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2025-2026學(xué)年上學(xué)期小學(xué)數(shù)學(xué)奧數(shù)專項《標(biāo)數(shù)法（最短路線））》通用版
一、單選題
1．如圖所示的正方體中，Q，R，S是棱PB上的點，一只螞蟻從A點出發(fā)，沿著正方體的側(cè)面爬行，經(jīng)過PB上一點，爬行到C點，若此螞蟻所爬行的路線最短，那么P，Q，R，S四個點中，它最有可能經(jīng)過的點是(　　)。
A．P B．Q C．R D．S
2．某街道分布示意圖如圖所示，一個居民從A處前往B處，若規(guī)定只能走從左到右或從上到下的方向，這樣該居民共有可選擇的不同路線條數(shù)是（　　）
A．119 B．121 C．123 D．125
二、填空題
3．如圖，8個單位正方體拼成大正方體，沿著面上的格線，從A到B的最短路線共有　 　條。
4．蜜蜂王國為了迎接2010年春節(jié)的到來，特地筑了一個蜂巢如下．每個正六邊形蜂窩中，有由蜂蜜凝結(jié)而成的數(shù)字0、1或2．春節(jié)到來之時，群蜂將在巢上跳起舞步，舞步的每個節(jié)拍恰好走過的四個數(shù)字：2010（從某個2出發(fā)最后走完四步后又回到2，如圖中箭頭所示為一個舞步），且蜜蜂每一步都只能從一個正六邊形移動到與之有公共邊的正六邊形上．蜜蜂要經(jīng)過四個正六邊形且所得數(shù)字依次為2010，共有　 　種方法．
5．如圖，用水平線或豎直線連結(jié)相鄰漢字，沿著這些線讀下去，正好可以讀成“我愛學(xué)而思”，那么可讀成“我愛學(xué)而思”的路線有　 　條．
6．如圖為一幅街道圖，從出發(fā)經(jīng)過十字路口，但不經(jīng)過走到的不同的最短路線有　 　條.
7．一個正在行進的8人隊列，每人身高各不相同，按從低到高的次序排列，現(xiàn)在他們要變成并列的2列縱隊，每列仍然是按從低到高的次序排列，同時要求并排的每兩人中左邊的人比右邊的人要矮，那么，2列縱隊有　 　種不同排法。
8．奇奇要從A處前往B處的圖書館歸還圖書，若他只能向北走或向東走，則他一共有　 　種前往方式。
9．如圖為某街區(qū)平面圖，相鄰兩點間連接的長度均為1。甲從A地出發(fā)去B地，乙從B地出發(fā)去A地，兩人同時出發(fā)，沿格線走最短路徑到達目的地。如果乙的速度為甲的2倍，那么兩人會在途中相遇的路線共有　 　種。
10．（最短路線問題）如圖，8個單位正方體拼成大正方體，沿著面上的格線，從A到B的最短路線共有　 　條。
11．如圖，每個小正方形的邊長為10km，圖中有5個加油站。一輛小汽車從A地出發(fā)沿小正方形的邊前往B地，若小汽車每走30km就需要加油一次，那么小汽車有　 　條到達B地的最短路線。
三、解決問題
12．學(xué)學(xué)和思思一起洗個互不相同的碗（順序固定），思思洗好的碗一個一個往上摞，學(xué)學(xué)再從最上面一個一個地拿走放入碗柜摞成一摞，思思一邊洗，學(xué)學(xué)一邊拿，那么學(xué)學(xué)摞好的碗一共有　 　種不同的摞法．
13．如圖，16個邊長為1 的小正方形組成的大正方形ABCD，我們把小正方形的頂點都稱為格點。
（1）點G是 AB 邊上距離點 A 最近的格點，直線GH把正方形ABCD 分成面積比為4：5 的兩部分，請求出 DH 的長； (寫出必要過程)
（2）E，F(xiàn) 是兩個固定格點，請選個格點P，使得三角形 PEF 為等腰三角形，則這樣的格點P有　 　個。
（3）螞蟻要沿著小正方形的邊從點 A 出發(fā)爬到點 C，只能向右或向上爬，則共有　 　種不同的路徑。
14．如圖，81個邊長為1的小正方形組成正方形ABCD，我們把小正方形的頂點都稱為格點。
（1）若在正方形ABCD的四個角處都剪掉四個相等的小正方形后，剩余部分恰好能折疊成一個無蓋的正方體，求出該正方體的體積。
（2）螞蟻要沿著小正方形的邊從點A出發(fā)爬到點C，只能向右或向上爬，速度是每秒鐘爬兩個單位，請說明：螞蟻爬達終點的時間是否會隨著爬行路徑的不同而發(fā)生變化？若發(fā)生變化，說明理由；若不發(fā)生變化，求出這個時間。
（3）真真和誠誠利用該正方形ABCD做游戲，規(guī)定從A點出發(fā)，每次只能沿小正方形的邊向右或向上走，每次只能走1個或兩個單位長度，誰先到達C點誰獲勝。真真先走，誠誠后走。請問：兩個同學(xué)中誰有必勝把握？怎樣操作才能必勝？
15．如圖為一個階梯的縱截面，一只老鼠沿長方形的兩邊A→B→D路線逃跑，一只貓同時沿階梯（折線）
A→C→D的路線去捉，結(jié)果在距離點C 1.5米的D處，貓捉住了老鼠，已知老鼠的速度是貓的，問階梯A→C的長度是多少米？
16．在m行n列的網(wǎng)格中，規(guī)定：由上而下的橫行依次為第1行，第2行，…，由左向右的豎列依次為第1列，第2列，…。點(a，b)表示位于第a行，第b列的格點，圖7是4行5列的網(wǎng)格。從點A(2，3)出發(fā)，按象棋中的馬走“日”字格的走法，可達到網(wǎng)格中的格點B(1，1)，C(3，1)，D(4，2)，E(4，4)，F(xiàn)(3，5)，G(1，5)，如果在9行9列的網(wǎng)格中(如圖)。從點(1，1)出發(fā)，按象棋中的馬走“日”字格的走法，求：
（1）能否到達網(wǎng)格中的每一個格點？
答：　 　。(填“能”或“不能”)
（2）如果能，那么沿最短路線到達某個格點，最多的需要幾步？這樣的格點有幾個？寫出它們的位置。如果不能，請說明理由。
17．下圖是一個商場的平面圖，顧客可以從六個門進出商場（陰影部分為各商品部，空白處為通道），請你設(shè)計一種能夠一次走遍各通道而又不必走重復(fù)路線的進出方法。
18．下圖是一公園的平面圖，要使游客走遍每一條路且不重復(fù)，問出入口應(yīng)設(shè)在哪里
19．下圖為某城市的街道示意圖，c處正在挖下水道，不能通車，從A到B處的最短路線共有多少條
20．如圖所示，從甲地到乙地，最近的道路有幾條
21．如圖，從P到Q共有多少種不同的最短路線
22．下圖是某城市的主要公路示意圖，今在C、D、E、F、G、H的各口修建立交橋，車輛不能通行，那么從A到B的最近路線共有幾條
四、計算題
23．有一圓柱形油罐底面的周長為13厘米，一只老鼠從距底面1厘米的A 處，爬行到對角的 B 處吃食物，它爬行的最短路線為多少厘米？
五、操作題
24．（如圖）前進村要挖一條水渠和小河相連，要使水渠最短，應(yīng)該如何挖？請在圖中畫出來。
25．李叔叔要挖一條水渠，把河里的水引到飼養(yǎng)場。怎樣設(shè)計可以使水渠最短，在圖中畫一畫。
答案解析部分
1．【答案】C
2．【答案】B
3．【答案】54
4．【答案】30
5．【答案】31
6．【答案】18
7．【答案】14
8．【答案】7
9．【答案】5100
10．【答案】54
11．【答案】24
12．【答案】42
13．【答案】（1）解：正方形ABCD：
梯形ADCG：
設(shè)DH為x，
解得x=
答：長。
（2）8
（3）70
14．【答案】（1）解：根據(jù)題意，可得
81=9×9
9=3×3
9-3×2=3
3×3×3=27
答：正方體的體積是27。
（2）解：根據(jù)題意，可得
（9+9）÷2
=18÷2
=9（秒）
答：爬到終點的時間不發(fā)生變化，始終是9秒。
（3）解：根據(jù)題意，可得
9+9=18
18÷（2+1）
=18÷3
=6
答：誠誠必勝，真真走1步，誠誠就走2步，真真走2步，誠誠走1步，誠誠每次和真真走的步數(shù)和為3，誠誠肯定先走到C點。
15．【答案】解：把樓梯的各條線段進行平移，可得AB+BC=樓梯A→C的總長；
設(shè)A→C的路程為x米，則貓行走的路程為x+1.5米，老鼠行走的路程為x-1.5米，
因為貓和老鼠行走的時間相同，且老鼠的速度是貓的，根據(jù)時間一定時，路程與速度成正比的性質(zhì)可得：
解得，
答： 階梯A→C的長度是16.5米
16．【答案】（1）能
（2）解：
最多需要6步
這樣的格點有4個
分別是(7，9)(8，8) (9，7) (9，9)
17．【答案】解：D→C→O→E→F→A→B→E→D→O→B→C。
。
18．【答案】出入口應(yīng)分別設(shè)在兩個奇點處，即A、B處。
19．【答案】
答：從A到B的最短路線有431條．
20．【答案】
答：從甲到乙最近的道路11條。
21．【答案】
答：從P到Q共有126條不同的最短路線．
22．【答案】
答：從A到B最短的路線有699條．
23．【答案】解：如圖，
將圓柱形油罐沿A 點豎直剪開。
則AB=10cm。
答： 它爬行的最短路線為10厘米
24．【答案】
25．【答案】
21世紀(jì)教育網(wǎng) www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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