資源簡介

2.2　等差數(shù)列的前n項和
第1課時　等差數(shù)列的前n項和
【課前預習】
知識點一
倒序相加法
診斷分析
(1)78　(2)39
知識點二
1.　na1
診斷分析
(1)×　(2)×
【課中探究】
探究點一
例1　解:(1)∵Sn=na1+n(n-1)d,
∴解得
(2)∵a1=-2,a2+a6=2,∴2a1+6d=2,即-4+6d=2,解得d=1,
∴S10=10×(-2)+×10×9×1=25.
(3)由題意得Sn=n·+·=-15,
整理得n2-7n-60=0,解得n=12或n=-5(舍去).
∴a12=+(12-1)×=-4.
變式　解:存在大于1的正整數(shù)k,使得Sk=S1.理由如下:
在等差數(shù)列{an}中,S5=5a1+d=5a1+10d,
因為d=-4,S5=40,所以5a1+10×(-4)=40,解得a1=16,所以Sk=ka1+d=16k+×(-4)=-2k2+18k,k∈N*.令Sk=S1=16,得-2k2+18k=16,
整理得k2-9k+8=0,解得k=1或k=8,
因為k>1,所以k=8,所以當k=8時,Sk=S1.
探究點二
例2　解:(1)因為Sn=2n2-30n,
所以當n=1時,a1=S1=2×12-30×1=-28,當n≥2時,an=Sn-Sn-1=2n2-30n-[2(n-1)2-30(n-1)]=4n-32.因為a1=-28滿足上式,所以an=4n-32,n∈N*.
(2)因為an+1-an=[4(n+1)-32]-(4n-32)=4(n∈N*),4是與n無關的常數(shù),所以數(shù)列{an}是公差為4的等差數(shù)列.
變式　(1)B　[解析] 由題知a1=S1=1-4+1=-2,當n≥2,n∈N*時,an=Sn-Sn-1=(n2-4n+1)-[(n-1)2-4(n-1)+1]=2n-5,所以|a1|+|a2|+…+|a10|=2+1+(1+3+5+7+9+11+13+15)=3+=67.故選B.
(2)解:①因為Sn=n2-3n+1,
所以當n=1時,a1=S1=-1,
當n≥2時,an=Sn-Sn-1=n2-3n+1-(n-1)2+3(n-1)-1=2n-4,
當n=1時,上式不成立,
所以an=
②由①得a1=-1,a2=0,a3=2,
因為a3-a2≠a2-a1,
所以數(shù)列{an}不是等差數(shù)列.(共22張PPT)
§2 等差數(shù)列
2.2 等差數(shù)列的前項和
第1課時 等差數(shù)列的前 項和
探究點一 等差數(shù)列的前項和的基本運算
探究點二 與的關系
【學習目標】
1.探索并掌握等差數(shù)列的前 項和公式.
2.理解等差數(shù)列的通項公式與前 項和公式的關系.
知識點一 倒序相加法
如果在一個數(shù)列 中,與首末項等“距離”的兩項之和等于首末兩項之和,那么求
和時可采用把正著寫與倒著寫的兩個和式相加,這樣就得到了一個常數(shù)列的和,進
而求得數(shù)列的前 項和,這一求和方法稱為____________.
倒序相加法
【診斷分析】
如圖①所示,某倉庫堆放了一堆鋼管,最上面的一層有4根鋼管,下面的每一層都比
上一層多一根鋼管,最下面的一層有9根鋼管,共有6層.
（1）假設在這堆鋼管旁邊倒放上同樣的一堆鋼管,其截面如圖②所示,則這樣
共有____根鋼管.
（2）原來有____根鋼管.
78
39
知識點二 等差數(shù)列的前 項和公式
1.等差數(shù)列的前 項和公式
_____________ .
兩個公式的關系:把代入 中,就可以得到
.
2.等差數(shù)列的前項和；
數(shù)列 是等差數(shù)列，為常數(shù)且 .
【診斷分析】 判斷正誤.（請在括號中打“√”或“×”）
（1）設等差數(shù)列的前項和為，則與 不可能相等.( )
×
（2）是某個等差數(shù)列的前 項和.( )
×
知識點三 與 的關系
探究點一 等差數(shù)列的前 項和的基本運算
例1 已知等差數(shù)列的公差為,前項和為 .
（1）若,,求和 ;
解: ,
解得
（2）若,，求 ;
解:,,，即,解得 ,
.
（3）若,,,求和 .
解:由題意得 ,
整理得,解得或 （舍去）.
.
變式 已知數(shù)列是公差為的無窮等差數(shù)列,其前項和為，且 ,
,問：是否存在大于1的正整數(shù),使得 若存在,求 的值;若不存在,
說明理由.
解:存在大于1的正整數(shù),使得 .
理由如下:在等差數(shù)列中, ,
因為,,所以,解得 ,
所以， .
令,得 ，
整理得,解得或 ,
因為,所以,所以當時, .
［素養(yǎng)小結(jié)］
在等差數(shù)列的五個基本量,,,, 中，已知三個可求其余兩個.求解時，通常
先建立關于與的方程組，解出與 后，再求其他量.
探究點二 與 的關系
例2 已知為數(shù)列的前項和，且 .
（1）求及數(shù)列 的通項公式；
解:因為 ，所以當時，，
當 時， .
因為滿足上式，所以， .
（2）判斷數(shù)列 是否為等差數(shù)列，并說明理由.
解:因為，4是與 無關的
常數(shù)，所以數(shù)列 是公差為4的等差數(shù)列.
變式（1） [2024·天津耀華中學高二期末]已知的前項和 ，
則 的值為( )
B
A.65 B.67 C.61 D.56
[解析] 由題知，
當, 時，，
所以 .故選B.
（2）已知數(shù)列的前項和 .
①求 的通項公式；
解:因為 ，所以當時， ，
當時， ，
當 時，上式不成立，所以
②判斷數(shù)列 是否為等差數(shù)列，并說明理由.
解:由①得，， ，因為 ，
所以數(shù)列 不是等差數(shù)列.
［素養(yǎng)小結(jié)］
若是關于的二次函數(shù)，且不含常數(shù)項，則由可求得，數(shù)列 是等差數(shù)
列；否則數(shù)列 不是等差數(shù)列.
1.等差數(shù)列的前 項和公式的推導方法
（1）倒序相加法;
（2）除此之外,對于等差數(shù)列的前 項和公式的推導,也可以有其他的推導途徑.
例如:
.
2.等差數(shù)列前 項和公式的圖形理解
我們可以根據(jù)梯形面積公式的兩種推導方法“補形”與“分割”來理解等差數(shù)列的
兩個前 項和公式,如圖所示.
3.等差數(shù)列前 項和公式的選用
分析和 這兩個公式可得,它們的共同點是需
要知道和,不同點是公式還需要知道,公式
還需要知道 ,解題時需根據(jù)已知條件決定選用哪個公式.
當已知首項、末項和項數(shù)時,用公式①較為簡便;
當已知首項、公差和項數(shù)時,用公式②較為簡便.
在運用公式 時,注意結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì).
例1 [2024·寧夏育才中學高二期末] 已知數(shù)列的前項和 ，數(shù)列
{的前項和為，則 _____.
192
[解析] 當時，，
當 時， ，
經(jīng)檢驗不滿足上式，所以
設 ，則
所以 .
例2 [2023·陜西西安西光中學高二月考]等差數(shù)列共有 項，且奇數(shù)項
之和為165，偶數(shù)項之和為150，則 ( )
A
A.10 B.13 C.11 D.22
[解析] 設等差數(shù)列的公差為 ，
由題意可得，
，
.
得 ，
則,解得 .故選A.2.2　等差數(shù)列的前n項和
第1課時　等差數(shù)列的前n項和
1.C　[解析] 設數(shù)列{an}的公差為d,∵∴∴S9=-3×9+×3=81.故選C.
2.C　[解析] 設等差數(shù)列{an}的公差為d,則解得所以a8=6+7×3=27.故選C.
3.C　[解析] 設數(shù)列{an}的公差為d,則解得故S20=20a1+190d=-120+190×2=260.故選C.
4.A　[解析] 因為Sn=n2,所以a8=S8-S7=64-49=15.故選A.
5.A　[解析] 根據(jù)題意可得,新數(shù)列{an}的各項依次為2,14,26,38,50,…,182,194,數(shù)列{an}是公差為12的等差數(shù)列,共有+1=17(項),故數(shù)列{an}的各項之和為×17=1666.故選A.
6.C　[解析] 由題可知,數(shù)列{an}的前n項和Sn=a1+a2+a3+…+an=2n2-n,當n=1時,a1=1,當n≥2時, an=Sn-Sn-1=2n2-n-[2(n-1)2-(n-1)]=4n-3,當n=1時,上式也成立,∴an=4n-3(n∈N*).∵an+1-an=4,∴數(shù)列{an}是首項為1,公差為4 的等差數(shù)列,則數(shù)列{a2n-1}是首項為1,公差為8的等差數(shù)列,其前n項和a1+a3+a5+…+a2n-1=n+×8=4n2-3n.故選C.
7.AD　[解析] 設等差數(shù)列{an}的公差為d,則解得∴an=a1+(n-1)d=-2+4(n-1)=4n-6,Sn=na1+=-2n+2n(n-1)=2n2-4n.故選AD.
8.AC　[解析] 設等差數(shù)列{an}的公差為d,則解得A正確;a3=a1+2d=-4+4=0,B錯誤;S5=5a1+d=-20+20=0,C正確;S2=2a1+d=-8+2=-6=S3,D錯誤.故選AC.
9.72　[解析] 設{an}的公差為d,因為a2+a7=2a1+7d=18,所以S8=×8=4(2a1+7d)=72.
10.an=　[解析] ∵Sn=n2-3n+2,∴當n≥2時,an=Sn-Sn-1=n2-3n+2-[(n-1)2-3(n-1)+2]=2n-4.∵當n=1時,a1=S1=0≠2×1-4,∴an=
11.2025　[解析] 因為Sn=n2,n∈N*,所以當n=1 時,a1=S1=1;當n≥2時,an=Sn-Sn-1=n2-(n-1)2=2n-1.因為a1=1滿足上式,所以an=2n-1(n∈N*),則數(shù)列{an}是等差數(shù)列,其公差d=2,故a1-a2+a3-a4+…+a2023-a2024+a2025=a1+1012d=2025.
12.2n2-17n　[解析] 設等差數(shù)列{an}的公差為d,由S7-S4=15得a5+a6+a7=3a6=15,解得a6=5.又=,所以解得所以Sn=na1+d=2n2-17n.
13.解:(1)設等差數(shù)列{an}的公差為d,則解得∴a8=a6+2d=10+2×3=16,S10=10a1+d=10×(-5)+5×9×3=85.
(2)由已知得S8===172,解得a8=39.∵a8=4+(8-1)d=39,∴d=5.
14.解:(1)設數(shù)列{an}的公差為d,由已知得解得所以an=2n+1.
(2)由(1)得Sn==n2+2n,因為Sn=3an+2,所以n2+2n=3(2n+1)+2,得n2-4n-5=0,解得n=5或n=-1(舍去),所以n=5.
15.44　-87　[解析] 由題圖可知,第一圈從點A1(1,0)到點A8(1,1),共8個點,由對稱性可知S8=a1+a2+…+a8=0,第二圈從點A9(2,1)到點A24(2,2),共16個點,由對稱性可知S24-S8=a9+a10+…+a24=0,以此類推,可得第n圈的8n個點對應的這8n項的和為0.前k圈的點的個數(shù)之和為8+16+…+8k==4k(k+1),由此可知前22圈共有2024個點,故S2024=0,a2024對應的點的坐標為(22,22),則a2024=22+22=44,故a2023對應的點的坐標為(21,22),所以a2023=21+22=43,則S2022=S2024-(a2024+a2023)=0-(44+43)=-87.
16.解:(1)因為Sn=-n2+4n,所以當n=1時,a1=S1=-1+4=3,當n≥2時,an=Sn-Sn-1=-n2+4n-[-(n-1)2+4(n-1)]=-2n+5.顯然,a1=3滿足an=-2n+5,所以an=-2n+5,n∈N*.
(2)由(1)知bn=|an|=|-2n+5|(n∈N*).因為當n=1,2時,an>0,當n≥3時,an<0,所以當n≤2時,Tn=Sn=-n2+4n;當n≥3時,Sn=a1+a2+a3+…+an①,Tn=a1+a2-a3-…-an②,所以①+②得Tn+Sn=2S2=8,則Tn=8-Sn=n2-4n+8.所以Tn=(n∈N*).2.2　等差數(shù)列的前n項和
第1課時　等差數(shù)列的前n項和
【學習目標】
1.探索并掌握等差數(shù)列的前n項和公式.
2.理解等差數(shù)列的通項公式與前n項和公式的關系.
◆ 知識點一　倒序相加法
如果在一個數(shù)列{an}中,與首末項等“距離”的兩項之和等于首末兩項之和,那么求和時可采用把正著寫與倒著寫的兩個和式相加,這樣就得到了一個常數(shù)列的和,進而求得數(shù)列{an}的前n項和,這一求和方法稱為　　　　　　.
【診斷分析】 如圖①所示,某倉庫堆放了一堆鋼管,最上面的一層有4根鋼管,下面的每一層都比上一層多一根鋼管,最下面的一層有9根鋼管,共有6層.
(1)假設在這堆鋼管旁邊倒放上同樣的一堆鋼管,其截面如圖②所示,則這樣共有　　　　根鋼管.
(2)原來有　　　　根鋼管.
◆ 知識點二　等差數(shù)列的前n項和公式
1.等差數(shù)列{an}的前n項和公式
Sn=　　　　　　=　　　　+d.
兩個公式的關系:把an=a1+(n-1)d代入Sn=中,就可以得到Sn=na1+d.
2.等差數(shù)列{an}的前n項和Sn=n2+n;數(shù)列{an}是等差數(shù)列 Sn=An2+Bn(A,B為常數(shù)且A≠0).
【診斷分析】 判斷正誤.(請在括號中打“√”或“×”)
(1) 設等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,則Sn與an不可能相等. (　 )
(2)Sn=2n2+3n-1是某個等差數(shù)列的前n項和. (　 )
◆ 知識點三　Sn與an的關系
an=
◆ 探究點一　等差數(shù)列的前n項和的基本運算
例1 已知等差數(shù)列{an}的公差為d,前n項和為Sn.
(1)若S8=48,S12=168,求a1和d;
(2)若a1=-2, a2+a6=2,求S10;
(3)若a1=,d=-,Sn=-15,求n和a12.
變式 已知數(shù)列{an}是公差為d的無窮等差數(shù)列,其前n項和為Sn,且d=-4,S5=40,問:是否存在大于1的正整數(shù)k,使得Sk=S1 若存在,求k的值;若不存在,說明理由.
[素養(yǎng)小結(jié)]
在等差數(shù)列的五個基本量a1,an,d,n,Sn中,已知三個可求其余兩個.求解時,通常先建立關于a1與d的方程組,解出a1與d后,再求其他量.
◆ 探究點二　Sn與an的關系
例2 已知Sn為數(shù)列{an}的前n項和,且Sn=2n2-30n.
(1)求a1及數(shù)列{an}的通項公式;
(2)判斷數(shù)列{an}是否為等差數(shù)列,并說明理由.
變式 (1)[2024·天津耀華中學高二期末] 已知{an}的前n項和Sn=n2-4n+1,則|a1|+|a2|+…+|a10|的值為(　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.65 B.67 C.61 D.56
(2)已知數(shù)列{an}的前n項和Sn=n2-3n+1.
①求{an}的通項公式;
②判斷數(shù)列{an}是否為等差數(shù)列,并說明理由.
[素養(yǎng)小結(jié)]
若Sn是關于n的二次函數(shù),且不含常數(shù)項,則由Sn可求得an,數(shù)列{an}是等差數(shù)列;否則an=數(shù)列{an}不是等差數(shù)列.2.2　等差數(shù)列的前n項和
第1課時　等差數(shù)列的前n項和
一、選擇題
1.[2024·廣西南寧高二期中] 已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列,Sn為其前n項和,a3=3,a7=15,則S9的值為 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.48 B.56
C.81 D.100
2.已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,若=3,且a3+a7=36,則a8= (　 )
A.6 B.12
C.27 D.36
3.已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,若S10=30,a3=-2,則S20= (　 )
A.220 B.240
C.260 D.280
4.設數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且Sn=n2,則a8 的值為 (　 )
A.15 B.16
C.49 D.64
5.已知兩個等差數(shù)列2,6,10,…及2,8,14,…,200,將這兩個等差數(shù)列的公共項按從小到大的順序組成一個新數(shù)列{an},則數(shù)列{an}的各項之和為 (　 )
A.1666 B.1654
C.1472 D.1460
6.已知數(shù)列{an}中,a1+a2+a3+…+an=2n2-n,則a1+a3+a5+…+a2n-1= (　 )
A.2n2-n B.8n2-10n+3
C.4n2-3n D.16n2-22n+7
7.(多選題)設等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn.若S3=6,a4=10,則 (　 )
A.Sn=2n2-4n
B.Sn=n2-2n
C.an=4n-8
D.an=4n-6
8.(多選題)記等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,已知a5=4,S3=-6,則有 (　 )
A.a1=-4 B.a3<0
C.S5=0 D.S2二、填空題
9.[2024·寧夏育才中學高二期末] 已知等差數(shù)列{an}中,a2+a7=18,則數(shù)列{an}的前8項和S8=　　　　.
10.已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且Sn=n2-3n+2,則數(shù)列an的通項公式為　　　　　　.
11.已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且Sn=n2,n∈N*,則a1-a2+a3-a4+…+a2023-a2024+a2025=　　　　.
12.[2023·廣東普寧高二期末] 已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且=,S7-S4=15,則Sn=　　　　.
三、解答題
13.在等差數(shù)列{an}中,Sn是其前n項和.
(1)若a6=10,S5=5,求a8和S10;
(2)若a1=4,S8=172,求a8和數(shù)列{an}的公差.
14.已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且S2=8,S9=11a4.
(1)求數(shù)列{an}的通項公式;
(2)若Sn=3an+2,求n.
15.如圖,在平面直角坐標系中有一系列格點Ai(xi,yi),其中i=1,2,3,…,n,…,且xi,yi∈Z.記an=xn+yn,如A1(1,0)對應a1=1,A2(1,-1)對應a2=0,以此類推.設數(shù)列{an}的前n項和為Sn,則a2024=　　　　,S2022=　　　　.
16.已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且Sn=-n2+4n,數(shù)列{bn}滿足bn=|an|(n∈N*).
(1)求數(shù)列{an}的通項公式;
(2)求數(shù)列{bn}的前n項和Tn.

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