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2025-2026學年上學期小學數學奧數專項《容斥原理》通用版
一、填空題
1．看圖回答問題：
這個班共有　 　名同學，會下圍棋的有　 　名同學，只會下象棋的有　 　名同 學，兩種棋都會下的有　 　名同學。
2．三(1)班星期一安排的科目有語文、數學、英語、體育、美術，星期二安排的科目有語文、數學、英語、音樂、書法，兩天上的科目共有　 　科。
3．某地種植胡楊、沙棗樹和沙柳這三種樹。種植的胡楊和沙棗樹共占總棵數的，種植的沙棗樹和沙柳共占總棵數的 ，種植的沙棗樹占總棵數的 　 　。
4．某小區某單元共有50個住戶，現在報社向他們提供報紙訂閱送上門服務有人民日報、光明日報和財經報三種選擇，其中有40個住戶訂閱了人民日報，36個住戶訂購了光明日報，30個住戶訂購了財經報，人民日報和光明日報都訂閱的有28個住戶，人民日報和財經報都訂閱的有26個住戶，光明日報和財經報都訂閱的有24個住戶，人民日報、光明日報和財經報都訂閱的有20個住戶，則三種報紙都沒有訂閱的一共有　 　個住戶.
5．四（1）班有46人，其中會彈鋼琴的有30人，會拉小提琴的有28人，則這個班既會彈鋼琴又會拉小提琴的至少有　 　人。
6．在循環小數中類似于，等，循環節是從小數點右邊的第一位（即十分位）就開始的小數，叫做純循環小數，包括和在內，共有　 　個正整數，其倒數是循環節恰好為六位的純循環小數。
7．一個書架上有數學、語文、英語、歷史4種書共35本，且每種書的數量互不相同。其中數學書和英語書共有l6本，語文書和英語書共有17本：有一種書恰好有9本，這種書是　 　書。.
8．在一個自助果園里，只摘山莓者兩倍于只摘李子者；摘了草莓、山莓和李子的人數比只摘李子的人數多3個；只摘草莓者比摘了山莓和草莓但沒有摘李子者多4人；50個人沒有摘草莓；11個人摘了山莓和李子但沒有摘草莓；總共有60人摘了李子.如果參與采摘水果的總人數是100，你能回答下列問題嗎？
⑴ 有　 　人摘了山莓；
⑵ 有　 　人同時摘了三種水果；
⑶ 有　 　人只摘了山莓；
⑷ 有　 　人摘了李子和草莓，而沒有摘山莓；
⑸有　 　人只摘了草莓.
9．全班有個學生，其中人會騎自行車，人會游泳，人會滑冰，這三個運動項目沒有人全會，至少會這三項運動之一的學生數學成績都及格了，但又都不是優秀．若全班有個人數學不及格，那么
（1）數學成績優秀的有幾個學生？
（2）有幾個人既會游泳，又會滑冰？
二、解決問題
10．家庭大掃除。
笑笑和爸爸清掃墻面，把一根長1米5分米的木棍和雞毛撣子綁起來(如圖)，接頭處長10厘米，雞毛撣子長多少分米
11．“火樹銀花合，星橋鐵鎖開”是唐代詩人蘇味道的《正月十五夜》中的名句，描寫了元宵之夜的歡樂景象。龍龍一家在元宵節當天逛廟會猜燈謎，龍龍猜對了22個，爸爸猜對了13個，爸爸猜對的有8個和龍龍是一樣的。爸爸和龍龍一共猜對了多少個？
12．一盔一帶，安全出行。三(1)班全體同學去社區、路口和廣場做宣傳志愿者，有25人去了社區宣傳，有17人去了路口宣傳，其中既去了社區又去了路口宣傳的有 10人，剩下的13人都只去了廣場宣傳。三(1)班一共有多少人？
13．在1至2008這2008個自然數中，恰好是3、5、7中兩個數的倍數的數共有多少個？
14．盛夏的一天，有個同學去冷飲店，向服務員交了一份需要冷飲的統計表：要可樂、雪碧、橙汁的各有人；可樂、雪碧都要的有人；可樂、橙汁都要的有人；雪碧、橙汁都要的有人；三樣都要的只有人，證明其中一定有人這三種飲料都沒有要。
15．三個面積均為平方厘米的圓紙片放在桌面上（如圖），三個紙片共同重疊的面積是平方厘米。三個紙片蓋住桌面的總面積是厘米。問：圖中陰影部分面積之和是多少？
16．四年級一班有46名學生參加3項課外活動。其中有24人參加了數學小組，20人參加了語文小組，參加文藝小組的人數是既參加數學小組也參加文藝小組人數的3.5倍，又是3項活動都參加人數的7倍，既參加文藝小組也參加語文小組的人數相當于3項都參加的人數的2倍，既參加數學小組又參加語文小組的有10人。求參加文藝小組的人數。
17．某學校派出若干名學生參加體育競技比賽，比賽一共只有三個項目，已知參加長跑、跳高、標槍三個項目的人數分別為10、15、20人，長跑、跳高、標槍每一項的的參加選手中人中都有五分之一的人還參加了別的比賽項目，求這所學校一共派出多少人參加比賽？
18．如圖所示，、、分別是面積為、、的三張不同形狀的紙片，它們重疊在一起，露在外面的總面積為。若與、與的公共部分的面積分別為、，、、這三張紙片的公共部分為。求與公共部分的面積是多少？
19．一個由125個同樣的小正方體組成的大正方體，從這個大正方體中抽出若干個小正方體，把大正方體中相對的兩面打通，右圖就是抽空的狀態．右圖中剩下的小正方體有多少個？
20．一次數學測驗，甲答錯題目總數的，乙答錯3道題，兩人都答錯的題目是題目總數的。求甲、乙都答對的題目數.
21．小曲調查了全班最喜歡閱讀的三種讀物情況，有的同學參與了調查。最喜歡歷史類和科普類的人數占調查人數的，最喜歡科普類和文學類的人數占調查人數的，最喜歡科普類的人數占調查人數的幾分之幾？
（1）樂樂的解法正確嗎？若正確，請寫出每個算式所求內容，若錯誤，請改正。
樂樂的解法：……（　　）
……（　　）
（2）你還會用其他方法解決這個問題嗎？請在下面寫一寫。
22．一根米長的木棍，從左端開始每隔2厘米畫一個刻度，涂完后再從左端開始每隔3厘米畫一個刻度，再從左端每隔5厘米畫一個刻度，再從左端每隔7厘米畫一個刻度，涂過按刻度把木棍截斷，一共可以截成多少段小木棍？
23．50名同學面向老師站成一行。老師先讓大家從左至右按1，2，3，…，49，50依次報數；再讓報數是4的倍數的同學向后轉，接著又讓報數是6的倍數的同學向后轉。問：現在面向老師的同學還有多少名？
24．以105為分母的最簡真分數共有多少個？它們的和為多少？
答案解析部分
1．【答案】41；28；13；10
2．【答案】7
3．【答案】
4．【答案】2
5．【答案】12
6．【答案】53
7．【答案】英語
8．【答案】58；16；26；20；9
9．【答案】（1）解：有個數學不及格，那么及格的有：(人)，即最多不會超過人會這三項運動之一．
而又因為沒人全會這三項運動，那么，最少也會有：(人)至少會這三項運動之一．
于是，至少會三項運動之一的只能是人，而這人又不是優秀，說明全班人中除了人外，剩下的名不及格，所以沒有數學成績優秀的．
答： 數學成績優秀的有0個學生。
（2）解：及格的人中，每人都會兩項運動：會騎車的一定有一部分會游泳，一部分會滑冰；會游泳的人中若不會騎車就一定會滑冰，而會滑冰的人中若不會騎車就一定會游泳，但既會游泳又會滑冰的人一定不會騎自行車．
(人)
答：有2個人既會游泳又會滑冰．
10．【答案】解：2米=20分米，1米5分米=15分米， 10厘米=1分米
20-15+1=6(分米)
答：雞毛撣子長6分米。
11．【答案】解：22+13-8=27(個)
答：爸爸和龍龍一共猜對了27人。
12．【答案】解：25+17-10+13
=32＋13
=45(人)
答：三(1)班一共有45人。
13．【答案】228
14．【答案】解：10-[5×3-（3+2+2）+1]
=10-9
=1（人）
所以，其中一定有1人這三種飲料都沒有要。
15．【答案】解：50×3-100-10×2
=150-100-20
=30（平方厘米）
答：圖中陰影部分面積之和是30平方厘米。
16．【答案】解：設參加文藝小組的人數是x人。
（24+20+x）-（++10）+=46
34+x=46
x=12
x=21
答：參加文藝小組的人數是21人。
17．【答案】解：10×=2（人）
15×=3（人）
20×=4（人）
設只參加長跑和跳高的人數為x，只參加長跑和標槍的人數為y，只參加標槍和跳高的有z人，三項都參加的有n人，
將3個等式相加，得到2（x+y+z）+3n=9，
那么n必須是奇數，所以，n只能是1或3、5、7……，
如果n≥3時，x、y、z中會出現負數，所以n=1，這樣可以求得x=0，y=1，z=2。
（10+15+20）-（0+1+2）-2×1=40（人）
答：這所學校一共派出40人參加比賽。
18．【答案】解：設A與C公共部分的面積為x，
（12+28+16）-（8+7+x）+3=38
56-15-x+3=38
44-x=38
x=6
答：A與C公共部分的面積為6。
19．【答案】解：由正面圖形抽出的小正方體有個，由側面圖形抽出的小正方體有個，由底面圖形抽出的小正方體有個，正面圖形和側面圖形重合抽出的小正方體有個，正面圖形和底面圖形重合抽出的小正方體有個，底面圖形和側面圖形重合抽出的小正方體有個，三個面的圖形共同重合抽出的小正方體有4個．根據容斥原理，，所以共抽出了52個小正方體．，所以右圖中剩下的小正方體有73個．
答：右圖中剩下的小正方體有73個。
20．【答案】解：由題意可知，一共有12道題
12×=3（道）
12-3=9（道）
12×（1-）=10（道）
9+9-10=8（道）
答：求甲、乙都答對8道。
21．【答案】（1）解：樂樂的解法：（最喜歡歷史類、科普類和科普類、文學類的人數占調查人數的幾分之幾）
（最喜歡科普類的人數占調查人數的幾分之幾 ）
（2）解：
答：最喜歡科普類的人數占調查人數的。
22．【答案】139
23．【答案】解：50÷4=12……2
50÷6=8……2
4和6的倍數是12的倍數
50÷12=4……2
12+8-4=16（人）
50-16=34（人）
答：現在面向老師的同學還有34名。
24．【答案】解：105=3×5×7（個）
105÷3=35（個）
105÷5=21（個）
105÷7=15（個）
105÷（3×5）=7（個）
105÷（3×7）=5（個）
105÷（5×7）=3（個）
105÷（3×5×7）=1（個）
105-35-21-15+7+5+3-1=48（個）
48÷2=24
答：以105為分母的最簡真分數共有48個，它們的和為24。
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