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22.2.4一元二次方程根的判別式培優提升訓練華東師大版2025—2026學年九年級數學上冊
一、選擇題
1．若關于的一元二次方程有實數根，則的取值范圍為（　　）
A． B．且 C． D．且
2．已知關于x的方程的根的判別式的值為1，若，，則P，Q的數量關系是（　　）
A． B． C． D．
3．已知關于的一元二次方程無實數根，則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．且
4．一元二次方程的根的情況是（　　）
A．有兩個不相等的實數根 B．只有一個實數根
C．有兩個相等的實數根 D．沒有實數根
5．已知關于的一元二次方程的兩個實數根相等，則（ ）
A．1 B． C．0 D．0或
6．已知一元二次方程滿足，且有兩個相等的實數根，則下列結論錯誤的是（　　）
A． B． C． D．
7．已知為實數，關于的兩個方程，公共的實數根的個數為（　　）
A． B． C． D．
8．對于一元二次方程，下列說法：
①若，則；
②若方程有兩個不相等的實根，則方程必有兩個不相等的實根；
③若是方程的一個根，則一定有成立；
④若是一元二次方程的根，則．
其中正確的是（ ）
A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④
二、填空題
9．已知a，b為整數，且有兩個不相等的實數根，有兩個相等的實數根；沒有實數根，則 ．
10．若關于的方程有兩個相等的實數根，則的值為 ．
11．關于的一元二次方程有兩個不相等的實數根，則的取值范圍是 ．
12．定義：如果兩個一元二次方程分別有兩個實數根，且至少有一個公共根，那么稱這兩個方程互為“聯根方程”．已知關于x的兩個一元二次方程和互為聯根方程，那么a的值為 ．
三、解答題
13．已知：關于的方程．
(1)若方程總有兩個實數根，求的取值范圍；
(2)若該方程的一個根為3，求的值及該方程的另一根．
14．關于的一元二次方程．
(1)求證：方程總有兩個實數根；
(2)若方程有一個根為非負數，求的取值范圍．
15．已知關于的一元二次方程有兩個不相等的實數根．
(1)求的取值范圍；
(2)若該方程有一個根為2，求該方程的另一個根．
16．已知關于x的一元二次方程：．
(1)求證：方程總有兩個實數根；
(2)若方程有一個根為負數，求m的取值范圍．
17．已知關于的方程．
(1)求證：方程必有兩個不等實數根；
(2)當取的整數時，存在兩個有理數根，求的值和這兩個有理數根．
18．已知關于x的一元二次方程：．
(1)求證：這個方程總有兩個實數根．
(2)若等腰的一邊長，另兩邊b、c恰好是這個方程的兩個實數根，求的周長．
參考答案
一、選擇題
1．B
2．B
3．C
4．A
5．B
6．D
7．C
8．C
二、填空題
9．5
10．
11．且
12．
三、解答題
13．【解】（1）解：，
∴，
∵方程總有兩個實數根，
∴，
∴；
（2）解：∵ 方程的一個根為3，
∴，
解得，
當時，原方程化為，解得，
∴另一根為1；
當時，原方程化為，解得，
∴另一根為9；
∴的值為1時，該方程的另一根為1，的值為5時，該方程的另一根為9．
14．【解】（1）證明：，
，
方程總有兩個實數根；
（2）解：，
，
或，
方程有一個根為非負數，
，
．
15．【解】（1）解：一元二次方程有兩個不相等的實數根，
∴，
，
，
；
（2）方程有一個根為2，代入得：
，
，
解得，
∵，
．
當時，原方程為．
解得或．
原方程另一個根為．
16．【解】（1）證明：根據題意，得
，
即，
∴方程總有兩個實數根；
（2）解：，
，
或，
∴，，
∵方程有一個根為負數，
∴，
∴．
17．【解】（1）證明：
．
∵，
∴，
即，
∴方程必有兩個不等實數根；
（2）解：∵當m取的整數時，存在兩個有理數根，且，
∴，
∴原方程為，且，
∴此時原方程的解為，
∴m的值為1，這兩個有理數根為和．
18．【解】（1）證明：∵，
∴，
∴無論m取何值，方程總有兩個實數根；
（2）解：當腰長為2時，則可知方程有一個實數根為2，
∴，解得，
∴方程為，解得或，
∴三角形的三邊長為，滿足題意，
∴三角形的周長為；
當底邊長為2時，則可知方程有兩個相等的實數根，
∴，解得，
方程為，解得，
∴三角形的三邊長為，，不滿足題意．
綜上，的周長為．
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