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北京市第四中學2025-2026學年高二上學期開學測試
數學試題
一、單選題:本大題共11小題，共44分。
1．計算sin43°cos13°-cos43°sin13°的結果等于
A． B． C． D．
2．若是第四象限角，則是（ ）
A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角
3．化簡（ ）
A． B． C．-1 D．1
4．一個正四棱錐的高是2，底面邊長也為2，則正四棱錐的側面積是（ ）
A． B． C． D．
5．若，則的值為（ ）
A． B． C． D．
6．設是直線，是兩個不同的平面，則下列命題中正確的是（　　）
A．若∥，∥，則∥ B．若∥，，則
C．若，則 D．若，∥，則
7．在中，，則（ ）
A． B． C． D．
8．是非零向量，與的夾角為，，則為（ ）
A．1 B． C．2 D．
9．設點，，不共線，則“”是“”（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分又不必要條件
10．已知，則下列直線中，是函數對稱軸的為（ ）
A． B． C． D．
11．如圖，正方體的棱長為1，線段上有兩個動點，且，則下列結論中錯誤的是（ ）

A．平面
B．平面
C．三棱錐的體積為定值
D．的面積與的面積相等
二、多選題：本大題共4小題，共20分。
12．下列命題中正確的是（ ）
A．若直線，則
B．若直線在平面內，則必不相交
C．若直線，則
D．若直線，則必不相交
13．已知函數，將的圖象向右平移個單位長度后，所得的圖象與原圖象重合，則的取值可能是（ ）
A． B． C． D．
14．在△ABC中，已知，則下列說法正確的是（ ）．
A．tanA=tanB B．
C． D．
15．趙炎為《周髀算經》一書作注時介紹了“勾股圓方圖”，即“趙爽弦圖”.下圖是某同學繪制的趙爽弦圖，其中，點分別是正方形和正方形上的動點，則下列結論中正確的是（ ）
A．
B．
C．設與的夾角為，則的值為3
D．的最大值為12
三、填空題：本大題共6小題，共30分。
16．已知，則 ．
17．的值域是 ．
18．設，則的值是 ．
19．中，角所對的邊分別為，，則 .
20．如圖，在中，，點滿足．若 ．
21．設函數，若關于x的方程在區間上有且僅有兩個不相等的實根，則的最大整數值為 .
四、解答題：本大題共4小題，每小題14分，共56分。
22．已知函數的部分圖象如圖所示．
(1)求的解析式；
(2)若函數，求在區間上的最大值和最小值．
23．在中，，．
(1)求；
(2)再從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇一個作為已知，使存在且唯一確定，求的面積．
條件①：；
條件②：；
條件③：的周長為．
24．如圖，在四棱錐中，平面，，．
(1)求證：平面；
(2)求證：平面平面；
(3)設點為的中點，過點，的平面與棱交于點，且平面，求的值．
25．已知，若存在數陣滿足：①；②．則稱集合為“好集合”，并稱數陣為的一個“好數陣”．
(1)已知數陣是的一個“好數陣”，試寫出的值；
(2)若集合為“好集合”，證明：集合的“好數陣”必有偶數個；
(3)判斷是否為“好集合”．若是，求出滿足條件的所有“好數陣”；若不是，說明理由．
試卷第1頁，共3頁
試卷第1頁，共3頁
參考答案
題號 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A C D C B B B D C C
題號 11 12 13 14 15
答案 D AB BD BD BC
16．3
17．
18．
19．
20．14
21．4
22．（1）由圖象可知：，
將點代入得，
∴
（2）
由得
當時，即；
當時，即；
23．（1）由余弦定理知，，
因為，所以．
（2）選擇條件①：
把，代入中，化簡得，解得，
所以存在兩個，不符合題意；
選擇條件②：
因為，，所以，
由正弦定理知，，所以，
因為，
所以的面積．
選擇條件③：
因為的周長為，且，所以，
又，所以，解得，
所以的面積.
24．（1）因為平面，平面，所以，
又，，平面，
所以平面.
（2）因為，，所以，
因為平面，平面，所以，
，平面，
所以平面，又平面，
所以平面平面.
（3）因為平面，平面平面，
平面，所以，因為點為的中點，
所以點為的中點，所以.
25．（1）由“好數陣”的定義，
知，，，,4,5,，
故，，，,,，進一步得到，，
從而，，，．
（2）如果是一個“好數陣”，
則，.
從而，
.
故也是一個“好數陣”.
由于是偶數，故，從而.
所以數陣和的第1行第2列的數不相等，故是不同的數陣.
設全體“好數陣”構成的集合為S，并定義映射如下：
對，規定.
因為由中的元素構成的數陣只有不超過種，故是有限集合.
而
，
即，從而是滿射，由是有限集，知也是單射，故是一一對應.
對于“好數陣”，
已證數陣和是不同的數陣，
故.
同時，對兩個“好數陣”，，如果，則；
如果，則.所以，當且僅當.
最后，對，由，稱2元集合為一個“好對”.
對，若屬于某個“好對”，則或，即或.
由于，故無論是還是，都有.
所以每個“好數陣”恰屬于一個“好對”，所以“好數陣”的個數是“好對”個數的2倍，從而“好數陣”必有偶數個.
（3）若是“好數陣”，則有
，
所以，
，
若，
因為， ，
所以只有以下兩種可能：和，
（i）若，則，
使的只有，使的有兩種可能：，或，
情形一：時，只有，，，可得；
情形二：時，只有，，，可得；
（ii）若，則，
使的只有，使的有兩種可能：，或，
情形一：時，只有，，，可得，
情形二：時，只有，，，可得，
綜上， 是“好集合”，且滿足的好數陣有四個：
；；；．
答案第1頁，共2頁
答案第1頁，共2頁

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