡分式，所以C選項不符合題意；
D．m÷ n＝m n n＝mn2，所以D選項不符合題意；
故選：B．
4．（3分）根據所標數據，不能判斷下列四邊形是平行四邊形的是（　　）
A． B．
C． D．
解：A、∵AO＝CO，BO＝DO，
∴四邊形ABCD是平行四邊形，故不符合題意；
B、∵AB＝CD，AD＝BC，
∴四邊形ABCD是平行四邊形，故不符合題意；
C、∵∠ACB＝∠DAC＝40°，
∴AD∥BC，
∵AB＝CD，
∴不能判定四邊形ABCD是平行四邊形，故符合題意；
D、∠ACB＝∠CAD＝40°，
∴AD∥BC，
∵∠ABD＝∠BDC＝35°，
∴AB∥CD，
∴四邊形ABCD是平行四邊形，故不符合題意；
故選：C．
5．（3分）如圖，點A，B在數軸上，且點A在點B的左側，點A，B表示的數分別為1﹣a和，則a的值可能為（　?。?br/>A．﹣4 B．0 C．﹣2 D．﹣1
解：由圖可知為1﹣a＜，
解不等式2﹣2a＜3﹣a，
a＞﹣1，
∴只有選項B符合題意．
故選：B．
6．（3分）若的結果為整數，則整數n的值不可能是（　?。?br/>A．44 B．55 C．66 D．77
解：原式＝
＝
＝
＝，
A、當n＝44時，44＝22×11，是11×23×3×53的因子，可使結果為整數，故選項A不符合題意；
B、當n＝55時，55＝11×5，是11×23×3×53的因子，可使結果為整數，故選項B不符合題意；
C、當n＝66時，66＝2×3×11，是11×23×3×53的因子，可使結果為整數，故選項C不符合題意；
D、當n＝77時，77＝7×11，不是11×23×3×53的因子，不可使結果為整數，故選項D符合題意；
故選：D．
7．（3分）如圖，將直角三角形ABC沿邊AC的方向平移到三角形DEF的位置，若CD＝6，AF＝14，則點B與點E的距離為（　　）
A．8 B．4 C．6 D．3
解：設BE＝x，
∵將直角△ABC沿邊AC的方向平移到△DEF的位置，
∴BE＝AD＝CF＝x，
∵CD＝6，AF＝14，
∴x+6+x＝14，
解得：x＝4，
∴點B與點E的距離為4．
故選：B．
8．（3分）亮亮在解一元二次方程x2﹣6x+□＝0時，不小心把常數項丟掉了，已知這個一元二次方程有實數根，則丟掉的常數項的最大值是（　　）
A．7 B．8 C．9 D．10
解：設常數項為c，
根據題意得Δ＝（﹣6）2﹣4c≥0，
解得c≤9，
所以c的最大值為9．
故選：C．
9．（3分）如圖，在△ABC中，點D、E分別是AB、AC的中點，點F是DE上一點．已知AC＝6，DF＝1，連接AF、CF，若∠AFC＝90°，則BC的長度為（　?。?br/>A．6 B．7 C．8 D．9
解：延長AF交BC于M，
∵∠AFC＝90°，E是AC的中點，
∴EF＝AC，
∴FE＝EC，
∴∠ECF＝∠EFC，
∵點D、E分別是AB、AC的中點，
∴DE是△ABC的中位線，
∴DE∥BC，
∴∠MCF＝∠EFC，
∴∠ECF＝∠MCF，
∵∠AFC＝∠CFM＝90°，
∴∠CAM＝∠CMA，
∴MC＝AC＝6，
∵CF⊥AM，
∴AF＝MF，
∵D是AB中點，
∴DF是△ABM的中位線，
∴MB＝2DF＝2，
∴BC＝CM+BM＝6+2＝8．
故選：C．
10．（3分）某種藥品說明書上，貼有如圖所示的標簽，若一次服用這種藥品的劑量范圍是x～ymg，則x，y的值分別為（　　）
用法用量：口服，每天30～60mg，分2～3次服用．
規格：□□□□□□
A．x＝15，y＝30 B．x＝10，y＝20 C．x＝15，y＝20 D．x＝10，y＝30
解：若分2次服用，30÷2＝15（mg），60÷2＝30（mg），
則一次服用這種藥品的劑量范圍是15～30mg；
若分3次服用，30÷3＝10（mg），60÷3＝20（mg），
則一次服用這種藥品的劑量范圍是10～20mg．
所以一次服用這種藥品的劑量范圍是10～30mg時間，
所以x＝10，y＝30．
故選：D．
11．（3分）對于，，嘉嘉和淇淇給出如下結論：
嘉嘉：當x＞0時，M﹣N＞0．
淇淇：當x＝2時，M＝N．則下列說法正確的是（　?。?br/>A．嘉嘉對，淇淇錯 B．嘉嘉錯，淇淇對
C．嘉嘉、淇淇都對 D．嘉嘉、淇淇都不對
解：根據題意可知，，
當x＞0時，x+2＞0，（x﹣2）2≥0，
∴M﹣N≥0，故嘉嘉錯；
當x＝2時，，
∴M＝N，故淇淇對；
∴嘉嘉錯，淇淇對．
故選：B．
12．（3分）如圖，在一張矩形紙片ABCD中，AB＝3，BC＝9，點E、F分別在AD、BC邊上，將紙片ABCD沿直線EF折疊，點C落在AD上的一點H處，點D落在點G處．有以下三個結論：
①△EFH是等腰三角形 ②連接CE，則四邊形CFHE是菱形 ③當點H與點A重合時，EF＝（　?。?br/>A．只有①正確 B．只有②不正確
C．只有③不正確 D．①②③都正確
解：①∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠HEF＝∠CFE，
由折疊性質得：∠CFE＝∠HFE，
∴∠HEF＝∠HFE，
∴EH＝FH，
∴△EFH是等腰三角形，
故結論①正確；
②連接CE，CH，如圖1所示：
由折疊性質得：EF是線段CH的垂直平分線，FC＝FH，
∴EH＝EC＝FC＝FH，
∴四邊形CFHE是菱形，
故結論②正確；
③當點H與點A重合時，連接AC交EF與點O，連接CE，如圖2所示：
∵四邊形ABCD是矩形，且AB＝3，BC＝9，
∴∠B＝90°，
在△ABC中，由勾股定理得：AC＝＝＝，
∵四邊形CFAE是菱形，
∴CF＝FA，OC＝OA＝AC＝，OE＝OF＝EF，∠FOC＝90°，
∴EF＝2OF，
設CF＝FA＝a，則BF＝BC﹣CF＝10﹣a，
在Rt△ABF中，由勾股定理得：AB2+BF2＝AF2，
∴32+（10﹣a）2＝a2，
解得：a＝，
∴CF＝a＝，
在Rt△CFO中，由勾股定理得：OF＝＝＝，
∴EF＝2OF＝＝，
故結論③不正確，
綜上所述：在結論①②③中，只有③不正確，
故選：C．
二、填空題（本大題共4個小題，每小題3分；共12分）
13．（3分）一個多邊形的內角和是外角和的2倍，它是 　六　 邊形．
解：設多邊形邊數為n，可列方程為：
360°×2＝（n﹣2） 180°，
解得n＝6．
故答案為：六．
14．（3分）設[a]表示小于a的最大整數，則[2.5]+[﹣3.6]的值為 　﹣2　 ．
解：根據題意得[2.5]+[﹣3.6]＝2+（﹣4）＝﹣2，
故答案為：﹣2．
15．（3分）已知關于x的一元二次方程5x2+kx﹣6＝0的一個根是2，則它的另一個根是　﹣　 ．
解：把x＝2代入5x2+kx﹣6＝0，
可得：20+2k﹣6＝0，
解得：k＝﹣7，
設另一個根為x，則
5x2﹣7x﹣6＝0，
解得x＝﹣或x＝2，
故答案為：﹣．
16．（3分）鄰邊長分別為3，a（a＞3）的平行四邊形紙片，如圖那樣折一下，剪下一個邊長等于3的菱形（稱為第一次操作）；再把剩下的平行四邊形如圖那樣折一下，剪下一個邊長等于此時平行四邊形一邊長的菱形（稱為第二次操作）；再把剩下的平行四邊形如此反復操作下去，若在第三次操作后，剩下的平行四邊形為菱形，則a的值 　5或4　 ．
解：①如圖，經歷三次折疊后，四邊形IJHF為菱形，
∵四邊形ABCD為菱形，
∴AB＝AD＝BC＝CD＝3，
∴DF＝CE＝a﹣3，
∵四邊形GCEH為菱形，
∴GC＝CE＝a﹣3，
∴DG＝FH＝3﹣（a﹣3）＝6﹣a，
∵四邊形DGJI為菱形，
∴DI＝DG＝6﹣a，
∴IF＝a﹣3﹣（6﹣a）＝2a﹣9，
∵四邊形IJHF為菱形，
∴IF＝HF，即6﹣a＝2a﹣9，
解得：a＝5；
②如圖，經歷三次折疊后，四邊形DIHF為菱形，
∵四邊形ABCD為菱形，
∴AB＝AD＝BC＝CD＝3，
∴DF＝CE＝a﹣3，
∵四邊形JCEG，IJGH，DIHF都為菱形，
∴DI＝CD＝2或CD＝1
∴a﹣3＝2或a﹣3＝1
解得：a＝5或4；
綜上：a的值為5．
故答案為：5或4．
三、解答題（共8個小題，共52分，解答題應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）
17．（5分）計算
習題課上老師給了一道方程：x2+2x＝3x+6．
嘉嘉的解法 原方程可化為：x2﹣x﹣6＝0……第一步 ∴（x﹣2）（x+3）＝0………………第二步 ∴x1＝2，x2＝﹣3………………第三步 琪琪的解法 原方程可化為：x（x+2）＝3（x+2）……第一步 兩邊都除以（x+2）………………第二步 ∴x＝3………………………………第三步
（1）她們的解法都是錯誤的，嘉嘉從第 　二　 步開始錯誤，琪琪從第 　二　 步開始錯誤；
（2）寫出方程正確的解答過程．
解：（1）她們的解法都是錯誤的，嘉嘉從第二步開始錯誤，琪琪從第二步開始錯誤；
故答案為：二，二；
（2）原方程可化為：x2﹣x﹣6＝0，
∴（x+2）（x﹣3）＝0，
∴x1＝﹣2，x2＝3．
18．（6分）下面是嘉嘉作業本上的一道習題及解答過程，部分被污染了．
x（x+2）﹣3（◆） ＝x2+2x﹣6x+3 ＝■
（1）被污染的整式◆＝　2x﹣1　 ；■＝　x2﹣4x+3　 ；
（2）已知x≠1，判斷整式◆與■的和與1的大小關系，并說明理由．
解：（1）由條件可得◆＝2x﹣1，■＝x2﹣4x+3；
故答案為：2x﹣1，x2﹣4x+3；
（2）由條件可得：◆+■﹣1＝2x﹣1+x2﹣4x+3﹣1＝x2﹣2x+1＝（x﹣1）2＞0，
∴◆與■的和大于1．
19．（6分）如圖，已知l1∥l2，點A，B分別在l1，l2上．
（1）用無刻度的直尺和圓規分別在l1，l2上作點D，C，使得四邊形ABCD是菱形（保留作圖痕跡，不寫作法）；
（2）若菱形的周長為20cm，AC＝6cm，求菱形的高．
解：（1）如圖，四邊形ABCD即為所求；
（2）連接AC，BD交于點O，過點A作AH⊥BC于點H．
∵四邊形ABCD是菱形，周長為20cm，
∴BC＝5，AC⊥BD，
∴OA＝OC＝AC＝3cm，
∴OB＝OD＝＝＝4（cm），
∴BD＝8（cm），
∵BC AH＝ AC BD，
∴AH＝，
∴菱形的高為．
20．（6分）如圖，某校進行校園改造，準備將一塊正方形空地劃出部分區域栽種鮮花，原空地一邊減少了1m，另一邊減少了2m，如圖所示．
（1）若設正方形的邊長為x m，則栽種鮮花區域（陰影部分）的面積為 ?。?x﹣2）　 m2（用含x的代數式表示，要求結果最簡）；
（2）如果剩余空地面積為12m2，求正方形的邊長x的值．
解：（1）設正方形的邊長為x m，則栽種鮮花區域（陰影部分）的長為（x﹣1）m，寬為（x﹣2）m，
∴栽種鮮花區域（陰影部分）的面積為：x2﹣（x﹣1）（x﹣2）＝（3x﹣2）（m2），
故答案為：（3x﹣2）；
（2）根據題意得：（x﹣1）（x﹣2）＝12，
整理得：x2﹣3x﹣10＝0，
解得：x1＝5，x2＝﹣2（不符合題意，舍去），
答：正方形的邊長x的值為5m．
21．（7分）情境：圖1是由一個邊長為4的等邊三角形紙片沿一條中位線去掉一個等邊三角形后得到的“完美梯形”紙片ABCD．將該紙片通過裁剪，可拼接為新的等邊三角形（說明：紙片不折疊，拼接不重疊無縫隙無剩余）
操作：嘉嘉將圖1所示的紙片ABCD通過裁剪拼成了圖2的等邊三角形EFG．嘉嘉沿虛線EK、EH、EJ裁剪三刀，將紙片剪成①﹣④四塊，再將①、③、④移動到新的位置進行拼接．根據嘉嘉的拼接過程解答下列問題：
（1）∠CEK的度數為 　30°　 ，EK＝ 　　 ；
（2）直接寫出圖2中三條裁剪線EH、EJ、EK的數量關系，并計算等邊三角形EFG的邊長；
探究：
（3）淇淇說：“將圖1所示紙片ABCD沿過四邊形頂點的直線裁剪，只剪兩刀，分成三塊，就可以拼成新的等邊三角形”，請你按照淇淇的說法設計一種方案，在圖3所示的紙片中畫出兩條裁剪線的位置（可以借助刻度尺、三角尺或圓規），并直接寫出較長的裁剪線的長（若兩條裁剪線長度相等，寫出其長度即可）．
解：（1）由題意得：EK⊥CD，
∵∠C＝60°，
∴∠CEK＝30°．
∵BE＝EC＝2，
∴EK＝EC cos30°＝2×＝．
故答案為：30°；；
（2）三條裁剪線EH、EJ、EK的數量關系為EH＝EJ＝EK．
由題意得：AB＝CD＝BE＝EK＝2，AH＝HD＝1，EJ⊥AB，EH⊥BC，
∵∠B＝60°，
∴∠BEJ＝30°．
∵BE＝EC＝2，
∴EJ＝BE cos30°＝2×＝．
連接AE，如圖，
∵BJ＝BE sin30°＝2×＝1，
∴AH＝AJ＝1，
在Rt△AJE和Rt△AHE中，
，
∴Rt△AJE≌Rt△AHE（HL），
∴EJ＝EH．
∴三條裁剪線EH、EJ、EK的數量關系為EH＝EJ＝EK＝．
∵EH＝FH，
∴EF＝2EH＝2，
∴等邊三角形EFG的邊長為2．
（3）1．連接AC，
2．過點A作AE⊥BC于點E，
則AC，AE將紙片ABCD沿過四邊形頂點A的直線裁剪，分成三塊，將△ADC繞著點C旋轉60°得到△CGF，將△ABE繞著點E旋轉180°得到△FGE，可以拼成新的等邊三角形，如圖，
則AE，AC為所畫出兩條裁剪線．
∵AD＝DC＝2，
∴∠DAC＝∠DCA，
∵AD∥BC，
∴∠DAC＝∠ACB，
∴∠ACB＝∠DCA＝DCB＝30°，
∵AE⊥BC，
∴AE＝AB sin∠ABC＝2×＝，
∴AC＝2AE＝2，
∴較長的裁剪線的長為2．
22．（7分）根據以下素材，探索完成任務：
主題：照明燈進貨方案制定問題
裝修公司根據顧客需求，與房地產公司合作，特購進照明燈兩款，擬推出促銷套餐
素材1 兩款品牌照明燈價格表
進價（元/盞） 售價（元/盞）
A型 a 60
B型 a+20 100
素材2 已知用1600元購進A型照明燈的數量與用2400元購進B型照明燈的數量相同
問題解決
任務1 請運用列方程的方法求出A、B兩種照明燈的進價．
任務2 裝修公司計劃購進A、B兩種照明燈共100盞，規定B照明燈的進貨數量不超過A型照明燈數量的3倍，應怎樣進貨才能使銷售完這批照明燈后獲利最多？此時利潤為多少元？（利潤＝售價﹣進價）
解：（1）由題意，得，
∴a＝40．
經檢驗，a＝40是所列分式方程的根，
40+20＝60（元）．
答：A型照明燈的進價是40元，B型照明燈的進價是60元．
（2）設購進A型照明燈x盞，則購進B型照明燈（100﹣x）盞．
∴100﹣x≤3x，
∴x≥25，
設利潤為W元，則W＝（60﹣40）x+（100﹣60）（100﹣x）＝﹣20x+4000，
∵﹣20＜0，
∴W隨x的減小而增大，
∵x≥25，
∴當x＝25時W值最大，W最大＝﹣20×25+4000＝3500，
100﹣25＝75（盞）．
答：購進A型照明燈25盞、B型照明燈75盞才能使銷售完這批照明燈后獲利最多，此時利潤為3500元．
23．（7分）如圖，在平面直角坐標系中，x軸上有一點A（﹣3，0），C（﹣2，0），過點C作CD∥y軸，設點D的縱坐標為a，將點A先向右平移3個單位長度再向上平移2個單位長度得到點B．
（1）在圖中畫出直線AB，并求直線AB的解析式；
（2）若直線AB與線段CD有交點，求a的取值范圍；
（3）若直線y＝kx﹣k+2與x軸，直線AB圍成的封閉圖形（不包括邊界）有4個整點（橫、縱坐標均為整數的點），直接寫出k的取值范圍．
解：（1）在平面直角坐標系中，x軸上有一點A（﹣3，0），將點A先向右平移3個單位長度再向上平移2個單位長度得到點B，
∴B（0，2），
如圖1，
設直線AB的解析式為y＝k1x+b1，把點A，點B的坐標分別代入得：
，
解得：，
∴直線AB的解析式為；
（2）由（1）得，直線AB的解析式為，
∵CD∥y軸，
∴C的橫坐標為﹣2，
∵直線AB與線段CD有交點，
∴，
解得：；
（3）k的取值范圍是或≤k＜．理由如下：
由y＝kx﹣k+2＝k（x﹣1）+2，
∴y＝kx﹣k+2經過定點（1，2），
分兩種情況討論：
如圖2，
∵直線AB圍成的封閉圖形（不包括邊界）有4個整點，
∴當x＝2時，y＝2k﹣k+2＞1，當x＝3時，y＝3k﹣k+2≤1，
聯立得：，
解得：；
如圖3，
∴當x＝﹣5時，y＝﹣5k﹣k+2＞1，當x＝﹣6時，y＝﹣6k﹣k+2≤1，
聯立得：，
解得：≤k＜，
綜上所述，k的取值范圍是或≤k＜．
24．（8分）如圖1，在Rt△ABC中，AC＝2，∠B＝30°，點P為邊AB上的一個動點，連接CP，將CP繞點P逆時針旋轉90°得到線段PQ，設AP＝x．
（1）PC的最小值為 　　 ，此時x＝ 　1　 ；
（2）當∠BPQ＝15°時，∠BPC＝ 　75°或105°　 ；
（3）當點Q落在BC上時，求x的值；
（4）連接BQ，直接寫出BQ的最小值．
解：（1）當CP⊥AB時，CP的值最小，
在Rt△ABC中，AC＝2，∠B＝30°，
∴AB＝2AC＝4，
∴BC＝＝2，
∵S△ABC＝AC BC＝AB CP，
∴CP＝＝，x＝AP＝＝1．
故答案為：，1；
（2）如圖1，∵將CP繞點P逆時針旋轉90°得到線段PQ，
∴∠CPQ＝90°，
∵∠BPQ＝15°，
∴∠BPC＝∠CPQ﹣∠BPQ＝90°﹣15°＝75°，
如圖2，∵將CP繞點P逆時針旋轉90°得到線段PQ，
∴∠CPQ＝90°，
∵∠BPQ＝15°，
∴∠BPC＝∠CPQ+∠BPQ＝90°+15°＝105°，
綜上所述，∠BPC＝75°或105°，
故答案為：75°或105°；
（3）作PE⊥AC于點E，如圖2所示，
由題意可知∠PCQ＝45°＝∠ACP，
∵tanA＝＝，sinA＝＝，
即EP＝x，
∴AE＝AC﹣EC＝2﹣x，
即＝，
解得x＝2（﹣1）．
（4）如圖5，以AC為直角邊作等腰直角三角形ACS，以BC為邊向下作等腰直角三角形CBR，
補全矩形CBEA，連接SR，
∵△ACS∽△BCR，
∴＝＝，
∴＝，
又∵∠ACB＝∠SCR＝90°，
∴△ACB∽△SCR，
∴∠CSR＝∠CAB，
即Q點在定直線SR上運動，當BQ⊥SR時，BQ最小，
作BT⊥SR，
∵SQ＝AE﹣AS＝2﹣2，ER＝EB+BR＝2+2，
∴tan∠SRE＝＝2﹣，從而sin∠SRE＝，
故BT＝BR×sin∠SRE＝2×＝．
即BQ的最小值為．

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