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高中數學人教A版（2019）必修第一冊
第四章 指數函數與對數函數 4.1 指數
一、單選題
1.（2025數學習題改編）若，，則（ ）
A.
B.
C.
D.
2.（2025上海交通大學附屬中學期中）在實數范圍內，的四次方根是（ ）
A.
B.
C.
D.
3.（2025吉林四平實驗中學期末）設，則下列運算中正確的是（ ）
A.
B.
C.
D.
4.（2024期中）化簡后的結果為（ ）
A.
B.
C.
D.
5.（2025河南駐馬店期中）已知，，則（ ）
A.
B.
C.
D.
6.（2024西城中學開學測試）當有意義時，化簡的結果是（ ）
A.
B.
C.
D.
二、多選題
7.（2025西南大學附屬中學期末）若，，則下列四個式子中有意義的是（ ）
A.
B.
C.
D.
8.（2025河北衡水武強街關中學月考）下列根式與分數指數冪的互化正確的是（ ）
A.
B.
C.
D.
9.（2024河北滄州部分學校月考）下列計算正確的是（ ）
A.
B.
C.
D.
三、填空題
10.若 , ，用含 的代數式表示 ，則 ______。
11.（2025湖南長沙市一中期中）方程的解集為________。
12.（2025山西呂梁期中）當時，化簡：________。
四、解答題
13.（2025天津南開階段檢測）
（1）計算：；
（2）已知，，求的值。
14.（2025教材必備知識精練）
（1）求值：；
（2）已知，，化簡：。
15.（2025河南周口期末）
（1）已知，求的值；
（2）已知是的七次方根，求下列各式的值：
① ；
② 。
一、單選題
1.答案：A
解析：由題意，五次根號下化簡為（奇次根式性質：）；二次根號下（）化簡為（偶次根式性質：）。若兩者相等，則，故。
2.答案：C
解析：四次方根為偶次根，正數的偶次根有兩個，且互為相反數。
因，故的四次方根是。
3.答案：D
解析：根據指數運算規則、、（）：
A：，錯誤；
B：，錯誤；
C：，錯誤；
D：，正確。
4.答案：C
解析：將分子分母統一化為以為底的指數冪：
分子：；
分母：；
化簡：。
5.答案：A
解析：將表達式化為以為底的指數冪，利用：
；
；
化簡：。
6.答案：C
解析：先確定定義域：有意義，則。
化簡二次根式（偶次根取絕對值）：
（，）；
（，）；
求差：。
二、多選題
7.答案：ACD
解析：根據根式有意義的條件（偶次根被開方數非負，奇次根被開方數為任意實數）：
A：（為偶數，），任意次根式均有意義；
B：（6為偶次根），當為奇數時，為偶數，被開方數正；當為偶數時，被開方數負，無意義；
C：（為偶次根），，有意義；
D：（為奇次根），任意實數均有意義。
8.答案：CD
解析：根式與分數指數冪互化規則（注意符號和定義域）：
A：（時，為虛數），錯誤；
B：（），而非（后者為負），錯誤；
C：（），正確；
D：（），正確。
9.答案：ABD
解析：逐項計算指數運算：
A：，正確；
B：（平方差公式：），正確；
C：，錯誤；
D：內層表達式為
然后應用立方根：
處理最外層根式（四次方根）：
整個表達式為
然后應用四次方根：
右邊表達式的指數形式：，正確。
三、填空題
10.答案：
解析：因為 ，所以 ，
所以 ，
所以 ，
故答案為：。
11.答案：
解析：將方程化為同底數冪（底為和）：
左邊：；
右邊：；
約去（），得。
12.答案：
解析：時，利用根式和絕對值性質化簡：
（奇次根）；
（偶次根）；
；
原式：。
四、解答題
13.解：
（1） 分步計算各部分：
零指數冪：（任何非零數的0次冪為1）；
負指數冪：；
根式化簡：；
分母化簡：；
合并計算：
（2） 先將根式化為分數指數冪（，）：
分子化簡：
；
分母化簡：
；
整體化簡（同底數冪相除，指數相減）：
代入，：
14.解：
（1） 步驟一：分別化簡各項
化簡：
將化為分數形式，化為假分數形式，再根據指數冪運算法則和進行化簡：
化簡：
根據負指數冪的定義，可得，再對其分母有理化：
所以。
化簡：
根據負指數冪的定義可得，再根據指數冪運算法則進行化簡：
化簡：
根據指數冪運算法則可得：
步驟二：計算原式的值
將上述化簡結果代入原式可得：
綜上，原式的結果為。
（2） 分步展開指數冪：
分子展開：
；
再乘：；
分母展開：
；
整體化簡：
15.解：
（1） 利用指數冪的運算性質：
先求：由，得；
分子計算：；
分母計算（立方和公式：）：
設，，則；
其中，，；
先求：，故（因平方非負，取正）；
再求；
因此分母：；
整體化簡：
（2）注： 128 = ，故實數范圍內（七次根為奇次根，結果唯一）。
① 分步通分計算：
前兩個分式通分：
（分母用平方差公式：，此處，）；
加第三個分式：
（分母再次用平方差公式，，）；
加第四個分式：
代入：
② 利用平方差、立方差公式化簡：
分子化簡（平方差公式：）：
；
分子進一步分解（立方差公式：）：
設，，則；
其中，（因）；
代入分子：；
整體化簡（約分+平方差公式）：
再用平方差公式分解分子：，約分后得：
代入：

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