資源簡介

2025年高三專項訓練：空間直角坐標系的構建策略
一、單選題
1.正方體中，，分別是，的中點，則與截面所成的角的正切值為( )
A. B. C. D.
2.在直三棱柱中，底面是等腰直角三角形，，側棱，，分別是與的中點，點在平面上的射影是的重心，則點到平面的距離為( )
A. B. C. D.
3.如圖所示，已知在邊長為的正中，，分別是和的中點，平面，，設平面過且與平行，則點與平面間的距離為( )
A. B. C. D.
4.如圖，在四棱錐中，底面，底面為正方形，，為的中點，為的中點，則異面直線與所成角的余弦值為( )
A. B. C. D.
5.如圖，在圓錐中，是底面圓的直徑，，分別為，的中點，，，則直線與直線所成角的余弦值為( )
A. B. C. D.
6.在直三棱柱中，已知，，是的中點，是的中點，是的中點，則直線與所成的角為( )
A. B. C. D.
7.如圖所示，在底面是直角梯形的四棱錐中，側棱底面，，，，，則點到平面的距離為( )
A. B. C. D.
8.如圖，與都是邊長為的正三角形，平面平面，平面，，則點到平面的距離為( )
A. B. C. D.
二、多選題
9.如圖，在四面體中，，是的中點，則下列結論正確的是( )
A. 平面平面
B. 直線與直線所成角為
C. 直線與平面所成角的余弦值為
D. 四面體的外接球表面積為
10.如圖，菱形邊長為，點為邊的中點，將沿折起，使點到點，連接，，且，平面與平面的交線為，則下列結論中正確的是( )
A. 平面平面
B.
C. 三棱錐外接球的體積為
D. 平面與平面的夾角的余弦值為
三、填空題
11.在正四棱錐中，底面邊長為，側棱，為的中點，為直線上一點，且與、不重合，若異面直線與所成角為，則三棱錐的體積為 ．
12.在我國古代數學名著九章算術中，將四個面都為直角三角形的三棱錐稱之為鱉臑已知在鱉臑中，平面，，為的中點，則點到平面的距離為 ．
13.三菱錐中，且、、兩兩垂直，是中點，則直線與所成角的余弦值為
14.在中國古代數學著作九章算術中記載了一種稱為“曲池”的幾何體，該幾何體的上、下底面平行，且均為扇環形扇環是指圓環被扇形截得的部分現有一個如圖所示的曲池，它的高為，，，，均與曲池的底面垂直，底面扇環對應的兩個圓的半徑分別為和，對應的圓心角為，則圖中平面與平面所成角的余弦值為 ．
15.如圖，在四棱柱中，底面，且底面為菱形，，，，為的中點，在上，在平面內運動不與重合，且平面，異面直線與所成角的余弦值為，則的最大值為 ．
16.如圖，在六面體中，平面平面，四邊形與四邊形是兩個全等的矩形，，，平面，，，，則 ．
17.九章算術第五卷中涉及一種幾何體羨除，它下廣六尺，上廣一丈，深三尺，末廣八尺，無深，袤七尺．該羨除是一個多面體，如圖，四邊形，均為等腰梯形，，平面平面，梯形和梯形的高分別為，，且，，，則 ．
18.如圖，，兩點都在以為直徑的球的表面上，，，，若球的表面積為，則異面直線與所成角的余弦值為 ．
19.已知斜三棱柱，它的每條棱長均為，并且側面與底面垂直，，則與底面所成角的正弦值為 ， ．
四、解答題
20.如圖，和所在平面互相垂直，且，，，分別為，的中點求證：．
21.如圖，已知四棱錐的底面為菱形，且平面，，，，且，分別為，的中點．
求證：平面；
求二面角的余弦值．
22.如圖，四棱錐中，四邊形是平行四邊形，點為線段的中點．
求證：平面；
若四邊形為菱形，且，，，平面，求平面與平面所成二面角的正弦值．
23.如圖，在空間幾何體中，平面平面，平面，與都是以為底的等腰三角形，為的中點，，
證明：點在平面內；
已知，，求二面角的余弦值．注：經過兩條平行直線，有且只有一個平面。
24.如圖，在直三棱柱中，，為的中點，為的中點．
求證：平面；
求直線與平面所成角的正弦值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】
以為原點，分別以，，為軸、軸、軸，建立空間直角坐標系，
設正方體棱長為，則，
，，則
設平面的一個法向量為，
則，令，則，，
，
設與截面所成的角為，則，
則，
，
故選A．
2.【答案】
【解析】由題意，以為坐標原點，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標系，
設，則， ， ， ，
可得，，，，
因為點在平面上的射影是的重心，所以平面，
所以，即，解得，即，
則點到平面的距離為．
故選：．
3.【答案】
【解析】以為原點，，的正方向分別為軸，軸的正方向，平行于的直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，．
令向量滿足，則易得是平面的一個法向量，
又，點到平面的距離
答案：
4.【答案】
【解析】
由底面，底面，底面，
可得，，
又底面為正方形，所以，
則，，兩兩互相垂直，建立如圖所示的空間直角坐標系，
設，由，為的中點，為的中點，
則，，，，
可得，，
設異面直線與所成的角為，
則，
故選B．
5.【答案】
【解析】以點為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，
則，，，，
則，，
所以直線與直線所成角的余弦值為．
故選：．
6.【答案】
【解析】以為坐標原點，，，所在直線為，，軸建立如圖所示的空間直角坐標系，
設，則，，，，
，，
所以，所以與所成的角為．
故選D．
7.【答案】
【解析】以為原點，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標系，
則，，，，
，，，
設平面的法向量，
則，
取，得，
點到平面的距離為．
故選：．
8.【答案】
【解析】與都是邊長為的正三角形，平面平面，
故取的中點為坐標原點，如圖所示，由題意可建立空間直角坐標系．
則，，，．
，，．
設平面的法向量為，
則
令，則，．
．
點到平面的距離
．
故選：．
9.【答案】
【解析】如圖，取中點，連接，
因為，
所以，，又是中點，所以，
因為，，平面，
所以平面，故為二面角的平面角，
在中，，，
又，所以，故，即，
由兩平面垂直的定義知，平面平面，故選 A正確
對于選項B，建立如圖所示的空間直角坐標系，
易知，，，，，
則，，
設直線與直線所成角為，
則，
又，所以，故選項 B正確，
對于選項C，連接，
因為，，面，
所以面，故為直線與平面所成的角，
因為是的中點，所以，
在中，，，所以，
得到，故選 C錯誤
對于選項D，因為，所以為四面體的外接球的球心，且半徑為，
故外接球表面積為， D正確．
故選：．
10.【答案】
【解析】對于，菱形的邊長為，，點為的中點，則，，
將沿折起，使點到點，且，
又因為，、平面，所以平面，
因為，所以平面，
又因為平面，所以平面平面，故A正確；
對于，因為，又因為平面，平面，所以平面，
又因為平面，平面平面，所以，故B正確；
對于，取的中點，連接，因為，
所以 ，
過點作平面，則三棱錐的外接球球心在直線上，
設，由，得 ，解得 ，
則 ，
所以三棱錐的外接球的體積為，故C錯誤；
對于，、、兩兩垂直，以點為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，
則，， ，，，， ，，
所以 ， ，， ， ，， ， ，，
設平面的法向量 ，
則 ，取，則， ，
設平面的法向量 ，
則 ，取，則 ，， ，
設平面與平面的夾角為，
則 ，故D錯誤．
故選：．
11.【答案】
【解析】如圖，設點為底面正方形的中心，取的中點，
以為坐標原點，分別以直線、、為、、軸建立空間直角坐標系，
底面邊長為，側棱，為的中點，
則，且，則，
易知，，，，
，，，
設且，
則，
由，
整理得，解得舍去，
故，且點在射線上，
設點到底面的距離為，點到底面的距離為，
因為，，
所以，．
故答案為．
12.【答案】
【解析】以為坐標原點，，所在直線分別為軸，軸建立空間直角坐標系，如圖，
則 ，
由為的中點可得
，，，
設為平面的一個法向量，
則，即，
令，可得，
即點到平面的距離為．
故答案為．
13.【答案】
【解析】以點 為坐標原點，以 ， ， 方向為 軸， 軸， 軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標系，
，則 ，， ，， ，
則 ， ，
設異面直線與所成角為，
則．
14.【答案】
【解析】設上底面圓心為，下底面圓心為，連接，，，
以為原點，分別以，，所在直線為 軸，軸， 軸建立空間直角坐標系，
則，，，
，
所以，，，，
設平面 的法向量為 ，
則有 ，
解得： ，
取 ，得，
故平面 的一個法向量為 ，
設平面 的法向量為 ，
則有 ，
解得： ，
取 ，得，
故平面 的一個法向量為 ，
記平面 與平面 所成角為 ，
則 ．
故答案為： ．
15.【答案】
【解析】
連接交于點，
平面，平面，則，
四邊形為菱形，則，
，，平面，
平面，
以點為坐標原點，所在直線為軸，所在直線為軸，
過點且與平行的直線為軸，建立空間直角坐標系，如圖，
則，，，，，，，
由題意得平面的一個法向量為，
平面，
，
設，其中，則，
由已知可得，，
，解得，
，
設，則，
，則，可得，且，可得，
，
平面，、平面，
，，
且，當時取等號，
．
故答案為：．
16.【答案】
【解析】因為平面，且，平面，
則，，
且，即，，兩兩垂直，
故以為坐標原點，以，，分別為，，軸，建立空間直角坐標系，如圖所示：
由題意，，，
故，
則．
故答案為：．
17.【答案】
【解析】過分別作，的高，垂足分別為，，
平面平面，，由可得：
又平面平面，面，
故平面，
又面，故可得
，，又，
故，，兩兩垂直，
以為坐標原點，，，的方向分別為，，軸的正方向，
建立空間直角坐標系，
則由題意可知，，，，
，，
．
故答案為．
18.【答案】
【解析】因為，兩點都在以為直徑的球的表面上，
，，，球的表面積為，
所以，解得，
所以，，，，
以為原點，為軸，為軸，過作平面的垂線為軸，建立空間直角坐標系，
如圖：
則，，，，
，，
設異面直線與所成角為，
則，
所以異面直線與所成角的余弦值為．
故答案為．
19.【答案】
【解析】如圖，取中點，連接，，
由，，得，，
又，側面與底面垂直，側面，
側面底面，底面，
以為坐標原點，分別以、、所在直線為、、軸建立空間直角坐標系，
則，，，，，
，，．
平面的一個法向量為，
設與底面所成角為，則；
．
故答案為：；．
20. 【解析】證明：由題意，以點為坐標原點，在平面內過點作垂直于的直線為軸，所在直線為軸，在平面內過點作垂直的直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，
易得，，，，
因而，，
所以，，
因此．
從而，
所以．
21.【解析】證明：四棱錐的底面為菱形，且平面，平面，
，，
，、平面，
平面．
解：如圖建立空間直角坐標系，，，，，
中點，中點，
則取的中點，連接，則，
平面，平面，
，又，、平面，
易證平面，
所以平面的一個法向量為，
設平面的一個法向量為，
則
令，則，，
，
令二面角的平面角為，易知該二面角為銳角，
，
即二面角的余弦值為．
22.【解析】證明：設，連接，
四邊形是平行四邊形，
是的中點．
點為線段的中點，
是的中位線．
．
又平面，平面，
平面．
解：設的中點為，連接．
是的中位線．
．
平面，
平面．
平面，平面，
，，，．
又四邊形為菱形，
．、、兩兩互相垂直．
分別以射線、、為軸、軸、軸的非負半軸建立如圖所示的空間直角坐標系，
則，，，，，
，，，
設為平面的一個法向量，
由得取，得．
是平面的一個法向量，
設是平面的一個法向量，
由得取，得，．
是平面的一個法向量，
設平面與平面所成二面角的大小為，則，且
．
．
平面與平面所成二面角的正弦值為．
23. 【解析】證明：連結，，因為與都是以為底的等腰三角形，
則，
因為平面平面，平面平面，且在平面內，所以平面．
因為平面，所以，
于是，，，四點共面，所以的中點在平面內．
解：以，，為，，軸正方向，建立空間直角坐標系．
因為，，為等腰三角形，則可得，
則，，．
因為都是以為底的等腰三角形，，，所以．
可設，則．
因為，所以，
即
可得
所以，設平面的法向量為，
則即
不妨設，則．
因為平面，且平面，則，
又，，為平面內兩條相交線，則可得平面
因為，，則由題設可取平面的一個法向量
設二面角的平面角為，由圖示，為鈍角，
于是．
所以二面角的余弦值為
24.【解析】證明：不妨設，則，，有，于是，即，
在直三棱柱中，平面，又平面，則，，
以點為坐標原點，，，所在直線分別為，，軸建立空間直角坐標系，如圖，
則，，，，，，，
顯然平面的一個法向量為，
因此，即平面，又平面，
所以平面 ；
由知，，，
設平面的一個法向量為，
則，令，得，
設直線與平面所成角的大小為，則，
所以直線與平面所成角的正弦值為．
第26頁，共26頁

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