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2.5可化為一元一次方程的分式方程培優提升訓練湘教版2025—2026學年八年級數學上冊
一、選擇題
1．下列各式中，不是分式方程的是（ ）
A． B．
C． D．
2．解分式方程去分母正確的是（ ）
A． B．
C． D．
3．關于x的分式方程的解為正數，則a的取值范圍是（ ）．
A． B．且
C．且 D．且
4．如果關于x的分式方程無解，那么實數m的值為（ ）
A． B．1或0 C．1 D．1或
5．若關于的方程的增根是，則的值為（ ）
A． B． C．2 D．3
6．2025年4月24日，神舟二十號載人飛船在酒泉衛星發射中心，發射成功，某火箭航模店看準商機，購進了“神舟”和“天宮”模型，已知每個“神舟”模型的進價比“天宮”模型多5元，同樣花費200元，購進“天宮”模型比“神舟”模型多2個，設“天宮”模型單價為元，則可以列出方程為（ ）
A． B． C． D．
7．若，則（ ）
A．， B．，
C．， D．，
8．定義運算“*”：若，則的值為（ ）
A． B．6 C．或6 D．或
二、填空題
9．若是分式方程的解，則的值為 ．
10．若分式方程有增根，則a的值為 ．
11．若關于的分式方程在實數范圍內無解，則實數的值為 ．
12．若整數a使關于x的不等式組恰有兩個整數解，且使關于y的分式方程的解為正數，則整數a的值為 ．
三、解答題
13．某水果店去年購買了一批水果．其中水蜜桃每千克的單價比李子多4元，用1200元購買的水蜜桃與用800元購買的李子千克數相等．
(1)求去年購買的水蜜桃和李子的單價各是多少元/千克？
(2)若今年李子的單價比去年提高了，水蜜桃的單價與去年相同，這家水果店今年計劃再購買李子和水蜜桃共200千克，且購買李子和水蜜桃的總費用不超過2120元，這家水果店今年至少要購買多少千克李子？
14．解下列方程．
(1)； (2)．
15．我們定義：形如（不為零），且兩個解分別為的方程稱為＂十字分式方程＂．
例如為十字分式方程，可化為．
再如為十字分式方程，可化為．．
應用上面的結論解答下列問題：
(1)若十字分式方程的兩個解分別為，求的值．
(2)若關于的十字分式方程的兩個解分別為，求的值．
16．已知關于x的方程=．
(1)若方程無解，求m的值；
(2)若方程的解是正數，求m的取值范圍．
17．已知關于的分式方程．
(1)若方程的增根為，求的值；
(2)若方程的解為非負數，求的取值范圍．
18．一般情況下，一個分式通過適當的變形，我們可以把它化成一個整式和一個分子是整數的分式的和的形式，例如：
①；
②；
③
(1)仿照上述方法，試將分式，化為一個整式和一個分子是整數的分式的和的形式；
(2)仿照上述方法，把化成一個整式和一個分子是整數的分式的和的形式；
(3)已知x、y均為正整數，，，且M、N均為正數．若，請求出x、y的值．
參考答案
一、選擇題
1．D
2．C
3．D
4．D
5．A
6．D
7．B
8．C
二、選擇題
9．
10．或
11．1
12．2或3
三、解答題
13．【解】（1）解：設李子的價格為x元，則水蜜桃的價格為元，
根據題意，得，
解得，
經檢驗，是原方程的根．
此時，
答：去年李子單價為8元/千克，則水蜜桃單價為12元/千克．
（2）解：根據題意，設購買李子千克，則購買水蜜桃千克，
且，
解得，
故a的最小值是140；
答：這家水果店今年至少要購買140千克李子．
14．【解】（1）解：，
方程兩邊都乘，得，
解得：，
檢驗：當時，，
所以分式方程的解是；
（2）解：，
方程兩邊都乘，得，
解得：，
檢驗：當時，，
所以分式方程的解是．
15．【解】（1）解：十字分式方程變形為，
可化為，
∴，或
∴；
（2）解：方程是十字分式方程，可化為，
∴，，
∵，，
∴，，即，，
代入得，，
∴的值為2022．
16．【解】（1）解：去分母得，
整理得，
當時，整式方程無解，即時，原方程無解；
當時，，解得；
當時，，解得，
即或時，整式方程的解為2或1，此時分式方程無解，
綜上所述，m的值為或2或；
（2）解：解方程得，
∵且且，
∴且且，
∴或且且．
17．【解】（1）解：，
去分母得：，
，
，
是原方程的增根，
，解得．
（2）解：
去分母并整理得，
方程的解為非負數，
，即，
，
又或時，該分式方程無解，
且，
且，
綜上所述，的取值范圍為且．
18．【解】（1）解：；
；
（2）解：
；
（3）解：∵，
，
因為，
所以，
即，
令，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵M、N均為正數，x、y均為正整數，
∴a，b為正整數，
∴或或，
當時，，此時，，
當時，，此時，（舍），
當時，，此時，（舍），
∴綜上，，
∴，，
經檢驗，符合題意，
∴，．
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