資源簡介

第2課時　等差數(shù)列的前n項和的性質(zhì)
【課前預(yù)習(xí)】
知識點一
1.Sk　S2k-Sk　S3k-S2k
4.(1)d　(2)a中　a中　a中　
診斷分析
(1)√　(2)×
知識點二
1.n2+n　二次
2.(1)最大　最小　(2)最小　最大
診斷分析
解:若等差數(shù)列的公差d>0,則該數(shù)列的前n項和有最小值,沒有最大值;若等差數(shù)列的公差d<0,則該數(shù)列的前n項和有最大值,沒有最小值.所以等差數(shù)列的前n項和不是都有最大值與最小值.
【課中探究】
探究點一
例1　45　[解析] 根據(jù)等差數(shù)列前n項和的性質(zhì)得S4,S8-S4,S12-S8成等差數(shù)列,所以2(S8-S4)=S4+S12-S8,即2×(21-6)=6+S12-21,解得S12=45.
變式　A　[解析] 因為S19==19a10,T19==19b10,所以===.故選A.
拓展　解:(1)設(shè)該等差數(shù)列前12項中偶數(shù)項的和為S偶,奇數(shù)項的和為S奇,則解得
由S偶-S奇=6d,得d=5.
(2)方法一:設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,
則由題意可得
解得則S20=20×+×=-25.
方法二:∵數(shù)列{an}是等差數(shù)列,∴S4,S8-S4,S12-S8,S16-S12,S20-S16也成等差數(shù)列,設(shè)其公差為d1.
∵S4+(S8-S4)+(S12-S8)=S12,∴3S4+×d1=S12,
又S4=11,S12=9,∴d1=-8,∴S20=5S4+×d1=5×11+10×(-8)=-25.
(3)方法一:=====.
方法二:==,不妨設(shè)Sn=2n2+2n,Tn=n2+3n,∴a5=S5-S4=20,b5=T5-T4=12,
∴==.
(4)∵Sn是等差數(shù)列{an}的前n項和,
∴是等差數(shù)列,設(shè)其公差為d.
∵-=-4,∴-4d=-4,解得d=1.
∵a1=-2021,∴=-2021,
∴=-2021+(n-1)×1=-2022+n,
∴=-2022+2023=1,∴S2023=2023.
探究點二
例2　解:方法一:設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,則由a1=25,S17=S9,得25×17+d=25×9+d,解得d=-2,
∴Sn=25n+×(-2)=-(n-13)2+169.
由二次函數(shù)的性質(zhì)得,當n=13時,Sn取得最大值,且最大值為169.
方法二:設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,則由a1=25,S17=S9,得25×17+d=25×9+d,解得d=-2,則an=25+(n-1)×(-2)=27-2n.
由得
即12≤n≤13.
又n∈N*,∴當n=13時,Sn取得最大值,且最大值為169.
變式　解:(1)記{an}的公差為d,因為a3-a5=-2d=4,所以d=-2,
因為a4=a1+3×(-2)=4,所以a1=10,
所以an=10+(n-1)×(-2)=12-2n.
(2)Sn=n2+n=-n2+11n=-+,n∈N*,
由二次函數(shù)的圖象可知,當n取與最接近的正整數(shù),即n=5或6時,Sn最大,
所以Sn的最大值為S5=S6=30.
探究點三
例3　C　[解析] 由題意知趙老師每天跑步的路程構(gòu)成數(shù)列{an},該數(shù)列從第6項開始構(gòu)成以4.4為首項,0.4為公差的等差數(shù)列,所以an=(n∈N*).設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn,則當n>5時,Sn=20+.由題意得20+≥180,化簡可得n2+11n-880≥0.設(shè)函數(shù)f(x)=x2+11x-880,則易知f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,當n=24時,242+11×24-880<0,當n=25時,252+11×25-880>0,故他要完成該計劃至少需要25天.故選C.
變式　解:(1)設(shè)8月n日售出的該款服裝的件數(shù)為an(n∈N*,1≤n≤31),最多售出ak(k∈N*,1≤k≤31)件.
由題意知解得
∴8月13日該款服裝銷售最多,最多售出39件.
(2)設(shè)Sn是數(shù)列{an}的前n項和,
由(1)及題意知an=
∴Sn=
∵S13=273>200,
∴當1≤n≤13時,由Sn>200,得12≤n≤13,n∈N*,
當14≤n≤31時,日銷售量連續(xù)下降,由an<20,得23≤n≤31,n∈N*.
∴該款服裝在社會上流行11天(從8月12日到8月22日).第2課時　等差數(shù)列的前n項和的性質(zhì)
【學(xué)習(xí)目標】
1.掌握等差數(shù)列前n項和的性質(zhì).
　　2.能利用等差數(shù)列前n項和的函數(shù)性質(zhì)求前n項和的最值.
　　3.能在具體的問題情境中,發(fā)現(xiàn)數(shù)列的等差關(guān)系,并解決相應(yīng)的問題.
◆ 知識點一　等差數(shù)列的前n項和的性質(zhì)
1.若數(shù)列{an}是等差數(shù)列,Sn是其前n項的和,k∈N*,那么　　　　,　　　　,　　　　成等差數(shù)列,如圖所示.
2.若Sn,Tn分別為等差數(shù)列{an}和{bn}的前n項和,那么=.
3.若數(shù)列{an}是等差數(shù)列,Sn是其前n項的和,則數(shù)列也是等差數(shù)列.
4.設(shè)數(shù)列{an}是公差為d的等差數(shù)列,S奇是前n項中奇數(shù)項的和,S偶是前n項中偶數(shù)項的和,則數(shù)列{an}的前n項和Sn=S奇+S偶,當?shù)炔顢?shù)列的項數(shù)n為奇數(shù)時,中間一項記為a中,有如下性質(zhì):
(1)當n為偶數(shù)時,S偶-S奇=　　　　;
(2)當n為奇數(shù)時,則S奇-S偶=　　　　,S奇=　　　　,S偶=　　　　,=　　　　.
【診斷分析】 判斷正誤.(請在括號中打“√”或“×”)
(1)若{an}是等差數(shù)列,則a1+a2,a3+a4,a5+a6也是等差數(shù)列. (　 )
(2)若等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,則S3,S6,S9成等差數(shù)列. (　 )
◆ 知識點二　等差數(shù)列的前n項和的最值
1.從二次函數(shù)的角度理解等差數(shù)列的前n項和公式:
公式Sn=na1+可化成關(guān)于n的表達式:Sn=　　　　　　.當d≠0時,Sn關(guān)于n的表達式是一個常數(shù)項為零的二次函數(shù)關(guān)系式,即點(n,Sn)在其相應(yīng)的　　　　函數(shù)的圖象上,這說明等差數(shù)列的前n項和公式是關(guān)于n的二次函數(shù),它的圖象是拋物線y=x2+x上橫坐標為正整數(shù)的一群孤立的點.
2.等差數(shù)列前n項和的最值
(1)利用鄰項變號法:
當a1>0,d<0時,Sn有　　　　值,使Sn取到最值的n可由不等式組確定;
當a1<0,d>0時,Sn有　　　　值,使Sn取到最值的n可由不等式組確定.
(2)利用二次函數(shù)的性質(zhì):
Sn=n2+n,若d≠0,則從二次函數(shù)的角度看:當d>0時,Sn有　　　　值;當d<0時,Sn有　　　　值.當n取最接近二次函數(shù)圖象的對稱軸的自然數(shù)時,Sn取到最值.
【診斷分析】 等差數(shù)列的前n項和都有最大值與最小值嗎
◆ 探究點一　等差數(shù)列前n項和的性質(zhì)
例1 [2024·江蘇無錫高二期末] 記等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,已知S4=6,S8=21,則S12=　　　　　　.
變式 設(shè)等差數(shù)列{an},{bn}的前n項和分別為Sn,Tn,若=,則= (　 )
A.　　　　　　　B.
C. D.
[素養(yǎng)小結(jié)]
等差數(shù)列前n項和運算的三種思想方法:
(1)先利用已知條件求出首項和公差,再求所求,是基本解法,有時運算量大些.
(2)利用等差數(shù)列前n項和的性質(zhì),如果運用得當可以達到化繁為簡、化難為易、事半功倍的效果.
(3)設(shè)而不求,整體代換也是很好的解題方法.
拓展 (1)一個等差數(shù)列的前12項的和為354,前12項中偶數(shù)項的和與奇數(shù)項的和的比為32∶27,求公差d的值.
(2)設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,若S4=11,S12=9,求S20的值.
(3)已知數(shù)列{an},數(shù)列{bn}均為等差數(shù)列,數(shù)列{an},數(shù)列{bn}的前n項和分別為Sn,Tn,且=,求.
(4)已知Sn是等差數(shù)列{an}的前n項和,若a1=-2021,-=-4,求S2023.
◆ 探究點二　等差數(shù)列前n項和的最值
例2 在等差數(shù)列{an}中,a1=25,S17=S9,求前n項和Sn的最大值.
　　　　　 　　　　　 　　　　　
變式 [2024·河南開封高二期末] 已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且a3-a5=a4=4.
(1)求{an}的通項公式;
(2)求Sn的最大值及取得最大值時n的值.
[素養(yǎng)小結(jié)]
求等差數(shù)列前n項和最值的常用思路:
(1)利用等差數(shù)列的單調(diào)性,求出其正、負轉(zhuǎn)折項,便可求得和的最值;
(2)利用等差數(shù)列的性質(zhì)求出其正、負轉(zhuǎn)折項,便可求得和的最值;
(3)利用等差數(shù)列的前n項和Sn=An2+Bn(A,B為常數(shù))為關(guān)于n的二次函數(shù),并結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求最值.
◆ 探究點三　等差數(shù)列前n項和的實際應(yīng)用
例3 趙老師最近給自己制訂了一個180千米的跑步健身計劃,計劃前面5天每天跑4千米,以后每天比前一天多跑0.4千米,則他要完成該計劃至少需要(　 )
A.23天 B.24天
C.25天 D.26天
變式 已知8月份有一新款服裝投入某市場.8月1日該款服裝僅售出3件,以后每天售出的該款服裝都比前一天多3件,當8月某日銷售量達到最大(只有1天)后,每天售出的該款服裝都比前一天少2件,已知8月31日當天剛好售出3件.
(1)問8月幾日該款服裝銷售最多 最多售出幾件
(2)按規(guī)律,當該市場銷售此款服裝達到200件時,社會上就開始流行,而日銷售量連續(xù)下降并低于20件時,則不再流行.問該款服裝在社會上流行幾天
[素養(yǎng)小結(jié)]
應(yīng)用等差數(shù)列知識解決實際問題的關(guān)鍵是分清是數(shù)列{an}的通項公式問題還是前n項和問題,然后再選擇合適的公式求解.第2課時　等差數(shù)列的前n項和的性質(zhì)
一、選擇題
1.在等差數(shù)列{an}中,a1=2,前7項和S7=35,則a10= (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.5 B.8
C.11 D.14
2.一個物體從1960米的高空降落,如果第1秒下降4.90米,以后每秒都比前一秒多下降9.80米,那么落到地面所需要的時間為 (　 )
A.20秒 B.21秒
C.19秒 D.22秒
3.已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,若S4=3,S8=9,則S12= (　 )
A.12 B.18
C.21 D.27
4.[2024·甘肅蘭州西北師大附中高二期末] 設(shè)Sn是等差數(shù)列{an}的前n項和,且a1+a5=-14,S9=-27,則Sn取最小值時n的值為 (　 )
A.6 B.7
C.6或7 D.8
5.在等差數(shù)列{an}中,a1=-2024,其前n項和為Sn,若-=3,則S2025等于 (　 )
A.2024 B.2023
C.0 D. 1
6.已知Sn,Tn分別是等差數(shù)列{an}與{bn}的前n項和,且=(n=1,2,…),則+= (　 )
A. B. C. D.
7.(多選題)已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,公差d≠0,若Sn≥S6,則 (　 )
A.a1<0 B.d<0
C.a6=0 D.S13≥0
8.(多選題)已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,若S23>0,S24<0,則下列結(jié)論錯誤的是(　 )
A.數(shù)列{an}是遞增數(shù)列
B.a13>0
C.當Sn取得最大值時,n=13
D.|a13|>|a12|
二、填空題
9.已知等差數(shù)列{an}滿足a3+a4+a5=12,a4+a5+a6=18,則a6+a7+a8=　　　　.
10.已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn,若a1=10,an-an-1=-2(n≥2),則Sn的最大值為　　　　.
11.設(shè)Sn是等差數(shù)列{an}的前 n 項和,若=,則=　　　　.
12.[2024·上海同濟大學(xué)第一附中高二期末] 已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,a1=5,當且僅當n=10時,Sn取得最大值,則公差d的取值范圍為　　　　.
三、解答題
13.(1)已知等差數(shù)列{an}的前m項和為30,前2m項和為100,求數(shù)列{an}的前3m項和S3m;
(2)已知兩個等差數(shù)列{an},{bn}的前n項和分別為Sn和Tn,=,求的值.
14.已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列,Sn是其前n項和,且S9=-18,S11=22.
(1)求數(shù)列{an}的通項公式;
(2)求Sn的最小值.
15.已知Sn是等差數(shù)列{an}的前n項和,若對任意的n∈N*,均有S6≤Sn成立,則的值不可能為(　 )
A.3 B.4
C.5 D.6
16.[2024·廣東佛山高二期末] 已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且S4=4S2,a2n=2an+1(n∈N*).
(1)求{an}的通項公式及Sn;
(2)記bn=(-1)nSn,求數(shù)列{bn}的前50項和T50.(共33張PPT)
§2 等差數(shù)列
2.2 等差數(shù)列的前項和
第2課時 等差數(shù)列的前 項和的性質(zhì)
探究點一 等差數(shù)列前項和的性質(zhì)
探究點二 等差數(shù)列前項和的最值
探究點三 等差數(shù)列前項和的實際應(yīng)用
【學(xué)習(xí)目標】
1.掌握等差數(shù)列前 項和的性質(zhì).
2.能利用等差數(shù)列前項和的函數(shù)性質(zhì)求前 項和的最值.
3.能在具體的問題情境中,發(fā)現(xiàn)數(shù)列的等差關(guān)系,并解決相應(yīng)的問題.
知識點一 等差數(shù)列的前 項和的性質(zhì)
1.若數(shù)列是等差數(shù)列,是其前項的和, ,那么___,_________,________
___成等差數(shù)列,如圖所示.
2.若,分別為等差數(shù)列和的前項和,那么 .
3.若數(shù)列是等差數(shù)列,是其前項的和,則數(shù)列 也是等差數(shù)列.
4.設(shè)數(shù)列是公差為的等差數(shù)列,是前項中奇數(shù)項的和,是前 項中偶數(shù)
項的和,則數(shù)列的前項和,當?shù)炔顢?shù)列的項數(shù) 為奇數(shù)時,中間一
項記為 ,有如下性質(zhì):
（1）當為偶數(shù)時, ____;
（2）當為奇數(shù)時,則____,_______,_______, ____.
【診斷分析】 判斷正誤.（請在括號中打“√”或“×”）
（1）若是等差數(shù)列,則,, 也是等差數(shù)列.( )
√
（2）若等差數(shù)列的前項和為,則,, 成等差數(shù)列.( )
×
知識點二 等差數(shù)列的前 項和的最值
1.從二次函數(shù)的角度理解等差數(shù)列的前 項和公式:
公式可化成關(guān)于的表達式:________________.當
時,關(guān)于的表達式是一個常數(shù)項為零的二次函數(shù)關(guān)系式,即點 在其相應(yīng)
的______函數(shù)的圖象上,這說明等差數(shù)列的前項和公式是關(guān)于 的二次函數(shù),它的
圖象是拋物線 上橫坐標為正整數(shù)的一群孤立的點.
二次
2.等差數(shù)列前 項和的最值
（1）利用鄰項變號法:
當,時,有______值,使取到最值的可由不等式組 確定;
當,時,有______值,使取到最值的可由不等式組 確定.
最大
最小
（2）利用二次函數(shù)的性質(zhì):
,若,則從二次函數(shù)的角度看:當時, 有______值;
當時,有______值.當取最接近二次函數(shù)圖象的對稱軸的自然數(shù)時, 取
到最值.
最小
最大
【診斷分析】
等差數(shù)列的前 項和都有最大值與最小值嗎
解:若等差數(shù)列的公差,則該數(shù)列的前 項和有最小值,沒有最大值;若等差數(shù)
列的公差,則該數(shù)列的前項和有最大值,沒有最小值.所以等差數(shù)列的前 項
和不是都有最大值與最小值.
探究點一 等差數(shù)列前 項和的性質(zhì)
例1 [2024·江蘇無錫高二期末] 記等差數(shù)列的前項和為，已知 ，
，則 ____.
45
[解析] 根據(jù)等差數(shù)列前項和的性質(zhì)得,, 成等差數(shù)列，所以
，即，解得 .
變式 設(shè)等差數(shù)列,的前項和分別為,，若，則 ( )
A
A. B. C. D.
[解析] 因為, ，
所以 .故選A.
［素養(yǎng)小結(jié)］
等差數(shù)列前 項和運算的三種思想方法：
（1）先利用已知條件求出首項和公差，再求所求，是基本解法，有時運算量大些.
（2）利用等差數(shù)列前 項和的性質(zhì)，如果運用得當可以達到化繁為簡、化難為
易、事半功倍的效果.
（3）設(shè)而不求，整體代換也是很好的解題方法.
拓展（1） 一個等差數(shù)列的前12項的和為354,前12項中偶數(shù)項的和與奇數(shù)項的
和的比為,求公差 的值.
解:設(shè)該等差數(shù)列前12項中偶數(shù)項的和為,奇數(shù)項的和為,則
解得
由,得 .
（2）設(shè)等差數(shù)列的前項和為,若,,求 的值.
解:方法一:設(shè)等差數(shù)列的公差為 ,則由題意可得
解得則 .
方法二: 數(shù)列是等差數(shù)列,,,,, 也成等差
數(shù)列,設(shè)其公差為 .
, ,
又,, , .
（3）已知數(shù)列,數(shù)列均為等差數(shù)列,數(shù)列，數(shù)列的前 項和分別
為,,且,求 .
解:方法一: .
方法二:,不妨設(shè), ,
, ,
.
（4）已知是等差數(shù)列的前項和,若,,求 .
解:是等差數(shù)列的前 項和,是等差數(shù)列,設(shè)其公差為 .
,,解得 .
, ,
,
, .
探究點二 等差數(shù)列前 項和的最值
例2 在等差數(shù)列中,,,求前項和 的最大值.
解:方法一:設(shè)等差數(shù)列的公差為,則由, ,
得,解得 ,
.
由二次函數(shù)的性質(zhì)得,當時, 取得最大值，且最大值為169.
方法二:設(shè)等差數(shù)列的公差為,則由, ,
得,解得 ,
則 .
由得
即 .
又， 當時, 取得最大值,且最大值為169.
變式 [2024·河南開封高二期末] 已知等差數(shù)列的前項和為 ，且
.
（1）求 的通項公式；
解:記的公差為，因為，所以 ，
因為，所以 ，
所以 .
（2）求的最大值及取得最大值時 的值.
解:， ，
由二次函數(shù)的圖象可知，當取與最接近的正整數(shù)，即或6時， 最大，
所以的最大值為 .
［素養(yǎng)小結(jié)］
求等差數(shù)列前 項和最值的常用思路:
（1）利用等差數(shù)列的單調(diào)性,求出其正、負轉(zhuǎn)折項,便可求得和的最值;
（2）利用等差數(shù)列的性質(zhì)求出其正、負轉(zhuǎn)折項,便可求得和的最值;
（3）利用等差數(shù)列的前項和,為常數(shù)為關(guān)于 的二次函數(shù),
并結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求最值.
探究點三 等差數(shù)列前 項和的實際應(yīng)用
例3 趙老師最近給自己制訂了一個180千米的跑步健身計劃，計劃前面5天每天
跑4千米，以后每天比前一天多跑0.4千米，則他要完成該計劃至少需要( )
C
A.23天 B.24天 C.25天 D.26天
[解析] 由題意知趙老師每天跑步的路程構(gòu)成數(shù)列 ，該數(shù)列從第6項開始構(gòu)成
以4.4為首項， 為公差的等差數(shù)列，所以.
設(shè)數(shù)列的前項和為，則當 時，.
由題意得 ，化簡可得.
設(shè)函數(shù)，則易知在 上單調(diào)遞增，
當時，，
當 時， ，
故他要完成該計劃至少需要25天.故選C.
變式 已知8月份有一新款服裝投入某市場.8月1日該款服裝僅售出3件，以后每
天售出的該款服裝都比前一天多3件，當8月某日銷售量達到最大（只有1天）后，
每天售出的該款服裝都比前一天少2件，已知8月31日當天剛好售出3件.
（1）問8月幾日該款服裝銷售最多？最多售出幾件？
解:設(shè)8月日售出的該款服裝的件數(shù)為 ，
最多售出 件.
由題意知解得
月13日該款服裝銷售最多，最多售出39件.
（2）按規(guī)律，當該市場銷售此款服裝達到200件時，社會上就開始流行，而日
銷售量連續(xù)下降并低于20件時，則不再流行.問該款服裝在社會上流行幾天？
解:設(shè)是數(shù)列的前 項和，由（1）及題意知
， 當時，由，得， ，
當時，日銷售量連續(xù)下降，由，得， .
該款服裝在社會上流行11天（從8月12日到8月22日）.
［素養(yǎng)小結(jié)］
應(yīng)用等差數(shù)列知識解決實際問題的關(guān)鍵是分清是數(shù)列 的通項公式問題還是
前 項和問題，然后再選擇合適的公式求解.
1.等差數(shù)列前 項和的最值
設(shè)等差數(shù)列的首項為,公差為 ,則
（1）當,時, 有最大值,無最小值;
（2）當,時,數(shù)列 只有前面的有限項為非負數(shù),從某項開始其余所
有項均為負數(shù),所以 有最大值,無最小值;
（3）當,時,數(shù)列 只有前面的有限項為負數(shù),從某項開始其余所有
項均為非負數(shù),所以 有最小值,無最大值;
（4）當,時, 有最小值,無最大值;
（5）當時,數(shù)列 為常數(shù)列.
2.若數(shù)列的前項和公式為 ，
當時,數(shù)列是一個以為首項,為公差的等差數(shù)列;當 時,數(shù)列
不是等差數(shù)列,但是從第二項起構(gòu)成了以為首項,以 為公差的等差數(shù)列.
3.等差數(shù)列的前 項和的性質(zhì)的再補充
（1）,, ,且
.
特別地,若,則;
若, ,則 .
（2）由公式,得,因此數(shù)列 是
等差數(shù)列,首項為,公差為等差數(shù)列 公差的一半.
由等差數(shù)列的函數(shù)特性知,點, 在同一條直線上.
從而有,
,,且 .
例1 等差數(shù)列的前項和為，若，，則 ( )
A
A.10 B.20 C.30 D.15
[解析] 由等差數(shù)列前項和的性質(zhì)得，，，， 成等
差數(shù)列，設(shè)其公差為 ，
則，得 ,
故 .故選A.
例2 已知等差數(shù)列的通項公式為 ,則該數(shù)列前多少項的和最大
解:方法一:由,知當時,,且,當時, ,
故該數(shù)列的前8項或前7項的和最大.
方法二:由,得 ,
設(shè)為數(shù)列的前 項和,
則.
因為 ，所以當或時, 取得最大值.第2課時　等差數(shù)列的前n項和的性質(zhì)
1.C　[解析] ∵S7===35,∴a4=5.設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,則a4=a1+3d=2+3d=5,解得d=1,∴a10=a1+9d=11.故選C.
2.A　[解析] 該物體在降落過程中,每一秒下降的距離構(gòu)成首項為4.90,公差為9.80的等差數(shù)列.設(shè)物體經(jīng)過t秒落到地面,則4.90t+×9.80=1960,可得t=20,所以該物體落到地面所需要的時間為20秒.故選A.
3.B　[解析] 因為Sn 為等差數(shù)列{an}的前n項和,且S4=3,S8=9,所以S4,S8-S4,S12-S8成等差數(shù)列,所以2(S8-S4)=S4+(S12-S8),即2×6=3+(S12-9),解得S12=18,故選B.
4.A　[解析] 設(shè)數(shù)列{an}的公差為d,由a1+a5=-14,S9=-27,得2a1+4d=-14①,9a1+×d=-27②,由①②解得d=2,a1=-11,所以Sn=-11n+×2=n2-12n=(n-6)2-36,由二次函數(shù)的性質(zhì)可得,當n=6時,Sn取得最小值,最小值為-36,故選A.
5.C　[解析] ∵數(shù)列{an}為等差數(shù)列,其前n項和為Sn,∴數(shù)列為等差數(shù)列.設(shè)數(shù)列的公差為d,則-=3d=3,解得d=1,∵=a1=-2024,∴=-2024+2024=0,∴S2025=0.故選C.
6.B　[解析] 因為數(shù)列{bn}是等差數(shù)列,所以b3+b18=b6+b15,
所以+=.又因為Sn,Tn分別是等差數(shù)列{an}與{bn}的前n項和,且=(n=1,2,…),所以+=====,故選B.
7.AD　[解析] 由題知Sn=na1+d=n2+n,由Sn≥S6,得解得d>0,5d≤-a1≤6d,a1<0,故A正確,B錯誤;由5d≤-a1≤6d得a6=a1+5d≤0≤a1+6d=a7,故C錯誤;S13==13a7≥0,故D正確.故選AD.
8.ABC　[解析] 因為S23==23a12>0,所以a12>0,因為S24==12(a12+a13)<0,所以a12+a13<0,所以a13<0且|a13|>|a12|,所以等差數(shù)列{an}是遞減數(shù)列,且當n=12時,Sn取得最大值.故D中結(jié)論正確,A,B,C中結(jié)論錯誤.故選ABC.
9.30　[解析] 由題知,a3+a4+a5=12①,a4+a5+a6=18②,
設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,
則由②-①得3d=6,又易知a3+a4+a5,a4+a5+a6,a5+a6+a7,a6+a7+a8成等差數(shù)列,
所以a6+a7+a8=a3+a4+a5+9d=12+18=30.
10.30　[解析] 由an-an-1=-2可得數(shù)列{an}的公差為-2,則數(shù)列{an}是以10為首項,-2為公差的等差數(shù)列,所以an=10-2(n-1)=12-2n,n∈N*.令an=12-2n≥0,解得n≤6,所以a1,a2,…,a5>0,a6=0,a7,a8,…,an<0,則Sn的最大值為S5=S6==30.
11.　[解析] 令S5=t,則由=,得S10-S5=2t.由等差數(shù)列{an}的性質(zhì)得S5,S10-S5,S15-S10,S20-S15成等差數(shù)列,則S5=t,S10-S5=2t,S15-S10=3t,S20-S15=4t,相加可得S20=10t,因為S10=3t,所以=.
12.　[解析] 因為{an}為等差數(shù)列,且a1=5,所以Sn=n2+n,因為n∈N*,當且僅當n=10時,Sn取得最大值,所以二次函數(shù)y=x2+x圖象的開口向下,且對稱軸在區(qū)間內(nèi),即<0,且<-<,解得-13.解:(1)由等差數(shù)列前n項和的性質(zhì),可得Sm,S2m-Sm,S3m-S2m成等差數(shù)列,
即30,70,S3m-100成等差數(shù)列,所以2×70=30+S3m-100,解得S3m=210.
(2)由等差數(shù)列前n項和的公式,及=,
可得=====.
14.解:(1)由S9==9a5=-18,得a5=-2.由S11==11a6=22,得a6=2.所以等差數(shù)列{an}的公差d=a6-a5=4,所以an=a5+(n-5)d=4n-22.
(2)由(1)可求得a1=-18,所以Sn=na1+d=-18n+×4=2n2-20n=2(n-5)2-50,所以由二次函數(shù)的知識可得當n=5時,Sn取得最小值,最小值為-50.
15.A　[解析] 設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,由題意得,a7≠0,當n=6時,Sn取得最小值,所以a1<0,d>0,a6≤0,a7>0.若a6=a1+5d=0,則===4;若a6=a1+5d<0,a7=a1+6d>0,則-6<<-5,則===1+>4.故選A.
16.解:(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,由S4=4S2可得4a1+6d=4(2a1+d),可得d=2a1.
因為a2n=2an+1(n∈N*),所以a1+(2n-1)d=2a1+2(n-1)d+1,
所以(4n-1)a1=(4n-2)a1+1,解得a1=1,則d=2,
所以an=a1+(n-1)d=1+2(n-1)=2n-1.
所以Sn===n2.
(2)因為bn=(-1)nSn=(-1)nn2,
所以對任意的k∈N*,b2k+b2k-1=(2k)2-(2k-1)2=4k-1,
所以數(shù)列{bn}的前50項和T50=(b1+b2)+(b3+b4)+…+(b49+b50)==1275.

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