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2025-2026學年上學期小學數學奧數專項《雀巢問題（抽屜原理）》通用版
一、單選題
1．下面描述正確的是(　　)。
①一個三角形至少有兩個角是銳角。
②15個小朋友中至少有3個小朋友是同一個月出生的。
③用98粒黃豆做發芽實驗，結果全部發芽，發芽率是98%。
④甲數的 等于乙數的 ，則甲乙兩數之比為2：3。
A．①③ B．①④ C．②④ D．②③
2．下面說法正確的有 (　　)個。
①男生比女生多 25%，就是女生比男生少
②學校舞蹈隊共有26名隊員，至少有3名隊員在同一個月過生日。
③和y成反比例。x
④已知x+2y+1=6， 則3x+6y+3=18。
A．1 B．2 C．3 D．4
3．下列說法正確的是（　　）。
A．奇奇拋硬幣實驗，前9次實驗5次正面朝上4次反面朝上，第10次一定反面朝上。
B．用四張數字卡片組成不同的四位數，組成的偶數和奇數同樣多。
C．六(2)班有45人，總有一個月至少有4人過生日。
D．10個零件中有1個是次品(次品重一些)，用一架無砝碼天平最少稱4次保證找出次品。
4．某地今年五月份的天氣有晴、陰、多云、小雨、中雨五種情況，那么至少有(　　)天的天氣情況是相同的。
A．5 B．6 C．7 D．8
二、判斷題
5．某地2019年4月有31個小孩出生，至少有2個小孩在同一天出生。(　　)
三、填空題
6．學校慶祝“六一”活動，準備了紅、黃、藍三種顏色和太陽、月亮兩種形狀的氣球，每位同學從顏色和形狀中各選一種自由搭配。六(2)班有43名同學，至少有　 　名同學選擇的氣球搭配完全相同。
7．箱子中有質地、型號完全相同的紅、黃、白三種顏色的襪子各8只。至少拿出　 　只，可以保證湊成兩雙顏色不相同的襪子。
8．端午節這天，老人會給孩童的足腕拴五彩繩。盒子里有26條帶白色珠子的五彩繩，20條帶粉色珠子的五彩繩，22條帶紅色珠子的五彩繩，至少拿出　 　條，才能保證拿到6條帶粉色珠子的五彩繩。
9．收納袋中裝有黑、白、灰、藍四種顏色的襪子各12只，這些襪子除顏色外都相同。要從中摸出不同顏色的襪子，至少要摸　 　只襪子；要從中摸出一雙顏色相同的襪子，至少要摸　 　只襪子。
10．我國的手機號碼都是十一位數，一個手機號碼中至少有　 　個數字是相同的。
11．把一堆書放進11個抽屜里，不管怎么放總有一個抽屜里至少有5本書，那么這堆書最少有　 　本；一枚1元硬幣約重6克。照這樣計算，1億枚1元硬幣約重　 　噸。
四、解決問題
12．有黑、白、灰三種顏色的襪子各3雙(顏色相同的2只為一雙)，把它們混放在一個口袋里，如果要從口袋里取出襪子。
（1）至少要取出多少只，才能保證取出一雙襪子
（2）至少要取出多少只，才能保證有3種不同顏色的襪子
（3）再在口袋里放入6只黑襪子、4只白襪子、1只灰襪子，此時，至少要取出多少只，才能保證有8只顏色相同的襪子
13．張老師將撲克牌游戲與數學課堂融合，讓學生在游戲中增長智慧，掌握數學知識。一副撲克牌，取出大、小王，還剩52張牌。
（1）本題中的隱含條件有：剩下的撲克牌一共有　 　種花色，每種花色各有　 　張。
（2）至少要抽出　 　張牌，才能保證抽出的牌中一定有3張牌上的數相同。
（3）若抽出10張牌，則至少有3張牌是同花色的。為什么？
（4）至少要抽出多少張牌，才能保證抽出的牌中一定有2張方片？
14．有5050張數字卡片，其中一張上寫著1，2張上寫著2，3張上寫著3，…，100張上寫著100。現在要從中抽取若干張，為了確保抽出的卡片中至少有10張以上的數字完全相同，至少要抽取多少張卡片？
15．在某校六年級舉辦的巴黎奧運會知識比賽中，有14名同學獲獎，這14名同學來自3個班級。小新說：“至少有 6名同學來自同一班級。”小新說的對嗎？為什么？
16．端午節，小新和爸爸、媽媽一起去外婆家過節。外婆端過來一盤粽子，正準備吃的時候，一旁的舅舅說：“小新，盤子里有鮮肉、蜜棗、豆沙三種口味的粽子共10個，其中豆沙粽的個數是蜜棗粽的3倍，我隨機拿出5個，其中至少有1個是鮮肉粽，你知道這三種口味的粽子各有多少個嗎？”小新想了想，很快給出了正確的結果。你能說說小新是怎么推算出來的嗎？
17．下面10張卡片，至少取出多少張才能保證既有質數卡片，又有合數卡片？
18．任給六個數字，一定可以通過加、減、乘、除、括號，將這六個數組成一個算式，使其得數為105的倍數．
19．證明：在任意的6個人中必有3個人，他們或者相互認識，或者相互不認識．
20．任給11個數，其中必有6個數，它們的和是6的倍數．
21．假設在一個平面上有任意六個點，無三點共線，每兩點用紅色或藍色的線段連起來，都連好后，問你能不能找到一個由這些線構成的三角形，使三角形的三邊同色？
22．把1、2、3、…、10這十個數按任意順序排成一圈，求證在這一圈數中一定有相鄰的三個數之和不小于17．
23．平面上有17個點，兩兩連線，每條線段染紅、黃、藍三種顏色中的一種，這些線段能構成若干個三角形．證明：一定有一個三角形三邊的顏色相同．
24．圓周上有 個點，在其上任意地標上 （每一點只標一個數，不同的點標上不同的數）．證明必然存在一點，與它緊相鄰的兩個點和這點上所標的三個數之和不小于
25．20道復習題，小明在兩周內做完，每天至少做一道題．證明：小明一定在連續的若干天內恰好做了7道題目．
五、解答題
26． 一個盒子里裝有50個大小相同顏色不同的小球，小柯閉著眼睛從里面摸球。已知：
①至少摸8個球，才能保證其中一定有3個顏色一樣的球；
②至少摸35個球，才能保證其中一定有紅色球；
③至少摸40個球，才能保證其中一定有3種顏色不同的球。
那么，不同顏色的球的數量最多相差多少個
27．如下圖① ，、、、四只小盤拼成一個環形，每只小盤中放若干糖果，每次可取出1只、或3只、或4只盤中的全部糖果，也可取出2只相鄰盤中的全部糖果.要使1至13粒糖果全能取到，四只盤中應各有（　　）粒糖果，把各只盤中糖果的粒數填在下圖②中。
28．將全體自然數按照它們個位數字可分為10類：個位數字是1的為第1類，個位數字是2的為第2類，…，個位數字是9的為第9類，個位數字是0的為第10類。
（1）任意取出6個互不同類的自然數，其中一定有2個數的和是10的倍數嗎？
（2）任意取出7個互不同類的自然數，其中一定有2個數的和是10的倍數嗎？如果一定，請煎藥說明理由；如果不一定，請舉出一個反例。
答案解析部分
1．【答案】B
2．【答案】C
3．【答案】B
4．【答案】C
5．【答案】正確
6．【答案】8
7．【答案】11
8．【答案】54
9．【答案】13；5
10．【答案】2
11．【答案】45；600
12．【答案】（1）解：3+1=4(只)
答：至少要取出4只，才能保證取出一雙襪子。
（2）解：3×2=6(只)
6×2+1=13(只)
答：至少要取出13只，才能保證有3種不同顏色的襪子。
（3）解：黑：6+6=12(只)
白：6+4=10(只)
灰：6+1=7(只)
7×3+1=22(只)
答：至少要取出22只，才能保證有8只顏色相同的襪子。
13．【答案】（1）4；13
（2）27
（3）因為一共有4種花色，從最不利的角度考慮，前4張牌抽到4種不同花色，第5到第8張牌也抽到4種不同花色，此時每種花色都抽到2張牌，第9張牌抽到的一定是4種花色中的一種，所以至少有2+1=3(張)牌是同花色的。
（4）13×(4-1)+2=41(張)
答：至少要抽出41張牌，才能保證抽出的牌中一定有2張方片。
14．【答案】解：根據題意，可得
（1+2+3+4+...+9）+ （110-10+1）×9+1
=（1+9）×9÷2+（110-10+1）×9+1
=10×9÷2+91×9+1
=45+819+1
=865（張）
答：至少要抽取865張卡片。
15．【答案】解：不對。理由如下：
14÷3=4(名)……2(名)
4+1=5(名)
所以小新說的不對，至少有5名同學來自同一班級。
16．【答案】解：隨便拿出5個，其中至少有1個鮮肉粽，那么其他兩種口味的粽子共有 4個，所以鮮肉粽有10-4=6(個)。
又因為豆沙粽的個數是蜜棗粽的3倍，所以蜜棗粽有 4÷(1+3)=1(個)，豆沙粽有4-1=3(個)。
答：鮮肉粽有6個，蜜棗粽有1個，豆沙粽有3個。
17．【答案】質數有2，3，5，7，共4張；合數有4，6，8，9，10，共5張；1 既不是質數也不是合數。
從最不利考慮，首先取出的全部是合數（5張），第6張是1，因為非質數全部取完，再取一張，只能四質數了。
5+1+1=7(張)。
答：至少取出 7 張才能保證既有質數卡片，又有合數卡片。
18．【答案】解：105=3×5×7，可以將式子寫成 的形式，若六個數字里有7的倍數，那么第一個括號里直接做乘法即可得到7的倍數；若沒有7的倍數，則除以7的余數最大為6，最小為1，分為三類：①余數為1或者6；②余數為2或者5；③余數為3或者4.那么六個數字分別除以7必定有余數相同的兩個數，那么它們的差一定是7的倍數；若沒有余數相同的數，則一定有兩個數的余數屬于上面三類中的一類，那么它們的和一定是7的倍數.同理：在剩下的四個數中可以找到5和3的倍數.則將這六個數組成一個算式，一定能使其得數為105的倍數.
19．【答案】解：把這6個人看作6個點，每兩點之間連一條線段，兩人相互認識的話將線段涂紅色，兩人不認識的話將線段涂上藍色，那么只需證明其中有一個同色三角形即可．從這6個點中隨意選取一點 ，從 點引出的5條線段，根據抽屜原理，必有3條的顏色相同，不妨設有3條線段為紅色，它們另外一個端點分別為 、 、 ，那么這三點中只要有兩點比如說 、 之間的線段是紅色，那么 、 、 3點組成紅色三角形；如果 、 、 三點之間的線段都不是紅色，那么都是藍色，這樣 、 、 3點組成藍色三角形，也符合條件．所以結論成立．
20．【答案】解：設這11個數為 ， ， ，……， ，由5個數的結論可知，在 ， ， ， ， 中必有3個數，其和為3的倍數，不妨設 ；在 ， ， ， ， 中必有3個數，其和為3的倍數，不妨設 ；在 ， ， ， ， 中必有3個數，其和為3的倍數，不妨設 ．又在 ， ， 中必有兩個數的奇偶性相同，不妨設 ， 的奇偶性相同，那么 是6的倍數，即 ， ， ， ， ， 的和是6的倍數．
21．【答案】解：從這6個點中隨意選取一點 ，從 點引出的5條線段，根據抽屜原理，必有3條的顏色相同，不妨設有3條線段為紅色，它們另外一個端點分別為 、 、 ，那么這三點中只要有兩點比如說 、 之間的線段是紅色，那么 、 、 3點組成紅色三角形；如果 、 、 三點之間的線段都不是紅色，那么都是藍色，這樣 、 、 3點組成藍色三角形，也符合條件．所以結論成立．
22．【答案】解：把這一圈從某一個數開始按順時針方向分別記為 、 、 、…、 ．相鄰的三個數為一組，有 、 、 、…、 、 共10組．
這十組三個數之和的總和為：
， ，根據抽屜原理，這十組數中至少有一組數的和不小于17．
23．【答案】解：從這17個點鐘任取一個點 ，把 點與其它16個點相連可以得到16條線段，根據抽屜原理，其中同色的線段至少有6條，不妨設為紅色．考慮這6條線段的除 點外的6個端點：（1）如果6個點兩兩之間有1條紅色線段，那么就有1個紅色三角形符合條件；（2）如果6個點之間沒有紅色線段，也就是全為黃色和藍色，由上面的2題可知，這6個點中必有3個點，它們之間的線段的顏色相同，那么這樣的三角形就符合條件．綜上所述，一定存在一個三角形滿足題目要求．
24．【答案】解：把這一圈從某一個數開始按順時針方向分別記為 、 、 、…、 ．相鄰的三個數為一組，有 、 、 、…、 、 共 組．
這 組三個數之和的總和為：
， ，根據抽屜原理，這兩千組數中至少有一組數的和不小于2999．
25．【答案】解：設小明第1天做了 道題，前2天共做了 道題，前3天共做了 道題，……，前14天共做了 道題．顯然 ，而 ～ 都小于20．考慮 ， ， ，……， 及 ， ， ，……， 這28個數，它們都不超過27．
根據抽屜原理，這28個數中必有兩個數相等．由于 ， ， ，……， 互不相等， ， ， ，……， 也互不相等，因而這兩個相等的數只能一個在前一組，另一個在后一組中，即有： ，所以 ．這表明從第 天到第 天，小明恰好做了7道題．
26．【答案】解：由①可知，盒子中一定是以下3種情況之一：
有4種顏色的球，且恰有1種顏色只有1個球；
有5種顏色的球，且恰有3種顏色只有1個球；
有6種顏色的球，且恰有5種顏色只有1個球。
由②可知，紅色球有50-35+1=16(個)。
由③可知，顏色最多的兩種顏色的球共39個。
因此盒子中必有4種顏色的球，其中恰有1種顏色只有1個球，且紅球16個。
另外兩種顏色的球分別為50-1-39=10(個)和50-1-16-10=23(個)。
所以不同顏色的球數量最多相差23-1=22(個)。
答：不同顏色的球的數量最多相差22個。
27．【答案】解：取其中的1只盤中的全部糖果，有A、B、C、D四種情況，
取其中的3只盤中的全部糖果，有ABC、ABD、ACD、BCD四種情況，
取4只盤中的全部糖果，有ABCD一種情況，
取出2只相鄰盤中的全部糖果，有AB、BC、CD、DA四種情況，
所以一共有4+4+1+4=13種情況．
所以有兩種方法，如下圖
28．【答案】（1）解：由題意，可知，
1類和9類、2類和8類、3類和7類、4類和6類分別合并為4個抽屜，再把第5類、10類分別做兩個抽屜，共6個抽屜。
如果任意取6個互不同類的自然數，就不一定有兩個數的和是10的倍數，
比如：1、2、3、4、5、10這6個自然數中，任意兩個數的和都不是10的倍數。
（2）解：由（1）可知，將10類數分別看作6個抽屜，現任意取出7個互不同類的自然數，由抽屜原理可知至少要有1個抽屜要取兩個數，而這兩個數必須是不同類的，必須在前4個抽屜的1個抽屜中取2個不同類的數，可見這2個不同類的數之和是10的倍數。
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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