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2025年高三專項訓練2：用向量法研究空間中的動點問題
一、單選題
1.已知動點在所在平面內運動，若對于空間中任意一點，都有，則實數的值為( )
A. B. C. D.
2.如圖，已知正三棱柱的所有棱長均為，則線段上的動點到直線的距離的最小值為( )
A. B. C. D.
3.已知在正方體中，為線段上的動點，則直線與直線所成角余弦值的范圍是( )
A. B. C. D.
4.如圖，在三棱柱中，為平面內一動點，且，則 ( )
A. B. C. D.
5.如圖，在長方體中，，，，是側面上的動點，且，記點到平面的距離為，則的最大值為( )
A. B. C. D.
6.在正四棱柱中，，，動點，分別在線段，上，則線段長度的最小值是( )
A. B. C. D.
7.如圖，在四棱錐中，側面是邊長為的正三角形，底面為正方形，側面底面，為底面內的一個動點，且滿足，則點到直線的最短距離為( )
A. B. C. D.
8.正四面體的棱長為，若點是該正四面體外接球球面上一動點，則的最大值為( )
A. B. C. D.
9.如圖，在直四棱柱中，，，，，分別是側棱，上的動點，且平面與平面的夾角為，則的最大值為( )
A. B. C. D.
10.如圖，在直三棱柱中，，，已知與分別為和的中點，與分別為線段和上的動點不包括端點，若，則線段的長度的取值范圍為( )
A. B. C. D.
二、多選題
11.如圖，邊長為的正方形所在平面與正方形所在平面互相垂直，動點，分別在正方形對角線和上移動，且則下列結論錯誤的是( )
A. B. 當時，與相交
C. 異面直線與所成的角為 D. 始終與平面平行
12.如圖，在棱長為的正方體中，為棱的中點，為正方形內一動點含邊界，則下列說法中正確的是( )
A. 直線平面
B. 三棱錐的外接球的表面積為
C. 直線與直線所成角的正弦值為
D. 若，那么點的軌跡長度為
13.一種糖果的包裝紙由個邊長為的正方形和個等腰直角三角形組成如圖，沿，將個三角形折起到與平面垂直如圖，連接，，若為上的動點，則下列說法正確的是( )
A.
B. 若為線段的中點，則平面
C. 多面體的體積為
D. 的最小值為
14.在正方體中，若點，分別是棱，上的動點不含所在棱端點，且有，則下列結論正確的是( )
A. 存在直線與直線平行
B. 直線與直線所成的角可以為
C. 直線與平面所成的角的取值范圍為
D. 直線與平面可以垂直
15.如圖，已知在長方體中，，，，點為上的一個動點，平面與棱交于點，則下列說法正確的是( )
A. 四棱錐的體積為
B. 存在唯一的點，使截面四邊形的周長取得最小值
C. 在直線上存在點，使得
D. 存在唯一的點，使得平面，且
16.正方體的邊長為，為棱的中點，點分別為線段上兩動點含端點，記直線與面所成角分別為，且，則 ．
A. 存在點使得 B. 為定值
C. 存在點使得 D. 存在點使得
17.如圖，在直四棱柱中，四邊形為正方形，為面對角線上的一個動點，則下列說法正確的有( )
A. 平面
B. 三棱錐的體積為定值
C. 異面直線與所成角的正切值為
D. 異面直線與所成角的余弦值為
三、填空題
18.正方體的棱長為，若動點在線段上運動，則的取值范圍是 ．
19.如圖，長方體中，，，為上一點，且，為的中點，為上的動點，則當時， ．
20.已知正四棱柱為體對角線的中點，過點的直線與長方體表面交于兩點，為長方體表面上的動點，則的取值范圍是 ．
21.已知四棱錐的底面是邊長為的正方形，是以為斜邊的等腰直角三角形，平面，是線段上的動點不含端點，若線段上存在點不含端點，使得異面直線與所成的角的大小為，則線段長度的取值范圍是 ．
22.在長方體中，，，是線段上的一動點，則與所成角的最大值為 ；圓錐的高為，頂點位于上底面中心，底面內切與于長方體底面，則該圓錐的側面積為 ．
四、解答題
23.在棱長為的正方體中，、分別是、上的動點，且，求證：E.
24.本小題分
如圖，矩形所在平面與平面垂直，，且，為上的動點．
當為的中點時，求證：；
若，在線段上是否存在點，使得二面角的大小為，若存在，確定點的位置，若不存在，說明理由．
25.如圖，在棱長為的正方體中，，分別是棱，上的動點，且．
證明：；
當三棱錐的體積取得最大值時，求平面與平面夾角的余弦值．
26.如圖所示的幾何體是一個半圓柱，點是半圓弧上一動點點與點，不重合，為弧的中點，．
證明：；
若平面與平面所成的銳二面角的平面角為，求此時點到平面的距離．
答案和解析
1.【答案】
【解析】
由題可得．
又動點在所在平面內運動，
所以，解得．
故選B．
2.【答案】
【解析】以為原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，，，因為動點在線段上，所以令，則，，，，因此點到直線的距離，當時取等號，所以線段上的動點到直線的距離的最小值為．
3.【答案】
【解析】設正方體的棱長為，
如圖所示，以所在直線分別為軸，軸，軸，建立空間直角坐標系，
則有．
設，則，，
所以．
又因為，
所以．
故選C．
4.【答案】
【解析】【因為為平面內一動點，
則四點共面，
且，
所以．
故選：．
5.【答案】
【解析】以為原點，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標系，
設，，
則，，，
，，
，，解得，
因為，所以的最大值為，
即點到平面的距離的最大值為．
故選D．
6.【答案】
【解析】以為坐標原點，，，所在直線分別為軸，軸、軸建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，則可設，， ，當且僅當時，取得最小值，故選C．
7.【答案】
【解析】以為原點，為軸，為軸，過作平面的垂線為軸，
建立空間直角坐標系，
則，，
設，，，則，，
，
，
為底面內以為圓心，以為半徑的圓上的一個動點，
點到直線的最短距離為：．
故選C．
8.【答案】
【解析】由題意，如圖所示，設點為正四面體的外接球球心，連接，，，．
則，
且
當與同向時，的值最大設，設的中點為，連接，如圖所示．
，
，，故
，故選C．
多種解法取中點，正四面體的外接球球心為，連接圖略，
則，
因為長度是定值，故當最大時，數量積最大．
顯然，當在的延長線與球面的交點處時，最大．
因為，所以，
此時，則．
9.【答案】
【解析】以為原點，分別以，，的方向為軸、軸、軸的正方向建立空間直角坐標系，設，，則，，，設平面的法向量為，則即，令，則，，所以是平面的一個法向量，顯然是平面的一個法向量．因為平面與平面的夾角為，所以，，所以，所以，當時，取得最大值，故選C．
10.【答案】
【解析】在直三棱柱中，底面，
以點為坐標原點，，、所在直線分別為、，軸建立如下圖所示的空間直角坐標系，
則，設點、，
，
由于，則，可得，
，則，
．
故選：．
11.【答案】
【解析】依題意可知兩兩相互垂直，由此以為原點建立如圖所示空間直角坐標系．
，，，
所以，
，
所以與不一定相等，所以A錯誤．
，
，
所以異面直線與所成的角不是，所以C錯誤．
，平面的法向量為，
，所以始終與平面平行，所以D正確．
對于選項，由上述分析可知平面，
若與相交，設與確定的平面為，平面，所以．
，，
則，解得，所以選項錯誤．
故選：
12.【答案】
【解析】以 為坐標原點，以 分別為 軸的正方向建立空間直角坐標系，
則 ，
對：
設平面 的法向量為 ，
由 得 ，
令 得 ，所以 ，
因為 ，故 ，
所以直線 平面 ，故正確
對 易知三棱錐的半徑為，所以三棱錐的外接球的表面積為 ，故正確
對 ， ，所以 故錯誤；
對因為 ，即 ，所以 ，所以 的軌跡為平面 內以 為圓心，半徑為 的四分之一圓周，那么點的軌跡長度為 ，故正確．
故選．
13.【答案】
【解析】因為平面平面，平面平面，，
所以平面，同理，平面．
以為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，
則，，，，
所以，，，．
因為，
所以，即，A正確．
設平面的法向量為，則
令，則，，所以是平面的一個法向量．
若為線段的中點，則，
又，所以，
因為，平面，
所以平面，B正確．
多面體的體積等于一個棱長為的正方體的體積減去兩個三棱錐的體積，
即，
【另解】連接和，交于點，
則多面體被分成兩個完全相同的四棱錐，即四棱錐和四棱錐，
則C正確．
設，則，，
所以，
當時，取得最小值，為，D錯誤．
14.【答案】
【解析】如圖，以為坐標原點，，，所在直線分別為軸、軸、軸建立空間直角坐標系，設正方體的棱長為，，
則，，，，，，．
對于選項A，因為延長后與所在平面相交，故不存在直線與直線平行，不正確．
對于選項B，因為，，所以，，由，可得負值舍去，所以當時，直線與直線所成的角為，故B正確．
對于選項C，，設平面的法向量為，則有即令，可得．
又，設直線與平面所成的角為，
則，，
故當逐漸增大時，逐漸減小，即直線與平面所成的角逐漸減?。?br/>當時，，即直線與平面所成的角當時，直線與平面所成的角趨近于直線與平面所成的角，即為，所以直線與平面所成的角的取值范圍為，故C正確．
對于，假設直線與平面垂直，則，則，即，，這樣的無實數解，故假設不成立，故D不正確故選BC．
15.【答案】
【解析】在長方體中，，，，對于，，
，平面，平面，
故平面，所以到平面的距離等于到平面的距離，
設點到平面的距離為，過點在平面內作，如圖所示，
平面，平面，則，
，
平面，且，故，
同理可得，所以，故A正確
對于，因為平面平面，平面平面，平面平面，所以，同理可得，故四邊形為平行四邊形，則四邊形的周長為，將長方體的側面和沿棱展開到同一平面內，如圖所示，
則的最小值為展開面中的長度，此時點為與的交點，，所以四邊形的周長的最小值為，故B正確
對于，，即，所以，，解得，故C正確
對于，以點為坐標原點，，，所在直線分別為，，軸建立如圖所示的空間直角坐標系，
則，，，，
設，則，，，
因為平面，則
解得，即，故D錯誤故選ABC．
16.【答案】
【解析】如圖所示，在正方體中，以為原點建立空間直角坐標系，
則，，
設，，其中，
作，，
可知平面，平面，
則，，，，
所以，，，
則，，
由知，，，
則，即，從而，
對于，，即，解得，滿足題意，故A正確；
對于，，為定值，故B正確；
對于，若，則，故C錯誤；
對于，，，若，
則，解得，，故D正確；
故選：．
17.【答案】
【解析】
以 為坐標原點， 所在直線分別為 軸、 軸、 軸建立空間直角坐標系．
設 ，則 ， ，
對于選項， ， ，則 ，
故 與 不垂直，進而可知 與平面 不垂直，故A錯誤；
對于選項，在正四棱柱 中， 且 ，
所以四邊形 為平行四邊形，所以 ，因為 平面 ，
平面 ，所以 平面 ，所以點 到平面 的距離為定值，
又 的面積為定值，故三棱錐 的體積為定值，故B正確；
對于選項，因為 ，所以 與 所成的角為 ，
因為四邊形 為正方形，所以 ，故C正確；
對于選項， ，
所以 ，
所以異面直線 與 所成角的余弦值為 ，故D正確．
故選：．
18.【答案】
【解析】依題意，設，其中，
，
因此的取值范圍是．
故答案為．
19.【答案】
【解析】以為原點，為軸，為軸，為軸，
建立空間直角坐標系，
長方體中，，
，為上一點，且，
為的中點，為上動點，
，，，
設，
，，
，
，解得，
，
，
，，
．
故答案為．
20.【答案】
【解析】為的中點，即為正四棱柱的中心，由對稱性，為的中點，
則，
由，得，，
所以，
所以，
故答案為：．
21.【答案】
【解析】設是的中點，連接，如圖，則，
因為平面，平面，所以，
因為，，平面，
所以平面，
由平面，所以平面平面．
以為原點建立如圖所示的空間直角坐標系，
，，則，
設，，，，則．
設異面直線與所成角為，
則，，
整理得，函數的圖象開口向下，對稱軸為直線，
所以函數在上單調遞增，當時，，
所以，得，所以線段長度的取值范圍是
22.【答案】
【解析】以為坐標原點，以為軸，為軸，為軸建立空間直角坐標系，連接，
所以，，，
設，
因為是線段上的一動點，
所以，
設，
則，則，
所以與所成角的余弦值為，
因為與所成角范圍為，
所以當時，，
所以與所成角最大為，
長方體底面是正方形，
則圓錐的底面圓半徑為，
因為圓錐的高為，
則圓錐的母線為，
所以圓錐的側面積為，
故答案為； ．
23.【解析】證明：以為坐標原點建立如圖所示的空間直角坐標系，
則，．
設，
，．
，
，
，
，即E.
24. 【解析】證明：平面平面，平面平面，，
，
平面，，
以為原點，、、所在直線分別為軸，軸，軸，建立空間直角坐標系，
設，設，則，，，
，，
，
當為的中點時，．
解：設，，由知，，，
，，
平面的一個法向量，
設平面的一個法向量，
則，取，得，
二面角的大小為，
，，
解得或舍，
，
在線段上存在點，使得二面角的大小為，點在線段上距點處．
25.【解析】證明：以為原點，，，的方向分別為軸，軸，軸的正方向，
建立如圖所示的空間直角坐標系，
設，
則，，，，
所以．
因為，
所以，即．
解：由知，
當且僅當時，等號成立，
此時，．
因為，所以．
設平面的法向量為，
則，
令，得．
取平面的一個法向量．
設平面與平面的夾角為，
則，
即平面與平面夾角的余弦值為．
26.【解析】證明：連接，在半圓柱中，
因為平面，平面，所以，
又因為是直徑，所以，
又，平面，，
所以平面，
又平面，所以．
解：依題意可知，以線段的中點為坐標原點，
以，，為，，軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標系，
則，，，，，連接，
設，則，
所以，，
設平面的一個法向量為，
所以則
令，則，，所以．
設為平面的一個法向量，，，
所以
令，則，，
所以
因為平面與平面所成的銳二面角的平面角為，
所以，
令，則，平方得，
即，又由，
可解得或舍去，
所以，所以平面的一個法向量，且，
所以點到平面的距離．

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