資源簡介

§2　等差數列
2.1　等差數列的概念及其通項公式
第1課時　等差數列的概念及其通項公式
【課前預習】
知識點一
1.等差　公差　2.an+1-an=d
診斷分析
(1)√　(2)×
知識點二
a1+(n-1)d
診斷分析
(1)√　(2)×　(3)√
【課中探究】
探究點一
例1　(1)D　(2)AB　[解析] (1)選項A中,后一項減前一項所得差均為0,是等差數列;選項B中,后一項減前一項所得差都是1,是等差數列;選項C中,后一項減前一項所得差都是2,是等差數列;選項D中,1-0≠3-1,不是等差數列.故選D.
(2)根據等差數列的定義,依次判斷各選項.
A中,滿足4-1=7-4=10-7=3(常數),所以是等差數列;
B中,滿足lg 4-lg 2=lg 8-lg 4=lg 16-lg 8=lg 2(常數),所以是等差數列;
C中,因為24-25=-16≠23-24=-8,不滿足等差數列的定義,所以不是等差數列;
D中,a1=1,a2=3,a3=4,a2-a1=2,a3-a2=1,所以{an}不是等差數列.故選AB.
探究點二
例2　解:(1)設等差數列{an}的公差為d,
則由題意可知解得所以數列{an}的通項公式為an=-2+(n-1)×3=3n-5,n∈N*.
(2)由an=13,得3n-5=13,解得n=6.
變式　(1)A　(2)8　[解析] (1)設數列{an}的公差為d,
由題得所以所以數列{an}的通項公式為an=8+(n-1)×(-2)=-2n+10.故選A.
(2)由題意知數列{an}是首項為1,公差為2的等差數列,
所以am=1+2(m-1)=m+7,解得m=8.
探究點三
例3　解:(1)由題意知an+1-an=3(n+1)+2-(3n+2)=3,3為常數,所以這個數列為等差數列.
(2)由題意知bn+1-bn=(n+1)2+(n+1)-(n2+n)=2n+2,2n+2不是常數,所以這個數列不是等差數列.
(3)當n≥3時,cn=cn-1+2,即cn-cn-1=2,
而c2-c1=0不滿足cn-cn-1=2,所以{cn}不是等差數列.
變式　解:因為當n≥2時,an-an-1=(pn+q)-[p(n-1)+q]=pn+q-(pn-p+q)=p,
p是一個與n無關的常數,所以數列{an}是等差數列.
拓展　解:(1)易知an≠0,當n≥2時,由an·an-1=2·an-1-1得an=2-,
又a1=3,
所以a2=2-=,a3=2-=,a4=2-=.
(2)當n≥2時,由an·an-1=2·an-1-1,得(an-1)·(an-1-1)=-(an-1)+(an-1-1),
即-=1,所以數列是等差數列.
又=,所以=+(n-1)×1=,所以an-1=,所以an=.§2　等差數列
2.1　等差數列的概念及其通項公式
第1課時　等差數列的概念及其通項公式
【學習目標】
理解等差數列的概念和通項公式的意義.
◆ 知識點一　等差數列的有關概念與表示
1.等差數列與公差:對于一個數列,如果從第2項起,每一項與它的前一項的差都是同一個常數,那么稱這樣的數列為　　　　數列,稱這個常數為等差數列的　　　　,通常用字母d表示.
2.等差數列的遞推公式:　　　　　　(d為常數,n∈N*).
【診斷分析】 判斷正誤.(請在括號中打“√”或“×”)
(1)數列16,32,48,64,80,96,112,128,…,320為等差數列. (　 )
(2)若一個數列從第2項起,每一項與它的前一項的差都是常數,則這個數列一定是等差數列.(　 )
◆ 知識點二　等差數列的通項公式及應用
通項公式:若首項是a1,公差是d,則等差數列{an}的通項公式為an=　　　　　　.
【診斷分析】 判斷正誤.(請在括號中打“√”或“×”)
(1)若數列{an}滿足an=kn+b(n∈N*,且k,b為常數),則數列{an}一定是等差數列. (　 )
(2)若數列{an}滿足an=n2,n∈N*,則數列{an}是等差數列. (　 )
(3)在等差數列{an}中,an=3n+2,n∈N*,則等差數列{an}的公差是3. (　 )
◆ 探究點一　等差數列的概念
例1 (1)下列數列中不是等差數列的是 (　 )
A.0,0,0,…,0,…
B.-2,-1,0,…,n-3,…
C.1,3,5,…,2n-1,…
D.0,1,3,…,,…
(2)(多選題)下列數列中,是等差數列的是 (　 )
A.1,4,7,10
B.lg 2,lg 4,lg 8,lg 16
C.25,24,23,22
D.通項公式為an=的數列{an}
[素養小結]
判斷一個數列是不是等差數列,就是判斷該數列從第2項起每一項與前一項的差是否為同一個常數,即驗證an+1-an(n∈N+)是不是一個與n無關的常數.
◆ 探究點二　等差數列的通項公式
例2 已知數列{an}是等差數列,且a5=10,a12=31.
(1)求數列{an}的通項公式;
(2)若an=13,求n的值.
變式 (1)已知數列{an}為等差數列,a4=2,a7=-4,則數列{an}的通項公式為 (　 )
A.an=-2n+10 B.an=-2n+5
C.an=-n+10 D.an=-n+5
(2)已知數列{an}是首項為1,公差為2的等差數列,若am=m+7,則m=　　　　.
[素養小結]
等差數列的通項公式及其應用
(1)已知an,a1,n,d中的任意三個量,可求出第四個量.
(2)由等差數列的通項公式可以求出該數列中的任意項,也可以判斷某一個數是不是該數列中的項.
(3)根據等差數列的兩個已知條件建立關于“基本量”a1和d的方程組,求出a1和d,從而確定通項公式,求得所要求的項.
◆ 探究點三　等差數列的判定和證明
例3 判斷下列數列是否為等差數列.
(1)在數列{an}中,an=3n+2,n∈N*;
(2)在數列{bn}中,bn=n2+n,n∈N*;
(3)數列{cn}滿足c1=c2=1,cn=cn-1+2(n≥3).
變式 已知數列{an}的通項公式為an=pn+q,其中p,q是常數,且p≠0,判斷數列{an}是否是等差數列.
[素養小結]
要判斷數列{an}是否為等差數列可以用定義法,也可以直接看通項公式是否為an=kn+b(k,b為常數,n∈N*)的形式,若符合該形式,則該數列為等差數列,否則不是等差數列.
拓展 已知數列{an}滿足a1=3,an·an-1=2·an-1-1,n≥2.
(1)求a2,a3,a4;
(2)證明數列是等差數列,并求出數列{an}的通項公式.(共26張PPT)
§2 等差數列
2.1 等差數列的概念及其通項公式
第1課時 等差數列的概念及其通項公式
探究點一 等差數列的概念
探究點二 等差數列的通項公式
探究點三 等差數列的判定和證明
【學習目標】
理解等差數列的概念和通項公式的意義.
知識點一 等差數列的有關概念與表示
1.等差數列與公差:對于一個數列，如果從第2項起,每一項與它的前一項的差都
是同一個常數,那么稱這樣的數列為______數列,稱這個常數為等差數列的______,
通常用字母 表示.
等差
公差
2.等差數列的遞推公式：______________為常數, .
【診斷分析】 判斷正誤.（請在括號中打“√”或“×”）
（1）數列16,32,48,64,80,96,112,128, ,320為等差數列.( )
√
（2）若一個數列從第2項起，每一項與它的前一項的差都是常數,則這個數列
一定是等差數列.( )
×
知識點二 等差數列的通項公式及應用
通項公式:若首項是,公差是,則等差數列的通項公式為 _____________.
【診斷分析】 判斷正誤.（請在括號中打“√”或“×”）
（1）若數列滿足，且,為常數,則數列 一定是
等差數列.( )
√
（2）若數列滿足,，則數列 是等差數列.( )
×
（3）在等差數列中,,，則等差數列 的公差是3.( )
√
探究點一 等差數列的概念
例1（1） 下列數列中不是等差數列的是( )
D
A.0，0，0， ，0， B.，，0， ，，
C.1，3，5， ，， D.0，1，3， ，，
[解析] 選項A中，后一項減前一項所得差均為0，是等差數列；
選項B中，后一項減前一項所得差都是1，是等差數列；
選項C中，后一項減前一項所得差都是2，是等差數列；
選項D中， ，不是等差數列.故選D.
（2）（多選題）下列數列中，是等差數列的是( )
AB
A.1，4，7，10
B.,,,
C.,,,
D.通項公式為的數列
[解析] 根據等差數列的定義，依次判斷各選項.
A中，滿足 （常數），所以是等差數列；
B中，滿足 （常數），所以是等差數列；
C中，因為 ，不滿足等差數列的定義，
所以不是等差數列；
D中，，，，，，
所以 不是等差數列.故選 .
［素養小結］
判斷一個數列是不是等差數列，就是判斷該數列從第2項起每一項與前一項的差
是否為同一個常數，即驗證是不是一個與 無關的常數.
探究點二 等差數列的通項公式
例2 已知數列是等差數列,且, .
（1）求數列 的通項公式;
解:設等差數列的公差為 ,
則由題意可知解得
所以數列 的通項公式為， .
（2）若,求 的值.
解:由,得,解得 .
變式（1） 已知數列為等差數列，,，則數列 的通項公
式為( )
A
A. B. C. D.
[解析] 設數列的公差為 ，
由題得所以
所以數列 的通項公式為 .故選A.
（2）已知數列是首項為1，公差為2的等差數列，若，則
___.
8
[解析] 由題意知數列 是首項為1，公差為2的等差數列，
所以，解得 .
［素養小結］
等差數列的通項公式及其應用
（1）已知，，， 中的任意三個量，可求出第四個量.
（2）由等差數列的通項公式可以求出該數列中的任意項，也可以判斷某一個數
是不是該數列中的項.
（3）根據等差數列的兩個已知條件建立關于“基本量”和的方程組，求出
和 ，從而確定通項公式，求得所要求的項.
探究點三 等差數列的判定和證明
例3 判斷下列數列是否為等差數列.
（1）在數列中,， ;
解:由題意知 ,3為常數,所以這個數列為
等差數列.
（2）在數列中,， ；
解:由題意知, 不是常
數,所以這個數列不是等差數列.
（3）數列滿足， .
解:當時，，即 ，
而不滿足，所以 不是等差數列.
變式 已知數列的通項公式為，其中，是常數，且 ，
判斷數列 是否是等差數列.
解:因為當 時，
，
是一個與無關的常數，所以數列 是等差數列.
［素養小結］
要判斷數列 是否為等差數列可以用定義法，也可以直接看通項公式是否為
，為常數， 的形式，若符合該形式，則該數列為等差數
列，否則不是等差數列.
拓展 已知數列滿足，， .
（1）求，， ；
解:易知，當時，由得 ，
又 ，所以，， .
（2）證明數列是等差數列，并求出數列 的通項公式.
解:當時，由 ，得
，
即，所以數列 是等差數列.
又，所以，所以 ，
所以 .
1.等差數列定義的注意點
（1）對給定的等差數列,其公差 一定是由后一項減前一項所得的差,而不能用前
一項減后一項;
（2）定義中“從第2項起”是說必須從第2項起才能保證數列中各項均與其前面一項
作差,如若不然,從第3項（或第4項，第5項， ）起作差,則勢必遺漏前面的若干項;
（3）定義中“每一項與它的前一項的差”的含義有兩個,其一是強調作差的順序,
即后面的項減前面的項,其二是強調這兩項必須相鄰.
2.通項公式的變形
對任意的，，在等差數列中，有 ，
，兩式相減有 ，所以
（其中，的關系可以是，， ），進而
可以得到 ．
例1 若數列的通項公式為,證明數列 為等差數列.
證明:由 ,得
，
所以數列 為等差數列.
例2 [2024·湖南部分學校高二期末]在數列中，已知， ，
若，則 ( )
C
A.2 B.3 C.4 D.5
[解析] 由，，得，則是以 為首項，
2為公差的等差數列．所以，所以 .
由，得 ．故選C.
例3 若數列是等差數列,，，則 ____．
[解析] 令，因為， ，
所以，，可得等差數列的公差 ，
所以 ，所以，從而 ．§2　等差數列
2.1　等差數列的概念及其通項公式
第1課時　等差數列的概念及其通項公式
1.C　[解析] 對于A,-≠-,故A中數列不是等差數列;對于B,lg 6-lg 5≠lg 7-lg 6,故B中數列不是等差數列;對于C,-1=-,故C中數列是等差數列;對于D,3-2≠5-3,故D中數列不是等差數列.故選C.
2.A　[解析] 易知a1=2-1=1,所以此數列的首項為1.又因為an+1-an=2-(n+1)-(2-n)=-1,所以數列{an}是首項為1,公差為-1的等差數列.故選A.
3.B　[解析] 設數列{an}的公差為d,由題意得解得故選B.
4.C　[解析] 由2an+1=2an+1,得an+1-an=,所以數列{an}是等差數列,公差d=,所以a3=a8-5d=-5×=2.故選C.
5.D　[解析] 依題意,令該等差數列為{an},則an=-24+(n-1)d,
因為數列{an}從第10項開始為正數,所以即解得6.B 　[解析] 由題意知,a1=2,d=8,所以an=2+8(n-1)=8n-6,等差數列{an}中每兩項之間插入k項,構成新的等差數列{bn},當k=3時,b1=2,b5=a2=10,所以等差數列{bn}的公差為==2,故bn=2+2(n-1)=2n.故選B.
7.AC　[解析] 設數列{an}的公差為d,因為a2=11,a5=5,所以解得所以an=13+(n-1)×(-2)=-2n+15,故A正確;由-20=-2n+15,得n= N*,故B錯誤;因為d<0,所以數列{an}為遞減數列,故C正確;由an=15-2n可知數列{an}有最大項a1=13,沒有最小項,故D錯誤.故選AC.
8.ABC　[解析] 設{an}的公差為d.對于A,a2(n+1)-a2n=a2n+2-a2n=2d,{a2n}是等差數列,故A正確;對于B,當n≥2時,(an+an+1)-(an-1+an)=an+1-an-1=2d,{an+an+1}是等差數列,故B正確;對于C,當n≥2時,3an+1-(3an-1+1)=3(an-an-1)=3d,{3an+1}是等差數列,故C正確;對于D,若an=n-5,則|an|=|n-5|,此時{|an|}不是等差數列,故D錯誤.故選ABC.
9.2　[解析] 設等差數列{an}的公差為d,∵a1=1,a5=a3+a2,∴1+4d=1+2d+1+d,解得d=1,∴a2=a1+d=2.
10.-n+3　[解析] 由題意知a1=2,an+1-an=-1,所以an=a1+(n-1)×(-1)=2-n+1=-n+3.
11.　[解析] 設等差數列{an}的公差為d.∵a5=2a2,∴a1+4d=2a1+2d,∴a1=2d≠0,∴===.
12.4　[解析] 設等差數列{an}的公差為d,d>0,則a3=a2+d=2+d,a6=a2+4d=2+4d,
由2(a3+a6)=a3·a6,得2(2+d+2+4d)=(2+d)(2+4d),即2(4+5d)=4+8d+2d+4d2,即8+10d=4d2+10d+4,
即4d2-4=0,得d=1,所以2a5-a6=2(a2+3d)-(a2+4d)=2×(2+3)-(2+4)=4.
13.解:(1)由已知得解得
(2)由(1)知∴an=a1+(n-1)d=-40+(n-1)·6=6n-46,∵1014.解:(1)證明:∵bn+1-bn=-===,b1==1,∴數列{bn}是首項為1,公差為的等差數列.
(2)由(1)知bn=n+,∵bn=,∴an-1=,∴an=,n∈N*.
15.10　[解析] 由a1=2,am+n=am+an(m,n∈N*),令m=1,則an+1-an=a1=2,所以數列{an}是以2為首項,2為公差的等差數列,即an=2+(n-1)×2=2n.
又k為正整數,所以akak+1=2k×2(k+1)=440,即k(k+1)=110,解得k=10或k=-11(舍去).
16.解:(1)設等差數列{an}的公差為d,由得所以an=5+(n-1)×2=2n+3.
(2)由(1)可知bn==,假設存在正整數m,使得b2m=2bm+1,則=+1,即2m2-6m+3=0,解得m= N*,所以假設不成立,即不存在正整數m,使得b2m=2bm+1.§2　等差數列
2.1　等差數列的概念及其通項公式
第1課時　等差數列的概念及其通項公式
一、選擇題
1.下列數列中是等差數列的是 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.,,
B.lg 5,lg 6,lg 7
C.1,,
D.2,3,5
2.若數列{an}的通項公式為an=2-n,則此數列 (　 )
A.是公差為-1的等差數列
B.是公差為1的等差數列
C.是首項為2的等差數列
D.是公差為n的等差數列
3.在等差數列{an}中,a8=6,a11=0,則a1的值為 (　 )
A.18 B.20
C.22 D.24
4.[2024·寧夏銀川一中高二期末] 已知數列{an}滿足2an+1=2an+1,其中a8=,則a3= (　 )
A.1 B.
C.2 D.
5.首項為-24的等差數列,從第10項開始為正數,則公差d的取值范圍是 (　 )
A.d> B.d<3
C.≤d<3 D.6.[2024·廣東深圳外國語學校高二月考] 已知等差數列{an}的首項a1=2,公差d=8,在{an}中每相鄰兩項之間都插入k個數,使它們和原數列的項一起構成一個新的等差數列{bn},當k=3時,bn= (　 )
A.n B.2n
C.3n D.2n+1
7.(多選題)若{an}為等差數列,a2=11,a5=5,則下列說法正確的是 (　 )
A.an=15-2n
B.-20是數列{an}中的項
C.數列{an}為遞減數列
D.數列{an}既無最大項,也無最小項
8.(多選題)已知數列{an}是等差數列,則下面的數列中必為等差數列的是 (　 )
A.{a2n} B.{an+an+1}
C.{3an+1} D.{|an|}
二、填空題
9.已知等差數列{an}的首項為1,且a5=a3+a2,則a2=　　　　.
10.已知數列{an}滿足a1=2,an+1-an+1=0(n∈N*),則此數列的通項公式為an=　　　　.
11.已知等差數列{an}的各項均不為0,若a5=2a2,則= 　　　　.
12.[2024·江蘇淮安高二期末] 已知等差數列{an}的各項都是正數,若a2=2,2(a3+a6)=a3·a6,則2a5-a6的值為　　　　.
三、解答題
13.在等差數列{an}中,a11=20,a22=86.
(1)求數列{an}的公差d和a1;
(2)數列{an}中滿足1014.已知數列{an}滿足(an+1-1)(an-1)=3(an-an+1),n∈N*,a1=2,令bn=.
(1)證明:數列{bn}是等差數列;
(2)求數列{an}的通項公式.
15.[2024·上海七寶中學高二期末] 在數列{an}中,a1=2,am+n=am+an(m,n∈N*),若akak+1=440,則正整數k=　　　　.
16.已知等差數列{an}中,a2=7,a5=13.
(1)求數列{an}的通項公式.
(2)若bn=,是否存在正整數m,使得b2m=2bm+1 若存在,求出m的值;若不存在,說明理由.

展開更多......

收起↑