資源簡介

2025學年上海市建平中學高二上學期開學綜合素質檢測
數學 試卷
（考試時間：120分鐘 滿分：150分）
考生注意：
1. 本試卷共4頁，21道試題，滿分150分，考試時間120分鐘
2. 請將答案正確填寫在答題紙上，作答在原卷上不予評分
一.填空題（12題共54分，1~6題每題4分，7~12題每題5分）
1．設，向量，．若在方向上的數量投影為1，則 ．
2．方程在區間上的所有解的和為 ．
3．已知數列滿足，則 ．
4．已知平面向量，，滿足，且，則的值為 ．
5．設和是關于x的方程的兩個虛數根，若、、在復平面上對應的點構成直角三角形，則實數 ．
6．已知、滿足，在方向上的數量投影為，則的最小值為 ．
7．若，平面內一點滿足，則的最大值為 ．
8．疫情期間，為保障市民安全，要對所有街道進行消毒處理，某消毒裝備的設計如圖所示，為路面，為消毒設備的高，為噴桿，，，處是噴酒消毒水的噴頭，且噴射角，已知，.則消毒水噴灑在路面上的寬度的最小值為 ．
9．為了研究問題方便，有時候余弦公式會寫成：，利用這個結構解決如下問題：如果三個正實數滿足：，，則 ．
10．已知平面向量、是不共線的單位向量，記、的夾角為，若平面向量滿足，且對于任意的正實數，恒成立，則的最大值為 ．
11．已知函數，，若方程在區間內無解，則的取值范圍是 ．
12．萊洛三角形也稱圓弧三角形，是一種特殊的曲邊三角形，在建筑、工業上應用廣泛如圖所示，分別以正三角形的頂點為圓心，以正三角形邊長為半徑作圓弧，由這三段圓弧組成的曲邊三角形即為萊洛三角形，已知兩點間的距離為2，點為萊洛三角形曲邊上的一動點，則的最小值為 ．
二.選擇題（4題共18分，13~14每題4分，15~16每題5分）
13．若，則是第（ ）象限角
A．一或二 B．一或三 C．二或三 D．二或四
14．設，若對任意的，都存在，使得成立，則可以是（ ）
A． B． C． D．
15． 是平面上一定點，，，平面上不共線的三個點，動點滿足，，則的軌跡一定通過的（ ）
A．外心 B．內心 C．重心 D．垂心
16．矩形中，，，動點滿足，，則下列說法中錯誤的是（ ）
A．若，則的面積為定值 B．若，則的最小值為4
C．若，則滿足的點不存在 D．若，，則的面積為
三.解答題（共78分，17~19每題14分，20~21每題18分）
17．（本題共14分，每小問均為7分）
已知函數（其中常數）的最小正周期為．
（1）求：函數的表達式；
（2）將的圖象向左平移個單位長度得到函數的圖象，若實數滿足，且的最小值是，求：的值．
18．（本題共14分，每小問均為7分）
某工廠為擴大生產規模,今年年初新購置了一條高性能的生產線,該生產線在使用過程中的維護費用會逐年增加,第一年的維護費用是4萬元,從第二年到第七年,每年的維護費用均比上年增加2萬元,從第八年開始,每年的維護費用比上年增加25%
（1）設第年該生產線的維護費用為,求的表達式;
（2）若該生產線前年每年的平均維護費用大于12萬元時,需要更新生產線,求該生產線前年每年的平均維護費用,并判斷第幾年年初需要更新該生產線
19．（本題共14分，每小問均為7分）
如圖，、是海岸線、上的兩個碼頭，海中小島有碼頭到海岸線、的距離分別為2km、.測得，.以點為坐標原點，射線為軸的正半軸，建立如圖所示的直角坐標系.碼頭在第一象限，且三個碼頭、、均在一條航線上.
（1）求碼頭點的坐標；
（2）海中有一處景點（設點在平面內，，且），游輪無法靠近.求游輪在水上沿旅游線航行時離景點最近的點的坐標.
20．（本題共18分，每小問均為6分）
已知i是虛數單位，a，，設復數，，，且.
（1）若為純虛數，求：；
（2）若復數，在復平面上對應的點分別為A，B，且O為復平面的坐標原點.
①是否存在實數a，b，使向量逆時針旋轉后與向量重合，如果存在，求實數a，b的值；如果不存在，請說明理由；
②若O，A，B三點不共線，記的面積為，求：及其最大值.
21．（本題共18分，（1）小問4分，（2）小問8分，（3）小問6分）
設數列是公比為q的等比數列，其前n項和為．
（1）若，，求：數列的前n項和；
（2）若，，成等差數列，求：q的值并證明：存在互不相同的正整數m，n，p，使得，，成等差數列；
（3）若存在正整數，使得數列，，…，在刪去以后按原來的順序所得到的數列是等差數列，求：所有數對所構成的集合．
參考答案：
填空題（1~12題）
1． 3
2．
3．
4．
5．13
6．10
9．40
10．
11．
12．
選擇題（13~16題）
13．A
14．B
15．D
16．B
解答題（17~21題）
17． （1）（7分） （2）或（7分）
18． （1）；（7分） （2）9 （7分）
（1）（7分） （2）（7分）
20．（1）或（6分）
（2）①存在，；（6分）
②，最大值為2（6分）
21． （1），，數列是公比為q的等比數列，
，（1分）
數列為，
數列為首項為公差為的等差數列，（1分）
數列的前n項和.（2分）
（2），，成等差數列，
+=2，（1分）
當時,+=,2,不符題意舍去，（1分）
當時，.（1分）
,即，，
，（舍）或即，（2分）
存在互不相同的正整數，使得，，成等差數列，（1分）
，，（1分）
.（1分）
（3）由題意列出，，…，,,,,,…，在刪去以后, 按原來的順序所得到的數列是等差數列,
則，（2分）,（1分）即，（1分）
解得：方程組無解.（1分）
即符合條件的不存在，所有數對所構成的集合為. （1分）

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