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2025-2026學年高二階段測試卷1
（北師大選必一范圍：第一章 1.1-2.4）
一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。
1.若直線是圓的一條對稱軸，則( )
A. B. C. D.
2.已知圓與圓相交所得的公共弦長為，則圓的半徑( )
A. B. C. D.
3.瑞士數學家歐拉在三角形的幾何學一書中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一條直線上這條直線被稱為歐拉線已知的頂點，，，若直線：與的歐拉線平行，則實數的值為( )
A. B. C. 或 D.
4.折紙藝術是我國民間的傳統文化，將一矩形紙片放在平面直角坐標系中，，將矩形折疊，使點落在線段上，設折痕所在直線的斜率為，則的取值范圍是
A. B. C. D.
5.已知直線，圓：，若直線上存在兩點，，圓上存在點，使得，且，則的取值范圍是( )
A. B. C. D.
6.“陶辛水韻”于年被評為蕪湖市新十景之一，每年入夏后，千畝水面蓮葉接天，荷花映日，吸引遠道游客紛至沓來，坐上游船穿過一座座圓拱橋，可以直達“香湖島”賞荷．圓拱的水面跨度米，拱高約米．現有一船，水面以上高米，欲通過圓拱橋，船寬最長約為( )
A. 米 B. 米 C. 米 D. 米
7.已知，，直線上存在點，滿足，則的傾斜角的取值范圍是( )
A. B. C. D.
8.已知直線：與：相交于點，線段是圓：的一條動弦，且，則的最小值為( )
A. B. C. D.
二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。
9.下列說法正確的是( )
A. “”是“直線與直線互相垂直”的充要條件
B. “”是“直線與直線互相平行”的充要條件
C. 直線的傾斜角的取值范圍是
D. 若點，，直線過點且與線段相交，則的斜率的取值范圍是
10.已知點在曲線上，點，則的可能取值為( )
A. B. C. D.
11.已知圓：與圓：的圓心不重合，直線：下列說法正確的是( )
A. 若兩圓相交，則是兩圓的公共弦所在的直線
B. 直線過線段的中點
C. 過直線上一點在兩圓外分別作圓、圓的切線，切點為，，則
D. 直線與直線相互垂直
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。
12.求過點，并且在兩軸上的截距相等的直線方程 ．
13.從圓上的點向圓引切線，兩個切點間的線段稱為“切點弦”，則“切點弦”的中點的軌跡方程為 ，所有的“切點弦”所占據的面積為 ．
14.在矩形中，，點在以為圓心且與相切的圓上，且在矩形內，若，則的最大值為 ．
四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
15.本小題分
已知直線：，：，其中為實數．
當時，求直線，之間的距離；
當時，求過直線，的交點，且垂直于直線的直線方程．
16.本小題分
如圖，已知等腰三角形中，，是的中點，且，．
求點的軌跡的方程
設所在直線與軌跡的另一個交點為，當面積最大且在第一象限時，求．
17.本小題分
已知點和點關于直線對稱．
若直線過點，且使得點到直線的距離最大，求直線的方程
若直線過點，且與直線交于點，的面積為，求直線的方程．
18.本小題分
在平面直角坐標系中，曲線與軸交于，兩點，點的坐標為當變化時，解答下列問題：
能否出現的情況？說明理由；
求證：過，，三點的圓在軸上截得的弦長為定值．
19.本小題分
已知圓與直線相切于點，圓心在軸上．
求圓的標準方程；
若過點的直線與圓交于，兩點，當時，求直線的一般式方程；
過點且不與軸重合的直線與圓相交于，兩點，為坐標原點，直線，分別與直線相交于，兩點，記，的面積為，，求的最大值．
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.或
13.
14.
15.解：因為直線：，：，時，
則，解得，
此時直線的方程為，
所以兩條直線間的距離；
當時，則直線的方程為：，
聯立，解得，，
即兩條直線的交點的坐標為，
又因為所求的直線垂直于，設所求的直線方程為，
將點的坐標代入可得，
解得．
所以直線的方程為．
16.解：，設點的坐標為，
即，
當面積最大且在第一象限時，點的坐標為，
，所在直線方程為，
圓心到直線的距離，
．
17.解：設點，則解得
所以點關于直線對稱的點的坐標為．
若直線過點，且使得點到直線的距離最大，則直線與過點，的直線垂直，所以直線的斜率，故直線的方程為，即．
，因為的面積為，
所以的邊上的高，
又點在直線上，直線與直線垂直，
所以點到直線的距離為．
易知直線的方程為，
設，則，即或，
又，解得或則直線的方程為或．

18.解：曲線與軸交于、兩點，
可設，，，
由韋達定理可得，
若，則，
即有，
即為，這與矛盾，
故不能出現的情況；
證明：設過、、三點的圓的方程為，
由題意可得時，與等價，
可得，，
圓的方程即為，
由圓過，可得，可得，
則圓的方程即為，
再令，可得，
解得：或．
即圓與軸的交點為，，
則過、、三點的圓在軸上截得的弦長為定值．
19.解：已知圓與直線相切于點，圓心在軸上，
由題可知，設圓的方程為，，圓心為，
由直線與圓相切于點，
得，解得，，
所以圓的標準方程為；
若過點的直線與圓交于，兩點，當時，
設圓心到直線的距離為，
，，．
當直線斜率不存在時，，滿足到直線的距離；
當直線斜率存在時：設方程：，即，
，整理得，解得，
，即，
綜上：直線的一般式方程為或；
過點且不與軸重合的直線與圓相交于，兩點，為坐標原點，
直線，分別與直線相交于，兩點，記，的面積為，，
由題意知，，
設直線的斜率為，則直線的方程為，
由，得，
解得或，則點的坐標為，
又直線的斜率為，同理可得：點的坐標為，
由題可知：，
，
又，同理，
，
當且僅當時等號成立，
的最大值為．
第6頁，共7頁

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