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廣東省汕頭市潮陽(yáng)一中明光學(xué)校2025-2026學(xué)年高三上學(xué)期9月月考數(shù)學(xué)試題
（時(shí)間：120分鐘，滿(mǎn)分：150分）
一 單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每個(gè)小題紿岀的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1. i是虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足，則（ ）
A. B. C. D.
2. 已知集合，則（ ）
A. B. C. D.
3. 已知拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)是雙曲線(xiàn)的右頂點(diǎn)，則雙曲線(xiàn)的離心率是（ ）
A. 4 B. C. D.
4. 下列區(qū)間中，函數(shù)不單調(diào)的區(qū)間是（ ）
A. B. C. D.
5. 如圖所示為某函數(shù)的部分大致圖象，則該函數(shù)的解析式可能為（ ）
A. B. C. D.
6. 已知直線(xiàn)，圓，直線(xiàn)與圓交于兩點(diǎn)，則弦長(zhǎng)的最小值為（　　）
A. 2 B. C. D. 2
7. 在平行四邊形中，，，，為邊上一點(diǎn)，若，則線(xiàn)段的長(zhǎng)為（ ）
A. B. C. 3 D.
8. 我們約定：若兩個(gè)函數(shù)的極值點(diǎn)個(gè)數(shù)相同，并且圖象從左到右看，極大值點(diǎn)和極小值點(diǎn)分布的順序相同，則稱(chēng)這兩個(gè)函數(shù)的圖象“相似”．已知，則下列給出的函數(shù)其圖象與的圖象“相似”的是（ ）
A. B. C. D.
二 多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多個(gè)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，有選錯(cuò)的得0分，若只有2個(gè)正確選頂，每選對(duì)一個(gè)得3分；若只有3個(gè)正確選項(xiàng)，每選對(duì)一個(gè)得2分
9. 在棱長(zhǎng)均為2的正三棱柱中，D是棱AC的中點(diǎn)，則（ ）
A. B.
C 平面平面 D. 平面平面
10. 若，且，則（ ）
A. B. 展開(kāi)式中系數(shù)最大
C. D.
11. 已知銳角三角形中，角的對(duì)邊分別為，有，則的取值不可能是（ ）.
A. B. C. D.
三 填空題：本題共3小題，每小題5分，共計(jì)15分.
12. 曲線(xiàn)在處的切線(xiàn)方程為_(kāi)_____．
13. 已知正項(xiàng)等比數(shù)列的前項(xiàng)積為，若是中唯一的最小項(xiàng)，則滿(mǎn)足條件的的通項(xiàng)公式可以是_________（寫(xiě)出一個(gè)即可）.
14. 已知隨機(jī)變量，設(shè)函數(shù)，若曲線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)中心為，則______．
四 解答題：本題共5小題，共計(jì)77分.解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明 證明過(guò)程或演算步驟.
15. 部分胎兒在B超檢查時(shí)會(huì)檢測(cè)出鼻骨缺失，其中有的胎兒是孤立性鼻骨缺失（不合并其他超聲異常），有的胎兒是鼻骨缺失的同時(shí)合并了其他超聲異常．某兒科醫(yī)院統(tǒng)計(jì)了100名鼻骨缺失胎兒的染色體檢測(cè)結(jié)果，得到如下列聯(lián)表：
是否合并其他超聲異常 染色體是否異常 不合并 合并 合計(jì)
正常 72 6 78
異常 3 19 22
合計(jì) 75 25 100
（1）根據(jù)小概率值獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析鼻骨缺失的胎兒是否合并其他超聲異常與胎兒染色體是否異常有沒(méi)有關(guān)系；
（2）現(xiàn)有3例鼻骨缺失胎兒，以頻率估計(jì)概率，記為這3例鼻骨缺失胎兒中合并其他超聲異常的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望．
附：
0.1 0.05 0.01 0.005 0001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
16. 已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且.
（1）求；
（2）求的通項(xiàng)公式，并證明為等差數(shù)列；
（3）若，求.
17. 如圖，在四棱錐中，底面為矩形，，，側(cè)面為等邊三角形，平面平面，E為PB中點(diǎn)．
（1）證明：平面平面；
（2）求平面與平面夾角的余弦值．
18. 已知橢圓的離心率為，點(diǎn)在上，直線(xiàn)與交于兩點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為為坐標(biāo)原點(diǎn)．
（1）求的方程；
（2）證明：的面積為定值；
（3）若點(diǎn)在直線(xiàn)的右側(cè)，求直線(xiàn)在軸上的截距的最小值．
19. 已知函數(shù)處有極大值，且函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增．
（1）求的值；
（2）求的取值范圍．
參考答案
1-8.BBABB DAC 9-11.BD ACD ABD
12.
13.
14.3
15【小問(wèn)1詳解】
解：設(shè)零假設(shè)：鼻骨缺失的胎兒是否合并其他超聲異常與胎兒染色體異常無(wú)關(guān).
由題知.
根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們推斷不成立，
即認(rèn)為胎兒鼻骨缺失合并其他超聲異常與胎兒染色體異常有關(guān)，此推斷犯錯(cuò)誤概率不大于.
【小問(wèn)2詳解】
由列聯(lián)表所給頻數(shù)可得鼻骨缺失的胎兒中合并其他超聲異常的頻率為,
以此估計(jì)鼻骨缺失的胎兒的中合并其他超聲異常的概率為，
即一例鼻骨缺失胎兒合并其他超聲異常的概率為
為3例鼻骨缺失胎兒中合并其他超聲異常的人數(shù)，所以的所有可能取值為,
且，故.
則的分布列如下
0 1 2 3
故的數(shù)學(xué)期望.
16.【小問(wèn)1詳解】
令可得：，
即
【小問(wèn)2詳解】
由，
可得：，
兩式相減可得：，，
當(dāng)時(shí)，不滿(mǎn)足，
所以的通項(xiàng)公式為，
令，所以，
由的通項(xiàng)公式可得：，
由通項(xiàng)公式可知：。
所以為等差數(shù)列；
【小問(wèn)3詳解】
由（2）知，當(dāng)時(shí)，
，
所以
17.【小問(wèn)1詳解】
如圖所示，作線(xiàn)段的中點(diǎn)，連接，
因?yàn)閭?cè)面為等邊三角形，所以，
因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫妫妫?br/>所以平面，因?yàn)槠矫妫裕?br/>因?yàn)榈酌鏋榫匦危裕?br/>因?yàn)椋妫妫悦妫?br/>因?yàn)槠矫妫云矫婷?
【小問(wèn)2詳解】
如圖所示，作中點(diǎn)，連接，則
由（1）可得，面，面，所以面，
則可以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系；
則，
可得，
設(shè)面的法向量為，則，得，
令，解得，所以面的一個(gè)法向量為，
易知面得一個(gè)法向量為，
設(shè)平面與平面夾角為，則，
所以平面與平面夾角的余弦值為.
18.【小問(wèn)1詳解】
由橢圓的離心率為，得，即，
由點(diǎn)在上，得，聯(lián)立解得，
所以的方程為.
【小問(wèn)2詳解】
設(shè)，則，
由消去并整理得，
，，
，
所以的面積為定值.
【小問(wèn)3詳解】
由點(diǎn)在直線(xiàn)的右側(cè)，得，設(shè)直線(xiàn)與軸的交點(diǎn)為，
當(dāng)時(shí)，點(diǎn)中有一個(gè)點(diǎn)與橢圓的上頂點(diǎn)重合，此時(shí)即為的上頂點(diǎn)，，
當(dāng)時(shí)，由共線(xiàn)，得，即，
整理得，而
，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，，
所以直線(xiàn)在軸上的截距的最小值為.
19.【小問(wèn)1詳解】
首先對(duì)求導(dǎo)，可得：
.
因在處有極大值，所以，即，解得或.
當(dāng)時(shí)，.
令，可得或.
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增.
所以是極小值點(diǎn)，不符合題意，舍去.
當(dāng)時(shí)，.
令，可得或.
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增.
所以是極大值點(diǎn)，符合題意.
綜上，.
【小問(wèn)2詳解】
由（1）可知，則，其定義域?yàn)?
對(duì)求導(dǎo)可得：
.
因?yàn)樵诙x域內(nèi)單調(diào)遞增，所以在上恒成立，即在上恒成立.
化簡(jiǎn)不等式可得：，，即
令，對(duì)其進(jìn)行配方可得，其對(duì)稱(chēng)軸為，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，.
則在上恒成立，即在上恒成立.
因?yàn)椋裕瑒t.
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得最值，與前面最值條件一樣.
那么在上恒成立，即.
因?yàn)椋裕瑒t，解得.

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