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21.1二次根式培優提升訓練華東師大版2025—2026學年九年級數學上冊
一、選擇題
1．下列二次根式中，最簡二次根式是（ ）．
A． B． C． D．
2．設，，則可以表示為（　　）
A． B． C． D．
3．若是最簡二次根式，則的值可以是（ ）
A．20 B． C． D．11
4．計算的結果是（ ）
A．9 B．3 C． D．
5．下列各式中，一定能成立的是（ ）
A． B．
C． D．
6．下列各三角形中，面積為無理數的是（ ）
A．B． C． D．
7．下列各數與相乘，結果為有理數的是（ ）
A． B． C． D．
8．若，把化成最簡二次根式為（ ）．
A． B． C． D．
二、填空題
9．已知二次根式與化成最簡二次根式后，被開方數相同．若是正整數，則的最小值為 ．
10．計算： ．
11．把根號外面的因式移到根號里面化簡的結果是 ．
12．已知，則 ．
三、解答題
13．計算：
(1)；
(2)．
14．定義：我們將與稱為一對“有理式”．因為，通過這樣一對“有理式”乘積可以有效的去掉根號，所以有一些題可以通過構造這種“有理式”來解決．
例如：已知，求的值，可以這樣解答：
因為，所以．
已知：，求：
(1)①求代數式中的取值范圍
②求代數式的值；
(2)結合已知條件和第（1）問的結果，解方程：；
15．一個三角形的三邊長分別為 ，，．
(1)求證：三角形是直角三角形；
(2)求這個三角形的面積．
16．計算：
(1)；
(2)；
(3)，；
(4)；
(5)；
(6)．
17．如圖，從一個大正方形中裁去面積分別為和的兩個小正方形，求：
(1)陰影部分的長和寬；
(2)陰影部分的面積．
18．閱讀材料：小明在學習了二次根式后，發現一些含根號的式子可以寫成另一個式子的平方．如，善于思考的小明進行了以下探索，若設（其中a，b，m，n均為整數），則有，，這樣小明就找到一種把式子化為平方式的方法．請你依照小明的方法探索并解決下列問題：
(1)若，當a，b，m，n均為整數時，用含m，n的式子分別表示a，b，得：______，______；
(2)若，當a，m，n均為正整數時，求a的值；
參考答案
一、選擇題
1．A
2．D
3．D
5．D
6．C
7．A
8．C
二、填空題
9．
10．6
11．
12．
三、解答題
13．【解】（1）解：；
（2）解：．
14．【解】（1）解：① 由二根式有意義的條件得到：，
解得，
即的取值范圍是；
②∵
，
而，
∴；
（2）解：由（1）得，
而，
兩式相加得到，
即，
則，
解得，
經檢驗，是原方程的根，
即方程的解是；
15．【解】（1）證明：，
∴三角形是直角三角形．
（2）解：這個三角形的面積為：．
16．【解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
；
（3）解：原式
；
（4）解：原式
；
（5）解：原式
；
（6）解：原式=
=4
；
∵，
∴，
原式.
17．【解】（1）解：∵兩個裁去的小正方形的面積分別為和，
∴這兩個裁去的小正方形的邊長分別為和，
∴陰影部分的長和寬分別為和；
（2）解：由（1）可知陰影部分的長為，寬為，
∴陰影部分的面積．
18．【解】（1）解：，
，，
故答案為：，；
（2）解：，
，，
，
m，n均為正整數，
，，或，，
當，時，，
當，時，，
綜上可知，a的值為13或7；
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