資源簡介

第四章《相交線和平行線》提升卷—華東師大版數學七（上）單元測
一、選擇題：本大題共10小題，每小題3分，共30分
1．如圖，直線AB，CD 相交于點O，OE⊥AB 于點O，OF 平分∠AOE，∠1=15°31'，則下列結論中不正確的是（　　）.
A． B．∠1=∠3
C．∠AOD與∠1互為補角 D．∠1的余角等于 75°31'
2．（2025七上·長春期末）下列語句中，正確的是（　　）
A．相等的角一定為對頂角
B．不是對頂角的角一定不相等
C．不相等的角一定不是對頂角
D．有公共頂點且和為的兩個角一定為鄰補角
3．（2023七上·巴中月考）已知A、B、C三點，若過其中任意兩點畫一條直線，則畫出的不同直線（　　）
A．一定有三條 B．只能有一條
C．可能有三條，也可能只有一條 D．以上結論都不對
4．（2021七上·德陽月考）如果同一平面內有三條直線，那么它們交點個數是（　　）個.
A．3個 B．1或3個
C．1或2或3個 D．0或1或2或3個
5．（2023七上·南海期末）若平面內互不重合的4條直線只有3個交點，則平面被分成了（　　）個部分．
A．7或8 B．8 C．8或9 D．10
6．（2024七上·海曙期末）如圖所示，下列說法中：①與是同旁內角；②與是內錯角；③與是內錯角；④與是同位角．正確的個數是（　　）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
7．（2025七下·榕城期末） 下列圖形中， 由∠1=∠2， 能得到AB∥CD的是(　　)
A． B．
C． D．
8．（2025七下·雨花期末）如圖，某條行車路線共拐了三次彎，最后行車路線與開始的路線是平行的．已知第一次轉過的角度為120°，第三次轉過的角度為135°，則第二次轉過的角度為（　　)
A．75° B．60° C．135° D．120°
9．（2025七下·福田期末） 圖1 是視覺錯覺藝術風格的作品，這種設計利用背景線條、圖案的干擾，制造出視覺認知偏差的沖突，具有很強的趣味性與迷惑性.如圖2，現將其中的一組背景線條與直線a，b抽象出來，下列說法能判斷出的是（　　）
A． B．
C． D．
10．（2024七下·柳州期末）如圖，已知AM∥BN，∠A＝64°，點P是射線AM上一動點（與點A不重合），BC、BD分別平分∠ABP和∠PBN，分別交射線AM于點C、D，下列結論：①∠ACB＝∠CBN；②∠CBD＝58°；③當∠ACB＝∠ABD時，∠ABC＝29°；④當點P運動時，∠APB∶∠ADB＝2∶1的數量關系不變.其中正確結論有（　　）個
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空題：本大題共5小題，每小題4分，共20分
11．（2024七上·乾安期末）如圖，直線、相交于點O，射線平分，．若，則的度數為　 　．
12．如圖，有下列結論：①∠2與∠3是內錯角；②∠2與∠B是同位角；③∠A與∠B是同旁內角；④∠A與∠ACB不是同旁內角.其中正確的是　 　.(寫序號)
13．（2020七上·德惠期末）如圖，在直線a外有一點P，經過點P可以畫無數條直線，如果 ，那么過點P的其它直線與直線a一定不平行，理由是　 　．
14．（2024七下·金溪期中）如圖，直線，點E，F分別在直線，上，點P為直線與間一動點，連接，，且，的平分線與的平分線交于點Q，則的度數為　 　．
15．（2025七下·紹興期末） 學行線后，小明想出了過直線外一點畫這條直線的平行線的方法，她是通過折一張半透明的紙得到的，如圖所示，由操作過程可知小明畫平行線的依據可以是　 　.（把所有正確的序號填上）
①同位角相等，兩直線平行；
②兩直線平行，內錯角相等；
③同旁內角互補，兩直線平行；
④如果兩條直線和第三條直線平行，那么這兩條直線平行.
三、解答題：本大題共8小題，共75分
16．
（1）在一條直線上有n個點，以這些點為端點的線段共有多少條
（2）平面內有n 條兩兩相交直線，這n條直線最少有幾個交點 最多有幾個交點
17．（2024七上·松陽期末）如圖，已知點A，B表示同一條鐵路上的兩個火車站，點C表示碼頭，直線a，b分別表示鐵路和河流．按下列要求畫圖：
（1）畫出直線a；
（2）從火車站A到碼頭C怎樣走最近，請畫圖表示；
（3）從碼頭C到鐵路怎樣走最近，請畫圖表示．
18．（2025七下·蓮都期末） 如圖，是內一點，點在上．過點畫一條直線平行于，過點畫一條直線平行于，直線交于．
（1）用直尺和三角尺畫平行線的方法，畫出圖形．
（2）若，求的度數．
19．（2025七下·源城期末）高速列車為了方便乘客放置小件物品，在座椅的后方都安裝了可折疊的小桌板，將小桌板放下后，桌面與車廂的底部AE平行，從側面觀察得到如圖①所示圖形，BA⊥AE，垂足為A，CD∥AE，有同學認為在這種情況下，∠ABC與∠BCD的和是個定值，下面是小林同學計算∠ABC+∠BCD的度數的過程，請你將解答過程補充完整．
解：如圖②，過點B作BF∥AE，
因為CD∥AE（ ），
所以（ ）∥CD（平行于同一條直線的兩條直線平行），
所以∠BCD+∠CBF＝（ ）°（ ），
因為AB⊥AE（ ），
所以∠EAB＝（ ）°（垂直定義），
因為BF∥AE，
所以（ ）+∠EAB＝180°，
所以∠ABF＝180°﹣90°＝（ ）°，
所以∠ABC+∠BCD＝∠ABF+∠CBF+∠BCD＝（ ）°．
20．如圖，已知點O 為直線AB 上一點， ，OM 平分 ，.
（1）求 的度數.
（2）試說明：OP 平分 .
（3）若改變 的大小，其余條件不變，設 ，(2)中的結論是否依然成立 若成立，請說明理由；若不成立，請用含α的式子表示 .
21．（2024七下·河池期中） 課題學行線問題中的轉化思想.
【閱讀理解】“兩條平行線被第三條直線所截”是平行線中的一個重要的“基本圖形”.與平行線有關的角都存在著這個“基本圖形”中，且都分布在“第三條直線”的兩旁.當發現題目的圖形“不完整”時要添加適當的輔助線將其補充完整.將“非基本圖形”轉化為“基本圖形”這體現了轉化思想.有這樣一道典型問題：
例題：如圖（1）.已知，點在直線、之間，探究與、之間的關系.
解：過點作.
，，
，
，
，
.
【學以致用】
（1）如圖（1），當，時，　 　；
（2）①如圖（2），已知，若，，求出的度數.
②如圖（3），在①的條件下，若、分別平分和，求的度數.
22．（2025七下·潮陽月考）如圖①，把一塊含角的直角三角尺的邊放置于長方形直尺的邊上．
（1）填空：______°，______°；
（2）現把三角尺繞點逆時針旋轉．
①如圖②．當，且點恰好落在邊上時，求，的度數（結果用含的式子表示）；
②當時，是否會存在三角尺某一邊所在的直線與直尺（有四條邊）某一邊所在的直線垂直？如果存在，請直接寫出所有的值和對應的那兩條垂線；如果不存在，請說明理由．
23．（2025七下·浙江期中）實驗證明，平面鏡反射光線的規律是：射到平面鏡上的光線和被反射出的光線與平面鏡所夾的銳角相等．如圖1，一束光線射到平面鏡上，被反射后的光線為，則入射光線、反射光線與平面鏡所夾的銳角．
（1）利用這個規律人們制作了潛望鏡，圖2是潛望鏡的工作原理示意圖，AB、CD是平行放置的兩面平面鏡．已知光線經過平面鏡反射時，有，請判斷入射光線和反射光錢是否平行，并說明理由．
（2）顯然，改變兩面平面鏡AB、CD之間的位置關系、經過兩次反射后，入射光線與反射光線之間的位置關系會隨之改變，如圖3，一束光線射到平面鏡AB上，被AB反射到平面鏡CD上，又被CD反射．若被CD反射出的光線和光線平行，且，則　 　°，　 　°．
（3）試猜想：在圖3中，當兩平面鏡AB，CD的夾角的度數是多少時，可以使任何入射光線經過平面鏡AB、CD的兩次反射后，與反射光線平行？請說明理由．
答案解析部分
1．【答案】D
【知識點】對頂角及其性質；角平分線的概念；余角；補角
【解析】【解答】解：∵OE⊥AB
∴∠AOE=90°
∵OE⊥AB
∴，A正確
∠1與∠3為對頂角
∴∠1=∠3，B正確
∵∠AOD+∠1=∠AOB=180°
∴∠AOD與∠1互為補角，C正確
∵∠1=15°31'
∴∠1的余角等于90°- 15°31'=74°29'，D錯誤
故答案為：D
【分析】根據角平分線定義可判斷A選項，根據對頂角相等可判斷B選項，根據補角定義可判斷C選項，根據余角定義可判斷D選項.
2．【答案】C
【知識點】對頂角及其性質；鄰補角
【解析】【解答】解：A中，由相等的角不一定是對頂角，本選項錯誤，所以A不符合題意；
B中，由不是對頂角的角也可能相等，本選項錯誤，所以B不符合題意；
C中，由不相等的角一定不是對頂角，本選項正確，所以C符合題意；
D中，由有公共頂點且和為的兩個角不一定是鄰補角，本選項錯誤，所以D不符合題意．
故選：C．
【分析】本題考查了對頂角和鄰補角的定義，把有公共端點且兩條邊互為反向延長線的兩個角互為對頂角，對頂角相等；把兩個角有一條公共邊，它們的另一條邊互為反向延長線，具有這種關系的兩個角，叫做鄰補角，據此逐項分析判斷，即可得到答案.
3．【答案】C
【知識點】平面中直線位置關系
【解析】【解答】
解：如圖所示
可以看出可以為1條直線，也可以是3條直線.
故答案為：C.
【分析】當A、B、C三點在同一直線時，可以知道有一條直線；當三點不在同一條直線時，由定理：過兩點有且只有一條直線，可以得出答案.
4．【答案】D
【知識點】相交線的相關概念
【解析】【解答】解：①如圖，三條直線全都平行，此時交點個數為0個
②如圖，三條直線中，有兩條直線平行，第三條直線交這兩條直線，此時交點個數為2個
③如圖，三條直線兩兩相交，當組成一個三角形時，此時交點個數為3個
④如圖，三條直線兩兩相交，交點個數為1個
故答案為：D.
【分析】本題需要通過分類討論，三條直線是否平行，是否交于一個點。
5．【答案】C
【知識點】平面中直線位置關系；相交線的相關概念
【解析】【解答】解：如圖：如下兩種情況下平面內互不重合的4條直線只有3個交點：
圖①中分成9個部分，圖②中分成8個部分.
故答案為：C.
【分析】畫出滿足條件的圖形，即可得到答案.
6．【答案】C
【知識點】同位角的概念；內錯角的概念；同旁內角的概念
【解析】【解答】解：①與是同旁內角，正確；
②與是內錯角，正確；
③與是同旁內角，錯誤；
④與是同位角，正確．
故答案為：C．
【分析】根據同位角、內錯角、同旁內角的定義逐一判斷即可.
7．【答案】C
【知識點】平行線的判定
【解析】【解答】解：A：∠1和∠2不是三線八角，不能判定兩直線平行，故A不符合題意；
B： 由∠1=∠2， 能判定AD∥BC，故B不符合題意；
C：∠1和∠2的對頂角是直線AB和CD被MN所截得到的一組同位角，所以 由∠1=∠2， 可以得到 AB∥CD ，故C符合題意；
.D：∠1和∠2不是AB，CD被第三條直線截得的角，所以不能判定AB∥CD，故D不符合題意。
故答案為：C.
【分析】根據平行線的判定定理，分別進行判定，即可得出答案。
8．【答案】A
【知識點】平行線的性質
【解析】【解答】解：如圖，過點C作CF∥DE，
則∠DCF+∠CDE=180°，
由題可知∠CDE=135°，∠ABC=120°，
所以∠DCF=45°，
因為行車路線與開始的路線是平行的，
所以AB∥DE，
又CF∥DE，
所以AB∥CF，
所以∠BCF=∠ABC=120°，
所以∠BCD=∠BCF-∠DCF=75°，
所以第二次轉過的角度為75°.
故答案為：A.
【分析】利用平行線的性質來求解第二次轉過的角度。
9．【答案】A
【知識點】平行線的判定；同位角相等，兩直線平行
【解析】【解答】解： 、與是同位角，同位角相等，兩直線平行，可判斷，A正確.
、與是對頂角，對頂角相等不能判定，B錯誤.
、與是鄰補角，和為是必然，不能判定，C錯誤.
、與無直接平行判定關系，D錯誤.
故答案為：A .
【分析】根據平行線的判定定理（同位角相等、內錯角相等、同旁內角互補 ），逐一分析選項中角的關系是否符合判定條件.
10．【答案】D
【知識點】角平分線的概念；兩直線平行，內錯角相等；兩直線平行，同旁內角互補
【解析】【解答】解：∵，
∴，
故①正確；
∵，，
∴，
∵、分別平分和，
∴，，
∴，
故②正確；
∵，
∴，
又，
∴，
∴，
又，，
∴，
故③正確；
∵，
∴，，
又，
∴，
∴，
故④正確．
故答案為：D．
【分析】直接利用平行線的性質判斷①；先求出∠ABN的度數，然后利用角平分線的定義可得求∠CBD的度數，即可判斷②；利用平行線的性質和∠ACB=∠ABD可證∠ABC=∠DBN，然后結合角平分線定義可求∠DBP的度數，即可判斷③；利用平行線的性質可得，結合可得∠APB=2∠ADB，即可判斷④．
11．【答案】55°
【知識點】角的運算；垂線的概念；角平分線的概念
【解析】【解答】解：∵，OM平分∠AOC，
∴∠COM=∠AOC=35°，
∵ON⊥OM，
∴∠NOM=90°，
∴∠CON=∠NOM-∠COM=90°-35°=55°，
故答案為：55°.
【分析】先利用角平分線的定義求出∠COM=∠AOC=35°，再利用角的運算求出∠CON=∠NOM-∠COM=90°-35°=55°即可.
12．【答案】①②③
【知識點】同位角、內錯角與同旁內角
【解析】【解答】解：①∠2與∠3是直線AB、直線BC，被直線CD所截的一對內錯角，因此①符合題意；
②∠2與∠B是直線CD、直線BC，被直線AB所截的一對同位角，因此②符合題意；
③∠A與∠B是直線AC、直線BC，被直線AB所截的一對同旁內角，因此③符合題意，
④∠A與∠ACB是直線AB、直線BC，被直線AC所截的一對同旁內角，因此④不符合題意.
故答案為： ①②③ .
【分析】同位角：兩條直線被第三條直線所截，在截線的同旁，且在被截兩直線的同一側的角，我們把這樣的兩個角稱為同位角.
內錯角：兩條直線被第三條直線所截，兩個角分別在截線的兩側，且夾在兩條被截直線之間，具有這樣位置關系的一對角叫做內錯角.
同旁內角：兩條直線被第三條直線所截，在截線同旁，且在被截線之內的兩角，叫做同旁內角.
13．【答案】平行公理：經過直線外一點，有且只有一條直線與這條直線平行.
【知識點】平行公理及推論
【解析】【解答】解：在直線a外有一點P，經過點P可以畫無數條直線，但根據平行公理可知，過點P只有一條直線a平行，既然如果 ，那么過點P的其它直線與直線a一定不平行.
故答案是：平行公理：經過直線外一點，有且只有一條直線與這條直線平行.
【分析】根據平行公理：經過直線外一點，有且只有一條直線與這條直線平行，解決即可.
14．【答案】或120°
【知識點】平行線的性質；角平分線的概念
【解析】【解答】解：分兩種情況討論：
①如圖1，過點，分別作，，
，
．
，．
．
的平分線與的平分線交于點，
，．
，
，
同理可得；
②如圖2，過點，分別作，，
，
．
，．
，
．
的平分線與的平分線交于點，
，．
．
，同①可得．
綜上所述，的度數為或．
故答案為：或
【分析】分兩種情況討論，當點P，Q在EF同側或異側時，先畫出圖形，再利用角平分線的定義和平行線的性質，分別求解即可．
15．【答案】①③
【知識點】同位角相等，兩直線平行；同旁內角互補，兩直線平行
【解析】【解答】解：如圖。
第一次折疊后，得到的折痕AB與直線a之間的位置關系是垂直。
將正方形紙展開，再進行第二次折疊如圖（4）所示，得到的折痕CD與第一次折痕之間的位置關系是垂直。
∵，
∴
∵
∴
∵
∴
∵
∴
故答案為：①③ .
【分析】根據折疊可直接得到折痕AB與直線a之間的位置關系是垂直，折痕CD與第一次折痕之間的位置關系是垂直，然后根據平行線的判定條件求解即可。
16．【答案】（1）解：從第1個點到第n個點的線段數量總和為：
1+2+3+4+……+（n-1）=
∴ 共有條.
（2）解：當平面內兩兩相交的n條直線交于一點時，此時交點個數最少為1個；
為使平面內兩兩相交的直線的交點個數最多，可使其任意兩線相交都產生一個新的交點，且任意三條直線都不過同一點，于是可得交點數最多：
2條直線最多1個交點；
3條直線最多：1+2個交點；
4條直線最多：1+2+3個交點；
5條直線最多：1+2+3+4個交點；
∴ n條直線最多：1+2+3+4+……+（n-1）=個交點.
【知識點】線段的計數問題；直線相交的交點個數問題
【解析】【分析】（1）從簡單情形入手，先找兩個點之間的線段條數，再找出三個點之間的線段條數，再找出四個點之間的線段條數，歸納發現規律，算出和即可解答；
（2）當平面內兩兩相交的n條直線交于一點時，此時交點個數最少為1個；再從簡單情形入手，2條直線最多1個交點；3條直線最多：1+2個交點；4條直線最多：1+2+3個交點；歸納發現規律，算出和即可解答.
17．【答案】（1）解：直線ａ如下圖所示，
（2）解：線段AC就是所求線段，
（3）∴垂線段CD就是所求直線，
【知識點】兩點之間線段最短；垂線段最短及其應用；尺規作圖-直線、射線、線段
【解析】【分析】（1）根據兩點確定一條直線作圖即可；
（2）根據兩點之間線段最短作圖即可；
（3）根據直線外一點到直線最短距離為垂線段據此作圖即可．
18．【答案】（1）解：如圖所示：
（2）解：∵直線a平行于AB，
∵直線b平行于BC，

【知識點】平行線的性質；三角板（直尺）畫圖-平行線
【解析】【分析】(1)根據畫平行線的方法作圖即可；
(2)先根據兩直線平行，內錯角相等求出 再根據兩直線平行，同位角相等解答即可.
19．【答案】解：如圖②，過點B作BF∥AE，
因為CD∥AE（ 已知 ），
所以（ BF ）∥CD（平行于同一條直線的兩條直線平行），
所以∠BCD+∠CBF＝（ 180 ）°（ 兩直線平行，同旁內角互補 ），
因為AB⊥AE（已知 ），
所以∠EAB＝（ 90 ）°（垂直定義），
因為BF∥AE，
所以（ ∠ABF ）+∠EAB＝180°，
所以∠ABF＝180°﹣90°＝（ 90 ）°，
所以∠ABC+∠BCD＝∠ABF+∠CBF+∠BCD＝（ 270 ）°．
故答案為：已知；BF；180；兩直線平行，同旁內角互補；已知；90；∠ABF；90；270
【知識點】垂線的概念；平行公理及推論；平行線的性質
【解析】【分析】 如圖②，過點B作BF∥AE， 根據平行公理，平行線的性質以及垂直定義可推理的出結論，根據每一步推理的依據，可得出答案。
20．【答案】（1）解：因為點O 為直線AB 上一點， ∠BOC=110°，
所以 ，
因為OC⊥OD，
所以∠COD=90°，
所以∠AOD=∠COD-∠AOC=90°-70°=20°
（2）解：因為∠AOC=70°， OM 平分∠AOC，
所以∠AOM=
由(1)可知， ∠AOD=20°，
所以∠DOM=
所以∠BOP=∠DOM=55°，
所以
所以∠BOP=∠COP=55°，
所以OP 平分∠BOC.
（3）解：(2)中的結論依然成立.
理由如下：
因為點O為直線AB上一點，
所以 ∠BOC=180°-α.
因為OC⊥OD，
所以∠COD=90°，
所以
因為 OM 平分∠AOC，
所以
所以∠DOM=∠AOD+∠AOM
所以
所以
所以 所以OP 平分∠BOC.
【知識點】角的運算；垂線的概念；角平分線的概念
【解析】【分析】這道題主要圍繞角度的計算和角平分線的證明展開，通過已知條件中角的關系以及角平分線的性質來求解和證明
（1）首先根據平角的定義，已知∠BOC的度數，求出∠AOC的度數。然后由OC⊥OD得出∠COD的度數，最后利用∠AOD=∠COD - ∠AOC求出∠AOD的度數。
（2）先根據∠AOC的度數以及OM平分∠AOC求出∠AOM的度數，再結合∠AOD的度數求出∠DOM的度數，由∠BOP=∠DOM求出∠BOP的度數，最后通過∠BOC的度數求出∠COP的度數，比較∠ BOP和∠COP的度數來證明OP平分∠BOC。
（3）先根據∠BOC =α求出∠AOC的度數，再根據OM平分∠AOC求出∠AOM的度數，然后結合∠AOD =∠COD∠AOC（∠COD = 90°）求出∠AOD的度數，進而求出∠DOM的度數。因為∠BOP=∠ DOM，最后通過∠COP=∠BOC - ∠BOP求出∠COP的度數，判斷結論是否成立。
21．【答案】（1）
（2）解：①過點作，如圖：
，，
，
，
又，
，
，
，
②，平分，
，
，平分，
，
由（1）問可知：，
【知識點】平行線的性質；角平分線的概念；平行公理的推論
【解析】【解答】解：（1）∵∠BED=∠B+∠D，
∵， ，
∴∠BED=65°.
故答案為：65°.
【分析】（1）根據∠BED=∠B+∠D，將數值代入即可得到答案；
（2）①過點作，根據題意得到，得到，，進而得到，即可得到答案；
②根據角平分線的定義得到，，根據（1）的結論即可求出的度數.
22．【答案】（1）120；90
（2）解：（2）①如圖2．
，
，
，
，，
，
；
②存在。
當時，，
，
∴；
當時，
，；
當時，
．
【知識點】垂線的概念；平行線的性質；鄰補角
【解析】【解答】解：（1）∵，
∴，
∵，
∴，；
∴∠1=120°，∠2=90°。
故答案為，；
【分析】（1）根據兩直線平行，同位角相等可得出，，再根據鄰補角的定義可求得，進而得出∠1=120°，∠2=90°；
（2）①根據鄰補角的定義求出，再根據兩直線平行，同位角相等可得，根據兩直線平行，同旁內角互補求出，然后根據周角等于計算即可得到；
②結合圖形，分、、三條邊與直尺垂直討論求解．
（1）解：∵，，
∴，；
故答案為，；
（2）解：①如圖2．
，
，
，
，，
，
；
②當時，，
，
∴；
當時，
，；
當時，
．
23．【答案】（1）平行；理由如下：
∵AB∥CD，
∴∠2=∠3，
∵，
∴，
∴，即∠5=∠6，
∴m∥n
（2）94；90
（3）解：∠ABC=90°，理由如下：
∵∠ABC=90°，
∴∠2+∠3=180°-90°=90°，
∵∠1=∠2，∠3=∠4，
∴∠1+∠2+∠3+∠4=180°，
∴∠5+∠6=180°+180°-180°=180°，
∴m∥n
【知識點】平行線的判定；平行線的性質
【解析】【解答】解：(2)∵∠1=∠2=47°，
∴∠5=180°-∠1-∠2=180°-47°-47°=86°，
∵m∥n，
∴∠5+∠6=180°，
∴∠6=94°，
∴∠3+∠4=180°-∠6=86°，
∴∠3=∠4=43°，
∴∠ABC=180-2-∠3=90°，
故答案為：94，90.
【分析】（1）根據平行線的性質可得出∠2=∠3，再根據已知條件及三角形內角和可得∠5=∠6，再根據根據平行線的判定即可得證；
（2）根據已知條件及平行線的性質可得出∠6的度數，再根據平角的定義即可求解；
（3）當∠ABC=90°時，及已知條件可得出∠5與∠6=互補，再根據平行線的判斷即可得出結論.
1 / 1第四章《相交線和平行線》提升卷—華東師大版數學七（上）單元測
一、選擇題：本大題共10小題，每小題3分，共30分
1．如圖，直線AB，CD 相交于點O，OE⊥AB 于點O，OF 平分∠AOE，∠1=15°31'，則下列結論中不正確的是（　　）.
A． B．∠1=∠3
C．∠AOD與∠1互為補角 D．∠1的余角等于 75°31'
【答案】D
【知識點】對頂角及其性質；角平分線的概念；余角；補角
【解析】【解答】解：∵OE⊥AB
∴∠AOE=90°
∵OE⊥AB
∴，A正確
∠1與∠3為對頂角
∴∠1=∠3，B正確
∵∠AOD+∠1=∠AOB=180°
∴∠AOD與∠1互為補角，C正確
∵∠1=15°31'
∴∠1的余角等于90°- 15°31'=74°29'，D錯誤
故答案為：D
【分析】根據角平分線定義可判斷A選項，根據對頂角相等可判斷B選項，根據補角定義可判斷C選項，根據余角定義可判斷D選項.
2．（2025七上·長春期末）下列語句中，正確的是（　　）
A．相等的角一定為對頂角
B．不是對頂角的角一定不相等
C．不相等的角一定不是對頂角
D．有公共頂點且和為的兩個角一定為鄰補角
【答案】C
【知識點】對頂角及其性質；鄰補角
【解析】【解答】解：A中，由相等的角不一定是對頂角，本選項錯誤，所以A不符合題意；
B中，由不是對頂角的角也可能相等，本選項錯誤，所以B不符合題意；
C中，由不相等的角一定不是對頂角，本選項正確，所以C符合題意；
D中，由有公共頂點且和為的兩個角不一定是鄰補角，本選項錯誤，所以D不符合題意．
故選：C．
【分析】本題考查了對頂角和鄰補角的定義，把有公共端點且兩條邊互為反向延長線的兩個角互為對頂角，對頂角相等；把兩個角有一條公共邊，它們的另一條邊互為反向延長線，具有這種關系的兩個角，叫做鄰補角，據此逐項分析判斷，即可得到答案.
3．（2023七上·巴中月考）已知A、B、C三點，若過其中任意兩點畫一條直線，則畫出的不同直線（　　）
A．一定有三條 B．只能有一條
C．可能有三條，也可能只有一條 D．以上結論都不對
【答案】C
【知識點】平面中直線位置關系
【解析】【解答】
解：如圖所示
可以看出可以為1條直線，也可以是3條直線.
故答案為：C.
【分析】當A、B、C三點在同一直線時，可以知道有一條直線；當三點不在同一條直線時，由定理：過兩點有且只有一條直線，可以得出答案.
4．（2021七上·德陽月考）如果同一平面內有三條直線，那么它們交點個數是（　　）個.
A．3個 B．1或3個
C．1或2或3個 D．0或1或2或3個
【答案】D
【知識點】相交線的相關概念
【解析】【解答】解：①如圖，三條直線全都平行，此時交點個數為0個
②如圖，三條直線中，有兩條直線平行，第三條直線交這兩條直線，此時交點個數為2個
③如圖，三條直線兩兩相交，當組成一個三角形時，此時交點個數為3個
④如圖，三條直線兩兩相交，交點個數為1個
故答案為：D.
【分析】本題需要通過分類討論，三條直線是否平行，是否交于一個點。
5．（2023七上·南海期末）若平面內互不重合的4條直線只有3個交點，則平面被分成了（　　）個部分．
A．7或8 B．8 C．8或9 D．10
【答案】C
【知識點】平面中直線位置關系；相交線的相關概念
【解析】【解答】解：如圖：如下兩種情況下平面內互不重合的4條直線只有3個交點：
圖①中分成9個部分，圖②中分成8個部分.
故答案為：C.
【分析】畫出滿足條件的圖形，即可得到答案.
6．（2024七上·海曙期末）如圖所示，下列說法中：①與是同旁內角；②與是內錯角；③與是內錯角；④與是同位角．正確的個數是（　　）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【答案】C
【知識點】同位角的概念；內錯角的概念；同旁內角的概念
【解析】【解答】解：①與是同旁內角，正確；
②與是內錯角，正確；
③與是同旁內角，錯誤；
④與是同位角，正確．
故答案為：C．
【分析】根據同位角、內錯角、同旁內角的定義逐一判斷即可.
7．（2025七下·榕城期末） 下列圖形中， 由∠1=∠2， 能得到AB∥CD的是(　　)
A． B．
C． D．
【答案】C
【知識點】平行線的判定
【解析】【解答】解：A：∠1和∠2不是三線八角，不能判定兩直線平行，故A不符合題意；
B： 由∠1=∠2， 能判定AD∥BC，故B不符合題意；
C：∠1和∠2的對頂角是直線AB和CD被MN所截得到的一組同位角，所以 由∠1=∠2， 可以得到 AB∥CD ，故C符合題意；
.D：∠1和∠2不是AB，CD被第三條直線截得的角，所以不能判定AB∥CD，故D不符合題意。
故答案為：C.
【分析】根據平行線的判定定理，分別進行判定，即可得出答案。
8．（2025七下·雨花期末）如圖，某條行車路線共拐了三次彎，最后行車路線與開始的路線是平行的．已知第一次轉過的角度為120°，第三次轉過的角度為135°，則第二次轉過的角度為（　　)
A．75° B．60° C．135° D．120°
【答案】A
【知識點】平行線的性質
【解析】【解答】解：如圖，過點C作CF∥DE，
則∠DCF+∠CDE=180°，
由題可知∠CDE=135°，∠ABC=120°，
所以∠DCF=45°，
因為行車路線與開始的路線是平行的，
所以AB∥DE，
又CF∥DE，
所以AB∥CF，
所以∠BCF=∠ABC=120°，
所以∠BCD=∠BCF-∠DCF=75°，
所以第二次轉過的角度為75°.
故答案為：A.
【分析】利用平行線的性質來求解第二次轉過的角度。
9．（2025七下·福田期末） 圖1 是視覺錯覺藝術風格的作品，這種設計利用背景線條、圖案的干擾，制造出視覺認知偏差的沖突，具有很強的趣味性與迷惑性.如圖2，現將其中的一組背景線條與直線a，b抽象出來，下列說法能判斷出的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知識點】平行線的判定；同位角相等，兩直線平行
【解析】【解答】解： 、與是同位角，同位角相等，兩直線平行，可判斷，A正確.
、與是對頂角，對頂角相等不能判定，B錯誤.
、與是鄰補角，和為是必然，不能判定，C錯誤.
、與無直接平行判定關系，D錯誤.
故答案為：A .
【分析】根據平行線的判定定理（同位角相等、內錯角相等、同旁內角互補 ），逐一分析選項中角的關系是否符合判定條件.
10．（2024七下·柳州期末）如圖，已知AM∥BN，∠A＝64°，點P是射線AM上一動點（與點A不重合），BC、BD分別平分∠ABP和∠PBN，分別交射線AM于點C、D，下列結論：①∠ACB＝∠CBN；②∠CBD＝58°；③當∠ACB＝∠ABD時，∠ABC＝29°；④當點P運動時，∠APB∶∠ADB＝2∶1的數量關系不變.其中正確結論有（　　）個
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【知識點】角平分線的概念；兩直線平行，內錯角相等；兩直線平行，同旁內角互補
【解析】【解答】解：∵，
∴，
故①正確；
∵，，
∴，
∵、分別平分和，
∴，，
∴，
故②正確；
∵，
∴，
又，
∴，
∴，
又，，
∴，
故③正確；
∵，
∴，，
又，
∴，
∴，
故④正確．
故答案為：D．
【分析】直接利用平行線的性質判斷①；先求出∠ABN的度數，然后利用角平分線的定義可得求∠CBD的度數，即可判斷②；利用平行線的性質和∠ACB=∠ABD可證∠ABC=∠DBN，然后結合角平分線定義可求∠DBP的度數，即可判斷③；利用平行線的性質可得，結合可得∠APB=2∠ADB，即可判斷④．
二、填空題：本大題共5小題，每小題4分，共20分
11．（2024七上·乾安期末）如圖，直線、相交于點O，射線平分，．若，則的度數為　 　．
【答案】55°
【知識點】角的運算；垂線的概念；角平分線的概念
【解析】【解答】解：∵，OM平分∠AOC，
∴∠COM=∠AOC=35°，
∵ON⊥OM，
∴∠NOM=90°，
∴∠CON=∠NOM-∠COM=90°-35°=55°，
故答案為：55°.
【分析】先利用角平分線的定義求出∠COM=∠AOC=35°，再利用角的運算求出∠CON=∠NOM-∠COM=90°-35°=55°即可.
12．如圖，有下列結論：①∠2與∠3是內錯角；②∠2與∠B是同位角；③∠A與∠B是同旁內角；④∠A與∠ACB不是同旁內角.其中正確的是　 　.(寫序號)
【答案】①②③
【知識點】同位角、內錯角與同旁內角
【解析】【解答】解：①∠2與∠3是直線AB、直線BC，被直線CD所截的一對內錯角，因此①符合題意；
②∠2與∠B是直線CD、直線BC，被直線AB所截的一對同位角，因此②符合題意；
③∠A與∠B是直線AC、直線BC，被直線AB所截的一對同旁內角，因此③符合題意，
④∠A與∠ACB是直線AB、直線BC，被直線AC所截的一對同旁內角，因此④不符合題意.
故答案為： ①②③ .
【分析】同位角：兩條直線被第三條直線所截，在截線的同旁，且在被截兩直線的同一側的角，我們把這樣的兩個角稱為同位角.
內錯角：兩條直線被第三條直線所截，兩個角分別在截線的兩側，且夾在兩條被截直線之間，具有這樣位置關系的一對角叫做內錯角.
同旁內角：兩條直線被第三條直線所截，在截線同旁，且在被截線之內的兩角，叫做同旁內角.
13．（2020七上·德惠期末）如圖，在直線a外有一點P，經過點P可以畫無數條直線，如果 ，那么過點P的其它直線與直線a一定不平行，理由是　 　．
【答案】平行公理：經過直線外一點，有且只有一條直線與這條直線平行.
【知識點】平行公理及推論
【解析】【解答】解：在直線a外有一點P，經過點P可以畫無數條直線，但根據平行公理可知，過點P只有一條直線a平行，既然如果 ，那么過點P的其它直線與直線a一定不平行.
故答案是：平行公理：經過直線外一點，有且只有一條直線與這條直線平行.
【分析】根據平行公理：經過直線外一點，有且只有一條直線與這條直線平行，解決即可.
14．（2024七下·金溪期中）如圖，直線，點E，F分別在直線，上，點P為直線與間一動點，連接，，且，的平分線與的平分線交于點Q，則的度數為　 　．
【答案】或120°
【知識點】平行線的性質；角平分線的概念
【解析】【解答】解：分兩種情況討論：
①如圖1，過點，分別作，，
，
．
，．
．
的平分線與的平分線交于點，
，．
，
，
同理可得；
②如圖2，過點，分別作，，
，
．
，．
，
．
的平分線與的平分線交于點，
，．
．
，同①可得．
綜上所述，的度數為或．
故答案為：或
【分析】分兩種情況討論，當點P，Q在EF同側或異側時，先畫出圖形，再利用角平分線的定義和平行線的性質，分別求解即可．
15．（2025七下·紹興期末） 學行線后，小明想出了過直線外一點畫這條直線的平行線的方法，她是通過折一張半透明的紙得到的，如圖所示，由操作過程可知小明畫平行線的依據可以是　 　.（把所有正確的序號填上）
①同位角相等，兩直線平行；
②兩直線平行，內錯角相等；
③同旁內角互補，兩直線平行；
④如果兩條直線和第三條直線平行，那么這兩條直線平行.
【答案】①③
【知識點】同位角相等，兩直線平行；同旁內角互補，兩直線平行
【解析】【解答】解：如圖。
第一次折疊后，得到的折痕AB與直線a之間的位置關系是垂直。
將正方形紙展開，再進行第二次折疊如圖（4）所示，得到的折痕CD與第一次折痕之間的位置關系是垂直。
∵，
∴
∵
∴
∵
∴
∵
∴
故答案為：①③ .
【分析】根據折疊可直接得到折痕AB與直線a之間的位置關系是垂直，折痕CD與第一次折痕之間的位置關系是垂直，然后根據平行線的判定條件求解即可。
三、解答題：本大題共8小題，共75分
16．
（1）在一條直線上有n個點，以這些點為端點的線段共有多少條
（2）平面內有n 條兩兩相交直線，這n條直線最少有幾個交點 最多有幾個交點
【答案】（1）解：從第1個點到第n個點的線段數量總和為：
1+2+3+4+……+（n-1）=
∴ 共有條.
（2）解：當平面內兩兩相交的n條直線交于一點時，此時交點個數最少為1個；
為使平面內兩兩相交的直線的交點個數最多，可使其任意兩線相交都產生一個新的交點，且任意三條直線都不過同一點，于是可得交點數最多：
2條直線最多1個交點；
3條直線最多：1+2個交點；
4條直線最多：1+2+3個交點；
5條直線最多：1+2+3+4個交點；
∴ n條直線最多：1+2+3+4+……+（n-1）=個交點.
【知識點】線段的計數問題；直線相交的交點個數問題
【解析】【分析】（1）從簡單情形入手，先找兩個點之間的線段條數，再找出三個點之間的線段條數，再找出四個點之間的線段條數，歸納發現規律，算出和即可解答；
（2）當平面內兩兩相交的n條直線交于一點時，此時交點個數最少為1個；再從簡單情形入手，2條直線最多1個交點；3條直線最多：1+2個交點；4條直線最多：1+2+3個交點；歸納發現規律，算出和即可解答.
17．（2024七上·松陽期末）如圖，已知點A，B表示同一條鐵路上的兩個火車站，點C表示碼頭，直線a，b分別表示鐵路和河流．按下列要求畫圖：
（1）畫出直線a；
（2）從火車站A到碼頭C怎樣走最近，請畫圖表示；
（3）從碼頭C到鐵路怎樣走最近，請畫圖表示．
【答案】（1）解：直線ａ如下圖所示，
（2）解：線段AC就是所求線段，
（3）∴垂線段CD就是所求直線，
【知識點】兩點之間線段最短；垂線段最短及其應用；尺規作圖-直線、射線、線段
【解析】【分析】（1）根據兩點確定一條直線作圖即可；
（2）根據兩點之間線段最短作圖即可；
（3）根據直線外一點到直線最短距離為垂線段據此作圖即可．
18．（2025七下·蓮都期末） 如圖，是內一點，點在上．過點畫一條直線平行于，過點畫一條直線平行于，直線交于．
（1）用直尺和三角尺畫平行線的方法，畫出圖形．
（2）若，求的度數．
【答案】（1）解：如圖所示：
（2）解：∵直線a平行于AB，
∵直線b平行于BC，

【知識點】平行線的性質；三角板（直尺）畫圖-平行線
【解析】【分析】(1)根據畫平行線的方法作圖即可；
(2)先根據兩直線平行，內錯角相等求出 再根據兩直線平行，同位角相等解答即可.
19．（2025七下·源城期末）高速列車為了方便乘客放置小件物品，在座椅的后方都安裝了可折疊的小桌板，將小桌板放下后，桌面與車廂的底部AE平行，從側面觀察得到如圖①所示圖形，BA⊥AE，垂足為A，CD∥AE，有同學認為在這種情況下，∠ABC與∠BCD的和是個定值，下面是小林同學計算∠ABC+∠BCD的度數的過程，請你將解答過程補充完整．
解：如圖②，過點B作BF∥AE，
因為CD∥AE（ ），
所以（ ）∥CD（平行于同一條直線的兩條直線平行），
所以∠BCD+∠CBF＝（ ）°（ ），
因為AB⊥AE（ ），
所以∠EAB＝（ ）°（垂直定義），
因為BF∥AE，
所以（ ）+∠EAB＝180°，
所以∠ABF＝180°﹣90°＝（ ）°，
所以∠ABC+∠BCD＝∠ABF+∠CBF+∠BCD＝（ ）°．
【答案】解：如圖②，過點B作BF∥AE，
因為CD∥AE（ 已知 ），
所以（ BF ）∥CD（平行于同一條直線的兩條直線平行），
所以∠BCD+∠CBF＝（ 180 ）°（ 兩直線平行，同旁內角互補 ），
因為AB⊥AE（已知 ），
所以∠EAB＝（ 90 ）°（垂直定義），
因為BF∥AE，
所以（ ∠ABF ）+∠EAB＝180°，
所以∠ABF＝180°﹣90°＝（ 90 ）°，
所以∠ABC+∠BCD＝∠ABF+∠CBF+∠BCD＝（ 270 ）°．
故答案為：已知；BF；180；兩直線平行，同旁內角互補；已知；90；∠ABF；90；270
【知識點】垂線的概念；平行公理及推論；平行線的性質
【解析】【分析】 如圖②，過點B作BF∥AE， 根據平行公理，平行線的性質以及垂直定義可推理的出結論，根據每一步推理的依據，可得出答案。
20．如圖，已知點O 為直線AB 上一點， ，OM 平分 ，.
（1）求 的度數.
（2）試說明：OP 平分 .
（3）若改變 的大小，其余條件不變，設 ，(2)中的結論是否依然成立 若成立，請說明理由；若不成立，請用含α的式子表示 .
【答案】（1）解：因為點O 為直線AB 上一點， ∠BOC=110°，
所以 ，
因為OC⊥OD，
所以∠COD=90°，
所以∠AOD=∠COD-∠AOC=90°-70°=20°
（2）解：因為∠AOC=70°， OM 平分∠AOC，
所以∠AOM=
由(1)可知， ∠AOD=20°，
所以∠DOM=
所以∠BOP=∠DOM=55°，
所以
所以∠BOP=∠COP=55°，
所以OP 平分∠BOC.
（3）解：(2)中的結論依然成立.
理由如下：
因為點O為直線AB上一點，
所以 ∠BOC=180°-α.
因為OC⊥OD，
所以∠COD=90°，
所以
因為 OM 平分∠AOC，
所以
所以∠DOM=∠AOD+∠AOM
所以
所以
所以 所以OP 平分∠BOC.
【知識點】角的運算；垂線的概念；角平分線的概念
【解析】【分析】這道題主要圍繞角度的計算和角平分線的證明展開，通過已知條件中角的關系以及角平分線的性質來求解和證明
（1）首先根據平角的定義，已知∠BOC的度數，求出∠AOC的度數。然后由OC⊥OD得出∠COD的度數，最后利用∠AOD=∠COD - ∠AOC求出∠AOD的度數。
（2）先根據∠AOC的度數以及OM平分∠AOC求出∠AOM的度數，再結合∠AOD的度數求出∠DOM的度數，由∠BOP=∠DOM求出∠BOP的度數，最后通過∠BOC的度數求出∠COP的度數，比較∠ BOP和∠COP的度數來證明OP平分∠BOC。
（3）先根據∠BOC =α求出∠AOC的度數，再根據OM平分∠AOC求出∠AOM的度數，然后結合∠AOD =∠COD∠AOC（∠COD = 90°）求出∠AOD的度數，進而求出∠DOM的度數。因為∠BOP=∠ DOM，最后通過∠COP=∠BOC - ∠BOP求出∠COP的度數，判斷結論是否成立。
21．（2024七下·河池期中） 課題學行線問題中的轉化思想.
【閱讀理解】“兩條平行線被第三條直線所截”是平行線中的一個重要的“基本圖形”.與平行線有關的角都存在著這個“基本圖形”中，且都分布在“第三條直線”的兩旁.當發現題目的圖形“不完整”時要添加適當的輔助線將其補充完整.將“非基本圖形”轉化為“基本圖形”這體現了轉化思想.有這樣一道典型問題：
例題：如圖（1）.已知，點在直線、之間，探究與、之間的關系.
解：過點作.
，，
，
，
，
.
【學以致用】
（1）如圖（1），當，時，　 　；
（2）①如圖（2），已知，若，，求出的度數.
②如圖（3），在①的條件下，若、分別平分和，求的度數.
【答案】（1）
（2）解：①過點作，如圖：
，，
，
，
又，
，
，
，
②，平分，
，
，平分，
，
由（1）問可知：，
【知識點】平行線的性質；角平分線的概念；平行公理的推論
【解析】【解答】解：（1）∵∠BED=∠B+∠D，
∵， ，
∴∠BED=65°.
故答案為：65°.
【分析】（1）根據∠BED=∠B+∠D，將數值代入即可得到答案；
（2）①過點作，根據題意得到，得到，，進而得到，即可得到答案；
②根據角平分線的定義得到，，根據（1）的結論即可求出的度數.
22．（2025七下·潮陽月考）如圖①，把一塊含角的直角三角尺的邊放置于長方形直尺的邊上．
（1）填空：______°，______°；
（2）現把三角尺繞點逆時針旋轉．
①如圖②．當，且點恰好落在邊上時，求，的度數（結果用含的式子表示）；
②當時，是否會存在三角尺某一邊所在的直線與直尺（有四條邊）某一邊所在的直線垂直？如果存在，請直接寫出所有的值和對應的那兩條垂線；如果不存在，請說明理由．
【答案】（1）120；90
（2）解：（2）①如圖2．
，
，
，
，，
，
；
②存在。
當時，，
，
∴；
當時，
，；
當時，
．
【知識點】垂線的概念；平行線的性質；鄰補角
【解析】【解答】解：（1）∵，
∴，
∵，
∴，；
∴∠1=120°，∠2=90°。
故答案為，；
【分析】（1）根據兩直線平行，同位角相等可得出，，再根據鄰補角的定義可求得，進而得出∠1=120°，∠2=90°；
（2）①根據鄰補角的定義求出，再根據兩直線平行，同位角相等可得，根據兩直線平行，同旁內角互補求出，然后根據周角等于計算即可得到；
②結合圖形，分、、三條邊與直尺垂直討論求解．
（1）解：∵，，
∴，；
故答案為，；
（2）解：①如圖2．
，
，
，
，，
，
；
②當時，，
，
∴；
當時，
，；
當時，
．
23．（2025七下·浙江期中）實驗證明，平面鏡反射光線的規律是：射到平面鏡上的光線和被反射出的光線與平面鏡所夾的銳角相等．如圖1，一束光線射到平面鏡上，被反射后的光線為，則入射光線、反射光線與平面鏡所夾的銳角．
（1）利用這個規律人們制作了潛望鏡，圖2是潛望鏡的工作原理示意圖，AB、CD是平行放置的兩面平面鏡．已知光線經過平面鏡反射時，有，請判斷入射光線和反射光錢是否平行，并說明理由．
（2）顯然，改變兩面平面鏡AB、CD之間的位置關系、經過兩次反射后，入射光線與反射光線之間的位置關系會隨之改變，如圖3，一束光線射到平面鏡AB上，被AB反射到平面鏡CD上，又被CD反射．若被CD反射出的光線和光線平行，且，則　 　°，　 　°．
（3）試猜想：在圖3中，當兩平面鏡AB，CD的夾角的度數是多少時，可以使任何入射光線經過平面鏡AB、CD的兩次反射后，與反射光線平行？請說明理由．
【答案】（1）平行；理由如下：
∵AB∥CD，
∴∠2=∠3，
∵，
∴，
∴，即∠5=∠6，
∴m∥n
（2）94；90
（3）解：∠ABC=90°，理由如下：
∵∠ABC=90°，
∴∠2+∠3=180°-90°=90°，
∵∠1=∠2，∠3=∠4，
∴∠1+∠2+∠3+∠4=180°，
∴∠5+∠6=180°+180°-180°=180°，
∴m∥n
【知識點】平行線的判定；平行線的性質
【解析】【解答】解：(2)∵∠1=∠2=47°，
∴∠5=180°-∠1-∠2=180°-47°-47°=86°，
∵m∥n，
∴∠5+∠6=180°，
∴∠6=94°，
∴∠3+∠4=180°-∠6=86°，
∴∠3=∠4=43°，
∴∠ABC=180-2-∠3=90°，
故答案為：94，90.
【分析】（1）根據平行線的性質可得出∠2=∠3，再根據已知條件及三角形內角和可得∠5=∠6，再根據根據平行線的判定即可得證；
（2）根據已知條件及平行線的性質可得出∠6的度數，再根據平角的定義即可求解；
（3）當∠ABC=90°時，及已知條件可得出∠5與∠6=互補，再根據平行線的判斷即可得出結論.
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