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四川省通江縣涪陽中學2024-2025學年九年級上學期數學第一次月考試題
學校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________
一、單選題
1．若分式(x≠0，y≠0)中x，y同時擴大3倍，則分式的值（ ）
A．擴大3倍 B．縮小3倍 C．改變 D．不改變
2．將正比例函數y=2x的圖象向下平移2個單位長度，所得圖象對應的函數解析式是（　　）
A．y=2x-1 B．y=2x+2
C．y=2x-2 D．y=2x+1
3．計算=（ ）
A． B． C． D．
4．菱形在平面直角坐標系中的位置如圖所示，點C的坐標是，點A的縱坐標是1，則點B的坐標是（　　）
A． B． C． D．
5．下表記錄了甲、乙、丙、丁四名跳高運動員最近幾次選拔賽成績的平均數與方差：
甲 乙 丙 丁
平均數（） 190 180 190 180
方差 3.6 3.6 7.4 8.1
根據表中數據，要從中選擇一名成績好且發揮穩定的運動員參加比賽，應選擇（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
6．一組從小到大排列的數據：a，3，5，5，6（a為正整數），唯一的眾數是5，則該組數據的平均數是（　　）
A．4.2或4 B．4 C．3.6或3.8 D．3.8
7．如圖，等腰梯形 ABCD 的對角線 AC、BD 相交于 O，則圖中的全等三 角形有（ ）
A．1 對 B．2 對 C．3 對 D．4 對
8．若一個多邊形的內角和等于外角和的2倍，則這個多邊形的邊數為（ ）
A．8 B．6 C．5 D．4
二、填空題
9．與最簡二次根式5是同類二次根式，則a= ．
10．函數y=中，自變量x的取值范圍是 .
11．當ａ＝－2時，二次根式的值是 ．
12．某正比例函數圖象經過點(1，2)，則該函數圖象的解析式為
13．已知一次函數y=x+4的圖象經過點（m，6），則m= ．
14．一組數據3，5，a，4，3的平均數是4，這組數據的方差為 ．
15．已知：一組鄰邊分別為和的平行四邊形，和的平分線分別交所在直線于點，，則線段的長為 ．
16．已知如圖，以的三邊為斜邊分別向外作等腰直角三角形，若斜邊，則圖中陰影部分的面積為 ．
17．若代數式+（x﹣1）0在實數范圍內有意義，則x的取值范圍為
18．如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，AD=12 cm，BC=8 cm，P，Q分別從A，C同時出發，P以1 cm/s的速度由A向D運動，Q以2 cm/s的速度由C出發向B運動， 秒后四邊形ABQP是平行四邊形．
三、解答題
19．已知關于x的一元二次方程．
(1)求證：此方程總有兩個實數根；
(2)若此方程有一個根大于0且小于1，求k的取值范圍．
20．化簡：
（1）；
（2）．
21．（1）因式分解
（2）解不等式組
22．問題探究
（1）請在圖①中作出兩條直線，使它們將圓面四等分；
（2）如圖②，M是正方形內一定點，請在圖②中作出兩條直線（要求其中一條直線必須過點M），使它們將正方形的面積四等分，并說明理由．
問題解決
（3）如圖③，在四邊形中，，，點P是的中點，如果，，且，那么在邊上是否存在一點Q，使所在直線將四邊形的面積分成相等的兩部分？若存在，求出的長；若不存在，說明理由．
23．如圖,已知一條直線經過點A(0,2),點B(1,0),將這條直線向左平移與x軸y軸分別交于點C、點D.若DB=DC,求直線CD對應的函數解析式.

24．(1)計算：
(2)先化簡，再求值：，其中
25．為了讓同學們了解自己的體育水平，八年級班的體育老師對全班名學生進行了一次體育模擬測試（得分均為整數），成績滿分為分，班的體育委員根據這次測試成績，制作了統計圖和分析表如下：
八年級班體育模擬測試成績分析表
平均數 方差 中位數 眾數
男生 2 8 7
女生 7.92 1.99 8
根據以上信息，解答下列問題：
(1)這個班共有男生 人，共有女生 人；
(2)補全八年級班體育模擬測試成績分析表；
(3)你認為在這次體育測試中，班的男生隊，女生隊哪個表現更突出一些？并寫出你的看法的理由．
26．如圖，A，B是直線y=x+4與坐標軸的交點，直線y=-2x+b過點B，與x軸交于點C．
（1）求A，B，C三點的坐標；
（2）點D是折線A—B—C上一動點．
①當點D是AB的中點時，在x軸上找一點E，使ED+EB的和最小，用直尺和圓規畫出點E的位置（保留作圖痕跡，不要求寫作法和證明），并求E點的坐標．
②是否存在點D，使△ACD為直角三角形，若存在，直接寫出D點的坐標；若不存在，請說明理由
四川省通江縣涪陽中學2024-2025學年九年級上學期數學第一次月考參考答案
題號 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A C A B A A C B
1．A
將原式中的x，y分別用3x，3y表示
.
故選A．
2．C
將正比例函數y=2x的圖象向下平移2個單位長度，所得圖象對應的函數解析式是y=2x-2．
故選C．
3．A
解：原式==.
故選A．
4．B
解：連接交于點D，
∵四邊形是菱形，點C的坐標是，點A的縱坐標是1，
∴，
∴點B的坐標是．
故選：B．
5．A
解：首先比較平均數∶甲=丙乙=丁，
∴從甲和丙中選擇一人參加比賽，
再比較方差：丙甲
∴選擇甲參賽，
故選∶A．
6．A
解：∵數據：a，3，5，5，6（a為正整數），唯一的眾數是5，
∴a＝1或a＝2，
當a＝1時，平均數為：；
當a＝2時，平均數為：；
故選A．
7．C
∵四邊形ABCD是等腰梯形，
∴AB=CD,AC=BD,OA=OD,OB=OC,AD∥CB，
∴△AOB≌△DOC,△ABD≌△ACD,△ABC≌△DCB.
故選C.
8．B
設邊數為x，根據題意得（x-2）×180°=2×360°
解得x=6
故選B.
9．2
解：∵與最簡二次根式5是同類二次根式，且=2，
∴a+1=3，解得：a=2．
故答案為2．
10．x≥－2且x≠3
解：根據題意得：x+2≥0且x-3≠0，
解得：x≥-2且x≠3．
故答案為x≥-2且x≠3．
11．2
解：當a=-2時，二次根式==2.
故答案為2.
12．
解：設正比例函數的解析式為y=kx，
把點(1，2)代入得，
2=k×1，
解得k=2，
∴該函數圖象的解析式為：；
故答案為：．
13．2
解：∵一次函數y=x+4的圖象經過點（m，6），
∴把點（m，6）代入一次函數y=x+4得
m+4=6
解得：m=2．
故答案為2．
14．0.8．
解：∵3，5，a，4，3的平均數是4，∴（3+5+a+4+3）÷5=4，解得：a=5，
則這組數據的方差S2= [（3﹣4）2+（5﹣4）2+（5﹣4）2+（4﹣4）2+（3﹣4）2]=0.8，
故答案為0.8．
15．或
解：如圖1，當AB=10cm,AD=6cm
∵AE平分∠BAD
∴∠BAE=∠DAE，
又∵AD∥CB
∴∠EAB=∠DEA，
∴∠DAE=∠AED，則AD=DE=6cm
同理可得：CF=CB=6cm
∵EF=DE+CF-DC=6+6-10=2(cm)
如圖2，當AD=10cm,AB=6cm,
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE=∠DAE
又∵AD∥CB
∴∠EAB=∠DEA，
∴∠DAE=∠AED則AD=DE=10cm
同理可得，CF=CB=10cm EF=DE+CF-DC=10+10-6=14（cm）
故答案為：2或14.
16．50
解：在Rt△ABC中，AB2=AC2+BC2，AB=5，
S陰影=S△AHC+S△BFC+S△AEB=
故答案為：50.
17．x≥-3且x≠1
解：由題意得：x+3≥0，且x-1≠0，
解得：x≥-3且x≠1．
故答案為x≥-3且x≠1．
18．.
解：設x秒后，四邊形ABQP是平行四邊形，
∵P以1cm/s的速度由A向D運動，Q以2cm/s的速度由C出發向B運動，
∴AP＝xcm，CQ＝2xcm，
∵BC＝8cm，
∴QB＝（8﹣2x）cm，
當AP＝BQ時，四邊形ABQP是平行四邊形，
∴x＝8﹣2x，
解得：x＝．
故答案為．
19．（1）證明：由題意得，
，
∵，
∴，
∴此方程總有兩個實數根；
（2）解：∵，
∴，
解得或，
∵此方程有一個根大于0且小于1，
∴，
∴．
20．解：（1）原式=；
（2）原式= ．
故答案為（1）；（2）．
21．（1）解：原式
（2）解1式得：
解2式得：
∴
22．解：（1）如圖①所示：
（2）如圖②，連接相交于點O，作直線分別交于兩點，過點O作用的垂線分別交于E、F兩點，則直線將正方形的面積四等分．
理由如下：
∵點O是正方形對角線的交點，
∴點O是正方形的對稱中心．
∴．
在和中，
∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
設點O到正方形一邊的距離為．
∴
∴．
∴直線將正方形面積四等分．
（3）如圖③，延長至點E，使，延長至點F，使，連接．
∴．
∴四邊形為平行四邊形．
∵，
∴平行四邊形為菱形．
連接交于點M，則．
∴，即點P、M重合．
∴點P是菱形對角線的交點．
在上截取，則．
設點P到菱形一邊的距離為，
∴．
∴當時，直線將四邊形的面積分成相等的兩部分．
23．解：設直線AB的解析式為y＝kx+b，
把A（0，2）、點B（1，0）代入，得，
解得，
故直線AB的解析式為y＝﹣2x+2；
將這直線向左平移與x軸負半軸、y軸負半軸分別交于點C、點D，使DB＝DC，
∴DO垂直平分BC，
∴OC＝OB，
∵直線CD由直線AB平移而成，
∴CD＝AB，
∴點D的坐標為（0，﹣2），
∵平移后的圖形與原圖形平行，
∴平移以后的函數解析式為：y＝﹣2x﹣2．
故答案為：y＝﹣2x﹣2．
24．解：(1) =8+2 1=9
(2)
=
=
=
x=4 2sin30°=4 2× =3
∴原式= =
25．（1）解∶這個班共有男生有人，
女生有人．
故答案為∶20，25；
（2）解∶ 解：男生的平均分為 ，女生的眾數為，
補全表格如下：
平均分 方差 中位數 眾數
男生
女生
（3）解：從眾數看，女生隊的眾數高于男生隊的眾數，所以女生隊表現更突出（答案不唯一）．
26．解：（1）在y=x +4中，
令x =0，得y=4，
令y =0，得x=-4，
∴A(-4，0) ，B(0，4)
把B(0，4)代入y=-2x+b，得b =4，
∴直線BC為：y=-2x+4
在y=-2x +4中，
令y =0，得x=2，
∴C點的坐標為(2，0)；
（2）①如圖
∵點D是AB的中點
∴D（-2，2）
點B關于x軸的對稱點B1的坐標為（0，-4），
設直線DB1的解析式為，
把D（-2，2），B1（0，-4）代入，得，
解得k=-3，b=-4，
∴該直線為：y=-3x-4，
令y=0，得x=，
∴E點的坐標為（，0）．
②存在，D點的坐標為（-1，3）或（，）．
當點D在AB上時，
∵OA=OB=4，
∴∠BAC=45°，
∴△ACD是以∠ADC為直角的等腰直角三角形，
∴點D的橫坐標為，
當x=-1時，y=x+4=3，
∴D點的坐標為（-1，3）；
當點D在BC上時，如圖，設AD交y軸于點F．
∵∠FAO＋∠AFO＝∠CBO＋∠BFD，∠AFO＝∠BFD，
∴∠FAO=∠CBO，
又∵AO=BO，∠AOF=∠BOC，
∴△AOF≌△BOC（ASA）
∴OF=OC=2，
∴點F的坐標為（0，2），
設直線AD的解析式為，
將A（-4，0）與F（0，2）代入得，
解得，
∴，
聯立，解得：，
∴D的坐標為（，）．
綜上所述：D點的坐標為（-1，3）或（，）

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