資源簡介

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2025-2026學年上學期小學數學奧數專項《加乘原理》通用版
一、填空題
1．如圖是一個由27個棱長為1的白色小正方體木塊粘成的棱長為3的正方體木塊，現任意挖去其中的3個棱長為1的小正方體，然后將所有暴露在外的表面全部刷上藍漆，那么余下的24個棱長為1的小正方體中恰好有3面涂藍漆的最多能有　 　個.
2．將12個獎杯在領獎臺上擺成一排。從左邊數金獎杯排第10，從右邊數銀獎杯排第8。金獎杯和銀獎杯之間全是水晶獎杯，其他位置都是銅獎杯。如果按這樣的方式擺5排，那么領獎臺上一共有　 　個水晶獎杯。
3．在“8×8”的方格中放棋子，每格至多放l枚棋子。若要求8行、8列、30條斜線(如下圖所示)上的棋子數均為偶數。那么“8×8”的方格中最多可以放　 　枚棋子。
4．將19枚棋子放入5×5的方格網內，每個方格至多只放一枚棋子，且每行每列的棋子個數均為奇數個，那么共有　 　種不同的放法。
二、解決問題
5． 二⑴班同學排成人數相等的4行做操，小華站在其中一行，從前面數他是第5個，從后面數他是第3個，二⑴班共有學生多少人？
6．3個3口之家在一起舉行家庭宴會，圍一桌吃飯，要求一家人不可以被拆開，那么一共有多少種排法？（如果某種排法可以通過旋轉得到另一種排法，那么這兩種排法算作同一種．）
7．森林王國護衛隊的成員正在巡邏，其中一隊中有1只豹子、1只獅子和10只老虎。從前往后數，這隊中的豹子排第5；從后往前數，這隊中的獅子也剛好排第5。其余位置上都是老虎。這隊的豹子和獅子之間有多少只老虎
三、解答題
8．8個人站隊，冬冬必須站在小悅和阿奇的中間（不一定相鄰），小慧和大智不能相鄰，小光和大亮必須相鄰，滿足要求的站法一共有多少種？
9． 個人圍成一圈，從中選出兩個不相鄰的人，共有多少種不同選法？
10．1到1999的自然數中，有多少個與5678相加時，至少發生一次進位？
11．所有三位數中，與456相加產生進位的數有多少個？
12．有8個隊參加比賽，采用如下圖所示的淘汰制方式。問在比賽前抽簽時，可以得到多少種實質不同的比賽安排表？
13．有11名外語翻譯人員，其中名是英語翻譯員，名是日語翻譯員，另外兩名英語、日語都精通。從中找出人，使他們組成兩個翻譯小組，其中人翻譯英文，另人翻譯日文，這兩個小組能同時工作。問這樣的分配名單共可以開出多少張？
14．甲射擊員在練習射擊，前方有三種不同類型的氣球，共3串，有一串是紅氣球3個，有一串是黃氣球2個，有一串是綠氣球4個，而且每次射擊必須射最下面的氣球，問有多少種不同的射法？

15．在6名內科醫生和4名外科醫生中，內科主任和外科主任各一名，現要組成5人醫療小組送醫下鄉，按照下列條件各有多少種選派方法？
（1）有3名內科醫生和2名外科醫生；
（2）既有內科醫生，又有外科醫生；
（3）至少有一名主任參加；
（4）既有主任，又有外科醫生。
16．從4名男生，3名女生中選出名代表。
（1）不同的選法共有多少種？
（2）“至少有一名女生”的不同選法共有多少種？
（3）“代表中男、女生都要有”的不同選法共有多少種？
17．某池塘中有A、B、C三只游船，船可乘坐3人，B船可乘坐2人，C船可乘坐1人，今有3個成人和2個兒童要分乘這些游船，為安全起見，有兒童乘坐的游船上必須至少有個成人陪同，那么他們5人乘坐這三支游船的所有安全乘船方法共有多少種？
18．有藍色旗3面，黃色旗2面，紅色旗面。這些旗的模樣、大小都相同?，F在把這些旗掛在一個旗桿上做成各種信號，如果按掛旗的面數及從上到下顏色的順序區分信號，那么利用這些旗能表示多少種不同信號？
19．平面內有12個點，其中6點共線，此外再無三點共線。
（1）可確定多少個三角形？
（2）可確定多少條射線？
20．在一次合唱比賽中，有身高互不相同的8個人要站成兩排，每排4個人，且前后對齊。而且第二排的每個人都要比他身前的那個人高，這樣才不會被擋住。一共有多少種不同的排隊方法？
21．用2個1，2個2，2個3可以組成多少個互不相同的六位數？
用個，個，個可以組成多少個互不相同的六位數？
22．某校舉行男生乒乓球比賽，比賽分成3個階段進行，第一階段：將參加比賽的48名選手分成8個小組，每組6人，分別進行單循環賽；第二階段：將8個小組產生的前2名共16人再分成個小組，每組人，分別進行單循環賽；第三階段：由4個小組產生的個第名進行場半決賽和場決賽，確定至名的名次。問：整個賽程一共需要進行多少場比賽？
23．一個盒子裝有10個編號依次為1，2，3，，10的球，從中摸出6個球，使它們的編號之和為奇數，則不同的摸法種數是多少？
24．五個人互相傳球，由甲開始發球，并作為第一次傳球，經過次傳球后，球仍回到甲手中。問：共有多少種傳球方式？
四、綜合題
25．【閱讀材料】用棱長為1cm的小正方體拼成一個棱長為4cm的大正方體，表面涂上顏色。這些小正方體會出現4種不同的涂色情況。
①三面涂色的小正方體，位于大正方體的8個頂點上，共8塊。
②兩面涂色的小正方體，位于大正方體的12條棱上，共2×12=24(塊)。
③一面涂色的小正方體，位于大正方體的6個面上，共4×6=24(塊)。
④沒有涂色的小正方體，位于大正方體的內部，共2×2×2=8(塊)。
檢驗：總塊數=4×4×4=64，各類塊數之和=8+24+24+8=64。
（1）【解決問題】用棱長為1cm的小正方體拼成一個長6cm、寬4cm、高5cm的長方體，表面涂上顏色，三面、兩面、一面涂色和沒有涂色的小正方體各有幾塊
①三面涂色的小正方體共　 　塊。
②兩面涂色的小正方體共　 　塊。
③一面涂色的小正方體共　 　塊。
④沒有涂色的小正方體共　 　塊。
（2） 【探索規律】用棱長為1cm的小正方體拼成一個長a cm、寬b cm、高c cm的長方體（a、b、c均為大于2的整數），表面涂上顏色。
①三面涂色的小正方體共　 　塊。
②兩面涂色的小正方體共　 　塊。
③一面涂色的小正方體共[2(a-2)(b-2)+2(b-2)(c-2)+2(a-2)(c-2)]塊。
④沒有涂色的小正方體共　 　塊。
答案解析部分
1．【答案】18
2．【答案】20
3．【答案】48
4．【答案】600
5．【答案】解：3＋5-1=7（人）
4×7=28（人）
答：二⑴班共有學生28人。
6．【答案】解：（2×1）×（3×2×1）×（3×2×1）×（3×2×1）
=2×6×6×6
=432（種）
答：一共有432種排法。
7．【答案】前○○○○△……□○○○○后
這隊的動物數量： 1+1+10=12(只)
豹子和獅子之間的老虎的數量：12-5-5=2(只)
答：這隊的豹子和獅子之間有2只老虎。
8．【答案】解：
（種）
（種）
滿足要求的站法總數為：
（種）。
答：滿足要求的站法一共有2400種。
9．【答案】解：乘法原理。按題意，分別站在每個人的立場上，當自己被選中后，另一個被選中的，可以是除了自己和左右相鄰的兩人之外的所有人，每個人都有 種選擇，總共就有 種選擇，但是需要注意的是，選擇的過程中，會出現“選了甲、乙，選了乙、甲”這樣的情況本來是同一種選擇，而卻算作了兩種，所以最后的結果應該是（ ） （種）。
答： 共有35種不同選法。
10．【答案】解：反面考慮：1到1999的自然數中，與5678相加時，不發生進位的數，個位數字有2種可能（即0，1），十位數字有3種可能（即0，1，2），百位數字有4種可能（即0，1，2，3），千位數字有2種可能（即0，1）。
根據乘法原理，共有 個。
排除0（0000），不發生進位的數有 個
所以，1到1999的自然數中與5678相加時，
至少發生一次進位的有 個。
答：至少發生一次進位的有1952個。
11．【答案】解：三位數共有： 個，
與456相加不產生進位的數，它的百位可能取1、2、3、4、5共5種可能，十位數可以取0、1、2、3、4共5種可能，個位數可以取0、1、2、3共4種可能，
根據乘法原理，一共有 個數，
所以與456相加產生進位的數一共有 個數。
答：產生進位的數有800個。
12．【答案】解：根據比賽規則，可得
=
=315（種）
答： 可以得到315種實質不同的比賽安排表
13．【答案】解：針對兩名英語、日語都精通人員（以下稱多面手）的參考情況分成三類：
⑴多面手不參加，則需從 名英語翻譯員中選出 人，有 種選擇，需從 名日語翻譯員中選出 人，有 種選擇。由乘法原理，有 種選擇。
⑵多面手中有一人入選，有 種選擇，而選出的這個人又有參加英文或日文翻譯兩種可能：
如果參加英文翻譯，則需從 名英語翻譯員中再選出 人，有 種選擇，需從 名日語翻譯員中選出 人，有 種選擇。由乘法原理，有 種選擇；
如果參加日文翻譯，則需從 名英語翻譯員中選出 人，有 種選擇，需從 名日語翻譯員中再選出 名，有 種選擇。由乘法原理，有 種選擇。根據加法原理，多面手中有一人入選，有 種選擇。
⑶多面手中兩人均入選，對應一種選擇，但此時又分三種情況：
①兩人都譯英文；②兩人都譯日文；③兩人各譯一個語種。
情況①中，還需從 名英語翻譯員中選出 人，有 種選擇。需從 名日語翻譯員中選 人， 種選擇。由乘法原理，有 種選擇。
情況②中，需從 名英語翻譯員中選出 人，有 種選擇。還需從 名日語翻譯員中選出 人，有 種選擇。根據乘法原理，共有 種選擇。
情況③中，兩人各譯一個語種，有兩種安排即兩種選擇。剩下的需從 名英語翻譯員中選出 人，有 種選擇，需從 名日語翻譯員中選出 人，有 種選擇。由乘法原理，有 種選擇。
根據加法原理，多面手中兩人均入選，一共有 種選擇。
綜上所述，由加法原理，這樣的分配名單共可以開出 張。
答：分配名單共可以開出185張。
14．【答案】解： （種）
答：有1260種不同的射法。
15．【答案】（1）解：
一共有選派方法 種
答： 有3名內科醫生和2名外科醫生有120種選法。
（2）解：、 、
一共有 種既有內科醫生又有外科醫生的選派方法。
答： 既有內科醫生，又有外科醫生有246種選法。
（3）解：
一共有 種選派方法。
答： 至少有一名主任參加 有196種選法。
（4）解：兩類討論：
①若選外科主任，
②若不選外科主任，則必選內科主任，且剩余 人不能全選內科醫生，用“排除法”有 種選取法。
根據加法原理，一共有 種選派方法。
答： 既有主任，又有外科醫生 有191種選法。
16．【答案】（1）解：相當于從 名學生中任意選 名，不同的選法有 （種）
答： 4名男生，3名女生中選出名代表 有35種選法。
（2）解：“至少有一名女生”的不同選法可以分成三類：
①選 名女生，選 名男生。由乘法原理，有 （種）選法；
②選 名女生，選 名男生。由乘法原理，有 （種）選法；
③選 名女生，男生不選，有 種選法。
根據加法原理，“至少有一名女生”的不同選法有 （種）。
答：“至少有一名女生”的不同選法共有31種選法。
（3）解：“代表中男、女生都要有”，可以分成兩類：
① 名男生， 名女生，由乘法原理，有 （種）選法；
② 名男生， 名女生，由乘法原理，有 （種）選法。
根據加法原理，“代表中男、女生都要有”的不同選法共有 （種）
答 “代表中男、女生都要有”的不同選法共有30種選法。
17．【答案】解：
首先，確定兒童不能乘坐的船：由于有兒童乘坐的游船上必須至少有1個成人陪同，所以兒童不能乘坐C船。
計算所有人都不乘坐C船的情況：
若這5人都不乘坐C船，則恰好坐滿A、B兩船。
①若兩個兒童在同一條船上，只能在A船上，此時A船上還必須有1個成人，有=3種方法；
②若兩個兒童不在同一條船上，即分別在A、B兩船上，則B船上有1個兒童和1個成人，1個兒童有=2種選擇，1個成人有=3種選擇，所以有2×3=6種方法。
故5人都不乘坐C船有3+6=9種安全方法。
計算有人乘坐C船的情況：
若這5人中有1人乘坐C船，這個人必定是個成人，有=3種選擇。
其余的2個成人與2個兒童，
①若兩個兒童在同一條船上，只能在A船上，此時A船上還必須有1個成人，有=2種方法，所以此時有3×2=6種方法；
②若兩個兒童不在同一條船上，那么B船上有1個兒童和1個成人，此時1個兒童和1個成人均有=2種選擇，所以此種情況下有3×2×2=12種方法；
故5人中有1人乘坐C船有6+12=18種安全方法。
計算總的安全乘船方法：
所以，共有9+18=27種安全乘法。
答： 安全乘船方法共有27種。
18．【答案】解：按掛旗的面數來分類考慮。
第一類：掛一面旗。從藍、黃、紅中分別取一面，可以表示 種不同信號；
第二類：掛兩面旗。按顏色分成：紅 黃（2種）；紅 藍（2 種）；黃 藍（2 種）；黃 黃（ 種）；藍 藍（ 種）；共8 種；
第三類：掛三面旗。按顏色分類：紅 藍 藍（3 種）；紅 黃 黃（3種）；紅 黃 藍（6種）；黃 黃 藍（3種）；黃 藍 藍（3種）；藍 藍 藍（ 種）；共19 種；
第四類：掛四面旗。按顏色分類：紅 黃 黃 藍（ 種）；紅 黃 藍 藍（ 種）；紅 藍 藍 藍（4 種）；黃 黃 藍 藍（ 種）；黃 藍 藍 藍（4 種），共 種；
第五類：掛五面旗。按顏色分類：紅 黃 黃 藍 藍（ 種）；紅 黃 藍 藍 藍（ 種）；黃 黃 藍 藍 藍（ 種），共 種；
第六類：掛六面旗。紅 黃 黃 藍 藍 藍（ 種）。
根據加法原理，共可以表示 種不同的信號。
答： 這些旗能表示188種不同信號。
19．【答案】（1）解：分三類：
①有 個頂點在共線的 點中，另 個頂點在不共線的 點中的三角形有
個；
②有 個頂點在共線的 點中，另 個頂點在不共線的 點中的三角形有
（個）；
③ 個頂點都在不共線的 點中的三角形有 個。
根據加法原理，可確定 個三角形。
答： 可確定200個三角形.
（2）解：兩點可以確定兩條射線，分三類：
①共線的 點，確定 條射線；
②不共線的 點，每兩點確定兩條射線，共有 （條）射線；
③從共線的 點與不共線的 點中各取一個點可以確定 （條）射線。
根據加法原理，可以確定 （條）射線。
答： 可確定112條射線
20．【答案】解：
（種）。
答： 一共有2520種不同的排隊方法
21．【答案】解：先考慮在 個數位上選 個數位放 ，這兩個 的順序無所謂，故是組合問題，有 （種）選法；再從剩下的 個數位上選 個放 ，有 （種）選法；剩下的 個數位放 ，只有 種選法。
由乘法原理，這樣的六位數有 （個）。
在前一問的情況下組成的 個六位數中，首位是 、 、 的各 個。如果將 全部換成 ，這 個首位是 的數將不是六位數，所以可以組成互不相同的六位數 （個）。
答： 用2個1，2個2，2個3可以組成90個互不相同的六位數
用個，個，個可以組成60個互不相同的六位數
22．【答案】解：第一階段中，每個小組內部的 個人每 人要賽一場，組內賽 場，共 個小組，有 場；
第二階段中，每個小組內部 人中每 人賽一場，組內賽 場，共 個小組，有 場；
第三階段賽 場。
根據加法原理，整個賽程一共有 場比賽。
答： 整個賽程一共需要進行148場比賽
23．【答案】解：10個編號中 奇 偶，要使 個球的編號之和為奇數，有以下三種情形：
⑴5奇1偶，
這時對奇數只有 種選擇，對偶數有 種選擇。由乘法原理，有 （種）
⑵ 奇 偶，
這時對奇數有 （種），
對偶數也有 （種），
由乘法原理，有 （種）。
⑶1奇5偶，這時對奇數有 種選擇，對偶數只有 種選擇。由乘法原理，
有 （種）
由加法原理，共有不同的摸法有 （種）。
答： 不同的摸法種數是110種。
24．【答案】解：設第n次傳球后球傳到甲的手中的方法有 種。
由于每次傳球有4種選擇，傳n次有 次可能。
其中有的球在甲的手中，有的球不在甲的手中，球在甲的手中的有 種，球不在甲的手中的下一次傳球都可以將球傳到甲的手中，故有 種。
所以 。
由于 ，所以
，
，
。
即經過4次傳球后，球仍回到甲手中的傳球方法有52種。
25．【答案】（1）8；36；52；24
（2）8；4(a-2)+4(b-2)+4(c-2)；(a-2)(b-2)(c-2)
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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