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2025—2026學年度第一學期高三第一次月考試題
數 學
一、單選題：本題共8小題，每小題5分，滿分40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。
1．已知集合，，則（ ）
A． B． C． D．
2．已知復數，則（ ）
A．1 B．2 C． D．
3．已知銳角滿足，則（ ）
A． B． C． D．
4．已知函數(a＞0且a≠1) ，若，則（ ）
A．3 B．2 C．4 D．1
5．函數的部分圖象大致為（ ）
A． B．
C． D．
6．已知，則（ ）
A． B． C． D．
7．若，設，則的大小關系為（ ）
A． B． C． D．
8．已知函數,在處取得最小值，則 （ ）
A． B．1 C．3 D．
二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分。
9．下列說法正確的是（ ）
A．函數是奇函數且在單調遞增
B．函數的定義域為
C．若且，則
D．若，則
10．已知實數，且滿足，則（ ）
A． B．
C． D．
11．若函數圖象的一條對稱軸方程為，則（ ）
A． B．
C．圖象的一條對稱軸為直線 D．在上單調遞增
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，滿分15分。
12．小明同學在公園散步時，對公園的扇形石雕(如圖1)產生了濃厚的興趣，并畫出該扇形石雕的形狀(如圖2)，在扇形AOB中，∠AOB=，OA=10 cm，則扇形AOB的面積為 cm2.
13．已知函數 ，滿足對任意，都有成立，則a的取值范圍是 ．
14．設函數的定義域為，滿足．當時，，則函數最小正周期為 ；方程有且僅有 個實數解
四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
15.（本小題滿分13分）
已知數列的前項和，其中.
（1）求數列的通項公式；
（2）若對于任意正整數，都有，求實數的最小值.
16.（本小題滿分15分）
已知函數.
（1）求的單調遞增區間；
（2）把的圖象向左平移個單位長度，得到的圖象. 若的圖象關于直線對稱，求的最小值.
17.（本小題滿分15分）
如圖，在三棱錐P-ABC中，PA⊥平面ABC，AC⊥BC .
（1）求證：平面PAC⊥平面PBC；
（2）若AC=5，BC=12，三棱錐P-ABC的體積為 100，
求二面角A-PB-C的余弦值.
18.（本小題滿分17分）
已知函數.
（1）若，求曲線在點處的切線方程；
（2）當時，求的單調區間；
（3）若，求函數的零點個數.
19.（本小題滿分17分）
已知橢圓C：（a＞b＞0）的離心率為，短軸長為，F1, F2分別為橢圓的左右焦點，點A是橢圓C上一動點.
（1）求橢圓C的方程；
（2）已知直線與橢圓C交于P, Q兩點.
① 若P, Q中點的橫坐標為，求m的值；
② 已知點D(2,1)，直線DP, DQ與直線分別交于點 M , N，平面內是否存在一點H，使得四邊形DMHN為平行四邊形. 若存在，求出點H的坐標，若不存在，請說明理由.2025—2026學年度第一學期高三第一次月考答案
數 學
一、單選題：本題共8小題，每小題5分，滿分40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。
題號 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D D A C A B D A
二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分。
題號 9 10 11
答案 ABD BD BC
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，滿分15分。
12． 13． 14．8；6
四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
15．解：
（1）當時，， ………………3分
則， ………………5分
當時，，滿足上式，所以 ………………6分
（2）由 ………………8分
………………10分
………12分
所以，即的最小值為 ………………13分
16．解：
（1） ……………1分
……………3分
由 ……………5分
得 ……………6分
所以的單調遞增區間為 ……………7分
（2）由 (1) 知 ……………9分
若的圖象關于直線對稱,
則 ……………11分
所以 ……………13分
解得 ……………14分
因為，所以取，得的最小值為. ……………15分
17．解：
（1）證明：由題意得PA⊥平面ABC，因為平面ABC，所以PA⊥BC …3分
又因為AC⊥BC，平面PAC,所以BC⊥平面 PAC, ……5分
又因為平面PCB，所以平面PAC⊥平面PBC. ……6分
（2）因為 AC=5，BC=12，AC⊥BC，所以
又因為三棱錐P-ABC的體積為100，即得 ……8分
由題意可得以A為原點，分別以平行于BC，及AC, AP
所在直線為x,y,z軸建立空間直角坐標系，如圖, 則
令，得，則 ……11分
設平面PBC的一個法向量為，則
令，得，則 ……………13分
設二面角A-PB-C為，則14分
所以銳二面角A-PB-C的余弦值為 ……………15分
18．解：
（1）若，則，，x>0 ……………1分
所以， ……………3分
因此曲線在點處的切線方程為 ……………4分
（2），x>0
令，得 ……………5分
當0當a=1時，，單調遞增 ……………8分
當a>1時，，單調遞增 ……………10分
（3），x>0
令，得 ……………11分
所以當時，，單調遞減;
當時, ，單調遞增，
因此 ……………13分
當時, , 且 ……………14分
由 (2) 可知，存在，滿足,
又當且時, ……………16分
故有兩個零點. ……………17分
19．解：
（1）因為離心率為，所以, 故 ……………2分
所以，所以 ……………3分
故橢圓C的方程為 ……………5分
（2）①設， ,
由 ，得
由，得
， ……………7分
設PQ中點坐標為，則 ……………9分
因為在直線PQ上，所以，即 ……10分
所以，解得 ……………11分
②存在點使得四邊形DMHN為平行四邊形，
因為D(2,1)在橢圓上，所以易知，
設直線DM的方程為 ……………12分
令，得
同理得 ……………14分
又由①知
所以
………16分
所以線段MN的中點坐標為(3,0)
連接DH，則線段DH的中點坐標也為(3,0)，
由D(2,1)，可得 ，
所以點H的坐標為 ……………17分

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