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人教B版必修一第二章等式與不等式章末檢測卷 2
一、單選題
1.若集合，，則( )
A. B.
C. D.
2.設，，則與的大小關系是( )
A. B. C. D. 無法確定
3.下列結論正確的是( )
A. 若，則 B. 若，則
C. 若，則 D. 若，則
4.某市交通管理部門通過大量數據統計發現，某路段的車流量單位：千輛小時與車速單位：公里小時近似滿足，為保障最大車流量，應建議車速為( )
A. B. C. D.
5.若關于不等式的解集為，則關于不等式的解集為( )
A. B.
C. D.
6.若，，，則下列不等式恒成立的是( )
A. B. C. D.
7.若不等式，，則的取值范圍是( )
A. B. C. D.
8.設，若不等式恒成立，則實數的取值范圍是( )
A. B. C. D.
9.不等式的解集是( )
A. B.
C. D.
10.下列命題為真命題的是( )
A. 若，則 B. 若，則
C. 若，則 D. 若，則
11.設，則不正確的是( )
A. B. C. D.
二、多選題
12.下列說法正確的是( )
A. 命題：，，則：，．
B. “，”是“”成立的充分不必要條件．
C. “”是“”的必要條件．
D. “”是“關于的方程有一正一負根”的充要條件．
13.若，則下列選項成立的是( )
A. B. 若，則
C. 的最小值為 D. 若，則
14.不等式其中的解集可以是( )
A. 且 B.
C. D. 或或
15.下列表述正確的是 ．
A. 如果，那么
B. 如果，那么
C. 如果，那么
D. 如果，那么
三、填空題
16.設，則不等式的解集為 ．
17.中國宋代的數學家秦九韶曾提出“三斜求積術”，即假設在平面內有一個三角形，邊長分別為，，，三角形的面積可由公式求得，其中為三角形周長的一半，這個公式也被稱為海倫秦九韶公式，現有一個三角形的邊長滿足，，則此三角形面積的最大值為 ．
18.已知正實數，滿足，且恒成立，則的取值范圍是 ．
19.不等式的解集為 ．
四、解答題
20.解下列不等式組
解不等式組
解不等式：
21.已知關于的不等式的解集為或．
求，的值；
當，且滿足時，有恒成立，求的取值范圍．
22.某廠家擬在年舉行某產品的促銷活動，經調查測算，該產品的年銷售量即該廠的年產量萬件與年促銷費用萬元滿足為常數，如果不搞促銷活動，那么該產品的年銷售量只能是萬件已知生產該產品的固定投入為萬元，每生產萬件該產品需要再投入萬元，廠家將每件產品的銷售價格定為每件產品年平均成本此處每件產品年平均成本按元來計算的倍．
將年該產品的利潤萬元表示為年促銷費用萬元的函數
該廠家年的促銷費用投入多少萬元時，廠家的利潤最大最大利潤是多少
23.已知關于的不等式的解集為，不等式的解集為．
若，求
若，求的值
若“”是“”的充分非必要條件，求實數的取值范圍．
24.正實數，滿足，求的最小值其中一種解法是：
，當且僅當且時，即且時取等號，學習上述解法并解決下列問題：
若正實數，滿足，求的最小值：
若實數，，，滿足，求證：；
求代數式的最小值，并求出使得最小的的值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】由，解得；
由，解得；
所以，
故選B．
2.【答案】
【解析】因為，，
所以，
，
故選A．
3.【答案】
【解析】對于選項，若，時，，故A選項錯誤；
對于選項，當，時，，故B選項錯誤；
對于選項，，即且，
，即，故C選項正確；
對于選項，當，時，，故D選項錯誤．
故答案選C．
4.【答案】
【解析】由題意知，即，
，
當且僅當，即時，等號成立；
所以當汽車的平均速度為公里小時時，車流量最大．
故選：．
5.【答案】
【解析】因為不等式的解集為，
則，且和是的兩個根，
所以，即，，
故，
解得或，
從而關于不等式的解集為．
故選：．
6.【答案】
【解析】對于： ，當且僅當 時取等號，A錯誤；
對于： ， ，B錯誤；
對于： ，
因為 錯誤；
對于： ，當且僅當 時取等號，
，D正確；
故選：
7.【答案】
【解析】令
即解得：，
即
，，
故選：．
8.【答案】
【解析】恒成立，
即為恒成立，
當時，可得恒成立，
由
，當且僅當時，
取得最小值，
即有，則
當時，可得恒成立，
由
，
當且僅當時，
取得最大值，
即有，則，
綜上可得．
故選D．
9.【答案】
【解析】原不等式可化為，解得，所以原不等式的解集是，．故選C.
10.【答案】
【解析】對于，若，，則，故A不成立；
對于，若，則，故B成立；
對于，若，比如，，則，故C不成立；
對于，若，則，，即有，
即，則，故D不成立．
故選B．
11.【答案】
【解析】，，，，故A正確．
，，，，當且僅當時等號成立，， ， 故B正確；
，由 ，將不等式兩端平方得 ，
即為 ，即為 ，，
由 與 同號，故等式一定成立時等號成立，，，故C正確；
，，，，即，故D錯誤；
12.【答案】
【解析】對于，由命題：，是全稱量詞命題，則：，，所以正確；
對于，由時一定有，充分性成立，
，如，，推不出，必要性不成立，
因此“”是“”成立的充分不必要條件，所以B正確；
對于，“ ”如，，推不出“”，所以C錯誤；
對于，方程 有一正一負根設為，等價于，則，即，則“ ”是“關于的方程 有一正一負根”的充要條件，所以D正確．
故選：．
13.【答案】
【解析】對于項，當時，，顯然成立，
當時，，，當且僅當時取等號，故A項正確
對于項，，等號成立時，，
則，得，故B項正確
對于項，，
等號成立時，，即，
顯然不成立，則等號取不到，即最小值不是，故C項錯誤
對于項，，
等號成立時，，解得，故D項正確．
故選ABD．
14.【答案】
【解析】對于，若，，解得且，故A正確；
對于，當時，，解得，故B正確；
對于，當時，，解集為，故C正確；
對于，由于解集中出現了，則，
此時，解得，故D錯誤．
故選：．
15.【答案】
【解析】，如果，取，，，，則，故A錯誤；
，由于在為單調增函數，
從而若，那么，故B正確；
，如果，則，
而在上單調遞減，從而，故C正確；
，如果，則，故，故D正確．
故選BCD．
16.【答案】
【解析】，不等式，
，
解得：．
不等式的解集為：．
故答案為：．
17.【答案】
【解析】依題意，
所以
．
當且僅當，時等號成立．
故答案為．
18.【答案】或
【解析】由，得，，，
所以，
所以，
當且僅當，即時取等號，
所以，
又恒成立，則，
解得，或，
則的范圍為或
故答案為：或
19.【答案】
【解析】原不等式，且
即且，故．
故答案為：．
20.解：原不等式組可化為，
解得，
故或，
原不等式組的解集為或．
解：原不等式等價于，
即，
即，
解得，
故原不等式的解集為
21.【解析】因為不等式的解集為或，
所以和是方程的兩個實數根且，
所以，解得．
故，．
由知，于是有，
故，
當且僅當時，等號成立，
依題意必有，即，
得，
所以的取值范圍為．
22.【解析】由題意知，當時，，則，解得，
所以，
因為每件產品的銷售價格為元，
所以年該產品的利潤；
因為當時，，
所以，
當且僅當，即時，等號成立，
所以，
故該廠家年的促銷費用投入萬元時，廠家的利潤最大，為萬元．
23.【解析】因為，所以不等式可化為，
也即，解得：，
故．
由不等式可化為，
因為關于的不等式的解集為，
所以和是方程的兩根，
所以．
當時，由，得，
即，解得，
所以，符合題意，
故．
因為不等式可化為：，解得：，所以，
又因為“”是“”的充分非必要條件，
所以是的真子集．
由不等式可化為，
當時，，滿足題意；
當時，，要使是的真子集，則有，所以；
當時，，滿足是的真子集，
當時，，滿足是的真子集，
當時，，滿足是的真子集，
綜上所述：實數的取值范圍為．
24.解：若正實數，滿足，
則，當且僅當且，即，時取等號，此時取得最小值；
證明：若實數，，，滿足，
則，
當且僅當且時取等號，
所以；
令，，則，即，
由得，，
當且僅當且，即，時取等號，此時，
故的最小值為．
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