資源簡介

2025年高三專項訓練：圓錐曲線中的探究性問題
一、單選題
1.已知曲線，對于命題：垂直于軸的直線與曲線有且只有一個交點；若，為曲線上任意兩點，則有下列判斷正確的是 ．
A. 和均為真命題 B. 和均為假命題
C. 為真命題，為假命題 D. 為假命題，為真命題
2.如圖，某家用電暖器是由反射面、熱饋源、防護罩及支架組成，為了更好利用熱效能，反射面設計成拋物面拋物線繞其對稱軸旋轉形成的曲面，熱饋源安裝在拋物線的焦點處，圓柱形防護罩的底面直徑等于拋物面口徑圖是該電暖器的軸截面，防護罩的寬度等于熱饋源到口徑的距離，已知口徑長為，防護罩寬為，則頂點到防護罩外端的距離為( )
A. B. C. D.
3.已知橢圓和雙曲線有共同的焦點，，，分別是它們在第一象限和第三象限的交點，且，記橢圓和雙曲線的離心率分別為，，則等于( )
A. B. C. D.
4.已知點是橢圓上一點，，分別是圓和圓上的點，那么的最小值為( )
A. B. C. D.
5.已知點是雙曲線下支上的一點，、分別是雙曲線的上、下焦點，是的內心，且，則雙曲線的離心率為( )
A. B. C. D.
6.如圖，已知點在焦點為、的橢圓上運動，則與的邊相切，且與邊，的延長線相切的圓的圓心一定在( )
A. 一條直線上 B. 一個圓上 C. 一個橢圓上 D. 一條拋物線上
7.平面直角坐標系中有兩點和以為圓心，正整數為半徑的圓記為以為圓心，正整數為半徑的圓記為對于正整數，點是圓與圓的交點，且，，，，都位于第二象限則這個點都在同一( )
A. 直線上 B. 橢圓上 C. 拋物線上 D. 雙曲線上
二、多選題
8.設點為曲線：上一點，，異于點是曲線上關于坐標原點對稱的兩點．設直線，的斜率分別為是，，且，則關于該曲線的下列結論正確的是( )
A. 當時，曲線為圓
B. 當時，曲線為焦點在軸上的雙曲線
C. 當時，曲線為焦點在軸上的橢圓
D. 當時，曲線為焦點在軸上的橢圓
9.橢圓：的左右焦點分別為，為坐標原點，以下說法正確的是( )
A. 過點的直線與橢圓交于，兩點，則的周長為
B. 橢圓上存在點，使得
C. 橢圓的離心率為
D. 為橢圓上一點，為圓上一點，則線段的最大長度為
10.橢圓：的左右焦點分別為，，為坐標原點，以下說法正確的是( )
A. 過點的直線與橢圓交于，兩點，則的周長為
B. 橢圓上存在點，使得
C. 橢圓的離心率為
D. 為橢圓上一點，為圓上一點，則線段的最大長度為
11.已知拋物線，過焦點的動直線交拋物線于，兩點，拋物線在，兩點處的切線交于點，則( )
A. 點在準線上
B.
C. ，，三點的橫坐標依次成等比數列
D.
三、解答題
12.已知雙曲線的焦點在坐標軸上，其漸近線方程為，過點．
求雙曲線的標準方程；
是否存在被點平分的弦？如果存在，求出弦所在的直線方程；如果不存在，請說明理由．
13.已知直線與拋物線交于，兩點，且線段恰好被點平分．
求直線的方程；
拋物線上是否存在點和，使得，關于直線對稱？若存在，求出直線的方程；若不存在，請說明理由．
14．設，分別是橢圓的左、右焦點，的離心率為短軸長為．
求橢圓的方程：
過點的直線交橢圓于，兩點，是否存在實數，使得恒成立？若存在，求出的值；若不存在，說明理由．
15.本小題分
已知拋物線：的焦點為，直線：與交于，兩點．
求的方程．
求的取值范圍．
設點，試問是否存在，使得？若存在，求的值；若不存在，請說明理由．
16.已知橢圓：，點、分別是橢圓的左焦點、左頂點，過點的直線不與軸重合交橢圓于，兩點．

求橢圓的標準方程；
若，求的面積；
是否存在直線，使得點在以線段為直徑的圓上，若存在，求出直線的方程；若不存在，請說明理由．
17.已知直線與拋物線交于，兩點，且與軸交于點，過點，分別作直線的垂線，垂足依次為，，動點在上
當，且為線段的中點時，證明：；
記直線，，的斜率分別為，，，是否存在實數，使得？若存在，求的值；若不存在，請說明理由．
18.如圖，曲線由上半橢圓和部分拋物線連接而成，與的公共點為，，其中的離心率為．
求，的值；
過點的直線與，分別交于點，均異于點，，是否存在直線，使得以為直徑的圓恰好過點，若存在，求出直線的方程；若不存在，請說明理由．
19.在中，已知，，設分別是的重心、垂心、外心，且存在使．
求點的軌跡的方程；
求的外心的縱坐標的取值范圍；
設直線與的另一個交點為，記與的面積分別為，是否存在實數使？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．
20.文心雕龍有語：“造化賦形，支體必雙，神理為用，事不孤立”，意指自然界的事物都是成雙成對的．已知動點與定點的距離和它到定直線：的距離的比是常數設點的軌跡為曲線，若某條直線上存在這樣的點，則稱該直線為“齊備直線”．
若，求曲線的方程；
若“齊備直線”：與曲線相交于，兩點，點為曲線上不同于，的一點，且直線，的斜率分別為，，試判斷是否存在，使得取得最小值？說明理由；
若，與曲線有公共點的“齊備直線”與曲線的兩條漸近線交于，兩點，且為線段的中點，求證：直線與曲線有且僅有一個公共點．
21.本小題分
已知橢圓的中心為，左、右焦點分別為，，為橢圓上一點，線段與圓相切于該線段的中點，且的面積為．
求橢圓的方程；
橢圓上是否存在三個點，，，使得直線過橢圓的左焦點，且四邊形是平行四邊形？若存在，求出直線的方程；若不存在請說明理由．
22．某高校的志愿者服務小組受大會展示項目的啟發，會后決定開發一款“貓捉老鼠”的游戲，如圖：、兩個信號源相距米，是的中點，過點的直線與直線的夾角為，機器貓在直線上運動，機器鼠的運動軌跡始終滿足：接收到點的信號比接收到點的信號晚秒注：信號每秒傳播米在時刻時，測得機器鼠距離點為米．
以為原點，直線為軸建立平面直角坐標系如圖，求時刻時機器鼠所在位置的坐標；
游戲設定：機器鼠在距離直線不超過米的區域運動時，有“被抓”的風險．如果機器鼠保持目前的運動軌跡不變，是否有“被抓”風險？
23.已知橢圓的離心率為分別是橢圓的左右焦點，過點的直線交橢圓于兩點，且的周長為．
求橢圓的方程；
過點作斜率為的直線與橢圓交于兩點，判斷在軸上是否存在點，使得是以為底邊的等腰三角形？若存在，求點橫坐標的取值范圍，若不存在，請說明理由．
24.已知，，動點滿足，
求動點的軌跡的方程
設在點處曲線的切線為，若，為上兩點，且滿足，．
(ⅰ)證明：點在定直線上，并求出定直線方程
(ⅱ)是否存在點使成立，若存在，求出點橫坐標若不存在，請說明理由．
25.已知是拋物線：上一點，是拋物線的焦點，已知，
Ⅰ求拋物線的方程及的值；
Ⅱ當在第一象限時，為坐標原點，是拋物線上一點，且的面積為，求點的坐標；
Ⅲ滿足第Ⅱ問的條件下的點中，設平行于的兩個點分別記為，，問拋物線的準線上是否存在一點使得，．
26.已知點，，動點滿足直線的斜率與直線的斜率乘積為當時，點的軌跡為當時，點的軌跡為．
求，的方程
是否存在過右焦點的直線，滿足直線與交于，兩點，直線與交于，兩點，且若存在，求出所有滿足條件的直線的斜率之積若不存在，請說明理由．
答案和解析
1.【答案】
【解析】曲線，
當
當
當
畫出圖像如圖，易知正確；易知函數為減函數，則任意兩點斜率，正確．
故選A．
2.【答案】
【解析】根據題意，
以為原點建立直角坐標系：
設拋物線的方程為，所以
由點在拋物線上，得，
解得，
即，
所以頂點到防護罩外端的距離為．
3.【答案】
【解析】設橢圓的長半軸長為，雙曲線的實半軸長為，在雙曲線的右支上，
根據橢圓及雙曲線的定義可得，，
可得，，設，，，
在中由余弦定理得，，
化簡得，
該式可化為：，
結合，，
則．
故選：．
4.【答案】
【解析】如圖，橢圓的，，所以，
圓和圓的圓心為橢圓的兩個焦點，
則當，為如圖所示位置時，的最小值為．
故選：．
由題意畫出圖形，數形結合以及橢圓的定義轉化求解即可．
本題考查橢圓的簡單性質，考查了橢圓定義的應用，考查數形結合的解題思想方法，是中檔題．
5.【答案】
【解析】如圖，設圓與的三邊、、分別相切于點、、，連接、、，
則，，，它們分別是，，的高，
，
，
，
其中是的內切圓的半徑．
，
，
兩邊約去得：，
，
根據雙曲線定義，得，，
離心率為．
故答案選：．
6.【答案】
【解析】如圖，
設圓與，，分別相切于，，
由切線定理得：，，，
因為在橢圓上，
為定值．
切點
圓心在過垂直于橢圓所在軸的直線上．
故選A．
7.【答案】
【解析】圓的方程為：，
圓的方程為：，
兩式相減得，，
所以圓與圓公共弦所在的直線方程為：，
代入得，，
整理得，
而，
故，
即，為雙曲線方程．
故選D．
8.【答案】
【解析】設，則，由題意
兩式做差得：，即，
又因為，所以．
對于，當時，曲線為：，所以曲線為圓，選項A正確；
對于，當時，曲線為：，所以曲線焦點在軸上的雙曲線，所以不正確；
對于，當時，，曲線為：，所以曲線焦點在軸上的橢圓，故C正確；
對于，當時，，曲線為：，所以曲線焦點在軸上的橢圓，故D正確．
故選ACD．
9.【答案】
【解析】對于、因為，
所以的周長為，因此 A正確；
對于、因為方程組，解得
所以以橢圓焦距為直徑的圓與橢圓有交點，所以橢圓上存在點，使，即，所以B正確；
對于、因為橢圓的離心率為，所以不正確；
對于、因為，
當且僅當、、共線時，等號成立，
即，或，時，等號成立，所以D正確．
故選ABD．
10.【答案】
【解析】對于、因為，
所以的周長為，因此 A正確；
對于、因為方程組，解得
所以以橢圓焦距為直徑的圓與橢圓有交點，所以橢圓上存在點，使，即，所以B正確；
對于、因為橢圓的離心率為，所以不正確；
對于、因為，
當且僅當，或，時，等號成立，所以D正確．
故選ABD．
11.【答案】
【解析】因為焦點為，所以直線的斜率存在，
設直線的方程為，．
由，可得，
顯然，且．
由，則，
即在點處的切線為，
因為，所以切線為；
同理可得拋物線在點處的切線為．
對于，由和聯立可得，
，，
即交點的坐標為，所以點在準線上，故A正確；
對于，因為
，
所以，故B正確；
對于，因為，，所以，
即，，三點的橫坐標依次成等差數列，且等差數列的公差不為，
即，，三點的橫坐標不可能依次成等比數列，故C錯誤；
對于，由拋物線的定義可得，
又，
所以，故D正確．
故答案為：．
12. 【解析】】雙曲線的焦點在坐標軸上，其漸近線方程為，
設雙曲線方程為：，過點．
可得，
所求雙曲線方程為：．
假設直線存在，
設是弦的中點，
且，，則，，
，在雙曲線上，
，
，
，
，
直線的方程為，即，
聯立方程組，得，
，
直線與雙曲線無交點，
直線不存在．
13.【解析】由題意可得直線的斜率存在，且不為．
設直線為，，，，，
代入拋物線方程得，，
則，解得，代入成立．
所以直線的方程為．
假設拋物線上存在點和，使得，關于直線對稱，
則，
設：，
與拋物線聯立，消去得，，
則
又，，
所以的中點為，代入直線的方程，解得，不滿足式．
所以滿足題意的，兩點不存在．
14.【解析】由已知得，
離心率，所以，故橢圓的方程為．
當直線的斜率存在時，設：，，，
聯立方程組得，，
所以，．．，，
所以，
所以．
當直線的斜率不存在時，：，
聯立方程組，得，．，，所以．
綜上，存在實數使得恒成立．
15.【解析】因為，所以，的方程為．
由，得，
則，
得，即的取值范圍為．
設，，由知，，
設線段的中點為，
則，，
假設存在，使得，則，
所以，
解得，
故存在，使得．

16.【答案】由左焦點、左頂點可知：，則，
所以橢圓的標準方程為．
因為，，
則過的直線的方程為：，即，
解方程組，解得或
所以的面積．
點在以線段為直徑的圓上，等價于，即，
設，則，
因為，則，
，
解得：或，
又因為，則不存在點，使得，
所以不存在直線，點在以線段為直徑的圓上．
17.證明：如圖所示，
當時，恰為拋物線的焦點，直線為拋物線的準線．
由拋物線的定義可得．
取的中點，連接，則為梯形的中位線，所以．
因為為的中點，所以，所以．
在中，由可得．
因為為梯形的中位線，所以，所以，
所以．
同理可證．
在梯形中，，
所以，
所以，
所以在中，，
即．
假設存在實數，使得．
由直線與拋物線交于，兩點，可設．
設，則
消去可得，
所以，．
因為動點在直線上，可設，
則
．
而．
所以，
解得．
18.【解析】在，的方程中，令，可得，
且，是上半橢圓的左右頂點，
設的半焦距為，由及，
可得，所以，．
由，上半橢圓的方程為，
由題意知，直線與軸不重合也不垂直，設其方程為，
代入的方程，整理得，
設點的坐標為，
因為直線過點，所以是方程的一個根，
由根與系數的關系得，所以點的坐標為，
同理，由，得點的坐標為，
所以，
依題意可知，所以，即，
即，
因為，所以，解得，
經檢驗，符合題意，故直線的方程為．
19.【解析】設，則的重心．
，，則，
為垂心，故
因為存在使，
故，所以，，
而，由垂心定義得，即，整理得，
所以點的軌跡的方程為．

由外心的定義知點在軸上，則，
的中點，，
所以，整理得．
與的方程聯立，得．
因為，所以．
由對稱性，不妨設點在第一象限，設，，直線：，
聯立方程得，
，整理得；
，又，所以．
由條件知，，，所以三點共線且所在直線平行于軸，
由，知，
所以．
令，解得舍去．
又點在直線：上，所以，
即，所以又，聯立得，所以．
又，所以，即，所以．
所以，當點在第一、四象限時，；當點在第二、三象限時，．
故存在實數使．
20.【解析】當時，定直線：，比值為：．
設，則點到定點的距離與它到定直線的距離之比為，
即，
兩邊平方，整理得：，即為曲線的方程．
因為動點與定點的距離和它到定直線：的距離的比是常數，
所以，整理得，
即，即為曲線的方程．
設，則，
，
得，
當且僅當即時，等號成立，
所以存在使得取得最小值．
由知，當時，曲線：，雙曲線的漸近線方程為：，
如圖：
設，則，解得
即，所以，
代入雙曲線方程，得，
整理得，即，
解得或．
當時，，若，則，
，消去得，方程有唯一的解，
同理，若，得，方程有唯一的解，
故直線與曲線有且僅有一個公共點；
當時，，消去得，
，方程有唯一的解，
故直線與曲線有且僅有一個公共點．
綜上，直線與曲線有且僅有一個公共點．
21.【解析】連接，則，，
因為為的中點，為的中點，所以，故，
，
，解得，
由橢圓定義可知，，解得，
由勾股定理得，即，解得，
故，
故橢圓方程為；
由題意得，當直線的斜率不存在時，即，
此時，解得，設，
由于，由對稱性可知，為橢圓左頂點，但，故不合要求，舍去，
當直線的斜率存在時，設為，
聯立得，，
，
設，則，
，
則中點坐標為，
假設存在點，使得四邊形是平行四邊形，則，
將代入橢圓中，得，
解得，

此時直線的方程為．
22.【解析】設機器鼠位置為點，，
由題意可得，
即，
可得的軌跡是以，為焦點的雙曲線的右支，且，，即有，，，
則的軌跡方程為，
時刻時，，即，可得機器鼠所在位置的坐標為；
設直線的平行線的方程為，
聯立雙曲線方程，可得，
即有，且，可得，
即：與雙曲線的右支相切，
切點即為雙曲線右支上距離最近的點，
此時與的距離為，即機器鼠距離最小的距離為，
則機器鼠保持目前運動軌跡不變，沒有“被抓”的風險．
23.【解析】由題意，的周長為，則，所以，
又因為，所以，由，得，
所以橢圓的方程為．
設直線 的 方程為，，
設的中點為．
假設存在點，使得為以為底邊的等腰三角形，則．
由得，
由題意有，解得，
故，
所以，
因為，所以，即，
所以，整理得，
則方程有根，整理得，即，
又因為，所以，
綜上：在軸上存在點，使得是以為底邊的等腰三角形，
點橫坐標的取值范圍是．

24.【解析】根據題意有，
所以點一定在是以，為焦點，實軸長為的雙曲線上，
且，，所以，
又因為，可知，因此點橫坐標大于零，
點軌跡方程為
聯立，得，
因為與曲線相切，所以，即，；
此時點坐標為，設，
，，因為，
，
，又，
，整理得，
所以，點在定直線上；
由，，
因為，所以，
，
解得：或，又因為，不符合題意，所以舍，
聯立，解得．
點橫坐標，
存在點使成立，此時點橫坐標為．
25.【解析】由題意，解得，
因此拋物線的方程為，
點在拋物線上可得，故；
Ⅱ設點的坐標為，邊上的高為，
我們知道的面積是，
所以：，
直線的方程是，利用到直線的距離公式可得：化簡得：，
由于點在拋物線上，代入條件可得，
可以得到或，
解這個方程可以得到或，
代入拋物線方程可以得到：或或，
綜上所述，點的坐標有三個可能的值：，，；
Ⅲ不存在，理由如下：由Ⅱ知，，
則，的中點，
，
到準線的距離等于，
因為，
所以，以為圓心為半徑的圓與準線相離，故不存在點滿足題設條件．
26.【解析】設，，
對于，由題可得，
整理得
故的方程為．
對于，由題可得，
整理得，
故的方程為．
由知：：，：．
的右焦點為，設，
當直線的斜率不存在時，直線與無交點，不滿足題意，故直線的斜率存在．
于是可設直線的方程為，
聯立消去得，
恒成立，
由韋達定理：，，
于是
將代入整理得，
同理，其中，故．
因為，所以，
設，則，即，
平方整理得，
因式分解得，
解得，，舍去．
即，．
于是所有滿足條件的直線的斜率之積為
．
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