資源簡介

第2課時(shí)　等比數(shù)列的性質(zhì)及實(shí)際應(yīng)用
【學(xué)習(xí)目標(biāo)】
體會(huì)等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系.
◆ 知識(shí)點(diǎn)一　等比中項(xiàng)
如果在a與b之間插入一個(gè)數(shù)G,使得a,G,b成等比數(shù)列,那么根據(jù)等比數(shù)列的定義,=,G2=ab,G=±.我們稱G為a,b的　　　　.
【診斷分析】 判斷正誤.(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)
(1)任意兩個(gè)非零常數(shù)a,b都有等比中項(xiàng). (　 )
(2)“G2=ab”是“a,G,b成等比數(shù)列”的充要條件.(　 )
◆ 知識(shí)點(diǎn)二　等比數(shù)列的性質(zhì)
1.等比數(shù)列任意兩項(xiàng)間的關(guān)系:在等比數(shù)列{an}中,an=　　　　.
2.在等比數(shù)列{an}中,若m+n=p+s(m,n,p,s∈N*),則　　　　　　　.特別地,若m+n=2p,則　　　　.
3.(1)在公比為q的等比數(shù)列{an}中,am,am+k,am+2k,…,am+(n-1)k,…仍成等比數(shù)列,公比為　　　　;
(2)若數(shù)列{an}是公比為q的等比數(shù)列,則數(shù)列{kan}(k≠0)也是等比數(shù)列,公比為　　　　;
(3)若數(shù)列{an}是公比為q的等比數(shù)列,則數(shù)列{}也是等比數(shù)列,公比為　　　　;
(4)若數(shù)列{an},{bn}是項(xiàng)數(shù)相同的等比數(shù)列,則{an·bn}是　　　　數(shù)列,是　　　　數(shù)列.
【診斷分析】 判斷正誤.(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)
(1)若數(shù)列{an}是等比數(shù)列,則是等比數(shù)列. (　 )
(2)若數(shù)列{an}是公比為q的等比數(shù)列,則{an·an+1}仍是等比數(shù)列,且公比為2q. (　 )
(3)已知等比數(shù)列{an},取其奇數(shù)項(xiàng)組成一個(gè)新數(shù)列,則此數(shù)列是等比數(shù)列. (　 )
(4)若數(shù)列{an}是等比數(shù)列,則{an+an+1}一定是等比數(shù)列. (　 )
(5)若{an}為等比數(shù)列,且m+n=p(m,n,p∈N*),則am·an=ap. (　 )
◆ 探究點(diǎn)一　等比中項(xiàng)
例1 在等比數(shù)列{an}中,若a2,a4的等比中項(xiàng)為1,a6,a8的等比中項(xiàng)為4,則a5= (　 )
A.-2 B.2
C.±2 D.±
變式 在等差數(shù)列{an}中,a4=9,且a2,a4,a10構(gòu)成等比數(shù)列,則{an}的公差d等于　　　　.
[素養(yǎng)小結(jié)]
(1)由等比中項(xiàng)的定義可知= G2=ab G=±,所以只有當(dāng)a,b同號(hào)時(shí),a,b的等比中項(xiàng)有兩個(gè),當(dāng)a,b異號(hào)時(shí),a,b沒有等比中項(xiàng).
(2)在一個(gè)等比數(shù)列中,從第二項(xiàng)起,每一項(xiàng)(有窮等比數(shù)列的末項(xiàng)除外)都是它的前一項(xiàng)和后一項(xiàng)的等比中項(xiàng).
(3)a,G,b成等比數(shù)列等價(jià)于G2=ab(ab>0).
◆ 探究點(diǎn)二　等比數(shù)列的性質(zhì)
例2 (1)[2024·湖南郴州高二期末] 已知等比數(shù)列{an}中,a2,a3是方程x2-6x+8=0的兩根,求a1a2a3a4的值.
(2)在等比數(shù)列{an}中,an>0,若a3·a5=4,求a1a2a3a4a5a6a7.
變式 已知等比數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù),且a3a7=81,則log3a1+log3a5+log3a9= (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.3 B.4 C.5 D.6
[素養(yǎng)小結(jié)]
(1)應(yīng)用等比數(shù)列的性質(zhì)可以簡化運(yùn)算,當(dāng)性質(zhì)不能應(yīng)用時(shí),可以通過基本量法求解.
(2)等比數(shù)列中的設(shè)元技巧:當(dāng)三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列時(shí),可設(shè)為,a,aq;當(dāng)四個(gè)數(shù)成公比為正數(shù)的等比數(shù)列時(shí),可設(shè)為,,aq,aq3.
拓展 在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}中,a1a5+2a4a6+a5a9=8,則a3+a7= (　 )
A.1 B. C.4 D.2
◆ 探究點(diǎn)三　等比數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用
例3 某人買了一輛價(jià)值為13.5萬元的新車,專家預(yù)測(cè)這種車每年按10%的速度貶值.
(1)用一個(gè)式子表示第n(n∈N*)年這輛車的價(jià)值;
(2)如果他打算用滿4年時(shí)賣掉這輛車,他大概能得到多少錢 (0.94≈0.66,結(jié)果保留一位小數(shù))
變式 (1)在我國古代春節(jié)期間,“剪窗花,貼對(duì)聯(lián)”幾乎是每家每戶都會(huì)進(jìn)行的迎新活動(dòng),而窗花(俗稱剪紙)蘊(yùn)含著辭舊迎新、接福納祥的美好寓意.如圖是一幅剪紙作品.一位藝術(shù)家把一張厚度為0.012 5 cm的紙對(duì)折了三次,開始了該作品的創(chuàng)作,若不計(jì)紙與紙之間的間隙,則對(duì)折后的半成品的厚度是　　　　mm.
(2)某養(yǎng)豬場2021年年初豬的存欄數(shù)(飼養(yǎng)頭數(shù))為1500,預(yù)計(jì)以后每年存欄數(shù)的增長率為8%,且在每年年底賣出100頭,則2036年年初豬的存欄數(shù)約為(參考數(shù)據(jù):1.0814≈2.9,1.0815≈3.2,1.0816≈3.4)(　 )
A.2050 B.2150
C.2250 D.2350
[素養(yǎng)小結(jié)]
解決等比數(shù)列實(shí)際應(yīng)用問題的關(guān)鍵是:建立數(shù)學(xué)模型,即將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化成等比數(shù)列的問題,解數(shù)學(xué)模型即解等比數(shù)列問題.第2課時(shí)　等比數(shù)列的性質(zhì)及實(shí)際應(yīng)用
一、選擇題
1.設(shè)m=-8,n=-2,則m與n的等比中項(xiàng)為(　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.4 B.-4
C.±4 D.-5
2.[2024·四川涼山州西昌高二期末] 已知{an}為等比數(shù)列,若a5a7=2,則a2a4a8a10的值為(　 )
A.2 B.4
C.8 D.16
3.在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}中,a1a7=16,a3=2,則數(shù)列{an}的公比為 (　 )
A.1 B.2
C.4 D.-2
4.[2024·內(nèi)蒙古巴彥淖爾高二期末] 已知{an}為等比數(shù)列,a1=9,a4a6=6a5-9,則a3= (　 )
A.3 B.4
C.5 D.6
5.我國古代有這樣一句話:“一尺之棰,日取其半,萬世不竭.”用現(xiàn)代語言敘述為:一尺長的木棒,每天取其一半,永遠(yuǎn)也取不完.這樣,每日剩下的部分長都是前一日的一半.如果把“一尺之棰”中的“一尺”看成單位“1”,那么每日剩下的部分長依次所構(gòu)成的數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為 (　 )
A.an=n
B.an=
C.an=
D.an=2n
6.已知等比數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù),且a1·a6=9,則log3a1+log3a2+…+log3a6= (　 )
A.6 B.9
C.27 D.81
7.(多選題)在等比數(shù)列{an}中,a6·a12=6,a4+a14=5,則的值可能為 (　 )
A. B. C. D.
8.(多選題)已知等比數(shù)列{an}中,a4=8,a5=2,則(　 )
A.a8=4a9
B.a1=2048
C.當(dāng)n≥6時(shí),an<1
D.{an}的前10項(xiàng)積為1
二、填空題
9.在等比數(shù)列{an}中,已知a3·a5=2,則a2·a6=　　　　.
10.在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}中,a4a8a12=8,則log2a2+log2a14=　　　　.
11.已知數(shù)列{an}是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列,若a3+a4+a6+a8+a9=2,++++=18,則a6=　　　　.
12.[2024·天津南開區(qū)高二期中] 已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列,數(shù)列{bn}是等比數(shù)列,若a3+a6+a9=6,b2b5b8=8,則的值是　　　　.
三、解答題
13.已知數(shù)列{an}為等比數(shù)列.
(1)若an>0,a2a4+2a3a5+a4a6=25,求a3+a5的值;
(2)若a1+a2+a3=7,a1a2a3=8,求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.
14.我國某西部地區(qū)進(jìn)行沙漠治理,該地區(qū)有土地1萬平方千米,其中70%是沙漠,從今年起,該地區(qū)進(jìn)行綠化改造,每年把原有沙漠的16%改造為綠洲,同時(shí)原有綠洲的4%被沙漠所侵蝕又變成沙漠.設(shè)該地區(qū)從今年起第n年年初的綠洲面積為an萬平方千米,則第n(n≥2)年年初的綠洲面積與上一年年初的綠洲面積的關(guān)系為an =an-1+.
(1)證明是等比數(shù)列并求{an}的通項(xiàng)公式;
(2)最早要到第幾年年初,該地區(qū)的綠洲面積可超過萬平方千米 (lg 2≈0.301)
15.在等比數(shù)列{an}中,a1,a13是方程x2-13x+16=0的兩根,則 的值為 (　 )
A. B.±
C.4 D.±4
16.從盛滿a(a>1)升純酒精的容器里倒出1升酒精然后添滿水并搖勻(假設(shè)酒精不揮發(fā)),再倒出1升混合溶液后又用水添滿并搖勻,如此繼續(xù)下去.問:第n次操作后溶液的濃度是多少 當(dāng)a=2時(shí),至少應(yīng)倒幾次后才能使溶液的濃度低于10% (共27張PPT)
§3 等比數(shù)列
3.1 等比數(shù)列的概念及其通項(xiàng)公式
第2課時(shí) 等比數(shù)列的性質(zhì)及實(shí)際應(yīng)用
探究點(diǎn)一 等比中項(xiàng)
探究點(diǎn)二 等比數(shù)列的性質(zhì)
探究點(diǎn)三 等比數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用
【學(xué)習(xí)目標(biāo)】
體會(huì)等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系.
知識(shí)點(diǎn)一 等比中項(xiàng)
如果在與之間插入一個(gè)數(shù),使得,, 成等比數(shù)列,那么根據(jù)等比數(shù)列的定義，
,,.我們稱為， 的__________.
等比中項(xiàng)
【診斷分析】 判斷正誤.（請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”）
（1）任意兩個(gè)非零常數(shù), 都有等比中項(xiàng).( )
×
（2）“”是“,, 成等比數(shù)列”的充要條件.( )
×
知識(shí)點(diǎn)二 等比數(shù)列的性質(zhì)
1.等比數(shù)列任意兩項(xiàng)間的關(guān)系:在等比數(shù)列中, __________.
2.在等比數(shù)列中,若 ,則________________.特別
地,若 ,則____________.
3.（1）在公比為的等比數(shù)列中,,,, ,, 仍成
等比數(shù)列,公比為____;
（2）若數(shù)列是公比為的等比數(shù)列,則數(shù)列 也是等比數(shù)列,公
比為___;
（3）若數(shù)列是公比為的等比數(shù)列,則數(shù)列 也是等比數(shù)列,公比為____;
（4）若數(shù)列,是項(xiàng)數(shù)相同的等比數(shù)列,則是______數(shù)列, 是
______數(shù)列.
等比
等比
【診斷分析】 判斷正誤.（請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”）
（1）若數(shù)列是等比數(shù)列,則 是等比數(shù)列.( )
√
（2）若數(shù)列是公比為的等比數(shù)列,則 仍是等比數(shù)列,且公比為
.( )
×
（3）已知等比數(shù)列 ,取其奇數(shù)項(xiàng)組成一個(gè)新數(shù)列,則此數(shù)列是等比數(shù)列.( )
√
（4）若數(shù)列是等比數(shù)列,則 一定是等比數(shù)列.( )
×
（5）若為等比數(shù)列，且，則 .( )
×
探究點(diǎn)一 等比中項(xiàng)
例1 在等比數(shù)列中，若，的等比中項(xiàng)為1，， 的等比中項(xiàng)為4，
則 ( )
C
A. B.2 C. D.
[解析] 設(shè)的公比為 ，
因?yàn)椋牡缺戎许?xiàng)為1，所以,得.
同理 ，又,所以與 同號(hào)，
所以,所以 ，故選C.
變式 在等差數(shù)列中，，且,,構(gòu)成等比數(shù)列，則 的公差
等于______.
0或
[解析] ，,,構(gòu)成等比數(shù)列，
即消去得或 .
［素養(yǎng)小結(jié)］
（1）由等比中項(xiàng)的定義可知，所以只有當(dāng)，
同號(hào)時(shí)，，的等比中項(xiàng)有兩個(gè)，當(dāng)，異號(hào)時(shí)，， 沒有等比中項(xiàng).
（2）在一個(gè)等比數(shù)列中，從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)（有窮等比數(shù)列的末項(xiàng)除外）都
是它的前一項(xiàng)和后一項(xiàng)的等比中項(xiàng).
（3），，成等比數(shù)列等價(jià)于 .
探究點(diǎn)二 等比數(shù)列的性質(zhì)
例2（1） [2024·湖南郴州高二期末] 已知等比數(shù)列中，, 是方程
的兩根，求 的值.
解: ,是方程的兩根，則，因?yàn)?是等比數(shù)列，所
以，所以 .
（2）在等比數(shù)列中,,若,求 .
解:因?yàn)?且,所以 ,所以
.
變式 已知等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，且 ，則
( )
D
A.3 B.4 C.5 D.6
[解析] 根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)可得 ，
又，所以 ，
所以 .故選D.
［素養(yǎng)小結(jié)］
（1）應(yīng)用等比數(shù)列的性質(zhì)可以簡化運(yùn)算,當(dāng)性質(zhì)不能應(yīng)用時(shí),可以通過基本量法求解.
（2）等比數(shù)列中的設(shè)元技巧:當(dāng)三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列時(shí),可設(shè)為,, ;當(dāng)四個(gè)數(shù)成
公比為正數(shù)的等比數(shù)列時(shí),可設(shè)為,,, .
拓展 在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列中， ，則
( )
D
A.1 B. C.4 D.
[解析] 因?yàn)?，所以，
又等比數(shù)列 的各項(xiàng)均為正數(shù)，所以 .故選D.
探究點(diǎn)三 等比數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用
例3 某人買了一輛價(jià)值為13.5萬元的新車，專家預(yù)測(cè)這種車每年按 的速度
貶值.
（1）用一個(gè)式子表示第 年這輛車的價(jià)值；
解:設(shè)從第一年起，每年該車的價(jià)值（單位：萬元）依次為，，， ，
，則，，， ，構(gòu)成數(shù)列 .
由題意得，，， .
由等比數(shù)列的定義知數(shù)列 是等比數(shù)列，其首項(xiàng)為，公比為 ，
， .
（2）如果他打算用滿4年時(shí)賣掉這輛車，他大概能得到多少錢？（ ，
結(jié)果保留一位小數(shù)）
解:由（1）得 ，
用滿4年時(shí)賣掉這輛車，大概能得到8.9萬元.
變式（1） 在我國古代春節(jié)期間，“剪窗花，貼對(duì)聯(lián)”
幾乎是每家每戶都會(huì)進(jìn)行的迎新活動(dòng)，而窗花
（俗稱剪紙）蘊(yùn)含著辭舊迎新、接福納祥的美好寓意.如
圖是一幅剪紙作品.一位藝術(shù)家把一張厚度為
的紙對(duì)折了三次，開始了該作品的創(chuàng)作，若不計(jì)紙與紙
之間的間隙，則對(duì)折后的半成品的厚度是___ .
1
[解析] 由題意知對(duì)折了三次后的半成品的厚度為 ，即
.
（2）某養(yǎng)豬場2021年年初豬的存欄數(shù)（飼養(yǎng)頭數(shù)）為1500,預(yù)計(jì)以后每年存欄
數(shù)的增長率為 ,且在每年年底賣出100頭,則2036年年初豬的存欄數(shù)約為
（參考數(shù)據(jù):,, ）( )
A
A.2050 B.2150 C.2250 D.2350
[解析] 設(shè)該養(yǎng)豬場從2021年起每年年初豬的存欄數(shù)依次為,,, ,
由題意可得,,即 ,
故數(shù)列是首項(xiàng)為 ,公比為1.08的等比數(shù)列,
，即 年年初,
即,年年初豬的存欄數(shù)為 .故選A.
［素養(yǎng)小結(jié)］
解決等比數(shù)列實(shí)際應(yīng)用問題的關(guān)鍵是：建立數(shù)學(xué)模型，即將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化成等
比數(shù)列的問題，解數(shù)學(xué)模型即解等比數(shù)列問題.
1.在等比數(shù)列的性質(zhì)中,尤其以“下標(biāo)和”性質(zhì)應(yīng)用最多,最靈活,但使用時(shí)一定要注
意其與等差數(shù)列“下標(biāo)和”性質(zhì)的區(qū)別,如下表:
等差數(shù)列 等比數(shù)列
條件
結(jié)論
2.等比中項(xiàng)的注意點(diǎn)
（1）是與的等比中項(xiàng),則與 的符號(hào)相同,符號(hào)相反的兩個(gè)實(shí)數(shù)不存在等比
中項(xiàng).,即與 的等比中項(xiàng)有兩個(gè),且它們互為相反數(shù).
（2）當(dāng)時(shí),不一定是與的等比中項(xiàng).例如 ,但0,0,5不是等比數(shù)列.
3.等比數(shù)列與等差數(shù)列的區(qū)別與聯(lián)系
等差數(shù)列 等比數(shù)列
不同點(diǎn) （1）強(qiáng)調(diào)每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的差; （2）首項(xiàng)和公差 可以為零; （3）等差中項(xiàng)唯一 （1）強(qiáng)調(diào)每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的比;
（2）首項(xiàng)與公比 均不為零;
（3）等比中項(xiàng)有兩個(gè)值
相同點(diǎn) （1）都強(qiáng)調(diào)每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的關(guān)系; （2）結(jié)果都必須是常數(shù); （3）通項(xiàng)公式都可以由,或, 確定
聯(lián)系 若數(shù)列 為各項(xiàng)都是正數(shù)的等 比數(shù)列,則數(shù)列{ 為等差數(shù) 列且 若數(shù)列 為等差數(shù)列,則數(shù)列
為等比數(shù)列且
例1 若不相等的三個(gè)正數(shù),,成等差數(shù)列,并且是,的等比中項(xiàng),是, 的等
比中項(xiàng),則,, 三數(shù)( )
B
A.成等比數(shù)列而不成等差數(shù)列 B.成等差數(shù)列而不成等比數(shù)列
C.既成等差數(shù)列又成等比數(shù)列 D.既不成等差數(shù)列又不成等比數(shù)列
[解析] 由已知條件,可得由②③得代入①得 ,
即，故,,成等差數(shù)列.
由得,即 , 所以,
故,, 不成等比數(shù)列.故選B.
例2 （多選題）已知等差數(shù)列的公差和首項(xiàng)都不等于0，且，，
成等比數(shù)列，則下列結(jié)論正確的是( )
AD
A. B.
C. D.
[解析] ，，整理得 ，
又?jǐn)?shù)列的公差和首項(xiàng)都不等于0， ，故D正確，C錯(cuò)誤；
， ，故A正確，B錯(cuò)誤.
故選 .
例3 已知方程 的四個(gè)根組成以1為首項(xiàng)的等比
數(shù)列，則 ( )
D
A. B.或 C. D.
[解析] 設(shè)方程的四個(gè)根分別為，，， ，
且數(shù)列，，，是首項(xiàng)為1的等比數(shù)列，則 .
若，是方程的兩根，則，是方程 的兩
根，由， ，得 ，
則等比數(shù)列，，，的公比， ，
，，， .
若，是方程的兩根，則，是方程 的兩
根，同理可得，，.綜上可得， .故選D.第2課時(shí)　等比數(shù)列的性質(zhì)及實(shí)際應(yīng)用
【課前預(yù)習(xí)】
知識(shí)點(diǎn)一
等比中項(xiàng)
診斷分析
(1)×　(2)×
知識(shí)點(diǎn)二
1.am·qn-m　2.am·an=ap·as　am·an=
3.(1)qk　(2)q　(3)q2　(4)等比　等比
診斷分析
(1)√　(2)×　(3)√　(4)×　(5)×
【課中探究】
探究點(diǎn)一
例1　C　[解析] 設(shè){an}的公比為q,
因?yàn)閍2,a4的等比中項(xiàng)為1,所以a2a4=1=,得a3=±1.同理a7=±4,又a7=a3·q4,所以a3與a7同號(hào),
所以=a3a7=4,所以a5=±2,故選C.
變式　0或3　[解析] ∵a4=9,a2,a4,a10構(gòu)成等比數(shù)列,∴即消去a1得d=0或d=3.
探究點(diǎn)二
例2　解:(1)a2,a3是方程x2-6x+8=0的兩根,則a2a3=8,因?yàn)閧an}是等比數(shù)列,所以a1a4=a2a3=8,所以a1a2a3a4=64.
(2)因?yàn)閍3·a5==4,且an>0,所以a4=2,所以a1a2a3a4a5a6a7=(a1·a7)·(a2·a6)·(a3·a5)·a4=···a4==27=128.
變式　D　[解析] 根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)可得a1a9=a2a8=a3a7=a4a6==81,又an>0,所以a5=9,所以log3a1+log3a5+log3a9=log3(a1a5a9)=log3=log393=6.故選D.
拓展　D　[解析] 因?yàn)閍1a5+2a4a6+a5a9=8,
所以+2a3a7+==8,又等比數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù),所以a3+a7=2.故選D.
探究點(diǎn)三
例3　解:(1)設(shè)從第一年起,每年該車的價(jià)值(單位:萬元)依次為a1,a2,a3,…,an,則a1,a2,a3,…,an構(gòu)成數(shù)列{an}.
由題意得a1=13.5,a2=13.5×(1-10%),a3=13.5×(1-10%)2,….由等比數(shù)列的定義知數(shù)列{an}是等比數(shù)列,
其首項(xiàng)為13.5,公比為1-10%=0.9,
∴an=13.5×0.9n-1,n∈N*.
(2)由(1)得a5=13.5×0.94≈8.9,
∴用滿4年時(shí)賣掉這輛車,大概能得到8.9萬元.
變式 (1)1　(2)A　[解析] (1)由題意知對(duì)折了三次后的半成品的厚度為0.012 5×23=0.1(cm),即1 mm.
(2)設(shè)該養(yǎng)豬場從2021年起每年年初豬的存欄數(shù)依次為a1,a2,a3,…,由題意可得,an+1=an×(1+8%)-100,即an+1-1250=1.08(an-1250),故數(shù)列{an-1250}是首項(xiàng)為a1-1250=250,公比為1.08的等比數(shù)列,∴an-1250=250×1.08n-1,即an=250×1.08n-1+1250.2036年年初,即n=16,∴2036年年初豬的存欄數(shù)為a16=250×1.0815+1250≈2050.故選A.第2課時(shí)　等比數(shù)列的性質(zhì)及實(shí)際應(yīng)用
1.C　[解析] 由題意可知,m與n的等比中項(xiàng)為±=±4.故選C.
2.B　[解析] 因?yàn)閍5a7=2,所以a2a4a8a10=a2a10a4a8==4,故選B.
3.B　[解析] 根據(jù)等比中項(xiàng)的性質(zhì),得=a1a7=16,∵數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù),∴a4=4,∴數(shù)列{an}的公比為=2.故選B.
4.A　[解析] 設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q,因?yàn)閍4a6=6a5-9,所以-6a5+9==0,所以a5=3,因?yàn)閍1=9,所以q4==,所以q2=,則a3=a1q2=3.故選A.
5.C　[解析] 由題知,第n日剩下的部分長為an,顯然有a1=,an=an-1(n>1),即數(shù)列{an}是等比數(shù)列,且其首項(xiàng)為,公比為,所以an=×=.故選C.
6.A　[解析] ∵等比數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù),且a1·a6=9, ∴l(xiāng)og3a1+log3a2+…+log3a6=log3(a1·a2·…·a6)=log3(a1·a6)3=log393=6.故選A.
7.AB　[解析] 設(shè)數(shù)列{an}的公比為q,根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)可得a6a12=a4a14=6,
又a4+a14=5,所以或若則q10==,此時(shí)=q20==;若則q10==,此時(shí)=q20==.故選AB.
8.ACD　[解析] A選項(xiàng),由a4=8,a5=2得等比數(shù)列{an}的公比q==,所以a8=4a9,A正確;B選項(xiàng),a1==8×43=512,B錯(cuò)誤;C選項(xiàng),an=a1qn-1=211-2n,當(dāng)n≥6時(shí),an≤2-1<1,C正確;D選項(xiàng),由a5a6=2×=1,可得{an}的前10項(xiàng)積為(a5a6)5=1,D正確.故選ACD.
9.2　[解析] 由等比數(shù)列的相關(guān)性質(zhì)得a2·a6=a3·a5=2.
10.2　[解析] 在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}中,a4a8a12=8,所以=8,所以a8=2,a4a12==4,所以log2a2+log2a14=log2(a2a14)=log2(a4a12)=log24=2.
11.　[解析] ++++=++=++,
由等比數(shù)列的性質(zhì)可得a3a9=a4a8=,∴++++==18,
∴=,又a6>0,∴a6=.
12.1　[解析] 由等差中項(xiàng)的性質(zhì)可得a3+a6+a9=3a6=6,∴a6=2,由等比中項(xiàng)的性質(zhì)可得b2b5b8==8,∴b5=2,因此,===1.
13.解:(1)根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)得a2a4=,a4a6=,則a2a4+2a3a5+a4a6=+2a3a5+=(a3+a5)2=25.∵an>0,∴a3+a5>0,∴a3+a5=5.
(2)∵=a1a3,且a1a2a3=8,∴=8,∴a2=2.設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q,則+2+2q=7,整理得2q2-5q+2=0,∴q=2或q=,∴或∴an=2n-1或an=23-n.
14.解:(1)∵an=an-1+(n≥2),∴an-=(n≥2),由題可知a1=,∴a1-=-,∴是以-為首項(xiàng),為公比的等比數(shù)列,∴an-=-·,∴an=-·+.
(2)令an=-·+>,∴<,兩邊取常用對(duì)數(shù)得(n-1)lg=≈=≈4.1,∴n>5.1.又n∈N*,∴n≥6,∴最早要到第6年年初,該地區(qū)的綠洲面積可超過萬平方千米.
15.C　[解析] ∵a1,a13是方程x2-13x+16=0的兩根,∴a1+a13=13,a1·a13=16,∴a1>0,a13>0,a1·a13=a2·a12==16.又等比數(shù)列{an}中奇數(shù)項(xiàng)的符號(hào)相同,∴a7=4,∴==4.故選C.
16.解:設(shè)開始的酒精濃度為1,操作1次后溶液的濃度為a1=1-,操作n次后溶液的濃度為an,則an+1=an,∴數(shù)列{an}是以1-為首項(xiàng),1-為公比的等比數(shù)列,∴an=,即第n次操作后溶液的濃度為.當(dāng)a=2時(shí),an==,由an=<,n∈N*,解得n≥4,∴至少應(yīng)倒4次后才能使溶液的濃度低于10%.

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