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第三章《圖形的初步認識》提升卷—華東師大版數(shù)學(xué)七（上）單元測
一、選擇題：本大題共10小題，每小題3分，共30分
1．下列各組圖形都是平面圖形的是(　　)
A．三角形、圓、球、圓錐 B．點、線段、棱錐、棱柱
C．角、三角形、正方形、圓 D．點、角、線段、長方體
2．（2025七上·鎮(zhèn)海區(qū)期末）下列三個生活，生產(chǎn)現(xiàn)象：
①用兩個釘子就可以把木條固定在墻上；
②植樹時，只要定出兩棵樹的位置，就能確定同一行樹所在的直線；
③把彎曲的公路改直，就能縮短路程．
其中可用基本事實＂兩點確定一條直線＂來解釋的現(xiàn)象有
A．①③ B．①② C．②③ D．③
3．（2021七上·嵩縣期末）如圖，正方體的6個面上分別標有字母A，B，C，D，E，F(xiàn)，將該正方體按圖示方式轉(zhuǎn)動，根據(jù)圖形可得，與字母F相對的是（　　）
A．字母A B．字母B C．字母C D．字母E
4．（2024七上·貴州期末）如圖是由大小相同的小正方體拼成的幾何體，若移走一塊小正方體后，幾何體從左面看的形狀圖發(fā)生改變，則移走的小正方體是（　　）
A．① B．② C．③ D．④
5．（2024七上·渠縣期末）如圖是由幾個小立方塊所搭成的幾何體的俯視圖，小正方形中的數(shù)字表示在該位置上小立方塊的個數(shù)，則這個幾何體的左視圖為（　　）
A． B． C． D．
6．（2024七上·長春期末）如圖是正方體的表面展開圖，若正方體中相對的面上的數(shù)互為相反數(shù)，則的值為（　　）
A． B． C． D．2
7．（2023七上·射洪期末）如圖，點M在線段AN的延長線上，且線段MN=20，第一次操作：分別取線段AM和AN的中點；第二次操作：分別取線段和的中點；第三次操作：分別取線段和的中點；……連續(xù)這樣操作10次，則每次的兩個中點所形成的所有線段之和( )
A． B． C． D．
8．（2025七上·新昌期末）如圖，從早上到同一天早上，時鐘的分針旋轉(zhuǎn)了（　　）
A． B． C． D．
9．（2025七上·江北期末）將一副直角三角板按如圖所示各位置擺放，其中∠a與∠β一定互余的是（　　）
A． B．
C． D．
10．（2024七上·洪山期末）如圖，點為線段外一點，，，，為上順次排列的四點，連接，，，，在下列結(jié)論中：
①以為頂點的角有15個；
②若平分，平分，，則
③若為的中點，為的中點，則；
④若，，則．
其中正確的結(jié)論有（　　）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
二、填空題：本大題共5小題，每小題3分，共15分
11．（2023七上·天橋月考）一個棱柱有12個頂點，所有側(cè)棱長的和是48cm，則每條側(cè)棱長是　 　。
12．（2024七上·岷縣期末）如圖，這是由若干個大小相同的小正方體組合而成的幾何體，那么從三個方向看到的平面圖形中，面積最大的是從　 　面看．（填“上”“正”或“左”）
13．（2024七上·揭東月考）圖所示是一個正方體的表面展開圖，且相對兩個面表示的整式的和都相等．如果，那么F所代表的整式是　 　．
14．復(fù)原繩子 如圖所示，把一根繩子對折成一條線段AB，P是AB 上一點，且 若在點 P 處將繩子剪斷，且剪斷后的各段繩子中最長的一段為40cm.則繩子的原長為　 　cm.
15．（2020七上·睢寧月考）用邊長為 的正方形紙板，制成一個七巧板（如圖①），將它拼成“小天鵝”圖案（如圖②），其中陰影部分的面積為　 　.
三、解答題：本大題共9小題，共75分
16．（2025七上·寧波期末）如圖，平面內(nèi)四點 ，按下列要求作圖（保留作圖痕跡并標注相關(guān)字母）．
（1）畫射線 ；
（2）畫直線 ；
（3）連結(jié) ，并延長至點 ，使得 ；
（4）在直線 上找一點 ，使得 最小．
17．計算。
（1）(結(jié)果用度、分、秒表示)
（2）
18．（2018-2019學(xué)年數(shù)學(xué)北師大版七年級上冊第一章《豐富的圖形世界》單元檢測B卷）在平整的地面上，有若干個完全相同棱長的小正方體堆成一個幾何體，如圖所示．
（1）請畫出這個幾何體的三視圖．
（2）如果在這個幾何體的表面噴上黃色的漆，則在所有的小正方體中，有　 　個正方體只有一個面是黃色，有　 　個正方體只有兩個面是黃色，有　 　個正方體只有三個面是黃色．
（3）若現(xiàn)在你手頭還有一些相同的小正方體，如果保持俯視圖和左視圖不變，最多可以再添加幾個小正方體？
19．（2024七上·長春期末）如圖所示的幾何體是由5個大小相同的小正方體搭成．
（1）請在網(wǎng)格中畫出這個幾何體的主視圖和左視圖．
（2）在這個幾何體中，當(dāng)去掉一個小正方體　 　時，剩余部分的俯視圖沒有改變（填寫圖中小正方體的序號）；如果在這個幾何體上再添加一些相同的小正方體，并保持這個幾何體的主視圖和左視圖不變，那么最多可以再添加　 　個小正方體．
20．十八世紀瑞士數(shù)學(xué)家歐拉證明了簡單多面體的頂點數(shù)（）、面數(shù)（）、棱數(shù)（）之間存在的一個有趣的關(guān)系式，被稱為歐拉公式．請你觀察下列幾種簡單多面體模型，解答下列問題：
（1）【觀察總結(jié)】五種簡單多面體的頂點數(shù)（）、面數(shù)（）、棱數(shù)（）如下表：
多面體 頂點數(shù)（） 面數(shù)（） 棱數(shù)（）
三棱錐 4 4 6
長方體 8 6 12
五棱柱 10 7 15
八面體 6 8 12
十二面體 20 12 30
猜想頂點數(shù)（）、面數(shù)（）、棱數(shù)（）之間存在的關(guān)系式是　 　（用所給的字母表達）；
（2）【簡單應(yīng)用】①能否組成一個有條棱、個面、個頂點的多面體？請說明理由．
②一個正二十面體有條棱，則它的頂點數(shù)是 ▲ ．
（3）【實踐探究】學(xué)校校園文化節(jié)，七年級數(shù)學(xué)實踐小組同學(xué)制作了各種各樣的多面體作品．
①一個多面體作品，只有個頂點，并且過每個頂點都有條棱，則這個多面體的面數(shù)是　 　；
②一個多面體作品如圖所示，每個面的形狀是正三角形或正五邊形，每條棱都是正三角形和正五邊形的公共邊，則該多面體作品正三角形比正五邊形的面數(shù)多　 　個．
21．（2019七上·榆樹期中）【教材呈現(xiàn)】下圖是華師版七年級上冊數(shù)學(xué)教材第104頁的部分內(nèi)容
例5如圖3.4.1所示的窗框，上半部分為半圓，下半部分為6個大小一樣的長方形，長方形的長和寬的比為3：2． 設(shè)長方形的長為x米，用x表示所需材料的長度(重合部分忽略不計)
（1）請根據(jù)教材提示，結(jié)合圖3.4.1，寫出例5中第(1)題完整的解題過程
（2）【結(jié)論應(yīng)用】圖①、圖②是某設(shè)計師設(shè)計的兩種窗戶設(shè)計圖，圖①是由邊長4a正方形和直徑4a半圓組成，圖②是由一個八邊形和直徑2a的圓組成。
求圖②的面積(用含有a的代數(shù)式表示，結(jié)果保留π)．
（3）用鐵絲做成圖①、圖②，這兩個圖形用的鐵絲的長度是否相同，如果相同，請說明理由，如果不同，請比較出哪個設(shè)計圖大
22．【概念學(xué)習(xí)】點在線段上，若，則稱是點在線段上的“分點值”，記作．例如，如圖1，若，則點在線段上的“分點值”是，記作；若，則，故點在線段上的“分點值”是，記作．
（1）【理解與應(yīng)用】已知點在線段上．若，，則　 　；
若，，則　 　．
（2）如圖2，線段， 是線段上一點，、兩點分別從點、出發(fā)以，的速度同時向點運動，運動的時間為， 當(dāng)其中一點到達點時，兩點都停止運動．
①若點在上運動時，總有，求出的值；
②若，則當(dāng)為何值時，；
③若時，，則 ▲ ．
23．（2024七上·南海期末）綜合與實踐
某興趣小組利用長為a 厘米，寬為b 厘米的長方形紙板制作長方體紙盒，做了以下嘗試：（紙板厚度及接縫處忽略不計）
（1）如圖1，若，先在紙板四角剪去4個同樣大小邊長為c 厘米的小正方形，再沿虛線折起來就可以做成一個無蓋的正方體紙盒．此時，b與c的數(shù)量關(guān)系為_______
（2）如圖2，若，先在紙板四角剪去4個同樣大小邊長為c 厘米的小正方形，再沿虛線折起來就可以做成一個無蓋的長方體紙盒，為了使紙盒底面更加牢固且達到廢物利用的目的，將剪下的四個小正方形平鋪在盒子的底面，要求既不重疊又恰好鋪滿，此時，b與 c的數(shù)量關(guān)系為_______．
（3）若，在紙板四角剪去4個同樣大小邊長為c 厘米的小正方形，恰好可以制作成一個無蓋的長方體紙盒，請你通過列表研究，c取何整數(shù)時，所得長方體的體積V最大？
1 2 3 4 5
180 256 252 192 100
24．（2024七上·三臺期末）為了培養(yǎng)同學(xué)們的幾何思維能力，張老師給同學(xué)們設(shè)置了一道幾何題探究題：將一副三角尺按如圖1所示位置擺放，三角尺ABC中，∠BAC=90°，∠B=∠C=45°；三角尺ADE中，∠E=90°， ∠DAE=60°， ∠D=30°，分別作∠BAE， ∠CAD的平分線AM，AN.試求出∠MAN的度數(shù). 為了便于同學(xué)們探究，特別進行了以下活動：
[初步探究]現(xiàn)將三角尺按照圖2，圖3所示的方式擺放，AM，AN仍然是∠BAE， ∠CAD的平分線.在圖2中AB與AD重合，在圖3中AB，AE與AM重合在一起.
（1）圖2中∠MAN的度數(shù)為　 　°，圖3中∠MAN的度數(shù)為　 　°.
（2）[深入探究]通過初步探究，請你猜想圖1中∠MAN的度數(shù)為 ▲ °.如果設(shè)∠BAD=，請求出圖1中∠MAN的度數(shù).
答案解析部分
1．【答案】C
【知識點】平面圖形的初步認識
【解析】【解答】解： A、球、圓錐是立體圖形，A錯誤；
B、棱錐、棱柱是立體圖形，B錯誤；
C、角、三角形、正方形、圓是平面圖形，C正確；
D、長方體是立體圖形，D錯誤；
故答案為：C.
【分析】 根據(jù)平面圖形定義：一個圖形的各部分都在同一個平面內(nèi)的圖形是平面圖形可得答案．
2．【答案】B
【知識點】兩點確定一條直線
【解析】【解答】解：①用兩枚釘子就可以把木條固定在墻上，可以用基本事實“兩點確定一條直線”來解釋；
②植樹時，只要定出兩棵樹的位置，就能確定同一行樹所在的直線，可以用基本事實“兩點確定一條直線”來解釋；
③把彎曲的公路改直，就能縮短路程，可以用“兩點之間，線段最短”來解釋.
∴符合題意的是①②.
故答案為： B.
【分析】由直線的性質(zhì)：兩點確定一條直線，線段的性質(zhì)：兩點之間，線段最短，即可判斷.
3．【答案】C
【知識點】棱柱及其特點
【解析】【解答】解：由此正方體的不同放置可知：與字母F相對的是字母C.
故答案為：C.
【分析】由此正方體的不同位置可得：D與E相對，F(xiàn)與C相對，A與B相對，據(jù)此解答.
4．【答案】D
【知識點】小正方體組合體的三視圖
【解析】【解答】解：將①或②或③移走都不會改變幾何體的左視圖，
移走④后幾何體的左視圖右邊會少一個正方形；
故答案為：D.
【分析】觀察移走每個正方體后幾何體的左視圖，解答即可.
5．【答案】B
【知識點】由三視圖判斷幾何體
【解析】【解答】解：由俯視圖可知，左視圖從左到右分別是1個，3個，2個正方形
故答案為：B
【分析】本題考查幾何體的三視圖，由幾何體的俯視圖和正方形內(nèi)的數(shù)字，可知左視圖的列數(shù)和俯視圖的行數(shù)相同，每列小正方形數(shù)目為俯視圖中相應(yīng)行中正方形數(shù)字中的最大數(shù)字。
6．【答案】A
【知識點】相反數(shù)的意義與性質(zhì)；含圖案的正方體的展開圖
【解析】【解答】解：∵正方體中相對的面上的數(shù)互為相反數(shù)，
∴，
故選：A．
【分析】本題考查正方體的相對面、以及相反數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)正方體的表面展開圖中，觀察正方體展開圖的形狀，例如“一四一”型、“二三一”型、“二二二”型或“三三”型，根據(jù)每種類型的特征，相對的面之間一定相隔一個正方形，據(jù)此作答，即可得到答案．
7．【答案】A
【知識點】線段的中點；線段的和、差、倍、分的簡單計算
【解析】【解答】解：∵分別為的中點，，
∴，
∵分別為的中點，
∴，
根據(jù)規(guī)律得到，
∴.
故答案為：A.
【分析】利用線段中點的意義求出，再求出的長度，然后找出的規(guī)律，再利用規(guī)律求出的值.
8．【答案】D
【知識點】鐘面角
【解析】【解答】解：從上午到當(dāng)天上午，
時鐘一共走了100分鐘，
，
時鐘的分針一分鐘走，
．
故答案為：D．
【分析】根據(jù)時間可得時鐘一共走了100分鐘，然后乘以每分鐘旋轉(zhuǎn)角度解題．
9．【答案】D
【知識點】角的運算；余角
【解析】【解答】解：A中. ，則A不符合題意；
B中 則B不符合題意；
C中 不一定是 ，則C不符合題意；
D中 則D符合題意.
故答案為： D.
【分析】如果兩個角的和為 那么這兩個角互為余角，據(jù)此逐項判斷即可.
10．【答案】B
【知識點】線段的中點；角平分線的概念
【解析】【解答】解：以O(shè)為頂點的角有個，故①正確；
由角平分線的定義可得：，，
∵，
∴
∴，
∴，
，
故②錯誤；
由中點定義可得：，，
∴，
∵，
∴，故③正確；
∵，，
∴，
∴，即，故④錯誤.
故選：B.
【分析】本題考查了角平分線概念，以及線段中點的相關(guān)計算，根據(jù)角的概念，求得以O(shè)為頂點的角的個數(shù)，可判斷①；由角平分線的定義及角之間的和差關(guān)系，求得，可判斷②；根據(jù)線段的中點，結(jié)合，求得， 可得判斷③；根據(jù)，且，得到，可得判斷④．
11．【答案】8cm
【知識點】棱柱及其特點
【解析】【解答】∵一個棱柱有12個頂點，
∴棱柱有6條側(cè)棱，
∵所有側(cè)棱長的和是48cm，
∴每條側(cè)棱長是48÷6=8cm，
故答案為：8cm.
【分析】先判斷出棱柱有6條側(cè)棱，再結(jié)合“所有側(cè)棱長的和是48cm，”求出每條側(cè)棱的長即可.
12．【答案】上
【知識點】簡單幾何體的三視圖
【解析】【解答】解：從不同方向看到的平面圖形如下圖所示：
由圖可知，從正面看到的圖形由5個小正方形組成，從左面看到的圖形由5個小正方形組成，從上面看到的圖形由6個小正方形組成，
因此面積最大的是從上面看．
故答案為：上．
【分析】本題考查了幾何體的三視圖，其中三視圖的投影規(guī)律具體表現(xiàn)為：主視圖與俯視圖長度方向?qū)φ粗饕晥D和俯視圖的長度要相等；主視圖與左視圖高度方向平齊，即主視圖和左視圖的高度要相等；俯視圖與左視圖寬度方向相等，即左視圖和俯視圖的寬度要相等，據(jù)此畫出從不同方向觀察到的平面圖形，即可求解．
13．【答案】
【知識點】整式的加減運算；已知展開圖進行幾何體的相關(guān)的計算
【解析】【解答】解：（1）由題意得，A與E相對，B與D相對，C與F相對，
∵相對兩個面表示的整式的和都相等，
∴F+C=B+D，
∴
，
故答案為：．
【分析】先根據(jù)正方體展開圖的特點得到A與E相對，B與D相對，C與F相對，再根據(jù)相對面的兩個整式的和相等可得F+C=B+D，于是可得，把B、D、C的代數(shù)式代入并根據(jù)去括號法則"括號前面是“+”號，去掉括號不變號；括號前面是“-”號，去掉括號全變號。"和合并同類項法則"合并同類項法則：把同類項的系數(shù)相加，字母和字母的指數(shù)不變"計算即可求解.
14．【答案】60或120
【知識點】線段的中點；線段的和、差、倍、分的簡單計算
【解析】【解答】解：根據(jù)題意知 剪斷后的各段繩子中最長的一段為40cm，若A 是連著的端點，則PA=20，PB=40，AB=60.原長=2AB=120cm；
若點 B 是連著的(也就是線段中點)，則PB=20，PA=10，所以AB=30，原長=2AB=60cm.
故答案為：60或120.
【分析】分情況討論，利用線段的和差計算即可解答.
15．【答案】
【知識點】七巧板與拼圖制作
【解析】【解答】由正方形的對角線把正方形分成全等的四個等腰直角三角形，可得每個較大的等腰直角三角形的面積為： ，小等腰直角三角形面積=1 ，所以“小天鵝”圖案的陰影部分面積為： .
故答案為： .
【分析】七巧板的七個部分之和為正方形紙板面積，據(jù)此先求出七巧板中兩個較大的等腰直角三角形的面積，再用正方形紙板面積減去這較大的兩個等腰直角三角形面積和一個小等腰直角三角形面積即可.
16．【答案】解：如圖，
（1）射線AB即為所求，
（2）直線AC即為所求，
（3）線段DC及點B即為所求，
（4）AC與BD的交點P即為所求.
【知識點】兩點之間線段最短；尺規(guī)作圖-直線、射線、線段
【解析】【分析】(1)根據(jù)射線的定義，可得答案；
(2)根據(jù)直線的定義，可得答案；
(3)根據(jù)線段中點的定義，可得答案；
(4)根據(jù)兩點之間線段最短，可得答案.
17．【答案】（1）解：原式=38°45'+72°30'
=38°45'+72°30'
=(38+72)°(45+30)'
=111°15'
（2）解：原式=57°91'81"-20°42'44"
=37°49'37″
【知識點】常用角的度量單位及換算；角度的四則混合運算
【解析】【分析】（1）先將72.5°轉(zhuǎn)化為度、分、秒的形式，再根據(jù)角度的加法運算規(guī)則，將度與度相加，分與分相加，秒與秒相加，滿60進1；
（2）根據(jù)小單位化大單位除以進率，可得答案.
18．【答案】（1）解：如圖所示：
（2）1；2；3
（3）解：最多可以再添加4個小正方體．
【知識點】簡單組合體的三視圖；作圖﹣三視圖
【解析】【解答】（1）由已知條件可知，主視圖有3列，每列小正方數(shù)形數(shù)目分別為3，1，2；左視圖有3列，每列小正方形數(shù)目分別為3，2，1；俯視圖有3列，每列小正方數(shù)形數(shù)目分別為3，2，1．據(jù)此可畫出圖形；（2）只有一個面是黃色的應(yīng)該是第一列正方體中最底層中間那個；有2個面是黃色的應(yīng)是第一列最底層最后面那個和第二列最后面那個；只有三個面是黃色的應(yīng)是第一列第二層最后面的那個，第二列最前面那個，第三列最底層那個；（3）保持俯視圖和左視圖不變，可往第二列前面的幾何體上放一個小正方體，后面的幾何體上放2個小正方體，第三列的幾何體上放一個一個小正方體。
【分析】（1）簡單幾何體組合體的三視圖，就是分別從正面，左面和上面看得到的正投影，由幾何體可知：主視圖有3列，每列小正方數(shù)形數(shù)目分別為3，1，2；左視圖有3列，每列小正方形數(shù)目分別為3，2，1；俯視圖有3列，每列小正方數(shù)形數(shù)目分別為3，2，1．據(jù)此可畫出圖形；
（2）需要給這個幾何體的表面噴上黃色的漆，能噴上漆的面只能是露在外面的面，觀察圖形可知：第一列正方體中最底層中間那個只有一個面露在外邊，第一列最底層最后面那個和第二列最后面那個有兩個面露在外邊，第一列第二層最后面的那個，第二列最前面那個，第三列最底層那個都有三個面露在外邊，從而得出答案；
（3）如果保持俯視圖和左視圖不變，可往第二列前面的幾何體上放一個小正方體，后面的幾何體上放3個小正方體，第三列的幾何體上放一個一個小正方體，故最多放四個。
19．【答案】（1）解：如圖所示：
（2）①；2
【知識點】由三視圖判斷小正方體的個數(shù)；小正方體組合體的三視圖
【解析】【解答】（2）解：可畫出俯視圖為：
∴當(dāng)去掉一個小正方體①時，剩余部分的俯視圖沒有改變．
保持這個幾何體的主視圖和左視圖不變，可在第一層的前面第一行添加2個小正方體．
故答案為：①，2．
【分析】（1）根據(jù)幾何體的三視圖畫法，分別從正面看和左面看得到其主視圖和左視圖，即可解答；
（2）根據(jù)該立體圖形的俯視圖，要使這個幾何體的主視圖和左視圖不變，在第一層的前面第一行添加2個小正方體，據(jù)此即可解答．
（1）解：如圖所示：
（2）解：可畫出俯視圖為：
∴當(dāng)去掉一個小正方體①時，剩余部分的俯視圖沒有改變．
保持這個幾何體的主視圖和左視圖不變，可在第一層的前面第一行添加2個小正方體．
故答案為：①，2．
20．【答案】（1）
（2）解：①不能；∵，
∴不能組成一個有條棱、個面、個頂點的多面體；；②12
（3）14；8
【知識點】立體圖形的概念與分類
【解析】【解答】解：（1）∵，，…，
∴頂點數(shù)、面數(shù)、棱數(shù)（E）之間存在的關(guān)系式是，
故答案為：；
（2）②一個正二十面體有條棱，則它的頂點數(shù)是（個），
故答案為：12；
（3）①一個多面體作品，只有個頂點，并且過每個頂點都有條棱，則它的棱數(shù)為（條），它的面數(shù)為，
故答案為：14；
②設(shè)正五邊形塊，則正三邊形塊，棱數(shù)，而頂點數(shù)，由題意得
，解得，所以正五邊形為12塊，正三邊形為20塊．．
故答案為：8．
【分析】(1)觀察 (1)中頂點數(shù)、面數(shù)、棱數(shù)可得答案；
(2)根據(jù)點數(shù)、面數(shù)、棱數(shù)之間的關(guān)系即可判斷；
(3)根據(jù)點數(shù)、面數(shù)、棱數(shù)之間的關(guān)系求解即可；
(4)①根據(jù)點數(shù)、面數(shù)、棱數(shù)之間的關(guān)系求解即可；②設(shè)正五邊形x塊，則正三邊形 塊，則由上面的規(guī)律數(shù)可以看出，棱數(shù) 而頂點數(shù) 列出方程即可.
21．【答案】（1）解：由題意，得11x+9 x+πx=(17+π)x(米)
（2）解：πa2+2a×4a+2a×2a=πa2+12a2=(π+12)a2
（3）解：圖①的周長為4a×4+2πa=(16+2π)a
圖②的周長為2πa+4a×4=(16+2π)a
∵(16+2π)a=(12+2π)a
∴兩個圖形用的鐵絲回樣多
答：兩個圖形用的鐵絲同樣多
【知識點】平面圖形的初步認識
【解析】【分析】（1）6個長方形的周長、圓周長的一半、3條半徑的總和即為所求；
（2）將圖形看成一個直徑為4a的圓、一個長4a、寬2a的長方形和一個邊長為2a的正方形的面積的和求解。
（3）分別計算出這兩個圖形的周長，即可解答。
22．【答案】（1）；18
（2）解：①，．
∵，
∴．
∴．
∴；
②∵，，
∴，則．
∴，，
∵，
∴，
故；
③或
【知識點】線段的中點；線段的和、差、倍、分的簡單計算
【解析】【解答】（1）解：若，，則，
若，，則，
∵，，
∴．
∵，
∴．
故答案為：；18；
（2）③∵．
∴，．
分兩種情況：
當(dāng)在的左側(cè)時，
∵，
∴．
∴．
可知，，則；
當(dāng)在的右側(cè)時，
．
，
則；
綜上所述，或；
故答案為：或．
【分析】（1）參照題干中的定義及計算方法分析求解即可；
（2）①先求出，，再求出即可；
②先求出，，再結(jié)合，求出即可；
③分類討論：當(dāng)在的左側(cè)時，當(dāng)在的右側(cè)時，再分別畫出圖形并利用線段的和差和定義求解即可.
23．【答案】（1）
（2）
（3）解：由表格中的數(shù)據(jù)可知，當(dāng)時，隨著c的增大，體積V逐漸減小，并且當(dāng)時V的值大于時V的值，∴當(dāng)時，所得長方體的體積V最大．
【知識點】已知展開圖進行幾何體的相關(guān)的計算
【解析】【解答】解：（1）解：由題意得，，
∴，
故答案為：；
（2）∵在紙板四角剪去四個同樣大小邊長為c厘米的小正方形，
∴剩余長為，
∵剪下的四個小正方形平鋪在盒子的底面，要求既不重疊又恰好鋪滿，
∴此時的長為，
∴，
∴；
【分析】（1）根據(jù)立方體的性質(zhì)，結(jié)合立方體邊之間的關(guān)系列等式，求得b與c之間的數(shù)量關(guān)系，得到答案；
（2）根據(jù)剪下的四個小正方形平鋪在盒子的底面，結(jié)合既不重疊又恰好鋪滿，列出即可求得答案；
（3）根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)，得到當(dāng)時，隨著c的增大，體積V逐漸減小，結(jié)合時V的值大于時V的值，即可得到答案．
24．【答案】（1）75；75
（2）解：如果設(shè)∠BAD=，請求出圖1中∠MAN的度數(shù).
，，
.
平分，
.
，，
.
平分，
.
，
【知識點】角的運算；角平分線的概念
【解析】【解答】解：（1）圖2中：∵是的平分線，，
∴
∴；
圖3中：，
∴
∵是的平分線，
∴
∴；
故答案為：；
【分析】（1）先根據(jù)角平分線的定義結(jié)合題意得到，進而得到；再結(jié)合題意求出∠CAD的度數(shù)，從而根據(jù)角平分線的定義進行角的運算即可求解；
（2）設(shè)∠BAD=，進而得到，再根據(jù)角平分線的定義得到，從而結(jié)合題意即可得到，再根據(jù)角平分線的定義得到，最后進行角的運算即可求解。
1 / 1第三章《圖形的初步認識》提升卷—華東師大版數(shù)學(xué)七（上）單元測
一、選擇題：本大題共10小題，每小題3分，共30分
1．下列各組圖形都是平面圖形的是(　　)
A．三角形、圓、球、圓錐 B．點、線段、棱錐、棱柱
C．角、三角形、正方形、圓 D．點、角、線段、長方體
【答案】C
【知識點】平面圖形的初步認識
【解析】【解答】解： A、球、圓錐是立體圖形，A錯誤；
B、棱錐、棱柱是立體圖形，B錯誤；
C、角、三角形、正方形、圓是平面圖形，C正確；
D、長方體是立體圖形，D錯誤；
故答案為：C.
【分析】 根據(jù)平面圖形定義：一個圖形的各部分都在同一個平面內(nèi)的圖形是平面圖形可得答案．
2．（2025七上·鎮(zhèn)海區(qū)期末）下列三個生活，生產(chǎn)現(xiàn)象：
①用兩個釘子就可以把木條固定在墻上；
②植樹時，只要定出兩棵樹的位置，就能確定同一行樹所在的直線；
③把彎曲的公路改直，就能縮短路程．
其中可用基本事實＂兩點確定一條直線＂來解釋的現(xiàn)象有
A．①③ B．①② C．②③ D．③
【答案】B
【知識點】兩點確定一條直線
【解析】【解答】解：①用兩枚釘子就可以把木條固定在墻上，可以用基本事實“兩點確定一條直線”來解釋；
②植樹時，只要定出兩棵樹的位置，就能確定同一行樹所在的直線，可以用基本事實“兩點確定一條直線”來解釋；
③把彎曲的公路改直，就能縮短路程，可以用“兩點之間，線段最短”來解釋.
∴符合題意的是①②.
故答案為： B.
【分析】由直線的性質(zhì)：兩點確定一條直線，線段的性質(zhì)：兩點之間，線段最短，即可判斷.
3．（2021七上·嵩縣期末）如圖，正方體的6個面上分別標有字母A，B，C，D，E，F(xiàn)，將該正方體按圖示方式轉(zhuǎn)動，根據(jù)圖形可得，與字母F相對的是（　　）
A．字母A B．字母B C．字母C D．字母E
【答案】C
【知識點】棱柱及其特點
【解析】【解答】解：由此正方體的不同放置可知：與字母F相對的是字母C.
故答案為：C.
【分析】由此正方體的不同位置可得：D與E相對，F(xiàn)與C相對，A與B相對，據(jù)此解答.
4．（2024七上·貴州期末）如圖是由大小相同的小正方體拼成的幾何體，若移走一塊小正方體后，幾何體從左面看的形狀圖發(fā)生改變，則移走的小正方體是（　　）
A．① B．② C．③ D．④
【答案】D
【知識點】小正方體組合體的三視圖
【解析】【解答】解：將①或②或③移走都不會改變幾何體的左視圖，
移走④后幾何體的左視圖右邊會少一個正方形；
故答案為：D.
【分析】觀察移走每個正方體后幾何體的左視圖，解答即可.
5．（2024七上·渠縣期末）如圖是由幾個小立方塊所搭成的幾何體的俯視圖，小正方形中的數(shù)字表示在該位置上小立方塊的個數(shù)，則這個幾何體的左視圖為（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知識點】由三視圖判斷幾何體
【解析】【解答】解：由俯視圖可知，左視圖從左到右分別是1個，3個，2個正方形
故答案為：B
【分析】本題考查幾何體的三視圖，由幾何體的俯視圖和正方形內(nèi)的數(shù)字，可知左視圖的列數(shù)和俯視圖的行數(shù)相同，每列小正方形數(shù)目為俯視圖中相應(yīng)行中正方形數(shù)字中的最大數(shù)字。
6．（2024七上·長春期末）如圖是正方體的表面展開圖，若正方體中相對的面上的數(shù)互為相反數(shù)，則的值為（　　）
A． B． C． D．2
【答案】A
【知識點】相反數(shù)的意義與性質(zhì)；含圖案的正方體的展開圖
【解析】【解答】解：∵正方體中相對的面上的數(shù)互為相反數(shù)，
∴，
故選：A．
【分析】本題考查正方體的相對面、以及相反數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)正方體的表面展開圖中，觀察正方體展開圖的形狀，例如“一四一”型、“二三一”型、“二二二”型或“三三”型，根據(jù)每種類型的特征，相對的面之間一定相隔一個正方形，據(jù)此作答，即可得到答案．
7．（2023七上·射洪期末）如圖，點M在線段AN的延長線上，且線段MN=20，第一次操作：分別取線段AM和AN的中點；第二次操作：分別取線段和的中點；第三次操作：分別取線段和的中點；……連續(xù)這樣操作10次，則每次的兩個中點所形成的所有線段之和( )
A． B． C． D．
【答案】A
【知識點】線段的中點；線段的和、差、倍、分的簡單計算
【解析】【解答】解：∵分別為的中點，，
∴，
∵分別為的中點，
∴，
根據(jù)規(guī)律得到，
∴.
故答案為：A.
【分析】利用線段中點的意義求出，再求出的長度，然后找出的規(guī)律，再利用規(guī)律求出的值.
8．（2025七上·新昌期末）如圖，從早上到同一天早上，時鐘的分針旋轉(zhuǎn)了（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知識點】鐘面角
【解析】【解答】解：從上午到當(dāng)天上午，
時鐘一共走了100分鐘，
，
時鐘的分針一分鐘走，
．
故答案為：D．
【分析】根據(jù)時間可得時鐘一共走了100分鐘，然后乘以每分鐘旋轉(zhuǎn)角度解題．
9．（2025七上·江北期末）將一副直角三角板按如圖所示各位置擺放，其中∠a與∠β一定互余的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知識點】角的運算；余角
【解析】【解答】解：A中. ，則A不符合題意；
B中 則B不符合題意；
C中 不一定是 ，則C不符合題意；
D中 則D符合題意.
故答案為： D.
【分析】如果兩個角的和為 那么這兩個角互為余角，據(jù)此逐項判斷即可.
10．（2024七上·洪山期末）如圖，點為線段外一點，，，，為上順次排列的四點，連接，，，，在下列結(jié)論中：
①以為頂點的角有15個；
②若平分，平分，，則
③若為的中點，為的中點，則；
④若，，則．
其中正確的結(jié)論有（　　）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【答案】B
【知識點】線段的中點；角平分線的概念
【解析】【解答】解：以O(shè)為頂點的角有個，故①正確；
由角平分線的定義可得：，，
∵，
∴
∴，
∴，
，
故②錯誤；
由中點定義可得：，，
∴，
∵，
∴，故③正確；
∵，，
∴，
∴，即，故④錯誤.
故選：B.
【分析】本題考查了角平分線概念，以及線段中點的相關(guān)計算，根據(jù)角的概念，求得以O(shè)為頂點的角的個數(shù)，可判斷①；由角平分線的定義及角之間的和差關(guān)系，求得，可判斷②；根據(jù)線段的中點，結(jié)合，求得， 可得判斷③；根據(jù)，且，得到，可得判斷④．
二、填空題：本大題共5小題，每小題3分，共15分
11．（2023七上·天橋月考）一個棱柱有12個頂點，所有側(cè)棱長的和是48cm，則每條側(cè)棱長是　 　。
【答案】8cm
【知識點】棱柱及其特點
【解析】【解答】∵一個棱柱有12個頂點，
∴棱柱有6條側(cè)棱，
∵所有側(cè)棱長的和是48cm，
∴每條側(cè)棱長是48÷6=8cm，
故答案為：8cm.
【分析】先判斷出棱柱有6條側(cè)棱，再結(jié)合“所有側(cè)棱長的和是48cm，”求出每條側(cè)棱的長即可.
12．（2024七上·岷縣期末）如圖，這是由若干個大小相同的小正方體組合而成的幾何體，那么從三個方向看到的平面圖形中，面積最大的是從　 　面看．（填“上”“正”或“左”）
【答案】上
【知識點】簡單幾何體的三視圖
【解析】【解答】解：從不同方向看到的平面圖形如下圖所示：
由圖可知，從正面看到的圖形由5個小正方形組成，從左面看到的圖形由5個小正方形組成，從上面看到的圖形由6個小正方形組成，
因此面積最大的是從上面看．
故答案為：上．
【分析】本題考查了幾何體的三視圖，其中三視圖的投影規(guī)律具體表現(xiàn)為：主視圖與俯視圖長度方向?qū)φ粗饕晥D和俯視圖的長度要相等；主視圖與左視圖高度方向平齊，即主視圖和左視圖的高度要相等；俯視圖與左視圖寬度方向相等，即左視圖和俯視圖的寬度要相等，據(jù)此畫出從不同方向觀察到的平面圖形，即可求解．
13．（2024七上·揭東月考）圖所示是一個正方體的表面展開圖，且相對兩個面表示的整式的和都相等．如果，那么F所代表的整式是　 　．
【答案】
【知識點】整式的加減運算；已知展開圖進行幾何體的相關(guān)的計算
【解析】【解答】解：（1）由題意得，A與E相對，B與D相對，C與F相對，
∵相對兩個面表示的整式的和都相等，
∴F+C=B+D，
∴
，
故答案為：．
【分析】先根據(jù)正方體展開圖的特點得到A與E相對，B與D相對，C與F相對，再根據(jù)相對面的兩個整式的和相等可得F+C=B+D，于是可得，把B、D、C的代數(shù)式代入并根據(jù)去括號法則"括號前面是“+”號，去掉括號不變號；括號前面是“-”號，去掉括號全變號。"和合并同類項法則"合并同類項法則：把同類項的系數(shù)相加，字母和字母的指數(shù)不變"計算即可求解.
14．復(fù)原繩子 如圖所示，把一根繩子對折成一條線段AB，P是AB 上一點，且 若在點 P 處將繩子剪斷，且剪斷后的各段繩子中最長的一段為40cm.則繩子的原長為　 　cm.
【答案】60或120
【知識點】線段的中點；線段的和、差、倍、分的簡單計算
【解析】【解答】解：根據(jù)題意知 剪斷后的各段繩子中最長的一段為40cm，若A 是連著的端點，則PA=20，PB=40，AB=60.原長=2AB=120cm；
若點 B 是連著的(也就是線段中點)，則PB=20，PA=10，所以AB=30，原長=2AB=60cm.
故答案為：60或120.
【分析】分情況討論，利用線段的和差計算即可解答.
15．（2020七上·睢寧月考）用邊長為 的正方形紙板，制成一個七巧板（如圖①），將它拼成“小天鵝”圖案（如圖②），其中陰影部分的面積為　 　.
【答案】
【知識點】七巧板與拼圖制作
【解析】【解答】由正方形的對角線把正方形分成全等的四個等腰直角三角形，可得每個較大的等腰直角三角形的面積為： ，小等腰直角三角形面積=1 ，所以“小天鵝”圖案的陰影部分面積為： .
故答案為： .
【分析】七巧板的七個部分之和為正方形紙板面積，據(jù)此先求出七巧板中兩個較大的等腰直角三角形的面積，再用正方形紙板面積減去這較大的兩個等腰直角三角形面積和一個小等腰直角三角形面積即可.
三、解答題：本大題共9小題，共75分
16．（2025七上·寧波期末）如圖，平面內(nèi)四點 ，按下列要求作圖（保留作圖痕跡并標注相關(guān)字母）．
（1）畫射線 ；
（2）畫直線 ；
（3）連結(jié) ，并延長至點 ，使得 ；
（4）在直線 上找一點 ，使得 最小．
【答案】解：如圖，
（1）射線AB即為所求，
（2）直線AC即為所求，
（3）線段DC及點B即為所求，
（4）AC與BD的交點P即為所求.
【知識點】兩點之間線段最短；尺規(guī)作圖-直線、射線、線段
【解析】【分析】(1)根據(jù)射線的定義，可得答案；
(2)根據(jù)直線的定義，可得答案；
(3)根據(jù)線段中點的定義，可得答案；
(4)根據(jù)兩點之間線段最短，可得答案.
17．計算。
（1）(結(jié)果用度、分、秒表示)
（2）
【答案】（1）解：原式=38°45'+72°30'
=38°45'+72°30'
=(38+72)°(45+30)'
=111°15'
（2）解：原式=57°91'81"-20°42'44"
=37°49'37″
【知識點】常用角的度量單位及換算；角度的四則混合運算
【解析】【分析】（1）先將72.5°轉(zhuǎn)化為度、分、秒的形式，再根據(jù)角度的加法運算規(guī)則，將度與度相加，分與分相加，秒與秒相加，滿60進1；
（2）根據(jù)小單位化大單位除以進率，可得答案.
18．（2018-2019學(xué)年數(shù)學(xué)北師大版七年級上冊第一章《豐富的圖形世界》單元檢測B卷）在平整的地面上，有若干個完全相同棱長的小正方體堆成一個幾何體，如圖所示．
（1）請畫出這個幾何體的三視圖．
（2）如果在這個幾何體的表面噴上黃色的漆，則在所有的小正方體中，有　 　個正方體只有一個面是黃色，有　 　個正方體只有兩個面是黃色，有　 　個正方體只有三個面是黃色．
（3）若現(xiàn)在你手頭還有一些相同的小正方體，如果保持俯視圖和左視圖不變，最多可以再添加幾個小正方體？
【答案】（1）解：如圖所示：
（2）1；2；3
（3）解：最多可以再添加4個小正方體．
【知識點】簡單組合體的三視圖；作圖﹣三視圖
【解析】【解答】（1）由已知條件可知，主視圖有3列，每列小正方數(shù)形數(shù)目分別為3，1，2；左視圖有3列，每列小正方形數(shù)目分別為3，2，1；俯視圖有3列，每列小正方數(shù)形數(shù)目分別為3，2，1．據(jù)此可畫出圖形；（2）只有一個面是黃色的應(yīng)該是第一列正方體中最底層中間那個；有2個面是黃色的應(yīng)是第一列最底層最后面那個和第二列最后面那個；只有三個面是黃色的應(yīng)是第一列第二層最后面的那個，第二列最前面那個，第三列最底層那個；（3）保持俯視圖和左視圖不變，可往第二列前面的幾何體上放一個小正方體，后面的幾何體上放2個小正方體，第三列的幾何體上放一個一個小正方體。
【分析】（1）簡單幾何體組合體的三視圖，就是分別從正面，左面和上面看得到的正投影，由幾何體可知：主視圖有3列，每列小正方數(shù)形數(shù)目分別為3，1，2；左視圖有3列，每列小正方形數(shù)目分別為3，2，1；俯視圖有3列，每列小正方數(shù)形數(shù)目分別為3，2，1．據(jù)此可畫出圖形；
（2）需要給這個幾何體的表面噴上黃色的漆，能噴上漆的面只能是露在外面的面，觀察圖形可知：第一列正方體中最底層中間那個只有一個面露在外邊，第一列最底層最后面那個和第二列最后面那個有兩個面露在外邊，第一列第二層最后面的那個，第二列最前面那個，第三列最底層那個都有三個面露在外邊，從而得出答案；
（3）如果保持俯視圖和左視圖不變，可往第二列前面的幾何體上放一個小正方體，后面的幾何體上放3個小正方體，第三列的幾何體上放一個一個小正方體，故最多放四個。
19．（2024七上·長春期末）如圖所示的幾何體是由5個大小相同的小正方體搭成．
（1）請在網(wǎng)格中畫出這個幾何體的主視圖和左視圖．
（2）在這個幾何體中，當(dāng)去掉一個小正方體　 　時，剩余部分的俯視圖沒有改變（填寫圖中小正方體的序號）；如果在這個幾何體上再添加一些相同的小正方體，并保持這個幾何體的主視圖和左視圖不變，那么最多可以再添加　 　個小正方體．
【答案】（1）解：如圖所示：
（2）①；2
【知識點】由三視圖判斷小正方體的個數(shù)；小正方體組合體的三視圖
【解析】【解答】（2）解：可畫出俯視圖為：
∴當(dāng)去掉一個小正方體①時，剩余部分的俯視圖沒有改變．
保持這個幾何體的主視圖和左視圖不變，可在第一層的前面第一行添加2個小正方體．
故答案為：①，2．
【分析】（1）根據(jù)幾何體的三視圖畫法，分別從正面看和左面看得到其主視圖和左視圖，即可解答；
（2）根據(jù)該立體圖形的俯視圖，要使這個幾何體的主視圖和左視圖不變，在第一層的前面第一行添加2個小正方體，據(jù)此即可解答．
（1）解：如圖所示：
（2）解：可畫出俯視圖為：
∴當(dāng)去掉一個小正方體①時，剩余部分的俯視圖沒有改變．
保持這個幾何體的主視圖和左視圖不變，可在第一層的前面第一行添加2個小正方體．
故答案為：①，2．
20．十八世紀瑞士數(shù)學(xué)家歐拉證明了簡單多面體的頂點數(shù)（）、面數(shù)（）、棱數(shù)（）之間存在的一個有趣的關(guān)系式，被稱為歐拉公式．請你觀察下列幾種簡單多面體模型，解答下列問題：
（1）【觀察總結(jié)】五種簡單多面體的頂點數(shù)（）、面數(shù)（）、棱數(shù)（）如下表：
多面體 頂點數(shù)（） 面數(shù)（） 棱數(shù)（）
三棱錐 4 4 6
長方體 8 6 12
五棱柱 10 7 15
八面體 6 8 12
十二面體 20 12 30
猜想頂點數(shù)（）、面數(shù)（）、棱數(shù)（）之間存在的關(guān)系式是　 　（用所給的字母表達）；
（2）【簡單應(yīng)用】①能否組成一個有條棱、個面、個頂點的多面體？請說明理由．
②一個正二十面體有條棱，則它的頂點數(shù)是 ▲ ．
（3）【實踐探究】學(xué)校校園文化節(jié)，七年級數(shù)學(xué)實踐小組同學(xué)制作了各種各樣的多面體作品．
①一個多面體作品，只有個頂點，并且過每個頂點都有條棱，則這個多面體的面數(shù)是　 　；
②一個多面體作品如圖所示，每個面的形狀是正三角形或正五邊形，每條棱都是正三角形和正五邊形的公共邊，則該多面體作品正三角形比正五邊形的面數(shù)多　 　個．
【答案】（1）
（2）解：①不能；∵，
∴不能組成一個有條棱、個面、個頂點的多面體；；②12
（3）14；8
【知識點】立體圖形的概念與分類
【解析】【解答】解：（1）∵，，…，
∴頂點數(shù)、面數(shù)、棱數(shù)（E）之間存在的關(guān)系式是，
故答案為：；
（2）②一個正二十面體有條棱，則它的頂點數(shù)是（個），
故答案為：12；
（3）①一個多面體作品，只有個頂點，并且過每個頂點都有條棱，則它的棱數(shù)為（條），它的面數(shù)為，
故答案為：14；
②設(shè)正五邊形塊，則正三邊形塊，棱數(shù)，而頂點數(shù)，由題意得
，解得，所以正五邊形為12塊，正三邊形為20塊．．
故答案為：8．
【分析】(1)觀察 (1)中頂點數(shù)、面數(shù)、棱數(shù)可得答案；
(2)根據(jù)點數(shù)、面數(shù)、棱數(shù)之間的關(guān)系即可判斷；
(3)根據(jù)點數(shù)、面數(shù)、棱數(shù)之間的關(guān)系求解即可；
(4)①根據(jù)點數(shù)、面數(shù)、棱數(shù)之間的關(guān)系求解即可；②設(shè)正五邊形x塊，則正三邊形 塊，則由上面的規(guī)律數(shù)可以看出，棱數(shù) 而頂點數(shù) 列出方程即可.
21．（2019七上·榆樹期中）【教材呈現(xiàn)】下圖是華師版七年級上冊數(shù)學(xué)教材第104頁的部分內(nèi)容
例5如圖3.4.1所示的窗框，上半部分為半圓，下半部分為6個大小一樣的長方形，長方形的長和寬的比為3：2． 設(shè)長方形的長為x米，用x表示所需材料的長度(重合部分忽略不計)
（1）請根據(jù)教材提示，結(jié)合圖3.4.1，寫出例5中第(1)題完整的解題過程
（2）【結(jié)論應(yīng)用】圖①、圖②是某設(shè)計師設(shè)計的兩種窗戶設(shè)計圖，圖①是由邊長4a正方形和直徑4a半圓組成，圖②是由一個八邊形和直徑2a的圓組成。
求圖②的面積(用含有a的代數(shù)式表示，結(jié)果保留π)．
（3）用鐵絲做成圖①、圖②，這兩個圖形用的鐵絲的長度是否相同，如果相同，請說明理由，如果不同，請比較出哪個設(shè)計圖大
【答案】（1）解：由題意，得11x+9 x+πx=(17+π)x(米)
（2）解：πa2+2a×4a+2a×2a=πa2+12a2=(π+12)a2
（3）解：圖①的周長為4a×4+2πa=(16+2π)a
圖②的周長為2πa+4a×4=(16+2π)a
∵(16+2π)a=(12+2π)a
∴兩個圖形用的鐵絲回樣多
答：兩個圖形用的鐵絲同樣多
【知識點】平面圖形的初步認識
【解析】【分析】（1）6個長方形的周長、圓周長的一半、3條半徑的總和即為所求；
（2）將圖形看成一個直徑為4a的圓、一個長4a、寬2a的長方形和一個邊長為2a的正方形的面積的和求解。
（3）分別計算出這兩個圖形的周長，即可解答。
22．【概念學(xué)習(xí)】點在線段上，若，則稱是點在線段上的“分點值”，記作．例如，如圖1，若，則點在線段上的“分點值”是，記作；若，則，故點在線段上的“分點值”是，記作．
（1）【理解與應(yīng)用】已知點在線段上．若，，則　 　；
若，，則　 　．
（2）如圖2，線段， 是線段上一點，、兩點分別從點、出發(fā)以，的速度同時向點運動，運動的時間為， 當(dāng)其中一點到達點時，兩點都停止運動．
①若點在上運動時，總有，求出的值；
②若，則當(dāng)為何值時，；
③若時，，則 ▲ ．
【答案】（1）；18
（2）解：①，．
∵，
∴．
∴．
∴；
②∵，，
∴，則．
∴，，
∵，
∴，
故；
③或
【知識點】線段的中點；線段的和、差、倍、分的簡單計算
【解析】【解答】（1）解：若，，則，
若，，則，
∵，，
∴．
∵，
∴．
故答案為：；18；
（2）③∵．
∴，．
分兩種情況：
當(dāng)在的左側(cè)時，
∵，
∴．
∴．
可知，，則；
當(dāng)在的右側(cè)時，
．
，
則；
綜上所述，或；
故答案為：或．
【分析】（1）參照題干中的定義及計算方法分析求解即可；
（2）①先求出，，再求出即可；
②先求出，，再結(jié)合，求出即可；
③分類討論：當(dāng)在的左側(cè)時，當(dāng)在的右側(cè)時，再分別畫出圖形并利用線段的和差和定義求解即可.
23．（2024七上·南海期末）綜合與實踐
某興趣小組利用長為a 厘米，寬為b 厘米的長方形紙板制作長方體紙盒，做了以下嘗試：（紙板厚度及接縫處忽略不計）
（1）如圖1，若，先在紙板四角剪去4個同樣大小邊長為c 厘米的小正方形，再沿虛線折起來就可以做成一個無蓋的正方體紙盒．此時，b與c的數(shù)量關(guān)系為_______
（2）如圖2，若，先在紙板四角剪去4個同樣大小邊長為c 厘米的小正方形，再沿虛線折起來就可以做成一個無蓋的長方體紙盒，為了使紙盒底面更加牢固且達到廢物利用的目的，將剪下的四個小正方形平鋪在盒子的底面，要求既不重疊又恰好鋪滿，此時，b與 c的數(shù)量關(guān)系為_______．
（3）若，在紙板四角剪去4個同樣大小邊長為c 厘米的小正方形，恰好可以制作成一個無蓋的長方體紙盒，請你通過列表研究，c取何整數(shù)時，所得長方體的體積V最大？
1 2 3 4 5
180 256 252 192 100
【答案】（1）
（2）
（3）解：由表格中的數(shù)據(jù)可知，當(dāng)時，隨著c的增大，體積V逐漸減小，并且當(dāng)時V的值大于時V的值，∴當(dāng)時，所得長方體的體積V最大．
【知識點】已知展開圖進行幾何體的相關(guān)的計算
【解析】【解答】解：（1）解：由題意得，，
∴，
故答案為：；
（2）∵在紙板四角剪去四個同樣大小邊長為c厘米的小正方形，
∴剩余長為，
∵剪下的四個小正方形平鋪在盒子的底面，要求既不重疊又恰好鋪滿，
∴此時的長為，
∴，
∴；
【分析】（1）根據(jù)立方體的性質(zhì)，結(jié)合立方體邊之間的關(guān)系列等式，求得b與c之間的數(shù)量關(guān)系，得到答案；
（2）根據(jù)剪下的四個小正方形平鋪在盒子的底面，結(jié)合既不重疊又恰好鋪滿，列出即可求得答案；
（3）根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)，得到當(dāng)時，隨著c的增大，體積V逐漸減小，結(jié)合時V的值大于時V的值，即可得到答案．
24．（2024七上·三臺期末）為了培養(yǎng)同學(xué)們的幾何思維能力，張老師給同學(xué)們設(shè)置了一道幾何題探究題：將一副三角尺按如圖1所示位置擺放，三角尺ABC中，∠BAC=90°，∠B=∠C=45°；三角尺ADE中，∠E=90°， ∠DAE=60°， ∠D=30°，分別作∠BAE， ∠CAD的平分線AM，AN.試求出∠MAN的度數(shù). 為了便于同學(xué)們探究，特別進行了以下活動：
[初步探究]現(xiàn)將三角尺按照圖2，圖3所示的方式擺放，AM，AN仍然是∠BAE， ∠CAD的平分線.在圖2中AB與AD重合，在圖3中AB，AE與AM重合在一起.
（1）圖2中∠MAN的度數(shù)為　 　°，圖3中∠MAN的度數(shù)為　 　°.
（2）[深入探究]通過初步探究，請你猜想圖1中∠MAN的度數(shù)為 ▲ °.如果設(shè)∠BAD=，請求出圖1中∠MAN的度數(shù).
【答案】（1）75；75
（2）解：如果設(shè)∠BAD=，請求出圖1中∠MAN的度數(shù).
，，
.
平分，
.
，，
.
平分，
.
，
【知識點】角的運算；角平分線的概念
【解析】【解答】解：（1）圖2中：∵是的平分線，，
∴
∴；
圖3中：，
∴
∵是的平分線，
∴
∴；
故答案為：；
【分析】（1）先根據(jù)角平分線的定義結(jié)合題意得到，進而得到；再結(jié)合題意求出∠CAD的度數(shù)，從而根據(jù)角平分線的定義進行角的運算即可求解；
（2）設(shè)∠BAD=，進而得到，再根據(jù)角平分線的定義得到，從而結(jié)合題意即可得到，再根據(jù)角平分線的定義得到，最后進行角的運算即可求解。
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