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2025年高三專項訓練：隱圓、輔助圓問題
一、單選題
1.已知，，若點滿足，則點到直線的距離的最大值為( )
A. B. C. D.
2.已知點是直線：和：的交點，點是圓：上的動點，則的最大值是( )
A. B. C. D.
3.在等腰直角中，，是所在平面內的一點，滿足，則的最小值為( )
A. B. C. D.
4.在平面直角坐標系中，已知點，，為平面上一動點且滿足，當實數變化時，的最小值為( )
A. B. C. D.
5.在中，，為所在平面上一動點，且，則的取值范圍是( )
A. B. C. D.
6.已知，是圓上兩點，且，若直線上存在點使得，則實數的取值范圍為( )
A. B.
C. D.
7.已知實數滿足，，，則的最大值為( )
A. B. C. D.
8.已知直線與軸和軸分別交于，兩點，且，動點滿足，則當，變化時，點到點的距離的最大值為( )
A. B. C. D.
9.已知直線與直線相交于點，線段是圓的一條動弦，且，點是線段的中點則的最大值為( )
A. B. C. D.
10.已知，是圓的一條弦，且，是的中點，當弦在圓上運動時，直線上存在兩點，，使得恒成立，則線段長度的最小值是( )
A. B. C. D.
11.已知，，若圓上存在點滿足，則的取值范圍是( )
A. B. C. D.
12.阿波羅尼斯是古希臘著名數學家，與歐幾里得、阿基米德被稱為亞歷山大時期數學三巨匠，他對圓錐曲線有深刻且系統的研究，主要研究成果集中在他的代表作圓錐曲線一書中，阿波羅尼斯圓是他的研究成果之一，指的是：已知動點與兩定點，的距離之比為，那么點的軌跡就是阿波羅尼斯圓．如動點與兩定點，的距離之比為時的阿波羅尼斯圓為下面，我們來研究與此相關的一個問題：已知圓上的動點和定點，，則的最小值為( )
A. B. C. D.
二、多選題
13.若圓上總存在到原點距離為的點，則實數的取值可以是( )
A. B. C. D.
14.已知圓：，，若圓上存在點使，則正數的可能取值是( )
A. B. C. D.
15.已知線段是圓的一條動弦，為弦的中點，，直線與直線相交于點，下列說法正確的是( )
A. 弦的中點軌跡是圓
B. 直線分別過定點和
C. 直線的交點在定圓上
D. 線段的最小值為
16.古希臘著名數學家阿波羅尼斯與歐幾里得、阿基米德齊名，他發現：平面內到兩個定點、的距離之比為定值的點所形成的圖形是圓．后來，人們將這個圓以他的名字命名，稱為阿波羅尼斯圓，簡稱阿氏圓．已知在平面直角坐標系中，、，點滿足，設點所構成的曲線為，下列結論正確的是( )
A. 的方程為
B. 在上存在點，使得到點的距離為
C. 在上存在點，使得
D. 在上存在點，使得
三、填空題
17.在平面直角坐標系中，已知和，動點滿足，則的取值范圍為 ．
18.已知圓點是直線上的一點，過點作圓的兩條切線，切點分別為，則當取得最小值時，直線的方程為 ．
19.在平面直角坐標系中，已知直線和點，動點滿足，且動點的軌跡上至少存在兩點到直線的距離等于，則實數的取值范圍是 ．
20.若，是平面內不同的兩定點，動點滿足且，則點的軌跡是一個圓，這個軌跡最先由古希臘數學家阿波羅尼斯發現，故稱阿波羅尼斯圓，簡稱阿氏圓．已知點，，，動點滿足，則的最大值為
四、解答題
21.已知圓心在直線上的圓經過兩點和．
求圓的方程
設點，若圓上存在點滿足，求實數的取值范圍．
22.在平面直角坐標系中，設頂點坐標分別為，，其中，，圓為的外接圓．
當時，求圓的方程；
當變化時，圓是否過某一定點？若是，求出定點的坐標，若不是，請說明理由；
在的條件下，若圓上存在點，滿足，求實數的取值范圍．
23.已知圓： ，點，為坐標原點．
Ⅰ若，求圓過點的切線方程；
Ⅱ若直線：與圓交于、兩點，且，求的值；
Ⅲ若圓上存在點，滿足，求的取值范圍．
24.古希臘數學家阿波羅尼斯的著作圓錐曲線論中給出圓的另一種定義：平面內，到兩個定點的距離之比值為常數的點的軌跡是圓，我們稱之為阿波羅尼斯圓．已知點到的距離是點到的距離的倍．
求點的軌跡的方程；
過點作直線，交軌跡于，兩點，點，不在軸上．
過點作與直線垂直的直線，交軌跡于，兩點，記四邊形的面積為，求的最大值；
設軌跡與軸的正半軸的交點為，直線，相交于點，試證明點在定直線上，求出該直線方程．
答案和解析
1.【答案】
【解析】由可得點的軌跡為以線段為直徑的圓，圓心為，半徑為，
又直線，其過定點，
當直線時，點與直線的距離取最大值，
故距離的最大值為．
故選：．
2.【答案】
【解析】因為直線 ： ，即 ，
令 ，解得 ，
可知直線 過定點 ，
同理可知：直線 過定點 ，
又因為 ，可知 ，
則直線和的交點的軌跡為以線段為直徑的圓，
則該圓圓心為中點，設為點，
半徑，
則點的軌跡方程為，
又圓圓心為，半徑為，
則，
所以圓與圓相離，
則當點和點在直線上，且不在線段上時，取得最大值，如上圖所示，
可得的最大值為，
故選：．
3.【答案】
【解析】以為原點，，所在的直線分別為軸，軸建立平面直角坐標系，
則，，，，設，
則，
則，
即，
所以點的軌跡是以點為圓心，為半徑的圓，
則，
故選B．
4.【答案】
【解析】設，為平面上一動點且滿足，
則，
整理可得：，
點軌跡是以為圓心，半徑的圓，
，
當時，，
．
故選：．
5.【答案】
【解析】為所在平面上一動點，且，
所以在以為圓心，為半徑的圓上，
以為坐標原點，所在直線分別為軸，建立平面直角坐標系，
故，設，
則
，其中，
故當時，取得最小值，最小值為，
當時，取得最大值，最大值為，
故的取值范圍為．
故選：．
6.【答案】
【解析】由題意可知：圓的圓心為，半徑，
設中點為，則，且，可得，
又因為，可知為等腰直角三角形，
則，可得，
故點的軌跡是以原點為圓心，為半徑的圓，
因為直線上存在點使得，
即直線與圓有交點，
即圓心到直線的距離，解得或．

故選：．
7.【答案】
【解析】設，，為坐標原點，則，，
由，，，
可得，兩點在圓上，且，則，
所以三角形為直角三角形，，
的幾何意義為，兩點到直線的距離與之和，
記線段，的中點分別是，，
到直線的距離為，
則，當且僅當，，共線時取等號，
所以，所以的最大值為，
故選：．
8.【答案】
【解析】由，得，
由，得，
由，得，設，則，即，
因此點的軌跡為一動圓，
設該動圓圓心為，即有，
則代入，整理得：，
即軌跡的圓心在圓上除此圓與坐標軸的交點外，
點與圓上點連線的距離加上圓的半徑即為點到點的距離的最大值，
所以最大值為．
故選：．
9.【答案】
【解析】由題意得圓的圓心為，半徑，
易知直線：恒過點，
直線：恒過，且，
點的軌跡為，
圓心為，半徑為，
若點為弦的中點，位置關系如圖：
連接，由，
易知，
．
故選：．
10.【答案】
【解析】由題可知：圓的標準方程為：
，
所以圓心，半徑，
又，是的中點，所以 ，
所以點的軌跡方程 ，
圓心為點，半徑為，
若直線：上存在兩點，，使得 恒成立，
則以為直徑的圓要包括圓 ，
圓心到直線的距離為 ，
所以長度的最小值為 ，
故選：．
11.【答案】
【解析】設點，則，，
所以，
所以的軌跡方程為，圓心為，半徑為．
由此可知圓與有公共點，
又圓的圓心為，半徑為，
所以，解得，
即的取值范圍是．
故選：．
12.【答案】
【解析】如圖，取點，連接、．
，，，
，
，
∽，
，
，
，
在中，，
的最小值為的長，
，，
．
故選：．
13.【答案】
【解析】根據題意，到原點距離為的點的軌跡方程為，
若圓上總存在到原點距離為的點，
則圓與圓有公共點，
所以，即，解得．
故選BC．
14.【答案】
【解析】【分析】
本題考查圓與圓位置關系的應用，考查化歸與轉化思想，屬于中檔題．
設，根據題意得到，再根據的幾何意義得到， 從而得到答案．
【解答】
解：圓，圓心，半徑，
設，則，，
因為，所以，
即，，
因為表示圓上點到原點的距離，
，
所以，即，
故選：．
15.【答案】
【解析】對于選項A：
設，因為，為弦的中點，
所以，而，半徑為，
則圓心到弦的距離為
，
又圓心，所以，
即弦中點的軌跡是圓，故選項A正確；
對于選項B：，即，直線過定點，
，即，直線過定點故選項B錯誤；
對于選項C：
由 ，
消去可得，，
即，故選項C正確；
對于選項D：
由選項A知，點的軌跡方程為：，圓心，，
又由選項C知，點的軌跡方程為：，圓心，，
則
線段，故選項 D正確；
故選ACD．
16.【答案】
【解析】設點，，，由，得，
化簡得，即：，故A選項正確
曲線的方程表示圓心為，半徑為的圓，圓心與點的距離為，
與圓上的點的距離的最小值為，最大值為，而 ，，故B正確
對于選項，設，由，得，
化簡得，即點在圓上，
而圓在圓內，因此圓上不存在點滿足，
故C選項錯誤
對于選項，設，由，得，
又，聯立方程消去得，解得，故D選項正確．
故選ABD．
17.【答案】
【解析】由得，
化簡可得，
即點在以為圓心以為半徑的圓上，，
即表示坐標原點到圓上點的斜率，
要計算的范圍就是要計算過坐標原點的直線與圓相切的兩種情況下的直線斜率，
假設過坐標原點的直線為，則，
化簡可得，，
所以
故答案為：
18.【答案】
【解析】取最小值四邊形而積最小直線，
此時直線方程為，與直線聯立求出點，
以為直徑的圓的方程為，又圓，
兩圓方程左右兩邊相減可得直線的方程為．
故答案為：．
19.【答案】
【解析】設點，則，
即，所以動點的軌跡為以為圓心，為半徑的圓，
要在圓上至少存在兩點到直線的距離等于，
則需圓心到直線的距離，
解得．
故答案為．
20.【答案】
【解析】設，
則，
整理得，
則是圓：上一點，
由，得，如圖所示：
故，
當且僅當，，三點共線，
且在之間時取得最大值．
又因為，
所以的最大值為．
故答案為：．
21. 【解析】設，的中點為點，則點坐標為
求得，
則過點且與直線垂直的直線方程為：，
解得，
圓心也在直線上，
解得，
，
，圓的方程為；
設，
，，
由題可得，
，，
化簡得，
可知點軌跡是以為圓心，以為半徑的圓，
可知圓與圓有公共點，即，
解得．
22.【解析】設圓的方程為：．
在圓上，
，
解得，，，
圓的方程為：，
當時，圓的方程為：．
由圓的方程可化為：，
要使圓過某一定點，
解得，，
圓過定點．
設的坐標，因為，
所以，
整理得，，
所以點在以為圓心，為半徑的圓上
又因為點在圓上，所以兩個圓有公共點，
當時，圓的圓心為，半徑為
故有，
解得．
23.【解析】Ⅰ若 ，圓： ，可得圓心為，半徑為 ，
設斜率存在，過點的切線方程為： ，在圓外，有兩條切線方程，
則由 ，
解得： 或 ，
過點的切線方程為 ，或
Ⅱ直線 ： 與圓交于、兩點，設 ，，，
，
，
聯立方程組：，
消去 ，可得： ，
消去 ，可得： ，
把代入解得：
Ⅲ圓： ，圓心為 ，半徑 ，
圓心在直線 上，
設坐標為 ， ，，
可得： 化簡可得： ，
表示圓心為，半徑 的圓，圓的圓心為 ， ，半徑 ，
要使圓上存在點，滿足，
圓心在直線 上，所以兩圓心的最大距離為，
即兩圓心的距離滿足 ，
解得：，
故得 的取值范圍是，
24.【解析】設點，由題意可得，
即，
化簡可得，
所以點的軌跡的方程為．
由題易知直線的斜率存在，設直線的方程為，即，
則圓心到直線的距離，
所以，
若，則直線的斜率不存在，
易得，，則．，
若，則直線的方程為，即，
則圓心到直線的距離，
所以，
則．
，
當且僅當，即時，取等號，
綜上所述，因為，所以的最大值為．
證明：由題，，設，，
聯立
消得，
，
則，，
所以直線的方程為，
直線的方程為，
聯立解得，
則
，
所以，
所以點在定直線上．
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