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第二章實數
一、單選題
1．下列說法正確的是（　　）
A．1的平方根是1 B．
C．4的算術平方根是2 D．9的立方根是3
2．實數3.14，，，0.505005000…，中，無理數有（　　）個
A．1 B．2 C．3 D．4
3．如果二次根式有意義，那么實數a的取值范圍是（　　）
A． B． C． D．
4．下列說法中正確的是（　　）
A．正數和負數統稱為有理數 B．0既不是整數，又不是分數
C．0是最小的正數 D．整數和分數統稱為有理數
5．代數式(m+1)2，(m≥0)，x2+1，|-2|，中一定是正數的有（　　）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
6． 若一個正數的兩個不同的平方根分別是和，則這個數的立方根為（　　）
A．8 B．4 C． D．64
7．估計 （ ）的值應在（　　）
A．1和2之間 B．2和3之間 C．3和4之間 D．4和5之間
8．一般地，如果（為正整數，且），那么叫作的次方根.例如：∵，，∴16的四次方根是．則下列結論：①3是81的四次方根；②任何實數都有唯一的奇次方根；③若，則的三次方根是；④當時，整數的二次方根有4050個．其中正確的個數是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
9．計算 的結果是（　　）
A． B． C． D．
10．若實數a，b，c滿足等式 則c 可能取的最大值為（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
11．如圖，正六邊形ABCDEF（每條邊都相等）在數軸上的位置如圖所示，點A、F對應的數分別為-2和-1，現將正六邊形ABCDEF繞著頂點順時針方向在數軸上連續翻轉，翻轉1次后，點E所對應的數為0，連續翻轉2000次后，數軸上1998這個數所對應的點是（　　）
A．A點 B．D點 C．E點 D．F點
12．如圖，已知等腰直角，，．射線在內部（），，．設，，，下列結論正確的是（　　）
①②③④
A．①②③ B．②③④ C．②④ D．③④
二、填空題
13．化簡：　 　．
14． 的值在哪兩個整數之間 　 　.
15．實數m、n在數軸上的位置如圖所示，則|n﹣m|=　 　．
16．已知，則化簡的結果為　 　．
17．已知|x|＝3，y2＝4，且x＜y，那么x+y的值是　 　．
18．古今中外的不少學者對三角形面積的計算做出了諸多思考，尤其值得一提的是古希臘幾何學家海倫和我國南宋數學家秦九韶均提出了類似的計算辦法：若三角形三邊長分別為相a、b、c，記，則三角形的面積為，因此后人將他們的發現合稱為海倫﹣秦九韶公式，請你利用海倫﹣秦九韶公式計算以下△ABC的面積為 　 　．
19．如圖，在數軸上，點A所對應的實數為-1，點C對應的實數為2，過C作數軸的垂線段BC，使得BC = 1，再以A為圓心，AB長為半徑畫弧，交數軸的正半軸于點D，則點D對應的實數為 　 　
20．若 ，且x，y，z均不為零，則 的值為　 　．
21．閱讀理解：對于任意正整數a，b，∵，∴，∴，只有當時，等號成立；結論：在（a、b均為正實數）中，只有當時，有最小值.若，有最小值為　 　．
22．數軸是一個非常重要的數學工具，它使數和數軸上的點建立起對應關系，揭示了數與點之間的內在聯系，它是“數形結合”的基礎.小白在草稿紙上畫了一條數軸進行操作探究：
（1）操作一：折疊紙面，若使表示的點1與﹣1表示的點重合，則﹣2表示的點與　 　表示的點重合；
（2）操作二：折疊紙面，若使1表示的點與﹣3表示的點重合，回答以下問題：
① 表示的點與數　 　表示的點重合；
②若數軸上A、B兩點之間距離為8（A在B的左側），且A、B兩點經折疊后重合，則A、B兩點表示的數分別是　 　；
（3）操作三：在數軸上剪下9個單位長度（從﹣1到8）的一條線段，并把這條線段沿某點折疊，然后在重疊部分某處剪一刀得到三條線段（如圖）. 若這三條線段的長度之比為1：1：2，則折痕處對應的點所表示的數可能是　 　.
三、解答題
23．已知，，求的值．
24．已知3是2x﹣1的平方根，y是﹣8的立方根，z是絕對值為2的數，求2x+y﹣5z的值．
25．如圖所示的正方形紙板是由兩張大小相同的長方形紙板拼接而成的，已知一張長方形紙板的面積為．
（1）求正方形紙板的邊長；
（2）若將該正方形紙板進行裁剪，然后拼成一個體積為的正方體，請你判斷該紙片是否夠用？若夠用，求剩余的紙片的面積；若不夠用，求缺少的紙片的面積．
26．定義：若兩個二次根式a，b滿足ab＝c，且c是有理數，則稱a與b是關于c的共軛（è）二次根式．問題解決：
（1）若a與2是關于6的共軛二次根式，則a＝　 　；
（2）若4+與8﹣m是關于26的共軛二次根式，求m的值．
27．已知二次根式．
（1）求使得該二次根式有意義的的取值范圍；
（2）已知是最簡二次根式，且與可以合并．
①求的值；
②求與的乘積．
28．如圖，四邊形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝90°，若AB＝2 ，CD＝4 ，BC＝8，求四邊形ABCD的面積．
29． 前山河部分水域的兩岸是互相平行的直線，在兩岸的處分別設置了一盞可以不斷勻速旋轉地探照燈．設兩岸，點M處探照燈射出的光線自開始順時針旋轉，點N處探照燈射出的光線自開始順時針旋轉，當兩燈射出的光線旋轉至各自岸邊時立即反向旋轉，旋轉中常常出現交叉照射，若點M處射出的光線每秒旋轉a度，點N處射出的光線每秒旋轉b度，且．
（1）求的值；
（2）設點M處探照燈先旋轉20秒后，記兩盞燈一起旋轉的時間為t秒，當點M處探照燈射出的光線首次旋轉至位置之前，能否出現兩盞探照燈射出的光線互相平行，若能，求出所有t的值：若不能，說明理由；
（3）已知垂直河岸，設兩燈同時開始旋轉，若兩盞探照燈射出的光線在河面上點F處互相垂直，求的度數；
30．據說，我國著名數學家華羅庚在一次出國訪問途中，看到飛機上鄰座的乘客閱讀的雜志上有一道智力題：一個數是32 768，它是一個整數的立方，求它的立方根.華羅庚不假思索給出了答案，鄰座的乘客非常驚奇，很想得知其中的奧秘.你知道華羅庚是怎樣快速準確計算出的嗎 請按照下面的方法試一試.
（1）由 因為 ，所以可以確定 是　 　位數.
（2）由32768的個位上的數是8，可以確定、 的個位上的數是　 　，劃去32768后面的三位數768得到32，因為 ，可以確定 的十位上的數是　 　.
（3）所以 　 　.
（4）仿照上述方法計算
答案解析部分
1．【答案】C
2．【答案】C
【解析】【解答】解：3.14這是一個有限小數，為有理數；
，由于是一個無理數，則也是一個無理數；
π是一個著名的無理數，其小數部分無限不循環，因此也是一個無理數；
0.505005000…這是一個無限不循環小數，因此也是無理數；
這是一個分數，為有理數，
∴無理數有3個.
故答案為：C.
【分析】無理數就是無限不循環的小數，常見的無理數有四類：①開方開不盡的數，②與π有關的數，③規律性的數，如0.101001000100001000001…（每兩個1之間依次多一個0）這類有規律的數，④銳角三角函數，如sin60°等，據此逐一判斷得出答案.
3．【答案】D
4．【答案】D
【解析】【解答】因為整數和分數統稱有理數,因此A選項表述不符合題意,
因為0是整數,因此B選項表述不符合題意,
因為0不是正數也不是負數,因此C選項表述不符合題意,
因為整數和分數統稱有理數,因此D選項表述符合題意,
故答案為：D.
【分析】整數和分數統稱有理數, 0是整數,0既不是正數也不是負數,根據有理數的定義和有理數的分類進行求解即可.
5．【答案】B
6．【答案】B
【解析】【解答】解：根據題意得，3a-4+(-2a)=0，解得a=4，
則這個正數的兩個不同的平方根分別為8和-8，
∴ 這個是64，
∴=4.
故答案為：B.
【分析】根據平方根的性質可得a的值，進而求得該正數，再求其立方根即可.
7．【答案】B
【解析】【解答】解：原式＝2 ﹣5
∵9＜15＜16
∴3.5＜ ＜4
∴7＜2 ＜8
∴2＜2 ﹣5＜3
故答案為：B.
【分析】原式化簡后，估算即可得到結果.
8．【答案】C
9．【答案】B
【解析】【解答】原式= + - = + - = ，故選B．
【分析】正確進行根式的加減法，迅速運算解答，是解此類單選題的基本途徑．
10．【答案】C
【解析】【解答】解：代入4 -9|b|=6c，得
∴c 可能取的最大值為2.
故選C.
故答案為：C
【分析】 先用消元的思想用含c 的式子表示出 和|b|，再根據 和|b|都是非負數確定c的取值范圍，即可解答.
11．【答案】C
12．【答案】B
13．【答案】
14．【答案】5和6
【解析】【解答】解：
故答案為：5和6
【分析】用無理數的估算方法進行估算.
15．【答案】m﹣n
16．【答案】6
17．【答案】-1或-5
【解析】【解答】解：∵|x|＝3，y2＝4，
∴x＝±3，y＝±2，
∵x＜y，
∴x＝-3，y＝±2，
當x＝-3，y＝2時，x+y＝-1，
當x＝-3，y＝-2時，x+y＝-5，
所以，x+y的值是-1或-5．
故答案為：-1或-5．
【分析】利用絕對值和乘方的知識確定x、y的值，然后計算即可解答．
18．【答案】2
【解析】【解答】解：∵，
∴
故答案為：2.
【分析】先求出p，再代入面積公式求解.
19．【答案】
【解析】【解答】解：∵數軸上A、C表示的數分別是-1、2，
∴，
∵BC⊥AC，BC=1，
∴，
由作圖方式可知，，
∴點D表示的實數為，
故答案為：.
【分析】根據兩點間距離公式可得AC=3，利用勾股定理可得AB的值，由作圖方式可知AD=AB，據此不難得到點D表示的實數.
20．【答案】
【解析】【解答】解：∵ ，且 ， ， 均不為零，
∴x，y，z的值可能是兩負一正或兩正一負，
①當 ， ， 時，其他兩負一正的情況都是一樣的，故這里只說明一種，則有：
，
②當 ， ， 時，則有：
，
綜上所述： 的值為 ；
故答案為： ．
【分析】先求出x，y，z的值可能是兩負一正或兩正一負，再分類討論，計算求解即可。
21．【答案】3
【解析】【解答】解：由題中結論可得
即：當時，有最小值為3，
故答案為：3．
【分析】將原式化為，然后根據題中材料所給結論，可得3，即可求解.
22．【答案】（1）2
（2）；-5
（3）
【解析】【解答】解：操作一，
（1）∵表示的點1與-1表示的點重合，
∴折痕為原點O，
則-2表示的點與2表示的點重合，
操作二：
（2）∵折疊紙面，若使1表示的點與-3表示的點重合，
則折痕表示的點為-1，
①設 表示的點與數a表示的點重合，
則 -（-1）=-1-a，
a=-2- ；
②∵數軸上A、B兩點之間距離為8，
∴數軸上A、B兩點到折痕-1的距離為4，
∵A在B的左側，
則A、B兩點表示的數分別是-5和3；
操作三：
（3）設折痕處對應的點所表示的數是x，
如圖1，當AB：BC：CD=1：1：2時，
設AB=a，BC=a，CD=2a，
a+a+2a=9，
a= ，
∴AB= ，BC= ，CD= ，
x=-1+ + = ，
如圖2，當AB：BC：CD=1：2：1時，
設AB=a，BC=2a，CD=a，
a+a+2a=9，
a= ，
∴AB= ，BC= ，CD= ，
x=-1+ + = ，
如圖3，當AB：BC：CD=2：1：1時，
設AB=2a，BC=a，CD=a，
a+a+2a=9，
a= ，
∴AB= ，BC=CD= ，
x=-1+ + = ，
綜上所述：則折痕處對應的點所表示的數可能是 或 或 .
【分析】（1）根據對稱性找到折痕的點為原點O，可以得出-2與2重合；
（2）根據對稱性找到折痕的點為-1，①設 表示的點與數a表示的點重合，根據對稱性列式求出a的值；②因為AB=8，所以A到折痕的點距離為4，因為折痕對應的點為-1，由此得出A、B兩點表示的數；
（3）分三種情況進行討論：設折痕處對應的點所表示的數是x，如圖1，當AB：BC：CD=1：1：2時，所以設AB=a，BC=a，CD=2a，得a+a+2a=9，a= ，得出AB、BC、CD的值，計算也x的值，同理可得出如圖2、3對應的x的值.
23．【答案】3
24．【答案】﹣2或18
25．【答案】（1）正方形紙板的邊長為；
（2）夠用，剩余的正方形紙板的面積為．
26．【答案】（1）；
（2）
27．【答案】（1）
（2）①；②5
28．【答案】解：∵ AB＝AD，∠BAD＝90°，AB＝ ，
∴ BD＝ ＝4，
∵ BD2＋CD2＝42＋( )2＝64，BC2＝64，
∴ BD2＋CD2＝BC2，
∴ △BCD為直角三角形，
∴S四邊形ABCD＝S△ABD＋S△BCD＝ × × ＋ × ×4＝4＋8
【解析】【分析】在三角形ABD中，用勾股定理可求得BD的值，再用勾股定理的逆定理即可證得△BCD為直角三角形，然后可得四邊形ABCD的面積=直角三角形ABD的面積+直角三角形BDC的面積即可求解。
29．【答案】（1）解：∵，
∴，
解得：.
（2）解：M處探照燈先旋轉20秒后，M旋轉了；
當點M處探照燈射出光線首次旋轉至位置，，解得；而當t經過70s，CN旋轉了；
中間存在t值使得兩盞探照燈射出的光線互相平行，如圖
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，解得；
此后的移動速度比要快，均不可能平行．
當QN到達轉到DN，又返回時，若兩組光線平行，如圖：
同樣有∠CNQ=∠BMP.
，
解得；
因此答案為或秒；
（3）解：設兩燈同時開始旋轉，若兩盞探照燈射出的光線在河面上點F處互相垂直．
∵點N處的射線旋轉速度為4°每秒，故從NC旋轉到ND需要的時間為：180÷4=45（s）.
∵點M處的射線旋轉速度為2°每秒，故從NA旋轉到NBD需要的時間為：180÷2=90（s）.
①當時，如圖，過點作，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
即：，
解得：，此時，兩光線交于點，不符合題意；
當時：
兩盞探照燈射出的光線在河面上點F處互相垂直時，
同法可得：，解得；
此時
當，兩個的探照燈又會回到平行時候的狀態，
故是唯一解．
【解析】【分析】（1）根據絕對值的非負性和算術平方根的非負性，得到關于a和b的二元一次方程，求解即可；
（2）根據平行線的性質可證得，設ts時兩盞探照燈射出的光線互相平行，分ON到達DN之前和ON到達DN之后兩種情況分別表示出∠CNQ和∠BMP，列方程求解即可；
（3）求出兩岸的兩盞探照燈從岸的一頭旋轉到另一頭的時間，然后分兩種情況討論即可。①N出發出的光線從NC運動到ND的過程，即；②N出發出的光線運動到ND又返回到NC的過程，即；過F作EF//CD，根據平行線的性質建立關于時間t的方程，求解即可.注意排除不合題意的交點F.
30．【答案】（1）兩
（2）2；3
（3）32
（4）解：∵，，且，
∴是一個2位數.
∵13824的個位上的數是4，
∴可以確定，的個位上的數是4.
∵13824前2位的數字是13，且，
∴可以確定十位上的數字是2.
綜上所述，.
【解析】【解答】解：（1）（2）（3）∵，，且，
∴是一個2位數.
∵32768的個位上的數是4，
∴可以確定，的個位上的數是2.
∵ 劃去32768后面的三位數768得到32 ，且，
∴可以確定十位上的數字是3.
綜上所述，.
故答案為：2；3；32.
【分析】 通過第（1）步，求出立方根的數位，然后通過第（2）步分別求出各數位上的數字.

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